DIALOGUES AUMANNIENS PDF Free Download
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DIALOGUES AUMANNIENS
Christina Pawlowitsch
Universit´e Panth´eon-Assas, Paris II
christina.pawlowitsch@u-paris2.fr
Octobre 2020
2
Sylvia K. Kummer, d´etail de «walk two moons »2005.
c
Sylvia K. Kummer.
Table des mati`eres
1 Introduction 5
2 Le cadre formel et le th´eor`eme d’Aumann 11
2.1 La connaissance commune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Leth´eor`emed’Aumann............................. 15
2.3 Les conditions d’Aumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Exemples .................................... 16
2.5 Remarques et interpr´etations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.1 Une pr´emisse importante : les partitions d’information sont de connais-
sancecommune ............................. 21
2.5.2 Une interpr´etation en termes d’ind´ependance en probabilit´e – la pro-
pri´et´e «de la tour »........................... 22
2.5.3 Une interpr´etation en termes du principe de la chose sˆure . . . . . . 23
2.5.4 Les conditions d’Aumann dans le r´eel, un cas rare ? . . . . . . . . . 23
2.5.5 Aucun niveau du croisement des connaissances des probabilit´es a
posteriori ne suffit pour que les probabilit´es a posteriori soient ´egales 24
3 La communication directe 27
4 La communication indirecte `a travers les croyances : un «dialogue bay´e-
sien »31
4.1 D´efinition .................................... 32
4.2 Propri´et´es .................................... 36
4.2.1 Un fondement dynamique du th´eor`eme d’Aumann . . . . . . . . . . 36
4.2.2 Le «fond de la connaissance commune »............... 36
4.2.3 La communication indirecte se termine toujours avec les conditions
d’Aumann................................ 37
4.2.4 La communication indirecte peut diverger de la communication directe 38
4.2.5 L’ordre joue un rˆole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2.6 Une annonce publique peut bloquer ou bien d´ebloquer le processus
de la communication indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.7 La r´ep´etition : r´ep´eter la mˆeme chose ne veut pas dire que rien ne
soitcommuniqu´e ............................ 42
3
4TABLE DES MATI `
ERES
4.2.8 Dire ce que tout le monde sait d´ej`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Une repr´esentation alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Toute suite de probabilit´es peut provenir d’un dialogue bay´esien . . . . . . 49
4.5 La communication `a travers les croyances – un ph´enom`ene r´eel ? . . . . . . 51
5 La communication indirecte `a travers les actes 53
5.1 L’ordre joue un rˆole ´egalement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 La communication `a travers les actes n’est pas forcement «moins puissante »
que la communication des probabilit´es actualis´ees . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Relation avec des th´eories sur le langage 59
6.1 Les ´enigmes – le ph´enom`ene de la connaissance commune sous forme narrative 59
6.2 Lacan – la th´eorie de la psychanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Le fond de la connaissance commune – le fond commun . . . . . . . . . . . 62
6.4 Existe-t-il toujours une «croyance commune »? ............... 62
7 Appendice : D’o`u viennent les partitions ? 65
7.1 Op´erateurs de connaissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 L’approche s´emantique versus l’approche syntactique ............ 66
7.3 Des partitions d’informations engendr´ees par des signaux . . . . . . . . . . 66
Chapitre 1
Introduction
D’apr`es le philosophe David Lewis (1969), un ´ev´enement est de connaissance commune
(common knowledge) entre deux individus si les deux individus ont connaissance de cet
´ev´enement et si par ailleurs les deux savent que l’autre le sait, et les deux savent que
l’autre sait qu’ils le savent tous les deux, et ainsi de suite jusqu’`a l’infini.
Robert Aumann (1976) s’est servi du langage des ensembles pour fournir un mod`ele math´e-
matique de ce qu’un individu sait qui permet de donner une d´efinition de la connaissance
commune qui ne repose pas sur un tel recours infini.
Plus pr´ecis´ement Aumann s’est servi du concept d’une partition de l’ensemble de tous les
´etats du monde possibles Ω pour d´ecrire l’information sur le vrai ´etat du monde (l’´etat
du monde r´ealis´e) que poss`ede un individu. Selon le mod`ele d’Aumann, `a l’´etat du monde
r´ealis´e ω∗∈Ω, un individu caract´eris´e par la partition d’information Pva seulement savoir
que l’un des ´etats du monde appartenant `a la mˆeme cellule de la partition que ω∗s’est
r´ealis´e. Par exemple, si l’ensemble de tous les ´etats du monde possibles est
Ω = {a, b, c, d}
et la partition d’information d’un individu est donn´ee par
P={{a, b},{c, d}},
alors :
— si ase r´ealise, l’individu va seulement savoir que aou bs’est r´ealis´e,
— si bse r´ealise, l’individu va seulement savoir que aou bs’est r´ealis´e,
— si cse r´ealise, l’individu va seulement savoir que cou ds’est r´ealis´e,
— si dse r´ealise, l’individu va seulement savoir que cou ds’est r´ealis´e.
Cela ne veut cependant pas dire que l’individu en question n’aurait pas connaissance de
certains faits concernant l’´etat du monde, de certains ´ev´enements, comme disent les pro-
babilistes. Bien ´evidemment, si la cellule de la partition `a laquelle appartient le vrai ´etat
du monde est incluse dans un ´ev´enement A⊂Ω, alors l’individu saura que l’´ev´enement
5
6CHAPITRE 1. INTRODUCTION
As’est r´ealis´e. Dans l’exemple ci-dessus, si ase r´ealise, l’individu saura, entre autres, que
l’´ev´enement A={a, b, c}s’est r´ealis´e, puisque {a, b} ⊂ {a, b, c}. Pour en donner une illus-
tration plus concr`ete, imaginons que l’ensemble fondamental Ω = {a, b, c, d}correspond `a
des accents diff´erents : aun accent new-yorkais, bun accent bostonien, cun accent du sud
des Etats-Unis, dun accent britannique. Certainement, si un individu entend un accent
dont elle sait seulement qu’il s’agit d’un accent new-yorkais ou bostonien (mais ne peut
pas distinguer entre les deux), elle saura toutefois qu’il s’agit d’un accent am´ericain (et non
d’un accent britannique).
Etant donn´e une loi de probabilit´e a priori sur Ω et l’information apport´ee par sa partition
d’information, un individu – pourvu qu’il ou elle est rationnel dans le sens bay´esien – peut
bien sˆur d´eterminer la probabilit´e a posteriori de tout ´ev´enement A⊂Ω.
Aumann (1976) a d´emontr´e le r´esultat suivant : si deux individus imputent la mˆeme loi
de probabilit´e a priori sur l’ensemble fondamental Ω et si, apr`es la r´ealisation du vrai ´etat
du monde (grˆace `a la connaissance commune de leurs partitions d’information), il est de
connaissance commune entre les deux que l’individu 1 attribue `a un ´ev´enement Aune
probabilit´e a posteriori de q1et que l’individu 2 attribue `a Aune probabilit´e a posteriori
de q2, alors q1=q2. (Nous d´etaillerons ce r´esultat dans le chapitre 2.)
En ´economie, th´eorie des jeux et th´eorie de la d´ecision, on appelle la probabilit´e attribu´ee
`a un ´ev´enement aussi une croyance (a belief ). Dans ce sens-l`a, si q1=q=q2, les deux
individus auront alors une croyance commune par rapport `a l’´ev´enement A; c’est-`a-dire
une probabilit´e qu’ils attribueront en connaissance commune `a l’´ev´enement A.
Le r´esultat d’Aumann – et ceci d´eroute facilement – d´ecrit un cas statique. Il ne porte
pas, par exemple, sur un sc´enario de communication dans lequel les croyances a posteriori
des individus soient rendues de connaissance commune par un acte de parole. Le r´esultat
d’Aumann d´ecrit le cas particulier que les croyances a posteriori des individus sont de
connaissance commune, automatiquement, si l’on veut, grˆace `a la connaissance commune
des partitions d’information ainsi que de la loi de probabilit´e a priori qui r`egne sur l’en-
semble fondamental. Mais certainement ce sont des conditions particuli`eres, et souvent elle
ne sont pas r´eunies.
Voici un exemple : soit l’ensemble des ´etats du monde possibles Ω = {a, b, c, d}, dot´e de la loi
uniforme. En outre soient un individu iavec la partition d’information Pi={{a, b},{c, d}}
et un autre individu javec la partition d’information Pj={{a},{b, c},{d}}. Supposons
que c’est l’´ev´enement A={b, d}qui int´eresse et que l’´etat ase r´ealise. A l’´etat a, l’individu
isait seulement que le vrai ´etat appartient `a {a, b}, alors que l’individu jsait que as’est
r´ealis´e. L’individu iva alors attribuer `a l’´ev´enement A={b, d}une probabilit´e a posteriori
de 1/2 et l’individu jde 0. L’individu j, ayant connaissance de la partition d’information
de i, va savoir que iattribue `a Aune probabilit´e de 1/2 ; mais inversement, ine saura pas si
jattribue `a Aune probabilit´e de 0 ou 1/2 (puisque si l’´etat r´ealis´e ´etait b, ce que l’individu
ine peut pas rejeter, l’individu jaurait re¸cu l’information que le vrai ´etat du monde ´etait
7
bou cet l’individu jattribuerait alors `a l’´ev´enement A={b, d}une probabilit´e de 1/2).
Dans cet exemple, la connaissance commune par rapport aux probabilit´es a posteriori de
l’´ev´enement Ase heurte alors d´ej`a au premier niveau du croisement des connaissances.
Et pourtant le th´eor`eme d’Aumann invite `a un sc´enario dynamique. Imaginons que les
croyances a posteriori de deux individus ne sont pas de connaissance commune grˆace `a
la connaissance commune de leurs partitions d’information mais que les deux individus
se communiquent tour `a tour leurs croyances a posteriori. Bien ´evidemment, si les deux
individus sont rationnels et connaissent la partition d’information de l’autre, ces annonces
vont leur permettre, tour `a tour, de tirer certaines conclusions par rapport `a ce qui peut
et ce qui ne peut pas ˆetre l’´etat du monde r´ealis´e – et cette information va ´eventuellement
leur permettre d’actualiser leurs croyances a posteriori au del`a de l’information que chacun
d’eux a re¸cue selon sa partition d’information individuelle. Aumann (1976), vers la fin de
son article, songe `a un tel sc´enario, et il anticipe que celui-ci devrait toujours se terminer
avec les conditions identifi´ees par son r´esultat : une situation dans laquelle les probabilit´es
a posteriori seront de connaissance commune et alors ´egales.
John Geanakoplos et Herakles Polemarchakis (1982) ont ´etudi´e plus g´en´eralement un tel
processus de communication par lequel les individus se communiquent tour `a tour leurs
croyances – un dialogue `a travers les croyances, si l’on veut. L’´etude montre qu’`a chaque
´etape d’un tel processus, les individus peuvent ´ecarter de plus en plus d’´etats dont il est
devenu de connaissance commune qu’ils ne peuvent pas ˆetre l’´etat r´ealis´e jusqu’`a ce qu’ils
arrivent, comme Aumann l’anticipe, `a une probabilit´e actualis´ee jointe qu’ils attribueront
alors en connaissance commune `a l’´ev´enement A– jusqu’`a ce qu’ils arrivent en un mot `a
une «situation Aumannienne ».
Un tel mod`ele dynamique permets d’´etudier, de mani`ere formelle, des questions vari´ees :
— Est-ce qu’un tel processus de communication indirecte `a travers les probabilit´es
actualis´ees conduit `a la mˆeme croyance commune que la communication directe de
l’information que chacun des individus a re¸cue selon sa partition d’information ?
— Si tout le monde est rationnel – ce que l’on suppose – peut-il arriver que les partici-
pants d’un tel dialogue r´ep`etent chacun de son cˆot´e plusieurs fois la mˆeme croyance
a posteriori ? Et si oui, qu’est-ce que cela veut dire ? Qu’il ne se passe plus rien, que
les individus n’apprennent plus rien sur l’´etat du monde ?
— Le r´esultat d’un tel processus de communication indirecte d´epend-il de l’ordre ?
— Si on injecte de l’information de l’ext´erieur, par exemple, par une annonce publique,
cela peut-il faire converger le processus vers un autre r´esultat ?
— La trace visible d’un tel ´echange, c’est-`a-dire, la liste des croyances ´echang´ees, aura-
t-elle certaines r´egularit´es ou peut n’importe quelle liste de croyances bien provenir
d’un dialogue bay´esien ?
— Si les individus ne se communiquent pas explicitement leur croyances, mais sont
tout de mˆeme capables d’observer certaines actions de l’autre (dont l’opportunit´e
d´epend de leurs croyances), un tel sc´enario, va-t-il aussi faire ´emerger une croyance
8CHAPITRE 1. INTRODUCTION
commune ?
Ces questions, et bien d’autres, ont ´et´e abord´ees par des ´economistes, th´eoriciens de jeux
et th´eoriciens de la d´ecision.
Au del`a des dialogues, l’´etude d’Aumann (1976) a inspir´ee des recherches multiples et va-
ri´ees. Une partie importante de ces travaux porte sur un fondement du mod`ele des connais-
sances bas´e sur les partitions d’information comme employ´e par Aumann : Paul Milgrom
(1981) propose un fondement axiomatique de la d´efinition formelle de la connaissance
commune, comme elle paraˆıt `a travers le mod`ele d’Aumann, en d´efinissant un op´erateur
de connaissance commune auquel il impose certaines propri´et´es. Bacherach (1985) d´efinit
un op´erateur de connaissance au niveau des individus et r´e´edifie ainsi la th´eorie Auman-
nienne. Dov Samet (1990), de mani`ere encore plus fondamentale, propose un fondement
des mod`eles reposant sur un ensemble des ´etats du mondes possibles, des mod`eles s´eman-
tique, si on veut, en caract´erisant un ´etat du monde par toutes les phrases (toutes les
propositions) qui sont vraies `a cet ´etat du monde. En informatique, Ronald Fagin, Joseph
Halpern, Yoram Moses et Moshe Vardi (1995 [1988]), et en philosophie et ´economie, Luc
Lismont et Philippe Mogin (1994) relient les mod`eles s´emantiques, comme ils ont jusque-l`a
´et´e employ´es par les auteurs dans la tradition Aumanienne, `a des approches syntactiques
reposant sur un langage propositionnel modale comme elles ont ´et´e d´evelopp´ees en logique
´epist´emique notamment depuis Hintikka (1962). Aumann lui-mˆeme a ´etendu ses recherches
dans cette direction (Aumann 1999a et 1999b ; voir aussi Aumann et Heifetz 2002).
D’autre part, ces travaux portent sur des extensions et des applications du r´esultat d’Au-
mann. Une question qui, dans ce contexte, a suscit´e beaucoup d’int´erˆet est celle d’une
«presque connaissance commune », question abord´ee, entre autres, par Monderer et Sa-
met (1989), Rubinstein (1989), Morris et Shin (1997), Morris (1999).
Au centre du pr´esent trait´e est le r´esultat d’Aumann (1976) lui-mˆeme, dans sa version
originale, c’est-`a-dire, exprim´e dans le langage des partitions d’information. Les termes de
base de cette th´eorie seront d´evelopp´es de mani`ere d´etaill´ee, accompagn´es par de nom-
breux exemples. D’autre part, nous allons suivre le fil de l’une des extensions du mod`ele
Aumannien : les dialogues `a travers un ´echanges des probabilit´es.
L’´etude des dialogues – mˆeme s’il s’agit des dialogues un peu particulier, qui consiste `a
ce que deux individus se crient tour `a tour des probabilit´es – touche forcement `a des
questions li´ees au langage et la parole. Ce texte se referme alors avec un chapitre dans lequel
j’essaye de dessiner quelques connections possibles entre l’´etude des «dialogues bay´esiens »
– les dialogues comme ´etudi´es dans le mod`ele des connaissances ´etablie par Aumann – et
certaines id´ees, et concepts, dans la philosophie du langage.
Ce texte est premi`erement la pr´esentation et la mise en perspective des id´ees d´ej`a existantes.
A quelques endroits on trouvera des r´eflexions ou observations ´eventuellement nouvelles,
comme, par exemple, l’interpr´etation du th´eor`eme d’Aumann en termes d’une ind´ependance
9
en probabilit´e (2.5), une d´efinition plus ´etroite de l’algorithme du processus de communi-
cation indirecte `a travers les probabilit´es actualis´ees comme donn´ee par Geanakoplos et
Polemarchakis (4.1), ou encore, en lien avec ce dernier point, un rapprochement entre un
objet qui apparaˆıt `a travers ce processus, et que nous appelons ici «le fond de la connais-
sance commune », et le concept du «fond commun »(«common ground ») comme il est
employ´e dans la philosophie du langage.
