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说 明
考试大纲及考试题型
一、管理类专业硕士联考数学考试大纲
管理类专业学位联考综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻
辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，通过问题求解和条件充分性判断两种形式
来测试。
试题涉及的数学知识范围有算术、代数、几何和数据分析方面的内容。
1. 算术部分包括整数及其运算（整除、公倍数、公约数、奇数、偶数、质数、合数）、
分数、小数、百分数、比与比例、数轴与绝对值；
2. 代数部分包括整数及其运算、整式的因式与因式分解、分式及其运算、函数、（ 集
合、一元二次函数及其图像、指数函数、对数函数）、代数方程（一元一次方程、一元
二次方程、二元一次方程组）、不等式（不等式的性质、均值不等式、简单绝对值不等
式、简单分式不等式、不等式求解、一元一次不等式（组），一元二次不等式）；
3. 数列（等差数列、等比数列）；
4. 几何部分包括平面图形（三角形、矩形、平行四边形、梯形、圆与扇形）、空间
几何体（长方体、圆柱体、球体）、平面解析几何（平面直角坐标系、直线方程与圆的
方程、两点间距离公式与点到直线的距离公式）；
5. 数据分析部分包括计数原理（加法原理、乘法原理、排列与排列数、组合与组合
数）、概率（事件及其简单运算、加法公式、乘法公式、古典概型、贝努里概型）；
6. 去年新增加考点：数据描述（平均值、方差与标准差 、数据的图表表示）、空间
几何体（长方体、圆柱体、球体）。
二、数学试题的两种题型
在综合能力试题中，第一大题“问题求解”（含 15 个小题）及第二大题“条件充分
性判断”（含 10 个小题）为数学试题，每小题 3分，共 75 分。
问题求解题的测试形式为单项选择题，要求考生从给定选项 A、B、C、D、E中按题
目要求选出一项作为解答（选项中只有一项符合题目要求）。
条件充分性判断的测试形式也是单项选择题，每个小题有一段题干叙述（含假设与
1结论或只含结论）及两个条件：条件（
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）和条件（2），要求判断所给出的条件是否充分
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支持题干中陈述的结论，并按以下规则在 A、B、C、D、E中择一作为解答。
A．条件（1）充分，但条件（2）不充分。
B．条件（2）充分，但条件（1）不充分。
C．条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和（2）联合起来充分。
D．条件（1）充分，条件（2）也充分。
E．条件（1）和（2）单独都不充分，且条件（1）和（2）联合起来也不充分。
由上可见，问题求解是作必要性判断，条件充分性判断题是作充分性判断。数学的
两种试题类型，是以简单的数学基础知识为平台作逻辑判断。
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第一章 算术
第一节 实数的概念及运算
一、数的分类与概念
( ) ( )
( ) ( )
0N
Z
Q
R
正整数 自然数
整数
有理数 负整数
实数
正分数
分数 负分数
无理数（无限不循环小数）
21
2
n
n
±
奇数
整数 偶数
( )
nZ∈
；
1
正整数 质数
合数
.
二、质数（素数）与合数
大于 1的正整数，如果除了 1和自身之外，没有其他约数的数就称为质数（素数），
否则就称为合数。则：最小的质数为 2，最小的合数为 4。
【注】① 1 既不是质数也不是合数；
② 常见 30 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29.
三、奇数偶数运算性质
奇数±奇数=偶数， 奇数±偶数=奇数， 偶数±偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数， 奇数×偶数=偶数， 偶数×偶数=偶数。
【注】① 整数
m
与
2
m
同奇同偶；
② 整数
,xy
，则
xy+
与
xy−
同奇同偶。
四、倍数与约数、公约数（最大公约数）与公倍数（最小公倍数）
如果有一个自然数
a
能被自然数
b
整除，则称
a
为
b
的倍数；称
b
为
a
的约数；
几个自然数公有的约数，称为这几个自然数的公约数；公约数中最大的一个公约数，
称为这几个自然数的最大公约数；
几个自然数共有的倍数称为这几个自然数的公倍数；其中除 0以外最小的一个公倍
数，称为这几个数的最小公倍数。
五、正整数除法中的商数与余数
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设正整数
n
被正整数
m
除的商数为
s
，余数为
r
，则可以表示为：
n ms r= +
（
s
和r为自然数，
0≤r<m
）.特例，
n
能被
m
整除是指余数
r=0
.
常见数整除的数字特征：
能被 2整除的数：个位数字为 0，2，4，6，8；
能被 3整除的数：各位数字之和必能被 3整除；
能被 4整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被 4整除；
能被 5整除的数：个位数字为 0或5；
能被 6整除的数：同时满足能被 2和3整除的条件；
能被 8整除的数：末三位能被 8整除；
能被 9整除的数：各位数字之和能被 9整除；
能被 10 整除的数：个位数字为 0.
六、有理数、无理数运算律考点
有理数之和、差、积与商（除数不为 0）结果均仍为有理数；
有理数与无理数之和（差）必为无理数；无理数之和（差）未必为无理数；
有理数与无理数之积（商）未必为无理数；无理数之积（商）未必为无理数。
【注】若有理数
a
+有理数
b
×无理数
α
=
有理数
c
⇒a=b=c=0
.
七、实数的运算
（1）
a
ma
na
mn
+
⋅=
（2）
a
m
a
n
a
mn−
÷=
（
)
3）
(
a
ma
mn
n=
（
)
4）
(
ab a b
m
=
mm
（5）
mm
aa
=m
b
b（
m
6）
a−m=a
1
（
1
7）
aa
n
=
n
（
mnm
8）
aa
n
=
1
nm
a
（9）
a−m
n=
八、两个核心运算
()
1 11
（1）裂项公式：
fx
( )
=xx =x
−x+1+1
；
（2）分母有理化公式：
( )(
111
111
xx
fx xx
x xx x
+−
( )
= =
)
=x
+− x
++ ++ +−
.
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第二节 比与比例
一、比与比例的概念及关系
1．两个数
a
与
b
之比为
k
，是指
ak
b=
，记
:
ab k
=
，称
k
是
a
与
b
的比值。
2．比例：相等的比称为比例，记作
::ab cd=
或
ac
bd
=
特别的：当
::
ab bc
=
时，称
b
为
a
和
c
的比列中项，即
2
b ac=
.
3．正比：若
y kx=
（
k
不为 0）， 则 称
y
与
x
成正比，
k
称为比例系数；
反比：若 k
yx
= （
k
不为 0）， 则 称
y
与
x
成反比，
k
称为比例系数。
4．比值常用百分率表示：称
a
是
b
的百分之
r
是指
:%ab r=
；
①
100%
= ×
个体量
个体所占百分比 总量
⇒=×个体量 总量 个体所占百分比
；
② 100%
−
= ×
变后量 变前量
变化率 变前量
( )
1⇒ = ×+
变后量 变前量 变化率
；
③ 增长率
% (1 %)
a
p ap
→ +
原值为
现值为
；
下降率
% (1 %)
a
p ap→ −
原值为
现值为
；
④ 甲比乙大
( )
% % 1%pp p
−
⇔ = ⇔ = ×+
甲 乙 甲 乙
乙
；
甲比乙小
( )
% % 1%pp p⇔ = ⇔ = ×−
乙−甲甲 乙
乙
；
甲是乙的
%%pp⇔=⋅甲 乙
.
⑤ 平均增长率：即增长率相同的意思，构成等比数列。
5．
()
= − = ×= − ×利润 销售收入 总成本 单件利润 销量 售价 进价 销量
；
100%= ×
利润
利润率 成本
；
6．
100%= ×
溶质量
溶液浓度 溶液总量
.