10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Chapitre 2
Le cadre formel et le th´eor`eme
d’Aumann
Soient Ω l’ensemble fondamental ´epuisant tous les ´etats du monde qui peuvent en principe
se r´ealiser, Bune σ-alg`ebre sur Ω, et pune loi de probabilit´e d´efinie sur (Ω,B). On
note ω∈Ω pour un ´etat du monde quelconque. En outre, soient deux individus, 1 et 2.
Ces deux individus attribuent la mˆeme probabilit´e a priori, donn´ee par p, aux ´ev´enements
appartenant `a B, mais n’ont pas acc`es `a la mˆeme information quant `a l’´etat r´ealis´e ω?∈Ω.
L’acc`es `a l’information d’un individu par rapport `a l’´etat r´ealis´e est mod´elis´e par une
partition finie de Ω, c’est-`a-dire, un ensemble fini
Pi={Pi1, Pi2, . . . , Pik, . . . , PiKi}
de parties (sous-ensembles) non-vides Pik de Ω tel que :
(a) tout couple (Pik, Pik0), k6=k0, est disjoint et
(b) SkPik = Ω.
On appelle les Pik les classes (ou les cellules) de la partition Pi. On suppose que toutes
les classes Pik de la partition Piappartiennent `a la σ-alg`ebre Bd´efinie sur Ω, ce qui
garantit qu’elles sont probabilis´ees par la probabilit´e pd´efinie sur (Ω,B). On note Pi(ω)
la classe de la partition Pi`a laquelle appartient ω. En d’autres termes, Pi(·):Ω→Piest
une application associant `a chaque ´etat du monde la classe de la partition Pi`a laquelle il
appartient. 1
Par exemple, si Ω = {a, b, c, d},P1={{a, b},{c, d}},P2={{a, c, d},{b}}, et ω?=ase
r´ealise, alors P1(a) = {a, b}, et P2(a) = {a, c, d}.
Les partitions Pisont des partitions d’information dans le sens suivant : si ω?se r´ealise,
l’individu ire¸coit l’information que l’´etat r´ealis´e appartient `a Pi(ω?), c’est-`a-dire que l’´etat
r´ealis´e est l’un des ´etats appartenant `a Pi(ω?). Dans ce sens-l`a, on appelle les classes Pik
de la partition Piaussi les ensembles d’information de i. Dans l’exemple ci-dessous : si
1. Pour plus sur les partitions finies voir, par exemple, Barbut (1968).
11
12 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
ase r´ealise, l’individu 1 va alors savoir que l’´etat r´ealis´e est soit a, soit b; et l’individu
2 va savoir que l’´etat r´ealis´e est soit a, soit c, soit d. Aumann part de l’hypoth`ese que
la probabilit´e a priori pd´efinie sur (Ω,B) ainsi que les partitions d’information des deux
individus, Pi,i∈I={1,2}, sont de connaissance commune entre les deux individus.
Que sont les ´ev´enements dont un individu caract´eris´e par la partition Pia connaissance ?
Dans le langage probabiliste, un ´ev´enement Aest tout simplement un sous-ensemble de
l’ensemble fondamental, A⊂Ω. Si l’´etat ω?se r´ealise et Pi(ω?)⊂A, c’est-`a-dire, si Pi(ω?)
implique A, bien ´evidemment, l’individu isait qu’`a l’´etat r´ealis´e, l’´ev´enement As’est r´ealis´e.
Si en revanche Pi(ω?)∩A=∅, ce qui veut dire que l’´ev´enement Aet Pi(ω?) s’excluent,
l’individu isait qu’`a l’´etat r´ealis´e, l’´ev´enement Ane s’est sˆurement pas r´ealis´e.
Il se peut, cependant, qu’un individu s’int´eresse `a un ´ev´enement A⊂Ω qui ni inclut ni
exclut Pi(ω?), mais qui a une intersection non nulle et diff´erente de lui mˆeme avec A.
Dans ce cas-l`a, en supposant que Aest probabilisable par rapport `a la σ-alg`ebre sur Ω,
l’individu peut toutefois calculer la probabilit´e conditionnelle de Asachant que l’´etat r´ealis´e
appartient `a Pi(ω?) :
qi=p(A|Pi(ω?)) = p(A∩Pi(ω?))
p(Pi(ω?)) .
C’est la probabilit´e a posteriori de A´etant donn´e l’information apport´ee par la partition
d’information Pi.
Bien ´evidemment, si, `a l’´etat ω?, l’individu isait que As’est r´ealis´e, c’est-`a-dire Pi(ω?)⊂A,
alors
qi=p(A|Pi(ω?)) = p(A∩Pi(ω?))
p(Pi(ω?)) =p(Pi(ω?))
p(Pi(ω?)) = 1.
Et si l’individu isait que Ane s’est sˆurement pas r´ealis´e, c’est-`a-dire Pi(ω?)∩A=∅, alors
qi=p(A|Pi(ω?)) = p(A∩Pi(ω?))
p(Pi(ω?)) =p(∅)
p(Pi(ω?)) = 0.
Quant `a l’interpr´etation, une subtilit´e doit ˆetre retenue d`es l’abord : la classe de la partition
`a laquelle appartient le vrai ´etat du monde, p(A|Pi(ω?)), est bien sˆur pour nous, les ana-
lystes du mod`ele, une fonction de ω?. Mais cela ne veut pas dire que l’individu iconnaisse
ω?! Justement, l’individu ne connaˆıt pas ω?mais seulement Pi(ω?). Or, connaissance de
Pi(ω?) suffit pour calculer p(A|Pi(ω?)). Pour le dire autrement : l’individu i, `a l’´etat ω?,
connaˆıt l’image de ω?par l’application Pi:Pi(ω?) ; mais confront´e `a Pi(ω?), c’est-`a-dire la
cellule de la partition Piqui lui est d´esign´ee par l’application Pi, l’individu ne connaˆıt pas
son ant´ec´edent.
On appelle la probabilit´e attribu´ee `a un ´ev´enement aussi une croyance. Dans cette terminologie-
l`a, p(A) est alors la croyance a priori de A– qui par l’hypoth`ese est de connaissance com-
mune entre les deux individus – et p(A|Pi(ω?)) la croyance a posteriori de Ade l’individu
i´etant donn´e l’information apport´ee par sa partition d’information.
2.1. LA CONNAISSANCE COMMUNE 13
2.1 La connaissance commune
On cherche `a mod´eliser le croisement des croyances des individus. Dans ce but – et c’est
l’une des contributions d’Aumann – il se trouve utile de retenir la notion de la partition
fondue de deux partitions.
D´efinition 1 Soient P1et P2deux partitions finies de l’ensemble fondamental Ω. On
appelle la partition fondue (en anglais : «the meet ») de P1et P2, et l’on note par
ˆ
P=P1∧P2, le grossissement commun le plus fin de P1et P2; c’est-`a-dire la partition
de Ω la plus fine 2telle que, pour tout ω∈Ω,
Pi(ω)⊂ˆ
P(ω),∀i∈I={1,2},
sachant que ˆ
P(ω) = P1∧P2(ω), est la classe de la partition fondue P1∧P2`a laquelle
appartient ω.
En pratique, ˆ
P=P1∧P2s’obtient par fermeture transitive (it´eration r´ep´et´ee) de l’op´e-
ration qui consiste `a faire correspondre `a chaque ´el´ement ωde Ω – c’est-`a-dire rassembler
dans la mˆeme classe de ˆ
P– tous les autres ´el´ements de Ω qui sont dans la mˆeme classe
que ωsoit dans P1, soit dans P2.3
Remarque : On peut, bien sˆur, pour toute partition Pd´eterminer la σ-alg`ebre engendr´ee
par cette partition, ce que l’on note par A(P). Ainsi la partition fondue de deux partitions
P1∧P2peut ˆetre d´efinie comme la partition qui engendre la σ-alg`ebre r´esultant de
l’intersection des σ-alg`ebres engendr´ees par les deux partitions individuelles :
A(P1∧P2) = A(P1)∩A(P2).
Proposition 1 (Aumann 1976) Un ´ev´enement E⊂Ω est de connaissance commune
dans le sens de la d´efinition r´ecursive de Lewis `a l’´etat ωentre l’individu 1 et l’individu 2
si et seulement si ˆ
P(ω)⊂E.
L’argument donn´e par Aumann pour d´emontrer cette proposition 4repose sur le concept
d’un ´ev´enement ´el´ementaire ω0∈Ω ´etant joignable `a partir d’un autre ´ev´enement ´el´e-
2. Une partition Pide Ω est plus fine qu’une partition Pjdu mˆeme ensemble Ω si toute classe de Pj
est l’union des classes de Pi(voir, par exemple, Barbut 1968).
3. Voir, par exemple, Barbut (1968). Le lecteur soit averti que le nom «partition fondue »est notre
traduction de «meet », terme employ´e par Aumann. Barbut parle tout simplement de la «partition la
plus fine de toutes les partitions moins fines »des deux partitions donn´ees, et – et c’est une question plus
importante – il utilise le symbole ∨au lieu de ∧pour noter cet objet. Nous avons d´ecid´e d’utiliser ici ∧,
comme le fait Aumann, puisque s’est la notation devenue habituelle dans la litt´erature en th´eorie des jeux,
th´eorie du choix et ´economie math´ematique.
4. Chez Aumann cette proposition n’est pas explicitement ´enonc´ee comme «Proposition »mais est
plutˆot gliss´ee dans le texte. Voir Aumann (1976), page 1237, le paragraphe qui commence avec «To see
that ... ».
14 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
mentaire ω∈Ω. Avant de voir la d´emonstration de la Proposition 1, voyons alors cette
notion.
D´efinition 2 Soient P1et P2deux partitions de Ω. On dit qu’un ´ev´enement ´el´ementaire
ω0∈Ω est joignable `a partir d’un autre ´ev´enement ´el´ementaire ω∈Ω, s’il existe une suite
de sous-ensembles de Ω, P1, P 2, . . . , P n, . . . , P Ntelle que ω∈P1et ω0∈PNet les Pn
cons´ecutifs ont une intersection non vide et appartiennent de mani`ere altern´ee `a P1et
P2.
On v´erifie facilement les deux constats suivants :
Lemme 1 Un sous-ensemble Pde Ω est un ´el´ement de la partition fondue P1∧P2si et
seulement si tous les ω0∈Psont joignables `a partir de n’importe quel autre ω∈P.
Lemme 2 Soit P⊂Ω un ´el´ement de la partition fondue P1∧P2. Alors :
(a) l’union de toutes les classes Pik de la partition Piayant une intersection non-vide
avec Pdonne Plui-mˆeme, [
Pik ⊂P
Pik =P,
(b) chacune des partitions individuelles Pi,i∈I, induit une partition de P.
D´emonstration (Proposition 1 – Aumann 1976) : Soit ωl’´etat r´ealis´e, et E⊂Ω
un ´ev´enement. L’individu 1 sait que Es’est r´ealis´e `a l’´etat ωsi P1(ω)⊂E. Supposons
que c’est le cas et posons P1=P1(ω). L’individu 1 sait que l’individu 2 sait que Es’est
r´ealis´e `a l’´etat ωsi tous les P2k∈P2ayant une intersection non vide avec P1sont sous-
ensemble de E. Il convient de distinguer deux cas : (1) Si pour tous ces P2k∈P2ayant une
intersection non vide avec P1, l’intersection avec P1est P2klui-mˆeme, alors P1contiendra
tous les ω0∈Ω joignables `a partir de ω. L’´ev´enement P1sera alors un ´el´ement de la
partition fondue P1∧P2, et toutes les phrases de la forme «isait que jsait que isait
... E»seront vraies ; c’est-`a-dire, Esera de connaissance commune. (2) Sinon, d´efinissons
comme P2celui des P2k∈P2dont l’intersection non vide avec P1n’est pas P2klui-mˆeme.
L’individu 1 sait que l’individu 2 sait que l’individu 1 sait E`a l’´etat ωsi tous les P1k∈P1
ayant une intersection non vide avec P2sont sous-ensemble de E. On distingue de nouveau
les deux cas relatifs : (1) Si pour tous ces P1k∈P1, diff´erents de P1, l’intersection avec
P2est P1klui-mˆeme, alors P2contiendra tous les ω0joignables `a partir de ω. L’´ev´enement
P2sera alors un ´el´ement de la partition fondue de P1et P2, et toutes les phrases de la
forme «isait que jsait que isait ... E»seront vraies ; c’est-`a-dire, Esera de connaissance
commune. (2) Sinon, d´efinissons comme P3celui des P1k∈P1, diff´erent de P1, dont
l’intersection avec P2n’est pas P1klui-mˆeme, et ainsi de suite. On voit alors que toutes
les phrases de la forme «isait que jsait que isait ... E»sont vraies si et seulement si
Econtient tous les ω0joignables `a partir de ω. Or, l’ensemble de tous les ω0joignables `a
partir de ωest un ´el´ement de la partition fondue de P1∧P2. QED. 5
5. Certains auteurs (par exemple, Geanakoplos 1992, 57 et 64–65) se servent du concept d’un ´ev´enement
2.2. LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN 15
2.2 Le th´eor`eme d’Aumann
Th´eor`eme 1 (Aumann 1976) Soient (Ω,B, p) un espace probabilis´e et P1et P2deux
partitions finies de Ω, mesurables par rapport `a B, repr´esentant l’information apport´ee `a
l’individu 1 respectivement 2 – tout ceci ´etant de connaissance commune entre les deux
individus. Soit un ´ev´enement A⊂Ω. Si `a l’´etat ω(grˆace `a la connaissance commune des
partitions d’information) les probabilit´es a posteriori que les deux individus attribuent `a
A,q1et q2,
qi=p(A∩Pi(ω))
p(Pi(ω)) i∈I={1,2},
sont de connaissance commune, alors elles sont ´egales : q1=q2.
D´emonstration : Soit ˆ
P(ω)⊂Ω la classe de la partition fondue P1∧P2`a laquelle
appartient ω. Puisque la valeur qir´esultant du calcul
qi=p(A∩Pi(ω))
p(Pi(ω)) (2.1)
est de connaissance commune entre les deux individus, il s’en suit (par la Proposition 1)
que pour n’importe laquelle des classes de la partition de l’individu iqui sont sous-ensemble
de ˆ
P(ω), le calcul de la probabilit´e a posteriori de Adoit conduire `a la mˆeme valeur qi;
c’est-`a-dire :
qi=p(A∩Pik)
p(Pik)∀Pik ⊂ˆ
P(ω) (2.2)
⇔p(A∩Pik) = qip(Pik)∀Pik ⊂ˆ
P(ω) (2.3)
´etant une ´evidence (a self-evident event) pour expliquer la connaissance commune d’un ´ev´enement. Dans
cette d´emarche, l’op´erateur Pi(·) est prolong´e `a des sous-ensembles de Ω :
Pi(A) = [
ω∈A
Pi(ω).
On dit qu’un ´ev´enement A⊂Ω est une ´evidence (a self-evident event) pour l’individu i, si Pi(A) = A,
c’est-`a-dire, s’il est vrai que si jamais Ase r´ealise, alors l’individu isaura que As’est r´ealis´e. En d’autres
termes : un tel ´ev´enement ne peut se produire sans que l’individu ile sache. Il est clair que Aest une
´evidence pour l’individu isi et seulement si Aest l’union des ´el´ements de la partition Pide l’individu i. Or,
cela ne veut dire rien d’autre que Aest un ´el´ement de la σ-alg`ebre engendr´ee par la partition d’information
de l’individu i, not´ee A(Pi). Autrement dit, A(Pi) est l’ensemble des ´ev´enements qui sont une ´evidence
pour i. Il s’en suit que l’intersection de A(P1) et A(P2) est l’ensemble des ´ev´enements qui sont une
´evidence `a la fois pour l’individu 1 et pour l’individu 2. (Certains auteurs appellent un tel ´ev´enement un
´ev´enement public ; voir, par exemple, Milgrom 1981, 221). L’´el´ement de la partition fondue contenant ω,
P1∧P2(ω), est le plus petit ´ev´enement contenant ωqui est une ´evidence `a la fois pour l’individu 1 et pour
l’individu 2. Nous savons d´ej`a (voir remarque plus haut) que l’intersection de A(P1) et A(P2) est ´egale
`a la σ-alg`ebre engendr´ee par la partition fondue P1∧P2,A(P1)∩A(P2) = A(P1∧P2),c’est-`a-dire
l’ensemble de tous les ´ev´enements qui sont non seulement une ´evidence pour chacun des deux individus
mais dont il est au del`a de cela aussi de connaissance commune qu’ils sont une ´evidence.
16 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
En sommant sur toutes les Pik ⊂ˆ
P(ω) :
X
Pik ⊂ˆ
P(ω)
p(A∩Pik) = qiX
Pik ⊂ˆ
P(ω)
p(Pik).(2.4)
Puisque les Pik (´etant des classes d’une partition) sont disjointes et leur union sur ˆ
P(ω)
est ˆ
P(ω) lui-mˆeme (voir le Lemme 2), par la σ-additivit´e de la probabilit´e psur Ω :
p(A∩ˆ
P(ω)) = qip(ˆ
P(ω)) (2.5)
Finalement, puisque ceci doit ˆetre v´erifi´e pour chacun des individus i∈I={1,2}:
q1p(ˆ
P(ω)) = p(A∩ˆ
P(ω)) = q2p(ˆ
P(ω)),(2.6)
ce qui implique que q1=q2. QED.
Le moment cl´e de la d´emonstration est au d´ebut : le constat que puisque qiest de connais-
sance commune, l’individu idoit arriver `a qi´etant donn´e n’importe laquelle des classes de
sa partition d’information qui sont sous-ensemble de ˆ
P(ω).
2.3 Les conditions d’Aumann
A travers la d´emonstration du r´esultat donn´ee par Aumann apparaˆıt une propri´et´e qui
m´erite d’ˆetre soulev´ee. Par (1), (2) et (6) on a :
qi=p(A∩Pi(ω))
p(Pi(ω)) =p(A∩Pik)
p(Pik)=p(A∩ˆ
P(ω))
p(ˆ
P(ω)) ∀Pik ⊂ˆ
P(ω) (2.7)
C’est-`a-dire : `a l’´etat r´ealis´e ω, la probabilit´e a posteriori attribu´ee `a l’´ev´enement Apar
l’individu iest ´egale `a :
(1) la probabilit´e a posteriori calcul´ee `a base de n’importe laquelle des autres classes
Pik de la partition Piqui sont sous-ensemble de la classe de la partition fondue `a
laquelle appartient l’´etat r´ealis´e ˆ
P(ω), et
(2) la probabilit´e de Asachant ˆ
P(ω), c’est-`a-dire la probabilit´e a posteriori attribu´ee
`a Apar la partition fondue des deux partitions individuelles.
Nous allons par la suite nous r´ef´erer `a l’´equation (7) comme les «conditions d’Aumann ».
2.4 Exemples
Exemple 1
2.4. EXEMPLES 17
Voici un exemple dans lequel le r´esultat d’Aumann s’applique de mani`ere non triviale, c’est-
`a-dire un exemple dans lequel la pr´emisse du r´esultat – qu’`a l’´etat r´ealis´e les probabilit´es
a posteriori sont de connaissance commune – est satisfaite.
Soient Ω = {a, b, c, d}et la loi de probabilit´e a priori donn´ee par p(ω)=1/4 pour tous les
´ev´enements ´el´ementaires. Supposons que :
P1={{a, b},{c, d}},
P2={{a, b, c, d}},
A={b, c}, et l’´etat r´ealis´e ω?=a.
Les probabilit´es a posteriori attribu´ees `a Apar les deux individus ´etant donn´e l’information
apport´ee par leurs partitions d’informations sont :
p(A∩P1(ω?))
p(P1(ω?)) =p({b, c}∩{a, b})
p({a, b})=p({b})
p({a, b})=1
2
p(A∩P2(ω?))
p(P2(ω?)) =p({b, c}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({b, c})
p({a, b, c, d})=1
2
Attention : le fait que les probabilit´es a posteriori attribu´ees `a Asont ´egales ne suffit
pas pour conclure que le r´esultat d’Aumann s’applique de mani`ere non triviale, puisque
c’est la cons´equence du r´esultat et non sa pr´emisse. (Il y des exemples dans lesquels les
probabilit´es a posteriori attribu´ees `a Asont ´egales mais pas de connaissance commune.
L’exemple 4 en sera une illustration). Mais il faut v´erifier si les probabilit´es a posteriori
attribu´ees `a Asont de connaissance commune entres les individus. On le v´erifie assez
´etroitement dans cet exemple : puisque P1(a) = {a, b} ⊂ P2(a) = {a, b, c, d}, il est de
connaissance commune entre les deux individus que l’individu 2 n’a re¸cu que l’information
que l’´etat r´ealis´e appartient `a {a, b, c, d}et que la probabilit´e a posteriori attribu´ee `a Apar
l’individu 2 est alors de 1/2. Il se trouve ainsi, pour le dire plus g´en´eralement, que la classe
de la partition de l’individu 2 avec laquelle l’individu 2 fait son calcul de la probabilit´e
a posteriori de Aest de connaissance commune entre les deux individus, et il va alors de
soi que le r´esultat de ce calcul est de connaissance commune entre les deux individus. En
ce qui concerne l’individu 1, la classe de la partition de l’individu 1 avec laquelle elle fait
son calcul de la probabilit´e a posteriori de An’est pas de connaissance commune, puisque
l’individu 2 ne sait pas si l’individu 1 a re¸cu l’information que l’´etat r´ealis´e appartient `a
{a, b}ou bien l’information que l’´etat r´ealis´e appartient `a {c, d}. Or il est de connaissance
commune que l’individu 1 a re¸cu l’une des deux informations et quel que soit le cas, le
calcul effectu´e par l’individu 1 conduira toujours au mˆeme r´esultat, puisque :
p({
A
z}|{
b, c }∩{c, d})
p({c, d})=p({c})
p({c, d})=1
2=p({b})
p({a, b})=p({
A
z}|{
b, c }∩{a, b})
p({a, b}).
18 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
P1={
p(A|{a,b})= 1
2
z }| {
{a, b },
p(A|{c,d})= 1
2
z }| {
{c, d } }
P2={ { a, b, c, d }
| {z }
p(A|{a,b,c,d})= 1
2
}
Figure 2.1 – Exemple 1 : les conditions d’Aumann.
En d’autres termes, pour tout ´el´ement de la partition P1´etant sous-ensemble de la classe
de la partition fondue contenant le vrai ´etat du monde a,ˆ
P(a) = P1∧P2(a) = {a, b, c, d}, le
calcul de la probabilit´e a posteriori de l’´ev´enement Aeffectu´e par l’individu 1 – et ceci est
de connaissance commune entre les deux individus – conduit toujours au mˆeme r´esultat,
1/2, et par cons´equent, il est de connaissance commune que la probabilit´e a posteriori que
l’individu 1 attribue `a Aest de 1/2.
La partition fondue des deux partitions est : ˆ
P={{a, b, c, d}}, et ainsi ˆ
P(a) = {a, b, c, d}.
La probabilit´e a posteriori de A={b, c}´etant donn´e l’information apport´ee par la partition
fondue ˆ
P`a l’´etat ω=aest bien ´egale aux probabilit´es a posteriori des deux individus,
comme le veut l’´equation 7 – les conditions d’Aumann :
p({b, c} | ˆ
P(a)) = p({b, c}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({b, c})
p({a, b, c, d})=1
2.
Ce calcul co¨
ıncide avec celui de l’individu 2 ; bien ´evidemment puisque ˆ
P(a) = P2(a) =
{a, b, c, d}. La Figure 1 repr´esente cette situation.
Exemple 2
Voici un autre exemple dans lequel le r´esultat d’Aumann s’applique de mani`ere non triviale.
Soient Ω = {a, b, c, d, e, f}et la loi de probabilit´e a priori donn´ee par p(ω) = 1/6 pour tous
les ´ev´enements ´el´ementaires. Supposons que :
P1={{a, b},{c, d},{e},{f}},
P2={{d, b},{c, a},{e, f}},
A={b, c}, et ω?=a.
Les probabilit´es a posteriori attribu´ees `a Apar les deux individus ´etant donn´e l’information
2.4. EXEMPLES 19
P1={
p(A|{a,b,c,d})= 1
2
z }| {
p(A|{a,b})= 1
2
z }| {
{a, b },
p(A|{c,d})= 1
2
z }| {
{c, d },{e},{f}}
P2={ { a, c }
| {z }
p(A|{a,c})= 1
2
,{b, d }
| {z }
p(A|{b,d})= 1
2
| {z }
p(A|{a,b,c,d})= 1
2
,{e, f}}
Figure 2.2 – Exemple 2 : les conditions d’Aumann.
apport´ee par leurs partitions d’informations sont :
p(A∩P1(ω?))
p(P1(ω?)) =p({b, c}∩{a, b})
p({a, b})=p({b})
p({a, b})=1
2
p(A∩P2(ω?))
p(P2(ω?)) =p({b, c}∩{c, a})
p({c, a})=p({c})
p({c, a})=1
2
Ici ni l’un ni l’autre connaˆıt l’´el´ement de la partition de l’autre dont l’autre sait que l’´etat
r´ealis´e y appartient. Chacun doit penser possible que l’autre ait re¸cu tout ´el´ement de la
partition de l’autre inclus dans ˆ
P(a) = {a, b, c, d}, l’´el´ement de la partition fondue auquel
appartient l’´etat r´ealis´e. Mais quel que soit le cas, pour chacun des individus, le calcul de
la probabilit´e a posteriori de l’´ev´enement A={b, c}conduira toujours au mˆeme r´esultat,
puisque on a ´egalement :
p({b, c}∩{c, d})
p({c, d})=p({c})
p({c, d})=1
2
p({b, c}∩{b, d})
p({b, d})=p({b})
p({b, d})=1
2
et par cons´equent les probabilit´es a posteriori de Asont de connaissance commune.
Ici, la partition fondue des deux partitions est : ˆ
P={{a, b, c, d},{e, f}}, et alors l’´el´ement
de la partition fondue auquel appartient l’´etat r´ealis´e ˆ
P(a) = {a, b, c, d}. Comme il le faut,
selon les conditions d’Aumann :
p({b, c} | ˆ
P(a)) = p({b, c}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({b, c})
p({a, b, c, d})=1
2.
La Figure 2 illustre cette situation.
Exemple 3
20 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
Ceci est un exemple dans lequel le r´esultat d’Aumann s’applique de mani`ere triviale dans
le sens que sa pr´emisse (que les probabilit´es a posteriori de Asoient de connaissance
commune) n’est pas satisfaite.
Soient Ω = {a, b, c, d, e, f, g}et la loi de probabilit´e a priori donn´ee p(ω) = 1/7 pour tous
les ´ev´enements ´el´ementaires. Supposons que :
P1={{a, b},{c, e},{d, f, g}},
P2={{a},{b, c, d},{e, f, g}},
A={b, e}, et ω?=b.
Alors :
p(A∩P1(ω?))
p(P1(ω?)) =p({b, e}∩{a, b})
p({a, b})=p({b})
p({a, b})=1
2
p(A∩P2(ω?))
p(P2(ω?)) =p({b, e}∩{b, c, d})
p({b, c, d})=p({b})
p({b, c, d})=1
3
On v´erifie facilement qu’ici les individus n’ont pas connaissance commune des probabilit´es
a posteriori que l’autre attribue `a l’´ev´enement A={b, e}. Consid´erons d’abord l’individu
1. Elle pense que l’´etat r´ealis´e est soit asoit b. Elle doit alors se dire : Si as’est r´ealis´e,
l’individu 2 va sˆurement savoir que as’est r´ealis´e et il va alors attribuer une probabilit´e
nulle `a l’´ev´enement A={b, e}; si bs’est r´ealis´e, l’individu 2 va seulement savoir que l’un
des ´etats appartenant `a {b, c, d}s’est r´ealis´e, et il va alors attribuer une probabilit´e de
1/3 `a l’´ev´enement A={b, e}. De mani`ere similaire, l’individu 2, de son cot´e, ne peut pas
savoir si l’individu 1 attribuera `a A={b, e}une probabilit´e a posteriori de 1/2 (au cas
o`u l’individu 1 ait re¸cu l’information {a, b}ou {c, e}) ou nulle (au cas o`u elle ait re¸cu
l’information {d, f, g}). Ici : ˆ
P={{a, b, c, d, e, f, g}},ˆ
P(b) = {a, b, c, d, e, f, g}, et alors :
p({b, e} | ˆ
P(b)) = 2/7.
Exemple 4
Ceci est un exemple qui d´emontre que la r´eciproque du r´esultat est fausse : qu’il se peut
que les probabilit´es a posteriori attribu´ees `a un certain ´ev´enement soient ´egales mais pas
de connaissance commune.
Soient Ω = {a, b, c, d}et la loi de probabilit´e a priori donn´ee par p(ω)=1/4 pour tous les
´ev´enements ´el´ementaires. Supposons que :
P1={{a, b},{c, d}},
P2={{d, b},{c, a}},
A={a}, et ω?=a.
2.5. REMARQUES ET INTERPR ´
ETATIONS 21
Alors :
p(A∩P1(ω?))
p(P1(ω?)) =p({a}∩{a, b})
p({a, b})=p({a})
p({a, b})=1
2
p(A∩P2(ω?))
p(P2(ω?)) =p({a}∩{c, a})
p({c, a})=p({a})
p({d, b})=1
2
Ici chacun des deux individus attribue une probabilit´e a posteriori de 1/2 `a l’´ev´enement
A={a}, mais les individus ne savent pas si l’autre le sait. Consid´erons d’abord l’individu
1. Etant donn´e qu’elle sait seulement que l’´etat r´ealis´e appartient `a {a, b}, elle ne sait pas si
l’individu 2 a re¸cu l’information que l’´etat r´ealis´e appartient `a {c, a}ou bien l’information
que l’´etat r´ealis´e appartient `a {d, b}. Cela importe, puisque dans un cas la probabilit´e a
posteriori attribu´ee `a A={a}est de 1/2, et dans l’autre 0. De mani`ere similaire, l’individu
2 ne sait pas si l’individu 1 attribue `a A={a}une probabilit´e de 1/2 ou 0. Nous voyons
alors qu’ici d´ej`a au premier niveau du croisement des croyances concernant la probabilit´e
a posteriori attribu´ee `a A={a}, il y a divergence et, par cons´equent, il ne peut pas y
avoir connaissance commune. Remarquons aussi qu’ici la probabilit´e a posteriori attribu´ee
`a A={a}´etant donn´e l’information apport´ee par la partition fondue, ˆ
P={a, b, c, d},
diverge des probabilit´es a posteriori attribu´ees `a A={a}par les deux individus :
p({a} | ˆ
P(a)) = p({a}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({a})
p({a, b, c, d})=1
4.
2.5 Remarques et interpr´etations
2.5.1 Une pr´emisse importante : les partitions d’information sont
de connaissance commune
Aumann (1976) ´enonce son r´esultat comme suit :
Soient ω∈Ω, et q1et q2des nombres. Si `a l’´etat ωil est de connaissance
commune que q1=q1et q2=q2, alors q1=q2.6
En dehors de son mod`ele math´ematique, cette formulation condens´ee peut troubler puis-
qu’elle ne pr´ecise pas pourquoi – comment – les probabilit´es a posteriori sont de connais-
sance commune entre les deux individus. On peut avoir l’impression qu’il suffisse que les
probabilit´es a posteriori soient rendues de connaissance commune n’importe comment –
comme, par exemple, par un acte de parole publique. Or cela ne suffit pas. Pour que le
r´esultat tienne, il faut que chacun des deux individus arrive `a savoir que les probabilit´es a
posteriori attribu´ees `a Asont de connaissance commune tout simplement en exploitant le
6. Aumann 1976, 1237 : «Let ω∈Ω, and let q1and q2be numbers. If it is common knowledge at ω
that q1=q1and q2=q2, then q1=q2.»