二、比例的基本性质
（1）
::ab cd=
ad bc⇔=
（内项积等于外项积）
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（
:: : : : : ::
2）
ab cd ba dc bd ac db ca=⇔=⇔=⇔=
.
三、比例的基本定理
ac ab
1．更比定理： bd cd
=⇔=
ac bd
2．反比定理： bd ac
=⇔=
；
；
a c ab cd
3．合比定理：
bd b d
++
=⇔=
a c ab cd
4．分比定理：
bd b d
−−
=⇔=
；
；
a c a mc
5．等比定理：
b d b md
±
== ±
a c e ace
；
b d f bd f
++
=== ++
.
其中：利用等比定理的前提是：分子之和与分母之和均不可为零.
第三节 平均值
1
1
n
i
aa a
i=
一、算术平均值：给定
n
个数
a
1
，
a
2
，…，
an
，称：
a=n
a=n
∑
1
+
2
+⋅⋅⋅+
n
为
这
n
个数的算术平均值。
二、几何平均值：如果
n
个正数
a
1
，
a
2
，…，
an
，称：
12
n
gn
a aa a= ⋅⋅⋅ 为这
n
个数的
几何平均值。
三、均值不等式（算术平均值不小于几何平均值）
当两个正数
a
，
b
，则
2
ab+≥ab
（当且仅当
ab=
时等号成立）。
【注】管理类联考中使用均值不等式的“题眼”：
1．“和”与“积”的形式求最值；
2．“
x+1
x
”的最值（平均成本最低型）；
3．很多“1”时的最值（“1”的等价转换）。
4．均值不等式运用的 3个要素：一正、二定、三相等。
常用变形：①
a
2
+b
2
≥2ab
； ②
2
2
ab+
≥ab
；
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③
( )
120xx
x
+≥ >
； ④
( )
20
ab ab
ba
+ ≥ ⋅>
.
大纲 2014 年新增内容：数据描述
一、平均数、众数、中位数
给定
n
个数
1
a
，
2
a
，…，
n
a
，称
12
1
1
nn
i
i
aa a
aa
nn
=
+ +⋅⋅⋅+
= =
∑
为这
n
个数的算术
平均值，且在这
n
个数中出现次数最多的数称为众数；
这
n
个数按从小到大的顺序依次排列，当
n
为奇数时，则处在最中间的那个数是这
n
个数的中位数；当
n
为偶数时，则处在最中间的两个数的平均数为这
n
个数的中位数。
二、方差、标准差
( )
2
2
1
1n
i
i
s aa
n=
= −
∑
()()( )
22 2
12
1n
aa aa aa
n
= − + − +⋅⋅⋅+ −
，
称为这组数据的方差，并称
( )
2
2
1
1
n
i
i
s s aa
n
=
= = −
∑
为这组数据的标准差。
当题中数字小且数量少时，则可利用如下公式化简方差的计算：
( )
2 222 2 2
123
1
n
s a a a a na
n
= + + +⋅⋅⋅+ − ⋅
.
【注】方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均
数的大小）。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
反之，方差越小，说明数据的波动越小，越稳定。
第四节 绝对值
一、绝对值的概念
实数
a
的绝对值定义为： ,( 0)
|| ,( 0)
aa
aaa
≥
=−<
【注】绝对值的几何意义：表示距离。
其中：
xa=
表示与原点的距离为
a
，
则
xa= ±
；
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x−b=a表示与
b
点的距离为
a
，
则
x=b±a
。
二、绝对值方程题型解法汇总：原型为 x=a⇒x=a或
xa
= −
（
a
为正数，下同）。
1．
( )
()
fx a fx a=⇒=
或
f
(
x
)
= −a
；
2．
( )
( ) ( )
fx gx fx gx=⇒=
( )
或
f
(
x
)
= −g
(
x
)
，注意
gx
( )
的非负性；
3．
( )
fx gx a
()
±=
，解题应先对
gx
( )
分正负号讨论去绝对值求解。
4．
() ( )
fx gx a±=
，则分区间段讨论
fx
( )
与
gx
( )
正负号，去绝对值符号求解。
【注】若在问题求解题型中，则注意选项代入法的运用。
三、绝对值不等式题型解法汇总：
原型为
xa xa>⇒>
或
xa<−
（求并集）；
xa
>−
x<a⇒
xa
<
（求交集）
1．
( ) ( )
fx a fx a>⇒ >
或
f
(
x
)
<−a
（求并集）；
( )
()
(
fx a fx a
>−
fx a
<⇒
)
<
（求交
集 ）；
2．
( )
( ) ( )
fx gx fx gx
>⇒>
()
或
f
(
x
)
<−
g
(
x
)
（求并集）；
( )
() ( )
( ( )
fx gx fx gx
>−
fx gx
<⇒
()
)
<
（求交集）；
3．
( ) ( )
( )
22
fx gx f x g x>⇒ >
( )
，即平方即可，注意平方差公式的运用；
4．
( ) ( )
fx gx a±>
，解法为分区间段讨论
fx
( )
与
gx
( )
正负号，去绝对值符号求解，
最后求所求集合的并集。
【注】在问题求解类型中，注意选项的取特殊值排除法的运用。在某些题目中数形结合
的解法，更具直观性。
四、绝对值的性质
（1）对称性：
aa= −
； （2）等价性：
2
aa=
，
a
2=a
2
；
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（3）自比性：
aaa− ≤≤
，进而推理可得：
1
1
aa
aa
= = −
0
0
a
a
>
<
；
（4）非负性：
0x≥
，
0xx
+≥
，
0xx
−≥
，
其他具有非负性的因素：平方数（或偶次乘方）；开偶次根号。
（5）同号异号性质：
xy x y+=+
⇔
0xy ≥
；
xy x y−=+
⇔
0xy ≤
；
0x y x y xy
−≤+⇔ ≥
；
xy xy+≤−
⇔
0xy ≤
.
（6）三角不等式：
ababab
− ≤±≤ +
其中：考察一：构造绝对值的不等式（联考中可能性不大）；
考察二：这个不等式较多的是考察右边的不等关系以及等号关系成立的
条件，进而转化为性质（5）同号异号性质的考察。
五、绝对值的几何意义中两个特殊的图像：
（1）“平底锅”型：
xa xb ab−+−≥−
，即只有最小值，且在零点之间取得最小
值，从图像上看是“中间平，两端往上走”；
（2）“Z”型： ab xa xb ab−−≤−−−≤−，即既有最大值也有最小值，分别在
零点的两端取得，从图像上看是“两端平，中间斜”。
【注】解题时注意利用图像分析问题。
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第二章 整式与分式
第一节 整式运算
一、常用的基本公式
1．平方差：
a
2
−b
2
=(a+b)(a−b)
；
2．完全平方和：
(
a+
b)
2
=
a
2
+
2
ab+
b
2
；
完全平方差：
(a−b)
2
=a
2
−2ab+b
2
；
2
2
11
2
2
x
±
x
=
x
±+
x
特别的：
3．立方和：
a b a b a ab b
3
+
3
=(+)( −+)
2 2
；
立方差：
a b aba abb
3
−
3
=
(−
)( ++
)
2 2
；
( ) ( )(
4．十字相乘法：
x pqxpq xpxq
2
++ + =+ +
)
；
(
2 222
5．3项和的平方：
(a b c)a b c 2ab ac bc++ = + + + + +
)
；
6．二项式定理： ()ab
kn
+n的第
k+1
项展开式的通项为：
T Ca b
−
+1
=
k nk k
.
以上展开式共
n+1
项，其中:
Cn
k
称为二项式系数.
n n n n k nk k
nn n
即：
(a b)a Ca b Ca b Ca b b
1−
1 2 −
22 −
+ = + + ++ ++
n
，
特别的：和的立方：
(
a+b)
3
=a
3
+
3
a
2
b+
3
ab
2
+b
3
；
差的立方：
(ab)a3ab3abb−
3
=
3
−
2
+
2
−
3
.