22 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
fait que les partitions d’information (et la loi de probabilit´e a priori qui r`egne sur Ω) sont
de connaissance commune. 7
Aumann sait que cet aspect peut surprendre, ou ˆetre mal compris, et apr`es avoir d´elivr´e la
d´emonstration il poursuit :
Il convient de noter l’hypoth`ese implicite que les partitions d’information P1
et P2sont elles-mˆeme de connaissance commune. Or, ceci est sans perte de
g´en´eralit´e. Inclus dans la description compl`ete de l’´etat du monde ωest la
mani`ere dont les deux individus re¸coivent de l’information. Ceci implique que
les ensembles d’information P1(ω) et P2(ω) sont en fait d´efinis sans ambigu¨
ıt´e
par ωet que les deux joueurs connaissent ces fonctions. 8
Revenant `a son article, plus de quarante ans plus tard, Aumann renforce ce point de
vue qui accorde une place centrale au concept de l’´etat du monde : «En d’autres mots,
‘l’hypoth`ese implicite’ n’est pas vraiment une hypoth`ese ; elle fait partie de ce que veut
dire ´etat du monde.»9
2.5.2 Une interpr´etation en termes d’ind´ependance en probabi-
lit´e – la propri´et´e «de la tour »
La pr´emisse du r´esultat d’Aumann – que les probabilit´es a posteriori sont de connaissance
commune grˆace `a la connaissance commune de la probabilit´e a priori et des partitions d’in-
formation – constitue plutˆot un cas particulier. Ce qui caract´erise ce cas apparaˆıt `a travers
la d´emonstration – ce que nous appelons ici les conditions d’Aumann (´equation 2.7). Ces
conditions exigent que pour chacun des individus, la probabilit´e de Asachant Pi(ω), ou
bien la probabilit´e de Asachant n’importe laquelle des autres classes de la partition Pi
qui est sous-ensemble de la classe de la partition fondue `a laquelle appartient le vrai ´etat
du monde ˆ
P(ω), et la probabilit´e de Asachant ˆ
(ω) sont ´egales. Mais cela ne veut dire rien
d’autre que sous condition que ˆ
P(ω)s’est r´ealis´e (ce qui est de connaissance commune
entre les deux individus) la probabilit´e de Aest ind´ependante des Pik partitionnant ˆ
P(ω).
7. Le lecteur du papier, notamment de la d´emonstration, s’en rend compte au plus tard `a l’´etape 2, le
moment cl´e de la d´emonstration, lorsqu’on constate que puisque les qi=p(A∩Pi(ω))
p(Pi(ω)) sont de connaissance
commune entre les deux individus, il faut alors que pour n’importe lequel des ´el´ements de la partition de
l’individu i´etant sous-ensemble de P1∧P2(ω) le calcul de la probabilit´e a posteriori de Adoit conduire `a
la mˆeme probabilit´e qi. Le r´esultat n’est, apr`es tout, pas intelligible autrement.
8. Aumann (1976, 1237) : «Worthy of note is the implicit assumption that the information partitions
P1and P2are themselves common knowledge. Actually, this constitutes no loss of generality. Included
in the full description of a state ωof the world is the manner in which information is imparted to the
two persons. This implies that the information sets P1(ω) and P2(ω) are indeed defined unambiguously as
functions of ω, and that these functions are known to both players. »
9. Robert Aumann, communication personnelle, Mars 24, 2019 : «In other words, the ‘implicit assump-
tion’ is not really an assumption ; it is part of what is meant by state of the world.»
2.5. REMARQUES ET INTERPR ´
ETATIONS 23
En d’autres termes, en ce qui concerne l’´ev´enement A, la partition Piinduite par ˆ
P(ω)
n’apporte aucune information suppl´ementaire au del`a de l’information apport´ee par la par-
tition fondue ˆ
P. En th´eorie des probabiliti´es on apelle cette relation «la Propori´et´e de la
Tour »(the Tower Property), voire, par example Williams (1991, 88, th´eor`eme 9.7). 10
Sous cette forme-l`a, le r´esultat d’Aumann devient parfaitement lucide : si `a l’´etat ω, par
rapport `a un certain ´ev´enement A, les partitions individuelles n’apportent aucune infor-
mation suppl´ementaire au del`a de ce qui est de connaissance commune entre les individus,
alors bien ´evidemment, les probabilit´es a posteriori des individus concernant Adevraient
ˆetre de connaissance commune et identiques. En d’autres mots : en ce qui concerne l’´ev´e-
nement A, dans la mesure o`u les informations des individus sont diff´erentes au del`a de ce
qui est de connaissance commune, elles sont sans importance.
2.5.3 Une interpr´etation en termes du principe de la chose sˆure
Les conditions d’Aumann peuvent aussi ˆetre interpr´et´ees par le prisme de ce que l’on ap-
pelle en th´eorie du choix le principe de la chose sˆure (cet argument est donn´e, entre autres,
par Geanakoplos 1992, 66–67). Le principe de la chose sˆure (Savage 1954) dit le suivant :
si la probabilit´e conditionnelle d’une variable al´eatoire ´etant donn´e un sous-ensemble Ede
l’ensemble fondamental Ω est qet si la probabilit´e conditionnelle de cette mˆeme variable
al´eatoire ´etant donn´e un sous-ensemble Fde Ω, disjoint de E, est aussi q, alors la probabi-
lit´e conditionnelle de cette variable al´eatoire, ´etant donn´e E∪G, doit aussi ˆetre q. On peut,
bien sˆur, prolonger ce r´esultat `a toute suite finie de sous-ensembles disjoints de Ω. Mainte-
nant, sachant que les classes d’information Pik de la partition d’information d’un individu
sont toutes disjointes et que l’union de toutes ces classes ayant une intersection non-vide
avec ˆ
P(ω) est ˆ
P(ω) lui-mˆeme, on voit alors que les conditions d’Aumann (´equation 7) se
ram`enent au principe de la chose sˆure.
2.5.4 Les conditions d’Aumann dans le r´eel, un cas rare ?
Dans des applications, la question de l’ind´ependance se pose essentiellement au niveau d’une
relation entre la nature des choses que l’on peut observer. Dans la nature des choses, il peut
y avoir des raisons pour lesquelles on doit, ou devrait, postuler qu’un certain ´ev´enement A
soit ind´ependant d’une certaine variable al´eatoire qui permet `a un individu de diff´erencier
plusieurs ´etats du monde.
Imaginons, par exemple, que Ω repr´esente les qualit´es possibles d’un candidat pour un poste
de professeur en math´ematiques, et que Aest l’´ev´enement que le candidat soit qualifi´e pour
ce poste. Les deux individus 1 et 2 sont des membres de la commission de recrutement.
10. Je remercie tr`es vivement Matthias Beigelb¨
ock et Daniel Toneian de m’avoir indiqu´e cette relation.
24 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
Supposons qu’a priori les deux membres de la commission imposent la mˆeme probabilit´e
sur Ω et qu’ils ont acc`es aux mˆemes informations – `a deux diff´erences pr`es : premi`erement,
l’individu 1 ne peut pas distinguer les couleurs rouges et vertes, alors que l’individu 2 le
peut ; deuxi`emement, l’individu 1 est amateur d’une certaine marque de montres suisses,
alors que l’individu 2 ne connaˆıt rien au sujet, tout cela ´etant de connaissance commune
entre les deux individus. Le jour de l’entretien, le candidat arrive avec un pull rouge et porte
une montre de la marque pr´ef´er´ee de l’individu 1. Il est alors instantan´ement connaissance
commune entre les deux individus que l’individu 1 ne sait pas si le candidat porte un pull
rouge ou vert, alors que l’individu 2 le sait, aussi bien que l’individu 1 sait si la montre du
candidat est de la marque admir´ee par l’individu 1, alors que l’individu 2 ne le sait pas. Or,
si le candidat porte un pull rouge (ou pas) aussi bien que si sa montre est de cette marque
(ou pas) est sans int´erˆet pour savoir si le candidat est qualifi´e pour le poste en question.
En d’autres termes, l’´ev´enement que le candidat soit qualifi´e pour ce poste est ind´ependant
de l’ ´ev´enement qu’il porte un pull rouge (ou pas) et est ind´ependant de l’´ev´enement qu’il
porte une montre de la marque en question (ou pas). Ceci ´etant de connaissance commune
entre les deux membres de la commission – aussi bien que le fait qu’en dehors de cela ils
ont acc`es aux mˆemes informations – ils devraient alors arriver `a la mˆeme probabilit´e a
posteriori concernant l’´ev´enement que le candidat soit qualifi´e pour ce poste.
Les conditions d’Aumann sont-elles rares en r´ealit´e ? Non. Mais ce sont souvent les cas
dans lesquels, a juste titre, on fait abstraction des informations individuelles que poss`ede
un individu – pr´ecis´ement puisqu’on sait qu’elles sont sans importance par rapport `a l’´ev´e-
nement qui int´eresse.
2.5.5 Aucun niveau du croisement des connaissances des pro-
babilit´es a posteriori ne suffit pour que les probabilit´es a
posteriori soient ´egales
Aumann (1976) pr´ecise que son r´esultat «ne tient pas si les gens ont seulement connaissance
de la probabilit´e a posteriori de l’autre ».11 Pour le d´emontrer, il donne l’exemple suivant :
Soient Ω = {a, b, c, d},
P1={{a, b},{c, d}},
P2={{a, b, c},{d}}
ω?=al’´etat r´ealis´e et A={a, d}. Alors q1=P(A|P1(a)) = 1/2 et q2=P(A|P2(a)) =
1/3.
Ici, comme Aumann l’explique, l’individu 1 sait que l’individu 2 attribue `a Aune probabilit´e
actualis´ee de q2= 1/3 et l’individu 2 sait que l’individu 1 attribue `a A une probabilit´e
11. Aumann (1976, 1237) : «The result fails when people merely know each other’s posteriors. »
2.5. REMARQUES ET INTERPR ´
ETATIONS 25
actualis´ee de q1= 1/2. Il y aura alors connaissance de la probabilit´e a posteriori de l’autre
au premier niveau du croisement des connaissances. L’individu 1, de son cot´e, sait aussi
que l’individu 2 connaˆıt q1. Mais l’individu 2 ne sait pas si l’individu 1 connaˆıt q2ou pas
(puisque si l’´etat r´ealis´e ´etait c, ce que l’individu 2 doit penser possible, l’individu 1 aurait
re¸cu l’information que le vrai ´etat est cou d, et si c’´etait c, l’individu 1 ne saurait pas
si l’individu 2 avait re¸cu l’information {a, b, c}ou {d}). C’est-`a-dire, la connaissance des
connaissances s’effondre au deuxi`eme niveau du croisement des connaissances.
Ce constat – et c’est un point qu’Aumann (1976) ne remarque pas `a cet endroit – en effet
s’´etend `a tout niveau n∈Ndu croisement des connaissance.
Si on prolonge l’exemple donn´e par Aumann `a tout n∈N, on obtient : Ω = {k∈N|1≤
k≤n2},p(ω) = 1/n2pour tous les ´ev´enements ´el´ementaires,
P1={{1, . . . , n},{n+ 1,...,2n},{2n+ 1,...,3n},...,{(n−1)n+ 1, . . . , n2}},
P2={{1, . . . , n + 1},{n+ 2,...,2n+ 2},{2n+ 3,...,3n+ 3},...,{(n−2)n+ (n−1), . . . , n2−1},{n2}}
A={1, n + 1,2n+ 1,...,(n−2)n+ (n−1), n2}, et ω?= 1. On constate que quel que
soit le n∈N, les probabilit´es a posteriori que les deux individus attribuent `a Asont
diff´erentes (1/n pour l’individu 1 et 1/(n+ 1) pour l’individu 2) et que la connaissance des
connaissances crois´ees par rapport aux probabilit´es a posteriori de l’autre se heurte toujours
au niveau ndu croisement des connaissances. Cet exemple param´etrique d´emontre alors
qu’aucun niveau fini du croisement des connaissances des probabilit´es a posteriori n’est
suffisant pour que les probabilit´es a posteriori soient ´egales.
Voyons-le de mani`ere plus d´etaill´ee pour le cas n= 3 :
— niveau 1 : 1 sait que q2= 1/4, et 2 sait que q1= 1/3 ;
— niveau 2 : 1 sait que 2 sait que q1= 1/3, et 2 sait que 1 sait que q2= 1/4 ;
— niveau 3 : mais 1 ne sait pas si 2 sait que 1 sait que q2= 1/4, alors que 2 sait
que 1 sait que 2 sait que q1= 1/3 ; la connaissance des connaissances se heurte au
troisi`eme niveau du croisement des connaissances.
Aumann (1976) ne fait pas r´ef´erence `a cet exemple param´etrique dans le contexte de la
pr´esente discussion. Or, Aumann semble connaˆıtre cet exemple dans un autre contexte :
Geanakoplos et Polemarchakis (1982), qui utilisent cet exemple pour exposer une propri´et´e
int´eressante des dialogues `a travers les probabilit´es actualis´ees, disent de l’avoir appris par
Aumann. C’est aussi dans ce contexte-l`a que je vais revenir `a cet exemple dans le chapitre
4.
26 CHAPITRE 2. LE CADRE FORMEL ET LE TH ´
EOR `
EME D’AUMANN
Chapitre 3
La communication directe
Et si les individus pouvaient partager l’information que chacun d’eux a obtenue individuel-
lement selon sa partition d’information ? Imaginons, par exemple, qu’apr`es la r´ealisation
du vrai ´etat du monde, chacun des individus communique `a l’autre la classe de sa partition
d’information dont il ou elle sait d´esormais qu’elle contient la vrai ´etat du monde. Nous
appelons un tel ´echange d’information un processus de communication directe. Ce que les
individus savent apr`es un tel ´echange est repr´esent´e par ce que l’on appelle la partition
crois´ee des deux partitions.
D´efinition 2 Soient P1et P2deux partitions finies de l’ensemble fondamental Ω. On
appelle la partition crois´ee (the joint) de P1et P2, et l’on note par ˇ
P=P1∨P2, le
raffinement commun le plus grossier (le moins fin) de P1et P2; c’est-`a-dire la partition
de Ω la plus grossi`ere (la moins fine) telle que pour tout ω∈Ω,
ˇ
P(ω)⊂Pi(ω),∀i∈I={1,2},
sachant que ˇ
P=P1∨P2(ω) est la classe de la partition crois´ee P1∨P2contenant ω.
En pratique, les classes de ˇ
P=P1∨P2sont obtenues en prenant l’intersection de chaque
classe de l’une des deux matrices par toutes les classes de l’autre. 1
On peut, bien sˆur – de la mˆeme fa¸con que pour n’importe quelle partition – calculer pour
tout ´ev´enement A(mesurable par rapport `a la loi probabilit´e a priori p) sa probabilit´e a
posteriori ´etant donn´e l’information apport´ee par la partition crois´ee des deux partitions
ˇ
P:
p(A|ˇ
P(ω)) = p(A∩ˇ
P(ω))
p(P1∨P2(ω)).
En g´en´eral, la probabilit´e a posteriori de A´etant donn´e l’information apport´ee par la
partition crois´ee p(A|ˇ
P(ω)) et la probabilit´e a posteriori de A´etant donn´e l’information
1. Voir, par exemple, Barbut (1968, 6). Remarquons ici que Barbut utilise le symbole ∧pour la partition
crois´ee et ∨pour la partition foundue.
27
28 CHAPITRE 3. LA COMMUNICATION DIRECTE
apport´ee par la partition fondue p(A|ˆ
P(ω)) ne co¨
ıncident pas. Mais cela peut se produire.
Dans le cas particulier o`u les conditions d’Aumann (7) sont satisfaites, il suffit que ˇ
P(ω)
co¨
ıncide avec Pi(ω) pour l’un des deux individus pour garantir que la probabilit´e a posteriori
de A´etant donn´e l’information apport´ee par la partition crois´ee p(A|ˇ
P(ω)) est ´egale `a
la probabilit´e a posteriori de A´etant donn´e l’information apport´ee par la partition fondue
p(A|ˆ
P(ω)). L’argument est le suivant : si les conditions d’Aumann s’appliquent, p(A|
Pi(ω)) = p(A|ˆ
P(ω), pour tout i= 1,2. Alors si pour au moins l’un des individus ˇ
P(ω) =
Pi(ω), on aura p(A|ˇ
P(ω)) = p(A|ˆ
P(ω)). Dans une telle situation : mˆeme si les individus
peuvent se communiquer l’information que chacun d’eux a re¸cue individuellement selon sa
partition d’information, ils n’arriveront pour autant `a une autre probabilit´e a posteriori de
Aque celle que chacun d’eux trouve individuellement. L’exemple 1 en est une illustration.
Exemple 1 - suite.
Dans l’exemple 1, la partition crois´ee co¨
ıncide avec celle de l’individu 1 :
ˇ
P=P1={{a, b},{c, d}}.
On a : ˇ
P(a) = P1(a) = {a, b}. Et alors :
p({b, c} | ˇ
P(a)) = p({b, c} | P1(a)) = p({b, c}∩{a, b})
p({a, b})=1
2.
Exemple 2 - suite.
Dans l’exemple 2, dans lequel les conditions d’Aumann sont aussi satisfaites, la partition
crois´ee des deux partitions est la partition la plus fine :
ˇ
P={{a},{b},{c},{d},{e},{f}}.