1 2 32
7．
n
次方的差：
a b aba a b a b b( )(
n−n−n− −n
−
n
= − + + +⋅⋅⋅+
n1
)
.
1)
特别的：
x xxx x1 ( 1)(
n−1n−2n
− = − + +⋅⋅⋅+ +
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第二节 整式除法
一、整式除法的定义
设
()fx
为
n
次多项式，
()
gx
为
m
次多项式且
mn≤
，将
()fx
被
()gx
除的结果表示为：
() ()() ()f x hxgx rx= +
，
其中：
()hx
是
nm−
次多项式，称
()hx
为
()fx
被
()gx
除的商式，
()rx
是方次低于
m
次的多项式，称
()rx
为
()fx
被
()gx
除的余式。
特例，若
()fx
被
()
gx
除的余式
()rx
等于 0，就称
()fx
能被
()gx
整除。
二、整除定理
1．若
()fx
能被
( )
xa
−
整除
( ) ( ) ( ) ( )
0fx x a gx fa⇔ =−⋅ ⇔ =
；
2．若
()fx
能被
( )( )
xaxb−−
整除
( ) ( )( ) ( ) ( )
()
0
0
fa
fx x a x b gx fb
=
⇔ =− −⋅ ⇔
=
.
三、带余除法定理
1．以
xa−
去除多项式
()fx
，其余式
()
rx
必为一个常数
r
，且余数必为
( )
r fa=
.
2．若
()fx
被
( )( )
xaxb
−−
存在余式，则其余式至多为一个一次式，解题时可待定
其余式为
mx n+
，则可得
()
( )
f a ma n
f b mb n
= +
= +
.
第三节 分式及其运算
一、分式的概念：用A,B表示两个整式，
AB÷
就可以表示成
A
B
的形式，如果 B中含有
字母，式子
A
B
就叫做分式，其中 A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
【注】注意分母 B不能为 0，且后面分式的各种变形、计算都是在分式有意义（
0
B≠
）
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的前提下进行的。
二、分式的基本性质（设以下各式中分母均不为 0）
（1）
ka a
kb b
=
（2）
ac ac
bb b
±
±=
；
bd
c
b d
a ad ±cb
=± （通分）
（
bd
（约分）
ac
d
c
3）
b
a=⋅
（
a c a d ad
4）
b d b c bc
÷=×=
（
k
k
k
b
a
=
a
b
5）
三、分式章节的出题方向：
（1）求解分式的值：通常为多变量题型，则用代入法求解。若求分式的值为定值时，则
分子与分母中变量形式相同，可以被约分；
（2）分式有意义：分式中的分母不可为零；
（3）分式的增根：使得分母为零的根；
（4）分式无解：情况一：分子不可能有解，即分子变量前系数为 0；
情况二：求出的根为增根。
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第三章 方程与不等式
第一节 方程
一、常考代数方程及其求解
1．一元一次方程：形如
0ax b+=
( )
0a≠
；其根为
b
xa
= −
.
2．二元一次方程组：形如
11 1
22 2
ax by c
ax by c
+=
+=
（其中 1
a与
1
b
，
2
a
与2
b分别不同时为零），
① 如果
11
22
ab
ab
≠
，则该方程组有唯一解；
② 如果
111
222
abc
abc
= =
，则该方程组有无数组解；
③ 如果
111
222
abc
abc
= ≠
，则该方程组无解。
【注】一元二次方程组可看作为两条直线的位置关系求解，上述三种情况分别对应两条
直线的相交、重合、平行。
3．一元二次方程：
20
ax bx c+ +=
（
0a≠
）.
（1）根判别式：
24
b ac∆= −
.
方程的解依
∆
值的正负号不同分为如下三种情况：
① 当
0∆>
时，方程有两个不相等的实根，求根公式为：
2
1,2
4
2
b b ac
xa
−± −
=
；
② 当
0∆=
时，方程有两个相等的实根
12
2
b
xx a
= = −
；
③ 当
0∆<
时，此时方程没有实根。
【注】一元二次方程根的求解方法：先考虑十字分解，再考虑求根公式。
（2）根与系数关系——韦达定理
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① 设 x1，
x2
是方程
ax bx c
2+ +=
0
( 0)
b
c
a≠
的两个根
⇔
x
1
+
x
2
=−
x
1
⋅
x
2
=
a
a
.
② 韦达定理的对称轮换式变形：
( )
1 2 1 2 12
22
（1）
x x x x xx
2
+
2
=+ −
（2）
( )
2
1 2 1 2 12
|| 4x x x x xx−= + −
（方程两根之差的绝对值）
（
1 2 12
11x
1
x
2
3）
x x xx
+
+=
（
( )( )
1 2 1212
4）
x x xxxx
2
−
2
=+ −
（
)
)
2
1 2 12
2
12
2
(
x x xx
5）x
1
x
1
(
x
1
x
2
+−
2
+
2
=
（
()
( )
2 2
1 2 1 2 1 12 2
6）
x x x x x xx x∓
3
±
3
=± +
（
( )
44 22 22
12 12 12
7）xx xx xx
2−2
+= +
第二节 函数
一、常考函数及其图像性质
1．一次函数：
y kx b= +
其图像为一条直线，其中 k为其斜率。
k>0
时，在定义域内为单调递增函数，图像必过第一、三象限；
k<0
时，在定义域内为单调递减函数，图像必过第二、四象限。
k
x
2．反比例函数： y=
k>0
时，在定义域内为单调递减函数，图像过第一、三象限；
k<0
时，在定义域内为单调递增函数，图像过第二、四象限。
2
3．一元二次函数：
f x ax bx c
( )
= ++
（
a≠0
）.
一元二次函数图像的三要素：
① 图像开口方向：
由二次项系数
a
的正负号决定：
a>0
时，图像开口向上；
a<0
时，图像开口向下；
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② 图像的对称轴：
2
b
xa
= −
对称轴
，且函数在对称轴位置取得最值
2
44
ac b
a
−，
函数的顶点式为：
22
4
24
b ac b
y ax aa
−
=++
；
函数的顶点坐标为：
2
4
,
24
b ac b
aa
−
−
，
若
0
a>
，函数有最小值
2
44
ac b
a
−；若
0
a<
，函数有最大值
2
44
ac b
a
−.
③ 函数图像的纵截距：即函数图像与
y
轴交于
( )
0,c点。
④ 常见表达式：
( )
1
abc f++= ；
( )
1abc f−+= −；
( )
42 2a bc f+ +=
.
第三节 不等式
一、不等式的基本性质
1．反身性：
ab ba>⇔<
；
2．传递性：
,
a bb c a c> >⇒>
；
3．倒数性：
11
,0a b ab ab
> >⇒ <
；
4．可加性：
ab acbc>⇒+>+
；
,a bc d a c b d> > ⇒+>+
；
( )
,a bc d c d a c b d> < − >− ⇒ − > −
；
5．可乘性：
,0a b c ac bc> >⇒ >
；
,0a b c ac bc
> <⇒ <
（注意
0c=
！）
0, 0a b c d ac bd>> > >⇒ >
11 1 1
0, 0 0
ab cd a b
dc d c
>> >> >> ⇒⋅>⋅
；
6．乘方、开方性质：
( )
0 ,0
nn
nn
ab nN a b a b>> ∈ ⇔ > > >.
二、一元一次不等式：
0kb
kx b x k
>
> → >
；
0k
b
kx b x k
<
> → <
.