Dans cet exemple, la partition crois´ee ne co¨
ıncide ni avec la partition d’information de
l’individu 1 ni avec celle de l’individu 2. La partition crois´ee raffine plutˆot les deux parti-
tions d’information individuelles. Supposons, comme avant, que ase r´ealise. Maintenant,
si l’individu 1 dit `a l’individu 2 : «J’ai re¸cu l’information que l’´etat r´ealis´e appartient `a
{a, b}», et l’individu 2 dit `a l’individu 1 : «J’ai re¸cu l’ information que l’´etat r´ealis´e ap-
partient `a {a, c}», les deux individus peuvent alors en d´eduire que l’´etat r´ealis´e appartient
`a {a, b}∩{a, c}={a}– ce qui est bien l’´el´ement de la partition crois´ee contenant l’´etat
r´ealis´e a– et que par cons´equent l’´ev´enement A={b, c}s’est alors sˆurement pas r´ealis´e :
p({b, c} | ˇ
P(a)) = p({b, c}∩{a})
p({a})=p(∅)
p({a})= 0.
On constate que cette probabilit´e attribu´ee `a Aa posteriori est diff´erente des probabilit´es
a posteriori attribu´ees `a Apar les deux individus, qui sont toutes les deux ´egales `a 1/2.
29
Donc, si les deux individus se communiquent v´eridiquement l’information que chacun d’eux
a re¸cue selon sa partition d’information individuelle, ils arrivent `a savoir plus que chacun
d’eux sait individuellement et ce qui est, en l’occurrence, de connaissance commune entre
les deux.
Exemple 3 - suite.
Dans l’exemple 3, dans lequel les conditions d’Aumann ne sont pas satisfaites, la partition
crois´ee est ˇ
P={{a},{b},{c},{d},{e}{f, g}},
et alors
p({b, e} | ˇ
P(b)) = p({b, e}∩{b})
p({b})=p({b})
p({b})= 1.
C’est-`a-dire : si les deux individus arrivent `a se communiquer v´eridiquement l’information
que chacun d’eux a re¸cue individuellement selon sa partition d’information, ils arriveront `a
connaˆıtre le vrai ´etat du monde qui s’est r´ealis´e, ω=b, et ils sauront alors que l’´ev´enement
A={b, e}s’est r´ealis´e, p({b, e} | ˇ
P(b)) = 1, ce qui est, on le note, une probabilit´e a
posteriori diff´erente de celles attribu´ees `a Aselon les partitions d’information individuelles
(1/2 pour l’individu 1, et 1/3 pour l’individu 2).
Exemple 4 - suite.
Dans l’exemple 4, dans lequel les conditions d’Aumann ne sont pas satisfaites non plus,
ˇ
P={{a},{b},{c},{d}},
et alors
p({a} | ˇ
P(a)) = p({a}∩{a})
p({a})=p({a})
p({a})= 1.
R´esumant les observations que l’on peut faire dans ces exemples : les conditions d’Au-
mann (´equation 7) ne sont ni n´ecessaires ni suffisantes pour que la communication directe
permette aux individus de savoir plus que chacun d’eux sait d´ej`a grˆace `a sa partition
d’information.
30 CHAPITRE 3. LA COMMUNICATION DIRECTE
Chapitre 4
La communication indirecte `a travers
les croyances : un «dialogue
bay´esien »
Vers a fin de son article, Aumann se r´ef`ere `a des travaux sur la formation d’opinion qui s’in-
t´eressent `a des proc´edures d’´echange d’opinions pour arriver `a une opinion jointe (Dalkey
1972, DeGroot 1974) et il illustre comment un tel processus s’appliquera `a son mod`ele :
Supposons qu’a priori 1 et 2 imposent une loi uniforme sur le param`etre d’une
pi`ece, et soit Al’´ev´enement que l’on obtienne F(face) au prochain jet. Sup-
posons que chaque personne a le droit de faire un jet auparavant et que les
r´esultats respectifs sont Fet P(pille). Si l’information de chacun est pr´ecis´e-
ment le r´esultat du jet qu’il a observ´e au pr´ealable, les probabilit´es a posteriori
de Asont 2/3 et respectivement 1/3. Si tous les deux informent l’autre de sa
probabilit´e a posteriori de A, alors ils vont tous les deux conclure que les r´esul-
tats des jets au pr´ealable ´etaient Fet P, et ils vont alors tous les deux r´eviser
la probabilit´e a posteriori de Apour l’´egaliser `a 1/2. 1
Aumann envisage une extension de l’exemple dans laquelle les individus ne sont pas parfai-
tement inform´es du nombre de jets que chacun a pu observer mais connaissent seulement
la probabilit´e a priori de cette variable. «Notre r´esultat », Aumann dit, «implique que le
processus d’´echange de l’information des probabilit´es a posteriori de Acontinuera jusqu’`a
ce que ces probabilit´es a posteriori soient ´egales. »
1. Aumann (1976, 1238) : «Suppose 1 and 2 have a uniform prior on the parameter of a coin, and
let Abe the event that the coin will come up H(heads) on the next toss. Suppose that each person is
permitted to make one previous toss, and that these tosses come up Hand T(tails) respectively. If each
one’s information consists precisely of the outcomes of this toss, then the posteriors for Awill be 2
3and
1
3respectively. If each one then informs the other of his posterior, then they will both conclude that the
previous tosses came up once Hand once T, so that both posteriors will be revised to 1
2.»
31
32CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
4.1 D´efinition
Muni du cadre formel ´etabli par Aumann, on peut d´efinir un tel processus de communi-
cation indirecte `a travers les probabilit´es actualis´ees en toute g´en´eralit´e (Geanakoplos et
Polemarchakis 1982). Suivant Geanakoplos et Polemarchakis, supposons plus pr´ecis´ement
que les deux individus se communiquent, tour `a tour, les probabilit´es a posteriori de A
´etant donn´e l’information apport´ee par leur partition d’information et par ce qu’ils ont
appris `a travers les ´etapes pr´ec´edentes.
Un tel processus peut se comprendre de la fa¸con suivante : a chaque ´etape, l’annonce de
l’individu dont c’est le tour va le rendre de connaissance commune qu’un certain sous-
ensemble de Ω ne peut pas contenir le vrai ´etat du monde et peut alors ˆetre ´ecart´e de Ω
en connaissance commune. Le processus commence avec ˆ
P(ω), certainement puisque tout
au d´ebut – avant que le processus d’´echange des probabilit´es actualis´ees commence – il y
a d´ej`a une partie de l’ensemble fondamental dont les deux individus savent en connais-
sance commune qu’elle ne peut pas contenir le vrai ´etat : l’ensemble de tous les ´etats qui
n’appartiennent pas `a la classe de la partition fondue qui contient le vrai ´etat ˆ
P(ω). Nous
posons alors Ω(0) = Ω et Ω(1) = ˆ
P(ω). Ensuite, Ω(n+ 1) est donn´e par Ω(n) moins
tous les ´etats dont il est devenu de connaissance commune, `a l’´etape n, qu’ils ne peuvent
pas ˆetre l’´etat r´ealis´e. Nous avons ainsi affaire `a un univers contractant – une suite de
Ω(0),Ω(1),Ω(2) . . . , Ω(N) telle que Ω(N+ 1) ⊂Ω(N). A partir d’un certain rang N, les
individus n’arriverons plus `a ´ecarter aucun ´etat en connaissance commune, quel que soit
l’individu qui annonce sa probabilit´e actualis´ee, c’est-`a-dire Ω(N+2) = Ω(N+1) = Ω(N).
Nous dirons alors que le processus s’est termin´e `a la N-i`eme ´etape.
Plus formellement :
Ω0= Ω,
Etape 1 : Ω1=ˆ
P(ω?), calcul´e normalement ´etant donn´e Ω0= Ω,
Etape t: Ωn= Ωn−1\¯
Pi(t−1),t−1,sachant que
¯
Pi(t),t =[
i(t),k
Pi(t),k,tel que Pi(t),k ∈Pi(t)et p(A∩Pi(t),k ∩Ω(t))
p(Pi(t),k ∩Ω(t)) 6=qi(t),t,
qi,t =p(A∩Pi(ω)∩Ω(t))
p(Pi(ω)∩Ω(t))
et i(t) est donn´e par la suite 1,2,1,2, . . . si c’est l’individu 1 qui commence ; par 2,1,2,1. . .
si c’est l’individu 2 qui commence.
Cette mani`ere de d´efinir le processus diff`ere l´eg`erement de celle donn´ee par Geanakoplos et
Polemarchakis (1982). Geanakoplos et Polemarchakis (1982) d´efinissent le processus `a la
base de l’ensemble des classes de la partition de l’individu 1, respectivement 2, qui restent
4.1. D ´
EFINITION 33
compatibles, `a l’´etape n, avec les annonces faites jusqu’`a l’´etape nmais sans ´eliminer
`a l’´etape initiale tous les ´etats en dehors de la classe de la partition fondue `a laquelle
appartient l’´etat r´ealis´e.
Une observation est imm´ediate. Si les conditions d’Aumann sont satisfaites, le processus
se termine tout de suite, avec la premi`ere ´etape : bien ´evidemment, puisque dans ce cas,
les probabilit´es a posteriori sont d´ej`a de connaissance commune (naturellement grˆace `a
la connaissance commune des partitions d’information individuelles) et alors les individus
n’apprennent plus rien par l’annonce de l’autre au del`a de ce qu’ils savent d´ej`a grˆace `a la
connaissance commune de leurs partitions d’information. Voyons-le dans l’exemple 2.
Exemple 2 – suite
On se souvient :
P1={{a, b},{c, d},{e},{f}},
P2={{d, b},{c, a},{e, f}},
ˆ
P={{a, b, c, d},{e, f}}.
Comme avant, supposons que l’on s’int´eresse `a l’´ev´enement A={b, c}et que c’est l’´etat a
qui s’est r´ealis´e. Ici la classe de la partition fondue `a laquelle appartient l’´etat r´ealis´e est
ˆ
P(ω) = {a, b, c, d}. Le fait que l’´etat r´ealis´e ne peut pas se trouver en dehors de cet ensemble
est tout de suite de connaissance commune entre les deux individus, tout simplement par
le fait que les deux partitions d’information sont de connaissance commune, et, ajoutons-
le, en vertu de la connaissance commune que l’un des ´etats s’est effectivement r´ealis´e et
que les deux individus ont chacun re¸cu l’information sur l’´etat r´ealis´e selon leur partition
d’information. Alors, Ω(1) = ˆ
P(ω) = {a, b, c, d}.
Imaginons maintenant que les deux individus s’annoncent tour `a tour leurs probabilit´es
actualis´ees par rapport `a l’´ev´enement A. On s’aper¸coit tr`es vite : quel que soit l’individu
qui commence, son annonce de 1/2 ne va rien apprendre `a l’autre et ne va pas leur permettre
d’´ecarter aucune partie des ´etats du monde possibles Ω au del`a de ce qu’ils peuvent d´ej`a
´ecarter en connaissance commune tout simplement en exploitant l’information que chacun
d’eux a re¸cue selon sa partition d’information et le fait que les partitions d’information sont
de connaissance commune. Imaginons que c’est l’individu 1 qui commence et qui annonce
alors `a l’individu 2 : «Selon mes informations, la probabilit´e a posteriori de A={b, c}
est de 1/2». L’individu 2 peut ˆetre imagin´e de r´epondre comme suit : «Tr`es bien, vous
m’annoncez 1/2. Mais je sais d´ej`a que c’´etait ce que vous alliez me dire ; et par ailleurs
vous savez tr`es bien que je le sais, et vous savez que je sais que vous savez que je le sais,
etc. En fait, nous savons tr`es bien tous les deux – et ceci est effectivement de connaissance
commune entre nous – que le vrai ´etat du monde appartient `a {a, b, c, d}. Certainement, je
ne sais pas si vous avez re¸cu l’information que le vrai ´etat appartient `a {a, b}ou `a {c, d}.
Mais quel que soit le cas, vous arriveriez toujours `a une probabilit´e a posteriori de Ade 1/2.
34CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
Et inversement, je sais tr`es bien que vous savez que moi, de mon cˆot´e, j’ai re¸cu l’information
que le vrai ´etat appartient `a {d, b}ou `a {c, a}et que je vais alors aussi annoncer 1/2, et
vous savez que je sais que vous le savez, etc. A quoi bon alors de se parler ? »
Etudions donc la question dans un exemple dans lequel les conditions d’Aumann ne sont
pas satisfaites.
Exemple 3 – suite
On se souvient :
P1={{a, b},{c, e},{d, f, g}},
P2={{a},{b, c, d},{e, f, g}},
ˆ
P={{a, b, c, d, e, f, g}}.
Comme avant, soit A={b, e}l’´ev´enement qui int´eresse, et bl’´etat r´ealis´e. Si les individus
calculent chacun la probabilit´e a posteriori de A={b, e}en exploitant l’information ob-
tenue grˆace `a leurs partitions d’information individuelles, l’individu 1 attribuera `a Aune
probabilit´e a posteriori de 1/2, et l’individu 2 de 1/3. Mais qu’est-ce qui se passe si les
deux se communiquent tour `a tour leurs probabilit´es a posteriori ?
Etape 0 : remarquons tout d’abord qu’ici la partition fondue n’a qu’un seul ´el´ement, ˆ
P=
{Ω}; ainsi ˆ
P(b) = Ω, et puis Ω1= Ω0= Ω.
Etape 1 : supposons que c’est l’individu 2 qui commence. L’individu 2 annonce alors `a
l’individu 1 : «J’ai trouv´e comme probabilit´e a posteriori de A: 1/3. »L’individu 1 va en
tirer la conclusion que ane peut pas ˆetre l’´etat r´ealis´e. Pourquoi ? Parce-que {a}est la seule
classe de la partition d’information de l’individu 2 qui ne conduit pas `a une probabilit´e
a posteriori de Ade 1/3 : si l’individu 2 avait re¸cu l’information {a}, la r´eponse aurait
´et´e 0. Cependant la restriction des ´etats du monde possibles `a {b, c, d}aussi bien qu’`a
{e, f, g}donne 1/3. 2Selon l’hypoth`ese que les partitions d’information des individus sont
de connaissance commune, l’annonce de «1/3»par l’individu 2 revient alors `a le rendre de
connaissance commune que ane peut pas ˆetre l’´etat r´ealis´e. Par cons´equent, {a}peut ˆetre
´ecart´e en connaissance commune de l’ensemble des ´etats du monde possibles, et ce qui reste
dans le fond des ´etats du monde possibles qui ne peuvent pas ˆetre exclus en connaissance
commune est : Ω(2) = Ω(1)\{a}={b, c, d, e, f, g}.
Etape 2 : l’individu 1 peut-elle en d´eduire quelque chose au del`a de ce qu’elle savait d´ej`a
grˆace `a sa partition d’information individuelle ? Oui, et ceci sera de cons´equence. L’individu
1 sait d´ej`a que l’´etat r´ealise est soit asoit b. Si elle apprend maintenant que ane s’est pas
2. On peut aussi imaginer l’individu 1 raisonner comme suit : je sais que l’´etat r´ealis´e est soit a, soit
b. Si l’´etat r´ealis´e ´etait a, l’individu 2 aurait rapport´e «0». Si l’´etat r´ealis´e ´etait b, l’individu 2 aurait
rapport´e «1/3 ». C’est exactement ce qu’il a dit. Donc, je peux ´ecarter a.
4.1. D ´
EFINITION 35
r´ealis´e, elle sait alors que l’´etat r´ealis´e est bet puis que l’´ev´enement A={b, e}ne s’est
sˆurement pas r´ealis´e. Plus formellement, l’individu 1 a fait le calcul suivant :
p[{
A
z}|{
b, e }∩{
P1(b)
z}|{
a, b } ∩
Ω(2)={b,c,d,e,f,g}
z }| {
({
P2k→1/3
z}|{
b, c, d }∪{
P2k→1/3
z }| {
e, f, g })]
p({a, b}∩{b, c, d, e, f, g})=p({b})
p({b})= 1.
En d’autres termes : grˆace `a l’annonce de l’individu 2, l’individu 1 a pu ´ecarter une partie
de l’ensemble fondamental Ω, en l’occurrence {a}– ce qui est en effet de connaissance
commune entre les deux individus – et refaire alors son calcul de la probabilit´e a posteriori
de A={b, e}avec sa partition d’information induite sur ce nouvel ensemble fondamental
Ω(2) = Ω\{a}={b, c, d, e, f, g}. L’individu 1 annonce alors `a 2 : «1». Cette annonce de
l’individu 1, `a son tour, revient `a le rendre de connaissance commune que l’´etat r´ealis´e ne
peut ni appartenir `a {c, e}ni `a {d, f, g}: certainement, puisque connaissant la partition
d’information de l’individu 1 induite par Ω(2),
P1,Ω(2) ={{b},{c, e},{d, f, g}},
la probabilit´e a posteriori de 1 n’est compatible ni avec {c, e}ni avec {d, f, g}.3Alors,
Ω(3) = Ω(2)\{c, e, d, f, g}={b}.