三、一元二次不等式：
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一般形式为
ax bx c
2
+ +>0
（
a>0
），其具体解集情况见下表。
24∆=b−ac
∆>0∆=0
∆<0
2
f x ax bx c
( )
= ++
a>0
f
(
x
)
=0
的根
b2a
−± ∆
x
1、2
=
x1
、
2= − 2
b
a
方程无实根
f
(
x
)
>0
的解集 xx<1或
xx>2
x≠−2
b
a
x
为一切实数
f
(
x
)
<0
的解集 12
x xx<< 空集 空集
【注】解题时注意结合抛物线图像的分析。
)( )()
四、一元高次不等式：形如
(
x
−ax
−bx
−c
⋅⋅⋅ > 0
，
穿线法：确保 x前系数均为正数时，在数轴上依次标注各式子的零点，从右上方画线，依
次穿过每个零点，解集大于取上部分图像，小于取下部分图像。
总结为“自上而下，从右到左，奇次根一穿而过，偶次根一穿不过”。
五、分式不等式类型
( ) ( )
00
f
(
x
)
fx gx
g
(
x
)
>⇔ ⋅ >
；
(
(
)
)
( ) ( )
00
fx fx gx
gx<⇔ ⋅ <
.
【注】① 若不等号改为“
≤
”或“
≥
”，则只能是分子等于 0、除去分母为 0情况；
②不等号右边不为零时，移项通分，再求解，在解题时注意判断分母的正负号，
则可以直接乘分母求解。
六、根式不等式类型
题型一：
( ) ( )
fx gx gx
( )
≥0
fx
> ⇒≥
fx gx
( )
>
( )
( )
0；
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题型二：
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2
0
0
gx
fx gx fx
fx gx
≥
≤⇒ ≥
≤
；
题型三：
( ) ( )
fx gx≥
()
( ) ( )
2
0fx
fx gx
≥
⇒≥
或
( )
( )
0
0
fx
gx
≥
≤
.
七、绝对值不等式类型
题型一：
()( ) ( )
fx a fx a fx a
≥ ⇔ ≥ ≤−或
，最后求并集；
( ) ( )
fx a a fx a≤ ⇔− ≤ ≤
，最后求交集；
题型二：
( ) ( )( ) ( )
22
fx gx fx gx
≥⇔ ≥
（注意平方差公式的运用）；
题型三：
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
fx gx
fx gx fx gx
≥−
≤⇒
≤
（求交集）
( ) ( ) ( ) ( )
fx gx fx gx≥ ⇒ ≤−
或
( ) ( )
fx gx≤
（求并集）
【注】此种题型若用画图求解，非常直观。
附：指数函数与对数函数
一、指数函数
① 指数函数：
一般地，函数 y=ax（a>0 且a≠1）叫做指数函数，其中 x是自变量，函数的定义域
是R。
② 指数函数的图象与性质：
a＞1 0＜a＜1
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像
图
（1）定义域：R图
像
性
质
0，+∞）（2）值域：（
0，1）， 即 x=0 时，y=1
（4）在 R上是减函数（4）在 R上是增函数
（3）过点（
（
= +
（
（
=n
MM
a
n
a
（
=n
（
aa
lgM
M
b
b
0＜a＜1
a>1
其中 x是自变量，函数的定义域是（
③ 对数函数的图象与性质：
0，+∞ ）。
（a>0，a≠1）叫做对数函数，
=loga
函数 yx
② 对数函数：
a
a=
a=
，
log 1
9）
log 1 0
（
8）
logab=log
1
ba
7）换底公式：
log
a
M==
ll
o
o
g
g lg
n
MM
aa
6）
log log
1
5）
log log
1
n=Mn M
aa
4）
log log
（
=M−N
N
M
a aa
3）
log ( ) log log
MN M N
a aa
2）
log ( ) log log
（
=log
a
N
，更常用
N=e
ln N
（1）对数恒等式：
y
=
log
a
N
⇔
N
=
a
y
；
Na
，
a>0
且
a≠1
）
=loga
① 对数及其运算（
yN
二、对数函数
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图
像
图
像
性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过点（1，0）， 即 x＝1时，y＝0
(4)在（0，+∞）上是增函数 （4）在（0，+∞）上是减函数
第四章 数列
一、数列的基本概念
1．定义：依一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫这个数列的项。
数列的一般表达形式为 123 1
,,, , ,
nn
aaa aa
+
⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 或简记为
{ }
n
a
.
其中：
n
a
叫做数列
{ }
n
a
的通项，下标
n
为自然数叫做数列的项数。
如果通项
n
a
与项数
n
之间的函数关系，可以用一个关于
n
的关系式
( )
fn
表示，则称
( )
n
a fn=
为数列
{ }
n
a
的通项公式。
2．数列的前
n
项和
n
S
即： 12nn
S aa a= + +⋅⋅⋅+ ，显然有：
1
1
nnn
a
aSS
−
=−
1
2
n
n
=
≥
二、等差、等比数列性质对比记忆
对比方面 等差数列 等比数列
定义 1
nn
aa d
−
−=
1
n
n
aq
a−
=
( 0)q≠
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通项公式
1
( 1)a
n
=a+n−d
1n−1
a
n
=aq
前n项和公式
2
aa
nn
1+
1．
Sn= ⋅
2d
2．
S na n
⋅
(n
−
1)
n=+⋅⋅1
1
22
dd
na n
2+(−)=
1
1
n
a aq
−⋅
1．
S
n
=−q
( 1)q≠
1
(1
aq
q
−
2．
S
n
=1−
n
）
公差/公比性质
nm
aa
nm
−
d=−
或
a a n md
n
=
m
+(−)
a
a
q
nm
−=n
或
m
a
nm
−
=aq
nm
项数性质
若项数
m
，
n
，
p
，
q
满足
m
+
n
=
p
+
q
，则
a
mn pq
+a=a+a
.
特例：
nn n
aaa aaa1 2 13 2
−−
+ = + = + =⋅⋅⋅
若项数
m
，
n
，
p
，
q
满足
m+n=p+q
，则
amn pq
⋅=⋅
a aa
.
特例：
nn n
a aa aa
a
1 2 13 2−−
⋅=⋅ =⋅ =⋅
中项性质
如果
abc,,
三个数成等差数列，则
2bac= +
，称
b
为
ac与
的等差
中项：
11
aaaa
1．2ar r r rs rs−+ −+
=+=+
2．如果等差数列项数
2r=m+n
，
r mn
则
2aaa= +
如果
abc,,
三个非零数成等
比数列，则 b2=ac ，称
b
为
a与c
的等比中项：
11
1．
a
r r r rs rs
2
=a
−
a
+
=a
−
a
+
2．如果等比数列项数
2rmn
r mn
= +
，则
a aa
2= ⋅
部分和性质
常用：
11
( )( )
22
na a na a
+
n r+
n
−
r
+
Sn==
当项数满足：
a+b,c+d,e+f,⋅⋅⋅等差数列，
a,a a,a a,
则
a
a
+
bc
+
de
+
f
⋅⋅⋅
仍成等差数列
当项数满足：
,,,a+bc+de+f⋅⋅⋅
成等
差数列，则
a aa aaa
ab cd e f
、 、 、⋅⋅⋅
仍成
等比数列
阶段和性质
a1
+a
2
+⋅⋅⋅+a
n
，
a1
+a
2
+⋅⋅⋅+a
n
，
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12 2nn n
aa
a
++
+ +⋅⋅⋅+
，
21 22 3nn n
aa
a
++
+ +⋅⋅⋅+
，
⋅⋅⋅
即
2 32
,, ,
nn nn n
S SSSS− − ⋅⋅⋅也是等差
数列（公差为
2d
n
）
12 2nn n
aaa++
+ +⋅⋅⋅+ ，
21 22 3nn n
aa
a
++
+ +⋅⋅⋅+
，
⋅⋅⋅
即2 32
,, ,
nn nn n
S SS
SS− − ⋅⋅⋅
也是等比数列（公比为 n
q）
补充性质
1．
,,abc
即成等差又成等比，则
0abc= = ≠
；
2． 已知数列
{ }
n
a
为等差数列，则数列
{ }
n
a
a
是等比数列，且其首
项为 1
a
a，公比为
d
a
；
3．已知数列
{ }
n
a
为各项为正的等比数列，则数列
{ }
log
an
a
为等差
数列，且其首项为
1
log
a
a
，公差为
logaq
.