Etape 3 : l’individu 2 sait alors que l’´etat r´ealis´e est bet que As’est sˆurement r´ealis´e. Les
partitions d’informations et les annonces successives des individus ´etant de connaissance
commune, cela est en fait de connaissance commune. Plus formellement l’individu 2 fait le
calcul suivant :
p[{
A
z}|{
b, e } ∩ ({
P2(b)
z}|{
b, c, d} ∩
Ω(3)
z}|{
{b})]
p[{b, c, d}∩{b}]=p({b})]
p({b})= 1.
Apr`es seulement deux ´etapes de cet ´echange des probabilit´es actualis´ees il devient alors
de connaissance commune entre les deux individus que l’´etat r´ealis´e est b, que l’´ev´enement
3. On peut aussi imaginer l’individu 2 raisonner comme suit : je sais que l’´etat r´ealis´e est soit b, soit c,
soit d.
— Si l’´etat r´ealis´e ´etait b, l’individu 1 aurait pens´e possible {a, b}. En connaissance de mon annonce
et de ma partition d’information, elle aurait conclu que j’ai re¸cu l’information que l’´etat r´ealis´e
appartenait `a {b, c, d}. (Puisqu’elle sait que ¸ca n’aurait pas pu ˆetre apuisque dans ce cas-l`a, j’aurais
annonc´e 0.) Elle aurait alors pu exclure aet elle aurait annonc´e 1, comme elle l’a fait d’ailleurs.
— Si l’´etat r´ealis´e ´etait c, elle aurait pens´e possible {c, e}et elle aurait alors pens´e que je pensais
possible {b, c, d}ou {e, f, g}. Dans les deux cas je serais arriv´e `a 1/3. Mais cette information ne
lui aurait pas permis d’´ecarter ni cni e. Donc elle aurait annonc´e 1/2.
— Si l’´etat r´ealis´e ´etait d, elle aurait pens´e possible {d, f, g}et, en fait, ind´ependamment de mon
annonce, elle aurait d´ej`a su que Ane s’est sˆurement pas r´ealis´e et elle aurait alors annonc´e 0.
Je sais alors que c’est bien bqui s’est r´ealis´e.
36CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
A={b, e}s’est alors sˆurement r´ealis´e et que les deux vont attribuer `a Aune probabilit´e a
posteriori de 1.
La trace visible de ce processus de communication indirecte – de ce dialogue bay´esien comme
l’on peut dire – est la suite des probabilit´es actualis´ees annonc´ees aux ´etapes respectives :
Etape 1 : q2= 1/3
Etape 2 : q1= 1
Etape 3 : q2= 1
4.2 Propri´et´es
4.2.1 Un fondement dynamique du th´eor`eme d’Aumann
On peut montrer qu’un tel processus converge toujours, dans un nombre fini de pas, vers
une situation dans laquelle les probabilit´es a posteriori des individus sont de connaissance
commune et alors – force du th´eor`eme d’Aumann – identiques (Geanakoplos et Polemar-
chakis 1982). Ce r´esultat donne un fondement dynamique au r´esultat d’Aumann. Ainsi
l’´etude de Geanakoplos et Polemarchakis (1982) met en ´evidence : il est possible d’ˆetre
un d´esaccord, c’est-`a-dire, que les probabilit´es a posteriori ne sont pas de connaissance
commune et alors pas forcement identiques. Mais si les individus se communiquent leurs
probabilit´es actualis´ees tour `a tour et en tirent les conclusions selon la logique bay´esienne,
alors : «On ne peut pas ˆetre en d´esaccord `a toujours »(«We can’t disagree forever »),
comme l’annonce le titre de leur article.
4.2.2 Le «fond de la connaissance commune »
La trace visible du processus de communication indirecte `a la Geanakoplos et Polemarchakis
(1982) est la suite des probabilit´es a posteriori annonc´ees `a chaque ´etape, tour `a tour, par les
deux individus. Or ce qui se passe en arri`ere-plan, c’est qu’`a chaque ´etape, les individus ont
en connaissance commune ´ecart´e une partie de l’ensemble des ´etats du monde possibles, au
del`a des ´etats qui n’appartiennent pas `a la classe de la partition fondue `a laquelle appartient
le vrai ´etat. Ce qui reste, `a chaque ´etape, l’ensemble des ´etats du monde possibles dont il
n’est pas devenu de connaissance commune qu’ils ne peuvent pas ˆetre l’´etat r´ealis´e, ce que
nous notons Ω(n), joue le rˆole d’un nouvel ensemble fondamental. Reprenant un terme que
l’on trouve chez Geanakoplos et Polemarchakis (1982), nous nous r´ef´erons aussi `a Ω(n)
comme le fond de la connaissance commune (the fund of common knowledge) `a l’´etape n.4
4. Geanakoplos et Polemarchakis (1982, p. 196) utilisent ce terme – the fund of common knowledge – en
passant pour se r´ef´erer `a l’ensemble des classes de la partition de l’individu 1, respectivement 2, qui restent
compatibles, `a l’´etape n, avec les annonces faites jusqu’`a l’´etape n, mais – et ceci refl`ete la diff´erence entre
4.2. PROPRI ´
ET ´
ES 37
Au niveau des individus, tout se passe comme si `a chaque ´etape ils se trouvaient devant
un nouveau probl`eme de recherche de la probabilit´e a posteriori de Aavec l’ensemble
fondamental Ω(n) et les partitions d’information Piinduites par Ω(n), ce que nous notons
Pi,Ω(n).
Dans l’exemple 3 :
Ω(1) = Ω : P1,Ω(1) ={{a, b},{c, e},{d, f, g}}
P2,Ω(1) ={{a},{b, c, d},{e, f, g}} → q2=1
3
→ {a}´ecart´e en connaissance commune
Ω(2) = Ω\{a}:P1,Ω(2) ={{a,b},{c, e},{d, f, g}} → q1= 1
P2,Ω(2) ={{a},{b, c, d},{e, f, g}}
→ {c, e}∪{d, f, g}´ecart´es en connaissance commune
Ω(3) = {b}:P1,Ω(3) ={{a,b},{c, e},{d, f, g}}
P2,Ω(3) ={{a},{b, c, d},{e, f, g}} → q2= 1
A chaque ´etape, le fond de la connaissance commune Ω(n) et les partitions d’information
induites par Ω(n), les Pi,Ω(n),i= 1,2, sont de nouveau de connaissance commune –
bien ´evidemment, puisque ces donn´ees ont ´et´e construites `a partir des donn´ees qui sont de
connaissance commune : les partitions d’information et la probabilit´e a posteriori annonc´ee
`a l’´etape pr´ec´edente.
4.2.3 La communication indirecte se termine toujours avec les
conditions d’Aumann
Dans l’exemple 3, `a la fin du processus, les individus arrivent `a connaˆıtre le vrai ´etat
du monde qui s’est r´ealis´e (ben l’occurrence). Or, ce n’est pas n´ecessairement le cas.
Le processus peut s’arrˆeter avec un sous-ensemble de Ω avec plus qu’un ´etat. En effet,
nous avons d´ej`a rencontr´e ce ph´enom`ene – dans l’exemple 2. L’exemple 2, certes, a la
propri´et´e particuli`ere que le processus s’arrˆete toute suite apr`es la premi`ere ´etape, puisque
sur la classe de la partition fondue `a laquelle appartient le vrai ´etat, ˆ
P(ω), les conditions
d’Aumann sont satisfaites. Il est aussi possible que le processus de communication indirecte
´elimine effectivement quelques ´etats appartenant `a ˆ
P(ω) = Ω(1) avant qu’il s’arrˆete avec
un sous-ensemble de ˆ
P(ω) avec plus qu’un ´etat sur lequel les conditions d’Aumann sont
satisfaites. L’exemple 5 le montrera.
Ce qui reste vrai toujours, comme le montre Geanakoplos et Polemarchakis, c’est que le
processus s’arrˆete avec un sous-ensemble de Ωsur lequel les conditions d’Aumann sont
satisfaites – sur lequel les probabilit´es a posteriori des deux individus sont de connaissance
leur mani`ere de d´efinir le processus et la nˆotre – sans avoir ´elimin´e tout au d´ebut tous les ´etats en dehors
de la classe de la partition fondue `a laquelle appartient l’´etat r´ealis´e.
38CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
commune et alors ´egales, grˆace `a la connaissance commune de leurs partitions d’informa-
tions induites sur ce sous-ensemble de Ω.
4.2.4 La communication indirecte peut diverger de la communi-
cation directe
L’exemple 3 a aussi la propri´et´e particuli`ere que la probabilit´e a posteriori de Atrouv´ee `a
la fin du processus de communication indirecte `a travers la probabilit´es actualis´ees est iden-
tique `a la probabilit´e a posteriori de A´etant donn´ee l’information apport´ee par la partition
crois´ee, c’est `a dire la probabilit´e a posteriori de Aqui aurait r´esult´e de la communication
directe des informations re¸cues selon les partitions d’information individuelles. Ceci n’est
pas pour autant n´ecessairement le cas. L’exemple 5 le montrera ´egalement.
4.2.5 L’ordre joue un rˆole
L’exemple 3 a une troisi`eme particularit´e : ind´ependamment de qui commence le processus,
le processus se termine toujours avec le mˆeme fond de la connaissance commune – le
mˆeme sous-ensemble de Ω dont les individus n’arrivent plus `a ´ecarter quoi que ce soit –
et par cons´equent `a la mˆeme probabilit´e a posteriori que les deux individus attribuent
en connaissance commune `a l’´ev´enement A. Ceci n’est pour autant pas toujours le cas. Il
se peut qu’en fonction de qui commence le processus, celui-ci se termine avec deux sous-
ensembles de Ω diff´erents – sur chacun d’eux, comme il le faut toutefois, les conditions
d’Aumann sont respect´ees. L`a, encore une fois, l’exemple 5 en sera une d´emonstration.
Exemple 5
Soient Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, et p(ω) = 1/11 pour tous les ´ev´enements ´el´emen-
taires,
P1={{a, b, c, d, e, f},{g, h, i, j, k}},
P2={{a, b, g, h},{c, d, i, j},{e, f, k}},
A={a, b, i, j, k}, et ω?=a. L’exemple est une variante d’un exemple donn´e par Polemar-
chakis (2016, 12). 5Ici, encore une fois, nous sommes dans le cas o`u la partition fondue est
la plus grossi`ere ˆ
P={Ω}. La classe de la partition fondue contenant le vrai ´etat est alors
Ω lui-mˆeme, ˆ
P(a) = Ω, et le processus commence avec Ω(1) = Ω.
5. Chez Polemarchakis il apparaˆıt avec un ensemble fondamental avec seulement 6 ´etats avec des pro-
babilit´es a priori diff´erentes. Ici on a tout simplement port´e l’exemple de Polemarchakis `a un mod`ele avec
une loi de probabilit´e a priori uniforme sur l’ensemble d’´etats du mondes possibles.
4.2. PROPRI ´
ET ´
ES 39
Ici, comme le montre Polemarchakis, l’ordre de la communication indirecte joue un rˆole :
—Si c’est l’individu 1 qui commence :
A l’´etape 1 : Ω(1) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k},
P1,Ω(1) ={{a, b, c, d, e, f},{g, h, i, j, k}}, et alors :
q1=p({a, b, i, j, k}∩{a, b, c, d, e, f})
p({a, b, c, d, e, f})=p({a, b})
p({a, b, c, d, e, f})=1
3,
ce qui implique que {g, h, i, j, k}peut ˆetre ´ecart´e en connaissance commune.
A l’´etape 2 : Ω(2) = {a, b, c, d, e, f},
P2,Ω(2) ={{a, b},{c, d},{e, f}},
q2=p({a, b}∩{a, b})
p({a, b})=p({a, b})
p({a, b})= 1,
ce qui implique que {c, d, e, f}peut ˆetre ´ecart´e en connaissance commune.
A l’´etape 3 : Ω(3) = {a, b},P1,Ω(3) ={{a, b}}, et l’individu 1 annoncera alors aussi :
«1».
Sur ce qui reste, Ω(3) = {a, b}, les conditions d’Aumann sont satisfaites – de mani`ere
triviale puisque les partitions d’information des deux individus induites par {a, b}
sont les mˆemes :
P1,Ω(3) ={{a, b}} =P2,Ω(3).
Dans cet exemple, l’´el´ement de la partition crois´ee auquel appartient l’´etat r´ealis´e a
est ´egalement {a, b}. La communication directe am`enera alors aussi `a une probabilit´e
a posteriori de l’´ev´enement Ade 1.
—Mais si c’est l’individu 2 qui commence :
A l’´etape 1 : Ω(1) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k},
P2,Ω(1) ={{a, b, g, h},{c, d, i, j},{e, f, k}},
q1=p({a, b, i, j, k}∩{a, b, g, h})
p({a, b, g, h})=p({a, b})
p({a, b, g, h})=1
2,
ce qui implique que {e, f, k}peut ˆetre ´ecart´e en connaissance comme.
A l’´etape 2 : Ω(2) = {a, b, c, d, g, h, i, j},
P1,Ω(2) ={{a, b, c, d},{g, h, i, j}},
40CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
q2=p({a, b, i, j}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({a, b})
p({a, b, c, d})=1
2.
Plus rien ne peut ˆetre ´ecart´e en connaissance comme.
Ensuite, ´etant donn´e Ω(3) = {a, b, c, d, g, h, i, j}et P2,Ω(3) ={{a, b, g, h},{c, d, i, j}},
l’individu 2, s’il suit le proc´ed´e bay´esien prescrit par Geanakoplos et Polemarchakis,
ne pourra que r´ep´eter «1/2 »ce qui n’apportera aucune nouvelle `a l’individu 1 ; et
ainsi de suite. Le processus est arriv´e `a sa fin. Sur les deux partitions d’informations
qui restent,
P1,Ω(3) ={{a, b, c, d},{g, h, i, j}},P2,Ω(3) ={{a, b, g, h},{c, d, i, j}},
par rapport `a l’´ev´enement A={a, b, i, j, k}, ou bien ce qui reste de l’´ev´enement
A`a cette ´etape, A={a, b, i, j}, comme il le faut, les conditions d’Aumann sont
satisfaites :
p({a, b, i, j}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=1
2=p({a, b, i, j}∩{a, b, g, h})
p({a, b, g, h}).
L’exemple 5 illustre alors trois propri´et´es importantes du processus de communication
indirecte :
— le processus ne va pas n´ecessairement faire connaˆıtre aux individus l’´etat exact qui
s’est r´ealis´e,
— n’am`ene pas n´ecessairement au mˆeme r´esultat que la communication directe, mais
peut s’arrˆeter avant que la classe de la partition crois´ee auquel appartient le vrai
´etat soit atteinte (ce qui arrˆete le processus, on le voit tr`es bien dans l’exemple 5,
sont les conditions d’Aumann), et
— d´epend de l’ordre.
4.2.6 Une annonce publique peut bloquer ou bien d´ebloquer le
processus de la communication indirecte
Exemple 6
Soient Ω = {a, b, c, d, e, f}, et p(ω) = 1/6 pour tous les ´ev´enements ´el´ementaires,
P1={{a, b},{c, d, f},{e}},
P2={{a, c},{b, d, e},{f}},
4.2. PROPRI ´
ET ´
ES 41
A={a, d}, et ω?=a. Cet exemple est aussi une variante d’un exemple donn´e par Po-
lemarchakis (2016). 6Ici la partition fondue est ´egalement la partition la plus grossi`ere
ˆ
P={Ω}. Ainsi ˆ
P(a) = Ω, et puis Ω(1) = Ω. Ici la communication indirecte, quel que
soit l’individu qui commence le processus – on le v´erifie facilement – va r´eduire l’ensemble
fondamental `a l’´etat r´ealis´e, {a}, et les deux individus vont alors savoir en connaissance
commune que l’´ev´enement A={a, d}s’est sˆurement r´ealis´e.