第五章 数据分析
第一节 排列与组合
一、基本原理
1．加法原理（分类计数原理）
如果完成一件事有
n
类办法，只要选择其中的任何一种方法，就可以完成这件事。若
在第一类办法中有 1
m种不同的方法，第二类办法中有 2
m种不同的方法，…，在第
n
类办
法中有 n
m种不同的方法，那么完成这件事共有 12 n
Nmm m= + +⋅⋅⋅+ 种不同的方法。
2．乘法原理（分步计数原理）
如果完成一件事，需要依次连续地分为
n
个步骤，若完成第一个步骤有 1
m种不同的
方法，完成第二个步骤有
2
m
种不同的方法，…，完成第 n步有
n
m
种不同的方法，那么
完成这件事共有
12 n
Nmm m= × ×⋅⋅⋅×
种不同的方法。
二、排列与排列数公式
1．排列（无重复排列）的定义
若从
n
个不同的元素中，任取
m
（
mn≤
）个元素，按照一定的顺序排成的一列，
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叫做从
n
个不同元素中任取
m
个元素的一个排列。
2．排列数
若从
n
个不同的元素中取出
m
个元素（
mn≤
）的所有排列的种数，称为从
n
个不
=
时，称作
n
个元素的全排列，
同元素中取出
m
个不同元素的排列数，记作
Pnm
。当
mn
也叫
n
的阶乘，即
Pnn
，通常用符号
n!
表示。
3．排列数公式
( 1)( 2) ( 1)
( )!
n!nn n n m
nm
P
nm
= = − − ⋅⋅⋅ − +
−
4．全排列数
( ) ( )
! 1 2 21
n
P nnn n
n
= = × − × − ×⋅⋅⋅× ×
5．允许重复的排列
设每次从 n个不同的元素中任取 1个，取后放回，共取
m
次，则这
m
个取出的元素
排成一行的不同排法有
nm
种。
三、组合与组合数公式
1．组合的定义
从
n
个不同的元素中，任意取出
m
()mn≤个元素并成的一组，叫做从
n
个不同的元
素中任取
m
个元素的一个组合。
2．组合数
从
n
个不同的元素中，取 出
m
()mn≤
个元素的所有组合的总数，称为从
n
个不同元
素中，取出
m
个元素的组合数，记作
C
n
m
。
3．组合数公式
( 1)( 2) ( 1) !
!
m
n
Pnn n n m n
m m!m!(n m)!
− − ⋅⋅⋅ − +
Cn
m== = −
【注】① 两个规定： Cn
0=1，Cn
n=1
m nm
nn
②组合数常用性质：
CC=
mm m
nn n
−
，
CC C
−1
+=
+1
.
四、排列组合解题原则与题型汇总：
（一）排列组合题型解题基本原则：
（1）先分类，后分步
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（2）先组合，后排列
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（3）先特殊，后一般 （4）先整体，后个体
（二）排列组合特殊题型解法汇总
【题型一】解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略
【解题提示】对于带有特殊元素、位置的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，
再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想。
【题型二】单排座位的相邻问题——采用“捆绑”策略
【解题提示】对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来视作一
个整体元素，然后再考虑其与其他元素的排列。
【题型三】单排座位的不相邻问题——采用“插空”策略
【解题提示】对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后结合题
意，再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。
【题型四】分组、分配的题型——先分组后分配
【解题提示】有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，分别分配到不同的位置上，
对于这类问题的常用解法，是先将元素逐一分组，然后再进行全排列。但在分组时要注
意每组中元素个数相同时，即出现了“均分”，则解题时务必除以“均分组数”的阶乘！
【题型五】指标、名额分配问题——隔板法
【解题提示】指标之间没有差别，分配成员有差异，即把不同的指标分给不同的成员，
只需将指标隔开即可。记忆公式如下：
将
n
个相同元素分给
m
个个体，若每个个体不空，则分配方法有 1
1
m
n
C
−
−种；若允许个体为
空，则有分配方法有
11
m
nm
C−
+−
种。
【题型六】换位问题
【解题提示】座位轮换和对调两种情况讨论。
其中座位轮换结论：当有 N个人进行座位轮换时，所有可能的种数为
( )
1!N−
种。
统一公式为：
( )
2
1111 1
!1
2! 3! 4! 5! !
n
nn
−
− + − +⋅⋅⋅+ −
.
【题型七】正难则反、等价转化策略
【解题提示】对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反
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面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理。即采用先求总的排列数（或组合数），
减去不符合要求的排列数（或组合数），从而使问题获得解决的方法。题目中通常会出现
“至少”、“至多”等词语。
【题型八】其他特征类题型
【解题提示】抓住题目条件的特征（数字特征、几何特征、骰子道具等），经行枚举，综
合求解。
第二节 概率初步
一、概率事件基本概念及关系
1．必然事件、不可能事件与随机事件
必然事件：每次试验必发生的事件，记为： Ω。
不可能事件：每次试验中都不可能发生的事情，记为：
∅
。
随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的事件，常用
A
，
B
，
C
，…表示。
2．事件的图形表示：利用集合中的
Venn
图来表示
①将必然事件
Ω
画为一个矩形。
②将一般的随机事件
A
画为矩形 Ω内的一块平面区域，
当随机点落入区域
A
时表示事件
A
发生，当随机点并未落入
区域
A
时表示事件
A
不发生。
③将不可能事件
∅
画为空区域，随机点不会落入空区域。
④事件的包含：若事件
A
的发生必然导致事件
B
发生，
则称事件
B
包含事件
A
，记为
AB
⊂
或
BA
⊃
。
3．随机事件的运算及图形表示
【事件的运算】设
A
与
B
是两个随机事件
①事件的并：
AB+
或记
AB∪
.
A+B=
{
A
与
B
中至少有一个发生}，
用
Venn
图表示为：
A
图形与
B
图形的并，
所以
A
加
B
又称
A
与
B
的并。
②事件的减法：
A−B
：
定义为
A−B=
{
A
发生但
B
不发生}，
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用
Venn
图表示为：在 A图形中挖去它与 B图形的
公共部分。
③ 事件的交：
AB
或
AB∩
定义为
AB =
{
A
发生
B
也发生}
用
Venn
图表示为： A图形与 B图形的相交部分，
所以
AB
也称
A
与
B
的交。
④ 事件
A
的逆事件或对立事件
A
定义为
A=
{
A
不发生}，用
Venn
图表示为：在
Ω
的矩形中挖
去A图形。
4．事件间的相互关系：
设
,AB
为两个随机事件
① 若事件
A
与事件
B
不能同时发生，即
AB = ∅
，则称事件
A
与事件
B
互斥或互
不相容。从
Venn
图上看，图形 A与图形 B分离。
② 若事件
A
与事件
B
满足
AB+=Ω
，则称事件
A
与事件
B
互补。从
Venn
图上看，
图形 A与图形 B的并为必然事件
Ω
。
③ 若事件
A
与事件
B
既互斥又互补，就称事件
A
与
B
互逆或对立，即
A
不发生时
必发生 B，B不发生时 A必发生。
,AB
互逆
⇔
BA=
⇔
AB=
.
二、概率的计算
1．常用的概率运算性质
加法公式：
设
A
与
B
是两个随机事件，则
( ) () () ( )PA B PA PB PA B
=+−∪∩
。
特别，当
A
与
B
互不相容即互斥时，成立
( ) () ()PA B PA PB+= +
，即 ( ) () ()PA B PA PB= +∪.
逆事件概率公式：
记
A
的逆事件即对立事件为
A
，则
() 1 ()PA PA= −
。
特别，因为由德摩根定律：
A B AB+=
，
AB A B= +
，所以有
( )1 ( )PA B PAB+=−
，
( )1 ( )PAB PA B=−+
.
2．三种常见事件的概率计算
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① 等可能事件的概率（古典概率）
【定义】事件满足两个特征：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同；
我们称具有这两个特征的概率称为古典概率模型，简称古典概型。
例如：掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率。
取样本空间：
{
甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反
}
这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型，且所有基本事件个数为
n=4
，出现
两个正面的次数为
m=1
，则该事件发生的概率为
p=1
4
.
对于古典概型中任一事件
A
的概率
P
(
A
)
定义为：
mA
n
P(A)== 包含的基本事件个数
基本事件的总数
.
② 相互独立事件的概率：
【定义】事件
A
是否发生对事件
B
发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
( ) ()()
数学中：随机事件
A
和
B
满足概率关系
PAB PAPB=
，就称事件
A
与
B
相互独立。
【性质】若
A
与
B
是相互独立事件，则
A
与
B
，
A
与
B
，
A
与
B
也相互独立。
【注】互斥事件与相互独立事件是有区别的：
两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，
二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发
生。
③N次独立重复试验的二项概率公式：
一般的，在相同条件下重复做的
N
次试验称为 N次独立重复试验。
【特点】
（1）独立重复试验，是在相同条件下各次之间相互独立地进行的一种试验；
（2）每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果。
每次试验“成功”的概率都
p
，“失败”的概率为
1−p
。
【二项概率公式】在成功率为
p
（
01p<<
）的
n
次独立重复试验中恰好成功
m
次的概
n
( ) n
(1 )
率为
Pm Cp p−
=m m −nm
（
mn= ⋅⋅⋅0,1,2, ,
）.
注：对照引出例，公式中
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m
n
C
——对应于：
n
次中的
m
次成功有多少种可能性；
(1 )
m nm
pp
−
−——对应于：某
m
次成功而其余
nm−
次失败的概率。
特别的：
n
次全成功的概率为：
()
n
Pn p=次全成功
；
n
次全失败的概率为：
( ) (1 )n
Pn p= −次全失败
.
注意考试中：至少成功一次的概率为：
( )
11
n
p−−
这一反面的考察。
第六章 几何
第一节 平面几何
一、线与角
【角的平分线性质】角平分线上的一点，到角两边的距离相等。
【线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等。
【平行线中角的定义】对顶角、同位角、内错角与同旁内角
如图所示，一直线与两条平行直线相交所形成的角中：
1．
1∠
与
2∠
互为对顶角，且 12∠=∠ （对顶角相等）
2．
1∠
与
4∠
互为同位角，且
14∠=∠
（两直线平行内错角相等）
3．
2
∠
与
4
∠
互为内错角，且
24
∠=∠
（两直线平行内错角相等）
4．
3∠
与
4
∠
互为同旁内角，且
3 4 180∠ +∠ =
（两直线平行同旁内角互补）
【平行线比例性质】直线被一组平行线截得的线段成比例
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二、三角形
【性质】
如右图，任意三角形
ABC
中，
1． 三角形内角和等于
180
，即：
∠1+∠2+∠3=180
。
2． 三角形一个外角等于不相邻两内角之和，如
∠4=∠2+∠3
。
3． 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，即
abc+>
；任意两边之差小于第三
边，即
a
−
b
<
c
。
4． 三角形中位线：三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边边长的一半。
5．三角形面积公式：
( )( )( )
= −−−
S=
1
2ah p p a p b p c
，其中：
p=1
2
(
a
+
b
+
c
)
。
其中：
h
是
a
边上的高， p为三角形的半周长。
6．三角形四心：
内心：三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）
外心：三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
重心：三条中线的交点
垂心：三条高线的交点
【三角形分类】
1．直角三角形：有一个内角为直角的三角形。
2 22
【勾股定理】 在直角三角形
ABC
中，角
∠C
为直角，则有
cab= +
。
常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15 等。
【勾股定理推论】设三角形三边
abc,,
中最大的为
c
，则
2 22
直角三角形
⇔cab= +
2 22
；锐角三角形 ⇔
cab<+
2 22
；钝角三角形 ⇔
cab>+
。
三种情况下，最大边
c
对应的三角形的最大内角分别为直角、锐角和钝角。
【射影定理】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
边
AB
如图，直角三角形
ABC
中，角
∠C
为直角，斜
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上的高
CD
分斜边为 AD 和
BD
。则有：
2
CD AD BD= ×
；
2
AC AD AB
= ×
；
2
BC BD BA= ×
.
2．等腰直角三角形：
两直角边长度相等的直角三角形（有一内角为
45
或
4
π
的直角三角形）
（1）边长比关系：
1:1: 2
。
（2）面积公式： 22
11
24
Sa c= = ，其中
a
为直角边，
c
为斜边。
3．角为
30
的直角三角形：
其中
30
角所对的直角边边长为斜边边长的一半。则三边边长比关系为：1: 3:2.
4．等腰三角形：
有两个边的长度相等的三角形（或有两个内角相等的三角形）。底边四线合一。
5．等边三角形（正三角形）：
三角形三个边长度都相等的三角形。面积公式： 2
3
4
Sa=，其中
a
为边长。
【两三角形全等、相似】
1．两个三角形全等：
ABC∆
≌
'''ABC∆
，其含义为两三角形的大小与形状完全一致。
【性质】（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（2）判定两三角形全等的充分条件：
① 两三角形有 2条边及其夹角对应相等；
② 两三角形有 2只角及其夹边对应相等；
③ 两三角形的三条边对应相等。
2．两三角形相似：
ABC∆
∽
'''ABC∆
，其含义是两三角形的图形是放大、缩小关系。
【性质】（1）以下都是相似三角形的性质
① 两相似三角形对应边长成比例（称为相似比），对应角相等。
② 两相似三角形的对应线段的比等于相似比
③ 两相似三角形的周长比等于相似比
④ 两相似三角形的面积比等于相似比的平方
（2）以下都是两三角形相似的充分条件
① 两三角形有一个内角对应相等，其两夹边对应成比例；
② 两三角形有 2组内角对应相等；
③ 两三角形的 3条边对应成比例。
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三、四边形
1．平行四边形：两对对边分别平行的四边形称为平行四边形。
【性质】
（1）平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。
（2）一对对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（3）平行四边形的面积为底乘高：
S ah
ABCD =
特例：四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形，
即为菱形。
且菱形的对角线互相垂直、对角线平分顶角。
2．内角都是直角的四边形称为矩形（长方形）。
【性质】
（1）两对角线相等且互相平分，即
2222AC BD AE EC BE DE
== = = =
（2）矩形的面积等于长乘宽，即 S CD BC ab
ABCD =⋅=
.
（3）四边相等的矩形称正方形，
则对角线相互垂直还平分顶角，
S
ABCD
=a
2
.