Suivant Polemarchakis, imaginons cependant qu’avant le d´ebut du processus une autorit´e
annonce publiquement que ni eni fest le vrai ´etat. Apr`es cette annonce, on aura un
ensemble fondamental modifi´e Ω0={a, b, c, d}. Etant donn´e les partitions des individus
induites par ce nouvel ensemble fondamental,
P1,Ω0={{a, b},{c, d}},
P2,Ω0={{a, c},{b, d },
les conditions d’Aumann sont satisfaites : les deux individus arrivent `a une probabilit´e
actualis´ee de Ade 1/2, et ceci est de connaissance commune entre les deux. Mais cela
veut dire qu’`a partir de cette situation, mˆeme si les deux individus se communiquent
leurs probabilit´es actualis´ees, ils n’arriveront plus `a ´ecarter d’autres parties de l’ensemble
fondamental : le processus est bloqu´e d`es le d´ebut avec l’ensemble fondamental r´eduit `a
Ω0={a, b, c, d}et la probabilit´e actualis´ee de 1/2 attribu´ee `a Aen connaissance commune –
ce qui est, remarquons-le, moins exact que la connaissance commune sur Aqu’il pourraient
atteindre par communication indirecte `a partir de la situation originelle.
Remarquons ´egalement que annonce publique «ni eni fest le vrai ´etat du monde »porte
sur un fait dont chacun des deux individus a d´ej`a connaissance individuellement, en vertu
de sa partition d’information. En revanche, que tous les deux ont d´ej`a connaissance de ce
fait n’est pas de connaissance commune. L’effet de cette annonce publique est justement
de rendre ce fait de connaissance commune. Mais la cons´equence est fatale : puisque c’est
justement la connaissance commune de ce fait qui les jette dans cette situation `a partir de
laquelle la communication indirecte `a travers les probabilit´es actualis´ees est impuissante.
Certes, une annonce publique peut aussi avoir l’effet contraire : elle peut d´ebloquer le
processus si celui-ci se trouve bloqu´e dans une situation Aumannienne. Pour reprendre
l’exemple en haut, imaginons qu’apr`es la premi`ere annonce publique (apr`es un certain
laps de temps si on veut) une deuxi`eme annonce proclame : «dn’est pas le vrai ´etat
du monde non plus. »Cette annonce, elle aussi, porte sur un fait dont tous les deux ont
d´ej`a connaissance individuellement, en vertu de leurs partitions d’information individuelles.
Mais cette fois-ci le fait que ces connaissances sont port´ees au niveau d’une connaissance
commune va permettre aux individus par la suite de tirer des informations cons´equentes
de leurs annonces des probabilit´es actualis´ees concernant l’´ev´enement A: quel que soit
l’individu qui reprend le processus apr`es cette deuxi`eme annonce, il ou elle va dire «1/2».
6. Ici, comme pour l’exemple 5, la seule diff´erence est que nous l’avons port´e `a un mod`ele d’´equiproba-
bilit´e.
42CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
Cette annonce va permettre `a l’autre de conclure que le vrai ´etat du monde est a. Il ou elle
va alors annoncer «1», et cette annonce va permettre au premier de conclure, `a son tour,
que aest le vrai ´etat du monde, et que As’est alors sˆurement r´ealis´e.
En r´esum´e : une annonce publique peut aller dans les deux sens : elle peut «arrˆeter »ou
«d´ebloquer »le processus de la communication indirecte ; ce qui «arrˆete »ou «bloque »
le processus `a chaque fois ce sont les conditions Aumanniennes.
4.2.7 La r´ep´etition : r´ep´eter la mˆeme chose ne veut pas dire que
rien ne soit communiqu´e
La condition terminale du processus d´efinie par Geanakoplos et Polemarchakis – il est
important de le souligner – n’est pas que les deux individus r´ep`etent la probabilit´e a
posteriori de l’´etape pr´ec´edente, mais qu’ils n’arrivent plus `a ´ecarter aucune partie de
Ω(n), l’ensemble des ´etats dont il n’est pas de connaissance commune qu’ils ne peuvent
pas ˆetre l’´etat r´ealis´e. Il se peut qu’il ne se passe rien au niveau des croyances annonc´ees
pendant un certain nombres d’´etapes, c’est-`a-dire que les individus r´ep`etent ce qu’ils ont
dit pr´ec´edemment, alors qu’en arri`ere-plan les individus arrivent quand mˆeme `a ´ecarter de
plus en plus d’´etats dont il est devenu de connaissance commune qu’ils ne peuvent pas ˆetre
l’´etat r´ealis´e. L’exemple suivant, du `a Aumann, le montrera.
Exemple 7
L’exemple suivant est le cas particulier n= 3 d’apr`es un exemple param´etrique (pour tout
nentier positif) que l’on trouve chez Geanakoplos et Polemarchakis (1982, 197) et que
ceux-ci attribuent `a Aumann – l’exemple sur lequel nous sommes tomb´e dans le chapitre
2.5.5 en prolongeant un exemple donn´e par Aumann en 1976.
Soient Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}et p(ω) = 1/9 pour tous les ´ev´enements ´el´ementaires.
Supposons que :
P1={{a, b, c},{d, e, f},{g, h, i}},
P2={{a, b, c, d},{e, f, g, h},{i}},
A={a, e, i}, et ω?=a.
Supposons que c’est l’individu 1 qui commence le processus de communication indirecte `a
travers les probabilit´es actualis´ees.
A l’´etape 1 : Ω(1) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i},P1,Ω(1) ={{a, b, c},{d, e, f},{g, h, i}},
q1=p({a, e, i}∩{a, b, c})
p({a, b, c})=p({a})
p({a, b, c})=1
3
4.2. PROPRI ´
ET ´
ES 43
Rien ne peut ˆetre ´ecart´e en connaissance commune.
A l’´etape 2 : Ω(2) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i},P2,Ω(2) ={{a, b, c, d},{e, f, g, h},{i}},
q2=p({a, e, i}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({a})
p({a, b, c, d})=1
4
Cette annonce de l’individu 2 permet d’´ecarter {i}en connaissance commune ; puisque {i}
aurait produit l’annonce q2= 1.
A l’´etape 3 : Ω(3) = {a, b, c, d, e, f, g, h},P1,Ω(3) ={{a, b, c},{d, e, f },{g, h}},
q1=p({a, e, i}∩{a, b, c})
p({a, b, c})=p({a})
p({a, b, c})=1
3
Cette annonce de l’individu 1 permet d’´ecarter {g, h}en connaissance commune ; puisque
{g, h}aurait produit l’annonce q1= 0.
A l’´etape 4 : Ω(4) = {a, b, c, d, e, f},P2,Ω(4) ={{a, b, c, d},{e, f}},
q2=p({a, e, i}∩{a, b, c, d})
p({a, b, c, d})=p({a})
p({a, b, c, d})=1
4
Cette annonce de l’individu 2 permet d’´ecarter {e, f}en connaissance commune ; puisque
{e, f}aurait produit l’annonce q2= 1/2.
A l’´etape 5 : Ω(5) = {a, b, c, d},P1,Ω(5) ={{a, b, c},{d}},
q1=p({a, e, i}∩{a, b, c})
p({a, b, c})=p({a})
p({a, b, c})=1
3
Cette annonce de l’individu 1 permet d’´ecarter {d}en connaissance commune ; puisque {d}
aurait produit l’annonce q1= 0.
A l’´etape 6 : Ω(6) = {a, b, c},P2,Ω(6) ={{a, b, c}},
q2=p({a, e, i}∩{a, b, c})
p({a, b, c})=p({a})
p({a, b, c})=1
3
A partir de cette ´etape plus rien ne peut ˆetre ´ecart´e. Le processus de communication
indirecte `a travers les croyances a trouv´e sa fin, son point fixe, si l’on veut. Les deux
individus vont `a toujours chacun r´ep´eter : «1/3 ».
Dans cet exemple, la trace visible du processus de communication indirecte, la suite des
probabilit´es actualis´ees, est :
44CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
Etape 1 : q1= 1/3
Etape 2 : q2= 1/4
Etape 3 : q1= 1/3
Etape 4 : q2= 1/4
Etape 5 : q1= 1/3
Etape 6 : q2= 1/3
–
Etape 7 : q2= 1/3
Etape 8 : q1= 1/3
.
.
.
Pendant cinq p´eriodes il ne se passe «rien »`a la surface des choses ; les deux individus
r´ep`etent chacun ce qu’ils ont dit auparavant, jusqu’`a la sixi`eme ´etape lorsque l’individu 2
annoncera aussi 1/3, ce qui terminera le processus, c’est-`a-dire qu’`a partir de ce moment-l`a
ils vont `a toujours r´ep´eter 1/3 tous les deux.
Dans la forme g´en´erale de cet exemple (voir le chapitre 2.5.5), pour chaque n∈Nfix´e,
c’est `a l’´etape 2nque le processus s’arrˆete avec la probabilit´e de 1/n attribu´ee `a Aen
connaissance commune.
4.2.8 Dire ce que tout le monde sait d´ej`a
L’exemple 7 a une autre propri´et´e int´eressante : les choses commencent `a bouger avec un
acte de parole (l’annonce de «1/n+1 »de l’individu 2 `a la deuxi`eme ´etape) qui revient
`a dire quelque chose dont tous les deux ont d´ej`a connaissance individuellement : que le
vrai ´etat ne peut pas ˆetre le «dernier »´etat (i, si n= 3). Chacun des deux individus
le sait d´ej`a : bien ´evidemment, puisque l’individu 1 sait que le vrai ´etat appartient aux n
«premiers »´etats et l’individu 2 sait que le vrai ´etat appartient aux n+1 «premiers »´etats.
Or ce qui se passe par l’annonce de l’individu 2 c’est que ce fait devient de connaissance
commune entre les deux individus – ce qui va leur permettre d’´ecarter d’autres ´etats grˆace
`a l’annonce de l’individu 1 `a l’´etape suivante, et ainsi de suite. Cette op´eration se reproduit
en effet `a chaque ´etape jusqu’`a l’avant-derni`ere ´etape : `a chaque ´etape, sauf la derni`ere,
les deux individus ´ecartent des ´etats dont tous les deux savaient d´ej`a individuellement –
avant l’annonce de l’´etape actuelle – qu’ils ne pouvaient pas ˆetre l’´etat r´ealis´e. Or, ces
connaissances n’´etaient pas de connaissance commune.
C’est le mˆeme ph´enom`ene que nous avons rencontr´e dans l’exemple 6 avec les annonces
publiques : la fonction d’un acte de paroles, ou plus g´en´eralement d’un partage d’informa-
tion, n’est pas seulement de procurer connaissance de certains faits mais d’´etablir un ordre
sup´erieur sur les connaissances de ces faits ; ici, plus pr´ecis´ement, la connaissance commune
4.3. UNE REPR ´
ESENTATION ALTERNATIVE 45
de ces faits.
4.3 Une repr´esentation alternative
Les mod`eles avec deux individus se prˆetent `a une repr´esentation particuli`erement pratique :
on peut arranger les ´el´ements de la partition crois´ee sous forme matricielle telle que l’un
des individus ne peut distinguer que les lignes et l’autre que les colonnes de la matrice,
avec quelques ´el´ements de la matrice ´eventuellement inoccup´es, mais sans laisser une ligne
ou colonne parfaitement inoccup´ee. 7
Cette repr´esentation est particuli`erement intuitive si la partition crois´ee est la partition la
plus fine, c’est-`a-dire si tout ´el´ement de la partition crois´ee ne contient qu’un seul ´etat,
comme c’est le cas dans les exemples 2, 4 et 6. Si la partition crois´ee comporte des classes
contenant plus qu’un ´etat, la seule chose qui change c’est bien celle-l`a : les ´el´ements de la
matrice repr´esentant les deux partitions sont des sous-ensembles de Ω avec ´eventuellement
plus qu’un ´etat.
Exemple 1 – repr´esentation alternative
{a?, b} {c, d}1
2
1
2
1
2
Exemple 2 – repr´esentation alternative
{a?} {b}1
2
{c} {d}1
2
{e}0
{f}0
1
2
1
20
Exemple 3 – repr´esentation alternative
7. Voir, par exemple, Barbut (1968).
46CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
{a} {b?}1
2
{c} {e}1
2
{d} {f, g}0
01
3
1
3
Exemple 4 – repr´esentation alternative
{a?} {b}1
2
{c} {d}0
1
20
Exemple 5 – repr´esentation alternative
{a?,b} {c, d} {e, f}1
3
{g, h} {i,j} {k}3
5
1
2
1
2
1
3
Exemple 6 – repr´esentation alternative
{a?} {b}1
2
{c} {d} {f}1
3
{e}0
1
2
1
30
Exemple 7 – repr´esentation alternative
4.3. UNE REPR ´
ESENTATION ALTERNATIVE 47
{a?, b, c}1
3
{d} {e, f}1
3
{g, h} {i}1
3
1
4
1
41
Dans les sch´emas que nous employons : la partition d’information de l’individu 1 est re-
pr´esent´ee par les lignes, celle de l’individu 2 par les colonnes ; les ´etats appartenant `a
l’´ev´enement Asont marqu´es en gras ; l’´etat r´ealis´e est marqu´e par une ´etoile ; les entr´ees
`a droite de la ligne horizontale, respectivement en bas de la ligne verticale, montrent les
probabilit´es conditionnelles de Asachant que l’´etat r´ealis´e se trouve dans la ligne, voire la
colonne respective.
Sous cette forme matricielle – cette forme crois´ee – d’´ecrire les deux partitions on identifie
facilement les classes de la partition fondue : ce sont les sous-matrices dont les ´el´ements
sont li´es par une relation «voisin direct horizontal »ou «voisin direct vertical »et dont les
lignes et colonnes en dehors de la sous-matrice en question restent vides. Dans l’exemple
2 :
{a?} {b}
{c} {d}
et
{e}
{f}
Dans tous les autres exemples que nous avons vus jusqu’`a pr´esent, il se trouve que la
partition fondue est la partition la plus grossi`ere, {Ω}, et alors la partition fondue n’a
qu’un seul ´el´ement qui est repr´esent´e par la matrice toute enti`ere.
Sous cette forme matricielle, on v´erifie rapidement si les conditions d’Aumann sont sa-
tisfaites : on d´etermine la sous-matrice correspondant `a la classe de la partition fondue `a
laquelle appartient le vrai ´etat : si pour cette sous-matrice, toutes les probabilit´es condition-
nelles de Aselon les lignes et selon les colonnes sont ´egales, alors les conditions d’Aumann
sont satisfaites. On le voit clairement dans les exemples 1 et 2.
Le processus de communication indirecte s’analyse aussi facilement : on identifie d’abord
la sous-matrice correspondant `a la classe de la partition fondue `a laquelle appartient l’´etat
r´ealis´e et on ´ecarte tout le reste. Ensuite, les annonces des individus vont successivement
48CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
´eliminer des lignes, respectivement des colonnes de la matrice, potentiellement plusieurs `a
la fois : toutes les lignes, respectivement colonnes, qui ne donnent pas comme probabilit´e
conditionnelle de Ace que l’individu dont c’est le tour vient d’annoncer. Certainement, les
probabilit´es de A´etant donn´e la ligne respectivement la colonne peuvent – et en g´en´eral
vont – changer d’une ´etape `a l’autre.
Exemple 5 – repr´esentation alternative – communication indirecte
Voyons le processus de communication indirecte sous sa forme matricielle dans l’exemple
5.
A l’´etape 1 : Ω(1) = ˆ
P(a) = Ω est donn´e par toute la matrice :
{a?,b} {c, d} {e, f}1
3
{g, h} {i,j} {k}3
5
1
2
1
2
1
3
Dans cet exemple, on se souvient, le r´esultat du processus d´epend de l’ordre de commu-
nication. Si c’est l’individu 1 qui commence et annonce 1/3, `a l’´etape 2, la matrice sera
donn´ee par :
{a?,b} {c, d} {e, f}1
3
1 0 0
Puis, apr`es l’annonce de «1»par l’individu 2, `a l’´etape 3, le processus se terminera avec :
{a?,b}1
1
Si, par contre, c’est l’individu 2 qui commence et annonce 1/2, `a l’´etape 2, la matrice sera
donn´ee par :
{a?,b} {c, d}1
2
{g, h} {i,j}1
2
1
2
1
2
Et le processus s’arrˆete. On voit clairement que sur la matrice qui reste, les conditions
d’Aumann sont satisfaites.