3．只有一对对边平行的四边形称为梯形，平行的两边称为梯形的
上底与下底，梯形两腰中点的连线
MN
称为梯形的中位线。
【性质】
1()
2
（1）梯形的中位线：
MN a b= +
（2）梯形的面积等于中位线与高的乘积，即
1()
2
S a bh
ABCD
= +
【等腰梯形】两腰长度相等（或两底角相等）的梯形。
【性质】
（1）等腰梯形的两条腰相等；
（2）等腰梯形在同一底上的两个底角相等；
（3）等腰梯形的两条对角线相等；
（4）等腰梯形中，若两对角线相互垂直，则该梯形的高与中位线长度相等。
【直角梯形】有一个角是直角的梯形。
四、圆
【定义】与定点
A
距离等于
r
的平面上动点的轨迹称为以
A
为圆心、半径为 r的圆。
,
【性质】如图在圆
O
中，半径为
r
，线段
AB
1
AB
2
是过圆外点
A
的两条切线，则
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（1）半径为
r
的圆，面积等于 2
r
π
，圆周长等于
2r
π
；
（2）直径所对的圆周角是直角；
（3）弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半；
（4）等弧对等角（圆周角、圆心角）；
（5）圆的切线在切点处与半径垂直；
（6）从圆外一点所作圆的两根切线相等。即：
12
AB AB=
.
五、扇形
扇形的弧长：
2
360
lr r
θ
απ
= ⋅= ×
扇形的面积公式：
2
1
2 360
S lr r
θπ
= = ×
【注】
α
为扇形圆心角的弧度数，
θ
为圆心角的角度数。
弓形面积：
AOB
S SS
∆
= −
弓形ACB 扇
.
第二节 解析几何
一、平面直角坐标系基本概念
1．平面直角坐标系、象限及平面内点的坐标：
表示为：
( )
,Pxy
，其中：
x
为点的横坐标，
y
为点的纵坐标。
象限中的点坐标关系如右图所示。
2．两点间距离公式：
两点
(,)
AA
Ax y
及
(,)
BB
Bx y
间的距离
d
为
22
( )( )
AB AB
d xx yy= − +−
.
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特别地：点 P(x,y)
与坐标原点
O(0,0)
的
距离
d
为
d
=x
2
+y
2
.
3．中点公式：
设
A(x,y)
AA
，
B(x,y)
CC
BB
，则线段
AB
的中点
C(x,y)
1
2
C AB
的坐标为： x xx
= +
1
2
C AB
()
，
y yy= +()
.
二、平面直线
1．直线的倾斜角与斜率：
直线的倾斜角：直线与 x轴正方向的夹角，记为：
α
且
0 180
α
≤≤
。
直线的斜率：反映直线的倾斜程度，记为：
k=tan
α
，（
α
≠90
）。
常见直线倾斜角所对应的直线斜率值：
2．斜率计算公式：经过点
A(x,y)
AA
和
B(x,y)
BA
BA
yy
xx
tan
α
−
BB
的直线
L
的斜率为
k== −
.
3．直线方程的常见形式：
1． 水平直线与竖直直线：
过点
(x
0
,y
0
)
的水平直线为 yy=0；竖直线为 xx=0。
2． 直线的点斜式：
y y kx x−
0
=
(
−
0
)
，表示：斜率为
k
且过点
(,)x
0
y
0
的一条直线。
3． 直线的斜截式：
y kx b= +
，表示：斜率为
k
且与
y
轴相交于点
(0, )
b
的直线，
其中称
b
为直线的纵截距。
AA
BA BA
yy xx
4． 直线的两点式：
yy xx
−−
=
−−
，表示过点
A(x,y)
AA
与
B(x,y)
BB
的直线方程；
5． 直线的截距式：
xy
ab
+=1.
表示分别与
x
轴、
y
轴交于点
( ,0)
a
，
(0, )
b
的直线方程。
称
a
为直线的横截距，
b
为直线的纵截距。
6． 直线的一般方程：
Ax+By +C=0
（
A
与
B
不全为 0）
α
tan
α
0
0
30
1
3
45
1
60
3
120
3−
135
−1
150
1
3
−
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若
0A=
，方程则为水平直线
C
yB
= −
；
若
0B=
，方程则为竖直直线
C
xA
= −
；
若
0C=
，直线经过点
(0,0)
；
若
0B≠
，则方程可改写为
AC
yx
BB
=−−
，此时：
直线的斜率为
A
kB
= −
，纵截距为
C
yB
= −
，横截距为：
C
xA
= −
.
4．两直线的夹角公式：
设直线 1
L和直线
2
L
的斜率分别为 1
k和
2
k
，记
θ
是两直线夹出的锐角，
则12
12
tan 1
kk
kk
θ
−
=+.
【性质】两直线 1
L与
2
L
平行（含重合）的充要条件是
12
kk=
；
两直线 1
L与
2
L
互相垂直的充要条件是
12
1
kk = −
.
【推论】对于两直线
1
L
：111
0Ax By C+ +=
和
2
L
：222
0Ax By C+ +=
，
若
1
L
//
2
L
12 21 0
AB AB⇔−=
；若
12
LL
⊥
⇔
12 12 0AA BB
+=
.
5．点到直线的距离公式：
设点
( )
00
,xy是直线
:0L Ax By C+ +=
外的一个点，则它到直线的距离
d
的计算公式为
00
22
Ax By C
dAB
++
=+
；
如果
L
取
y kx b= +
形式，则
00
2
1
y kx b
dk
−−
=+
.
【推论】两平行直线 1
0Ax By C++=
与
2
0Ax By C++=
间距离为 12
22
CC
dAB
−
=+；
两平行直线 1
y kx b= + 与
2
y kx b= +
间距离为 12
2
1
bb
dk
−
=+.
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三、圆的方程
1．圆的标准方程
以
Oab
(
,
)
为圆心，
r
为半径的圆的方程为
(xa)(yb)r−
2
+−
2
=
2
.
形如
x
2
+y
2
+Dx +Ey +F=0
的方程，称为圆的一般方程。
（以上
DEF,,
必须使方程能化为圆的标准方程，
即：
22
22 4
D E DE F
2
+
2
−4
x+ +y+ =
，当且仅当：
4
4
DE F
2
+
2
−>0
）.
2．直线与圆的位置
方法：通过圆心到直线的距离 d与圆半径 r的关系判断
（1）相交
⇔d<r
；
（2）相切
⇔d=r
；
（3）想离
⇔
d
>
r
.
3．圆与圆的位置
方法：通过两圆心的距离
d
与两圆半径间的关系判断
（1） 包含
⇔
0<d<R−r
；
（2） 内切
⇔
d Rr= −
；
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（3） 相交
Rrd Rr⇔ −< < +
；
（4） 外切
⇔
d Rr= +
；
（5） 相离
⇔
d Rr>+
.
四、常用的对称关系：
设点坐标为
(,)xy
① 关于
X
轴对称的对称点的坐标为
(, )xy−
；
② 关于
Y
轴对称的对称点的坐标为
( ,)xy−
；
③ 关于原点对称的对称点坐标为
(,)xy−−
；
④ 关于点
(,)ab
对称的对称点坐标为
(2 ,2 )axby−−
；
⑤ 关于直线
yx=
对称的对称点坐标为
(,)
yx
；
⑥ 关于直线
yx= −
对称的对称点坐标为
(,)yx−−
；
⑦ 关于直线
yxm
= +
对称的对称点坐标为
(,)ymxm−+
；
⑧ 关于直线
y xm
=−+
对称的对称点坐标为
(,)m ym x−−
.
第三节 常见空间几何体
【长方体】体积
V abc=
，
全面积
( )
2F ab ac bc= ++
，
体对角线
222
d abc= ++
.
【圆柱体】圆柱体底面半径为
r
，高为
h
，
则：体积
2
v rh
π
=
；
侧面积
2S rh
π
=
；
全面积
2
22F rh r
ππ
= +
.
【球体】
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4
3
半径为 r的球体，体积
vr=
π
3
，表面积
s=4
π
r
2
.
【题型总结】立方体多面涂色问题
【解题提示】注意涂色小立方体的来源。若立方体加工成每个棱上有
n
个小立方体，则
1．三面涂色的小立方体，来源于顶点位置，则仅有 8个；
2．二面涂色的小立方体，来源于棱长，除去顶点的两个小立方体，则有
12 2×−
(
n
)
个；
3．一面涂色的小立方体，来源于每个面的中间位置，则有
62
(
n
)
×−
2
个；
4．没有涂色的小立方体，来源于剥了一层皮的中间立方体，则有
(
n−2
)
3
个。
第七章 应用题专题汇总
【题型一】比例型应用题
一、求百分比型：
个体数
1．
个体所占百分比 = ×
总体数 100%
⇒个体数=
总体数×
个体所占百分比
⇒=
个体数
总体数 个体所占百分比
。
甲−乙
2．
甲比乙大p%⇒p%= ×100% ⇒ = ×+
甲 乙
(
1 %
乙p
)
；
乙−甲
甲比乙小p%⇒p%= ×100% ⇒ = ×−
甲乙
(
1 %
乙p
)
。
二、变化率型：
变后量 −变前量
变化率 =变前量 ×100%
⇒变后量 =变前量×
(
1+变化率
)
(
(
)
)
1%
/%
1%
ap
ap
+
−
增长 上涨了p
即：原价为a→
⇒
现价为
减少/ p%
下降了 .
【注】1．若以同一比例“赢”和“亏”，则结果必为“亏”；
2．注意特值与统一比例方法的运用。
三、商家利润率型
利润 =销售收入 −总成本 =单件利润×销量 =
(
售价 −进价
)
×销量
；
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100%= ×
利润
利润率 成本
；
【注】1．数学中的利润是严格相对于成本的；
2．在解题中注意如下关系量的表格法运用：
进价/成本价 标价 售价 销量 利润
【题型二】溶液浓度、平均值类型应用题
=
溶液总量 容质量+溶剂量
；
=溶质量
溶液浓度溶液总量
。
【解题提示】注意“交叉法”的运用；当用数学方法求解时，注意把握溶质的来龙去脉，
结合浓度变化求解即可。
当遇到“用清水加满”题型时，结论为：
1．纯溶液
L
升（克），每次倒出
a
升（克）后均用清水加满，反复
n
次后，溶液的浓度为
n
La
L
−
；
2．若每次倒出的量不一致时，若第一次倒出
a
后用清水加满，第二次倒出
b
后也用清水
加满，则两次后的溶液浓度为
()( )
2
LaLb
L
−−
；
3．若原始溶液不是纯溶液，是浓度为
%p
的溶液，则上述两个公式的最终结果分别为
%
n
La p
L
−
×
与
( )( )
2%
LaLb p
L
−−
×
.
【题型三】行程问题
一、普通匀速直线运动问题：路程=速度×时间；平均速度=总路程÷总时间。
【解题提示】根据题意画出简单的示意图，设未知数列方程求解，同时注意路程、时间、
速度三者中的恒定量，将问题转化为比例关系求解。
【注】行程问题中常用的比例关系：
① 时间相同时，速度比等于路程比；
② 速度相同时，时间比等于路程比；
③ 路程相同时，速度比等于时间的反比。
二、行程问题中的相遇、追赶题型
1．直线型相遇、追赶问题：
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【解法提示】此类问题比较常见，根据题意画出简单示意图，抓住等量关系（一般是时
间和路程），列方程求解。
图一：同时相向而行
问题表述：甲乙两人同时分别从
A
、
B
两地相向而行，在
C
点相遇回合。
( )
AB
等量关系：
S S S V VtS
乙 乙
甲
+= ⇒ + =
甲
VS
AB
，
V S BC
==
甲 甲
AC
乙 乙
（时间相同）。
图二：追赶问题
问题表述：甲、乙相距
AC
，同一时间甲追赶乙，并最终在
B
点追上乙。
()
AC
等量关系：
S S S V VtS
乙 乙
甲
−= ⇒ − =
甲
VS
AC
，
V S BC
==
甲 甲
AB
乙 乙
（时间相同）。
2．圆圈型（操场）相遇、追赶问题
（1） 同向（设圆周长为
S
）
等量关系： ssS
甲−=
乙（假设甲的速度较快）
甲乙每相遇一次，甲比乙多跑一圈，若 n次相遇，
则有 s s nS
甲−=
乙
VS
，
VS S
==
甲 甲
S nS
乙
+
乙 乙 乙
.
（2） 逆向
等量关系：
SSS
乙
甲+=
.
即：每次相遇，甲乙的路程之和为一圈，若相遇 n次，
则有
S S nS
甲+=
乙
VS
，
VS S
−
==
甲 甲
nS S
乙
乙 乙 乙
.
解题技巧：在做圆圈形追及相遇问题时，在求第
K
次相遇情况时，可以将
(
K−1
)
次相遇
看成起点进行分析考虑。
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三、船在水中航行问题
V VV= +
顺水 船 水
；
V VV= −
逆水 船 水
；
2
VV
V+
=
顺水 逆水
船
；
2
VV
V−
=
顺水 逆水
水
.
【题型四】工程类型应用题
【解题提示】遇到此类问题，通常将整个工程量看成单位 1，然后根据题干条件，抓住每
个个体的工作量求解。
设：总工量=1。
=工作量
工作效率 工作时间
=部分量
总量其对应的比例
若对于计算劳动报酬的题目：
（1）若是以天数计算报酬，则求解出工作天数即可；
（2）若是已工作量计算报酬，则算出每个个体的工作量，按百分比计算报酬即可。
【题型五】年龄问题型应用题
【解题提示】解题的核心是：一、年龄的差值为固定不变的；二、随着时间的推移，年
龄增加量相同。千万注意年龄的倍数关系是变化的。
【题型六】植树问题型应用题
【解题提示】实际上为最大公约数或最小公倍数的考察。注意细节是：直线型道路两端
是否植树的数量区别：
1．直线型路的两端都不植树：则株数＝段数-1＝全长÷株距-1；
2．直线型路的一端植树，另一端不植树或封闭型线路植树：则株数＝段数＝全长÷株距；
3．如果在直线型路的两端都植树：则株数＝段数+1＝全长÷株距+1.
【题型七】容斥类型应用题（Venn 图问题）
【解题提示】画出 Venn 图，理清每一部分的含义。
两个标签容斥型公式：
A或B
AB= =∪
A、B至少一个 ABAB=+−∩;
ABC
A B
C
AB A B
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三个标签容斥型公式：
依据重复方式：
ABC x x x++=
1
+
2
+
3
23
（其中：x1表示仅占用一个标签的个体数；
x
2
表示仅占用两个标签的个体数；
x3
表示三个标签都占用的个体数），
整理可知下面计算公式：
ABC
A或B或C
== ∪∪
123
A、B、C中至少一个 =x+x+x
ABCABBCCAABC=++−−−+∩ ∩ ∩ ∩∩
=A+B+C−x
2
−x
3
2
,
【题型八】分段收费型应用题
【解题提示】对于这类题目的关键先算一下每一个阶段范围的临界值，然后与所给的数
值进行比对，根据比对的结果确定所对应的范围再求解。
【题型九】不定方程问题类型应用题
【解题提示】此类问题显著的特点是：方程个数少于未知数个数，数学解法则是采用定
性分析，通过题目已知中的整数、自然数等生活实际的数字特征限制，对未知量进行枚
举计算或整体“凑出”所求表达式的表示形式。
此种题型另外一种奥数的出题策略，则是遇到“至少”、“至多”等不确定描述，此时解
题的策略为：反向考虑，即考虑问题对立面情况的最大化求解。
【题型十】求最值型应用题
【解题提示】找出自变量和应变量，建立适当的函数关系求解。转化途径方式有：
1：一元二次方程的最值问题；2：均值不等式 3：简单线性规划求最优解。
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