4.4. TOUTE SUITE DE PROBABILIT ´
ES PEUT PROVENIR D’UN DIALOGUE BAY ´
ESIEN 49
4.4 Toute suite de probabilit´es peut provenir d’un
dialogue bay´esien
Polemarchakis (2016) montre un r´esultat ´etonnant : n’importe quelle suite de probabilit´es
q1, q2, q3, q4, . . . , qN, avec des valeurs strictement entre 0 et 1, peut provenir d’un proces-
sus de communication indirecte `a la Geanakoplos et Polemarchakis (1982), d’un dialogue
rationnel, comme dit Polemarchakis. C’est-`a-dire : quelle que soit la liste de croyances ac-
tualis´ees q1, q2, q3, q4, . . . , qN, il existe un ensemble fondamental Ω, des partitions P1et P2
de Ω, un ´ev´enement A⊂Ω et un ω∈Ω tels que si ω∈Ω se r´ealise et les individus se
communiquent tour `a tour leurs croyances actualis´ees, alors la trace visible de ce processus
sera q1, q2, q3, q4, . . . , qN.
Le r´esultat est remarquable puisqu’en dehors de la condition que les probabilit´es sont stric-
tement entre 0 et 1, la suite q1, q2, q3, q4, . . . , qNn’est contrainte par aucune autre condition ;
notamment aucune condition de monotonie, ni sur les ´el´ements de q1, q2, q3, q4, . . . , qNni
sur les ´el´ements des sous-suites q1, q3, q5,..., ou q2, q4, q6,..., s’impose.
Et ceci a une interpr´etation forte : juste en ´ecoutant ce que les deux individus se disent –
ou bien en examinant le proc`es-verbal de leur communication – on ne peut pas dire s’ils
sont engag´es dans un dialogue rationnel (dans le sens bay´esien) ou pas : il n’y a rien dans la
forme ext´erieure de ce qu’ils se disent qui nous permettrait de d´ecider si ce qu’ils se disent
est rationnel (dans le sens bay´esien) ou pas.
La preuve donn´ee par Polemarchakis est constructive. Elle se sert de l’´ecriture matricielle
des deux partitions d’information. L’exemple 8 illustre cette construction.
Exemple 8 – le probl`eme inverse
Soit la suite de probabilit´es q1=1
2,q2=1
3,q3=1
4,q4=1
2,q5=1
2. On cherche un ensemble
fondamental Ω, deux partitions de Ω, un ´ev´enement A⊂Ω et un ´etat ω?∈Ω tels que si
ω?se r´ealise, le processus de communication indirecte `a la Geanakopolos et Polemarchakis
laissera comme trace visible la suite des probabilit´es ci-dessus, sachant qu’`a partir de la
sixi`eme ´etape les deux individus vont `a toujours r´ep´eter 1
2.
Suivant Polemarchakis, supposons que la partition fondue est la plus grossi`ere et la partition
crois´ee la plus fine ; c’est-`a-dire, tout ´el´ement de notre matrice sera occup´e par un sous-
ensemble de Ω contenant un seul ´etat. En outre nous supposons que tous les ´etats ont a
priori la mˆeme probabilit´e de se r´ealiser. A ce moment, nous ne savons pas encore combien
d’´etats aura Ω ; d’autant moins que nous ne savons pas ce qui sera l’´ev´enement A. Ces deux
´el´ements se d´ecideront en fonction de notre construction.
En ce qui concerne la repr´esentation – il s’agit l`a de notre construction – les ´etats diff´erents
se distinguent tout simplement par leur emplacement dans la matrice. Un ´etat est repr´esent´e
50CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
par le symbole ◦s’il n’appartient pas `a l’´ev´enement A, et par •s’il appartient `a l’´ev´enement
A. Suivant Polemarchakis, nous supposons que l’´etat r´ealis´e est celui au croisement de la
premi`ere ligne et de la premi`ere colonne.
On commence par la fin. A la fin on veut que les deux individus disent 1/2. Voici une
matrice qui satisfait cette condition :
• ◦ 1
2
◦ • 1
2
1
2
1
2
1 dit : q5= 1/2
2 dit : q4= 1/2
C’est bien sˆur – il le faut – une situation Aumannienne. Remarquons que notre construction
n’est pas unique – ce qui ne gˆene pas puisque nous chercherons `a d´emontrer l’existence et
non l’unicit´e d’un certain objet. Ensuite, on veut que l’individu 1, `a l’avant-derni`ere ´etape,
avant que le processus ne trouve sa fin avec les conditions d’Aumann, ait dit 1/4. Comment
peut-on ´elargir la matrice pour arriver `a cette fin ? Une possibilit´e est de rajouter tout
simplement deux ´etats n’appartenant pas `a A(deux petits cercles vides) `a chaque ligne :
• ◦ ◦ ◦ 1
4
◦ • ◦ ◦ 1
4
1
2
1
20 0
1 dit : q3= 1/4
Ensuite, on veut que l’individu 2, `a l’´etape pr´ec´edente, ait dit 1/3. Voici une extension de
la matrice qui fournit ce r´esultat :
• ◦ ◦ ◦ 1
4
◦ • ◦ ◦ 1
4
◦ ◦ • • 1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
2 dit : q2= 1/3
Et finalement on veut que tout ait commenc´e avec l’individu 1 qui dit 1/2. Voici une matrice
qui le traduit :
•◦◦◦••1
2
◦•◦◦••1
2
◦◦••◦•1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
3
3
1 dit : q1= 1/2
Pour faire le test, il faut remonter le fil de l’argument ; il faut commencer avec la matrice
tout en bas et appliquer l’algorithme de la communication indirecte.
4.5. LA COMMUNICATION `
A TRAVERS LES CROYANCES – UN PH ´
ENOM `
ENE R ´
EEL ?51
4.5 La communication `a travers les croyances – un
ph´enom`ene r´eel ?
La vie r´eelle nous pr´esente des situations qui sont assez proches d’un sc´enario de commu-
nication indirecte `a travers les probabilit´es. Pensons `a des d´ebats sur des cas juridiques,
des ´elections ou des r´ecompenses : quelle est la chance que le suspect soit coupable ? Quelle
est la chance que tel ou tel candidat va gagner ? Quelle est la chance qu’untel ou untel va
recevoir tel ou tel prix ? Ou des d´ebats dans des comit´es de recrutement ou de nomination :
quelle est la chance qu’un certain candidat va accepter l’attribution d’une place dans une
formation, d’un poste, ou d’une certaine r´ecompense ?
En g´en´eral, les participants d’un tel d´ebat ont acc`es `a des sources d’informations diff´erentes,
ce qui se traduit dans le mod`ele consid´er´e par des partitions d’information diff´erentes. Dans
pas mal de ces sc´enarios, l’hypoth`ese que les partitions d’informations individuelles sont
de connaissance commune parait assez juste. Si vous participez `a un comit´e de s´election,
vous connaissez les comp´etences de vos coll`egues et vos coll`egues connaissent les vˆotres, et
il ne semble pas d´eraisonnable de supposer que ces faits sont de connaissance commune.
Certes, dans de tels d´ebats, les annonces sur les probabilit´es attribu´ees `a un certain ´ev´e-
nement se font souvent sous une forme verbale plus ou moins approximative. On imagine
tr`es facilement quelqu’un dire :
«Je crois que K va gagner. »
«Je suis presque sˆur qu’il est coupable. »
«Je ne pense pas qu’il va venir. »
De tels ´enonc´es sont probablement interpr´et´es, et entendus, dans un sens large qui revient,
si on le traduit dans un mod`ele math´ematique, `a attribuer des intervalles de probabilit´e `a
l’´ev´enement en question. «Je crois que K va gagner », veut probablement dire attribuer
une probabilit´e de plus de 50% `a l’´ev´enement que K va gagner. (Plus de 70%, plus de 90% ?
Cela d´epend probablement du contexte.) Parfois on retrouve de telles quantifications dans
la forme verbale mˆeme :
«A mon avis, Kva gagner, avec 90%. »
«Je suis `a 99% sˆur qu’il est coupable. »
«Je suis `a 99% sˆur qu’il ne va pas venir. »
Nous verrons dans le chapitre suivant qu’un processus de communication indirecte `a travers
les probabilit´es a posteriori exprim´ees sous forme des in´egalit´es «qi≥q?
i»aura des
propri´et´es similaires `a celui bas´e sur les ´egalit´es «qi=q?
i», comme nous l’avons consid´er´e
jusqu’`a pr´esent.
D’autre part, il y a dans la vie r´eelle des situations dans lesquelles les individus ne se
communiquent pas explicitement les probabilit´es a posteriori qu’ils attribuent `a un certain
´ev´enement mais dans lesquelles ils r´ev`elent quand mˆeme de l’information sur la probabilit´e
52CHAPITRE 4. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES CROYANCES : UN «DIALOGUE BAY ´
ESIEN »
qu’ils attribuent `a un certain ´ev´enement – sans le vouloir peut-ˆetre – `a travers leurs actes.
Ce sera notre point de d´epart dans le chapitre suivant.
Chapitre 5
La communication indirecte `a travers
les actes
Si un individu est prˆet `a payer 1 euro pour en gagner 2, si un certain candidat remporte
une comp´etition (sachant qu’il perd l’euro investi si le candidat perd) c’est comme s’il
disait devant tout le monde : «Selon mes informations, la probabilit´e que ce candidat va
gagner est d’au moins 1/2. »Cette information va ´eventuellement permettre `a un autre
individu d’actualiser sa croyance par rapport aux chances de gagner de ce candidat. Dans
le mod`ele ´etudi´e, une telle information va plus pr´ecis´ement permettre `a un autre individu,
qui a observ´e le pari du premier, d’´ecarter toute partie de l’ensemble fondamental figurant
dans la partition d’information du premier qui conduit `a une probabilit´e que ce candidat
va gagner inf´erieure `a 1/2. Si le deuxi`eme individu est ensuite appel´e `a accepter oui ou non
le mˆeme pari et s’il l’accepte, ceci ´etant observ´e par le premier, le premier, de son cot´e, va
aussi ´eventuellement pouvoir ´ecarter des parties de l’ensemble fondamental – toute partie
de l’ensemble fondamental figurant dans la partition d’information du deuxi`eme (induite
par ce qui reste `a cette ´etape de l’ensemble fondamental du d´epart) qui conduit `a une
probabilit´e que ce candidat va gagner inf´erieure `a 1/2 ; et ainsi de suite. Un tel ´echange
d’information `a travers les actes revient alors `a un ´echange d’information sur la probabilit´e
a posteriori attribu´ee `a un ´ev´enement sous forme d’une in´egalit´e q≥q?, comme nous
l’avons ´evoqu´e `a la fin du chapitre pr´ec´edent.
Sebenius et Geanakoplos (1983) ´etudient un tel processus de communication indirecte `a
travers un pari entre deux personnes o`u ce que l’un gagne est ce que l’autre perd. Ils montre
qu’un tel processus va, dans un nombre fini d’´etapes, amener `a une situation o`u l’un des
deux refusera le pari.
Milgrom et Stocky (1982) ´etudient un processus similaire dans des march´es.
Exemple 8
Voici un processus de communication `a travers un pari – un exemple pour illustrer le proces-
53
54 CHAPITRE 5. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES ACTES
sus ´etudi´e par Sebenius et Geanakoplos (1983) : il y a deux individus dont les informations
concernant une certaine exp´erience et un certain ´ev´enement A(qui peut se produire lors de
cette exp´erience) sont donn´ees par les partitions d’informations repr´esent´ees par la matrice
donn´ee ci-dessous :
{a?,b,c, d} {e, f, g, h} {i,j} {k,l,m,n}10
14
{o, p, q, r} {s,t,u, v} {w, x, y, z} {a0, b0}4
14
3
8
3
8
2
6
4
6
La partition d’information de l’individu 1 est repr´esent´ee par les lignes de la matrice ; celle
de l’individu 2, par les colonnes. Tous les ´etats ont la mˆeme probabilit´e de se produire. Le
pari est le suivant : si l’´ev´enement Ase r´ealise, l’individu 1 paie `a l’individu 2 un euro ; si
Ane se r´ealise pas, l’individu 2 paie `a l’individu 1 un euro. Ainsi l’individu 1 aura int´erˆet
`a accepter le pari seulement si la probabilit´e qu’elle attribue `a Aest au moins de 1/2 ; et
l’individu 2 aura int´erˆet `a accepter le pari seulement si la probabilit´e qu’il attribue `a Aest
au plus de 1/2.
Si on demande d’abord `a l’individu 1 si elle veux prendre le pari, elle dira oui (puisqu’elle
attribue `a l’´ev´enement Aune probabilit´e a posteriori de 10/14). Si tout cela se passe devant
l’individu 2, la r´eponse de l’individu 1 aura pour effet de r´eduire l’ensemble fondamental
et les partitions induites sur ce nouvel ensemble fondamental `a la matrice suivante :
{a?,b,c, d} {e, f, g, h} {i,j} {k,l,m,n}10
14
3
40 1 1
Si ensuite on demande `a l’individu 2, il va refuser le pari, puisqu’il attribuera `a l’´ev´enement
Aune probabilit´e de 3/4. Pourvu que ¸ca se passe devant l’individu 1, il sera ensuite de
connaissance commune entre les deux individus que l’´etat r´ealis´e ne peut pas se trouver
dans {e, f, g, h}et donc ne peut pas se trouver pas en dehors de ce qui reste de l’ensemble
fondamental `a cette ´etape, {a, b, c, d, i, j, k, l, m, n}, avec les partitions d’informations in-
duites sur cet ensemble comme suit :
{a?,b,c, d} {i,j} {k,l,m,n}9
10
3
41 1
A la fin du processus, il est de connaissance commune entre les deux individus que l’indi-
vidu 1 attribue `a Aune probabilit´e a posteriori de 9/10 et que l’individu 2 attribue `a A
une probabilit´e a posteriori soit de 3/4 soit de 1, ce qui implique, entre autres, qu’il est
de connaissance commune entre les deux que les deux attribuent `a Aune probabilit´e a
posteriori d’au moins 3/4.
5.1. L’ORDRE JOUE UN R ˆ
OLE ´
EGALEMENT 55
5.1 L’ordre joue un rˆole ´egalement
La d´ependance du processus de l’ordre, on la retrouve aussi dans la communication indirecte
`a travers les actes.
Exemple 8 – suite 1
Si on demande d’abord `a l’individu 2 s’il veut prendre ce pari, il dira oui (puisqu’il attribue
`a l’´ev´enement Aune probabilit´e a posteriori de 3/8, ce qui est inf´erieur `a 1/2). Si tout cela
se passe devant l’individu 1, la r´eponse de l’individu 2 aura l’effet de r´eduire l’ensemble
fondamental et les partitions induites par ce nouvel ensemble fondamental `a la matrice
suivante :
{a?,b,c, d} {e, f, g, h} {i,j}5
10
{o, p, q, r} {s,t,u, v} {w, x, y, z}3
12
3
8
3
8
2
6
Si ensuite on demande – encore une fois devant l’autre – `a l’individu 1, c’est possible qu’elle
accepte (puisqu’elle attribuera `a l’´ev´enement Aune probabilit´e a posteriori toujours de
1/2). Imaginons qu’elle accepte. Sa r´eponse aura l’effet de r´eduire la matrice `a la matrice
suivante :
{a?,b,c, d} {e, f, g, h} {i,j}5
10
3
40 1
A ce moment, l’individu 2 refusera la pari, et il sera de connaissance commune entre les
deux que l’´etat r´ealis´e ne peut pas se trouver en dehors de {a, b, c, d, i, j}avec les partitions
d’informations induites par ce nouvel ensemble fondamental comme suit :
{a?,b,c, d} {i,j}5
6
3
41
A la fin du processus, il sera de connaissance commune entre les deux que l’individu 1
attribue `a Aune probabilit´e a posteriori de 5/6 et que l’individu 2 attribue `a Aune
probabilit´e a posteriori soit de 3/4 soit de 1, ce qui implique entre autres, qu’il est de
connaissance commune entre les deux qu’ils attribuent les deux `a Aune probabilit´e a
posteriori d’au moins 3/4.
56 CHAPITRE 5. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES ACTES
5.2 La communication `a travers les actes n’est pas
forcement «moins puissante »que la communi-
cation des probabilit´es actualis´ees
L’exemple 8 nous conduit `a une autre observation : la communication `a travers les actes,
ou bien `a travers des annonces portant sur les probabilit´es actualis´ees sous forme d’in´ega-
lit´es, n’est pas forcement «moins puissante »que la communication de la valeur exacte
des probabilit´es actualis´ees. Il se peut que la communication `a travers les actes r´eduit l’en-
semble fondamental `a un ensemble plus petit que la communication exacte des probabilit´es
actualis´ees. Voyons-le plus pr´ecis´ement.
Exemple 8 – suite 2
Si les individus se communiquent tour `a tour la valeur exacte de leurs probabilit´es actua-
lis´ees concernant l’´ev´enement A(selon le processus de communication indirecte d´efini par
Geanakoplos et Polemarchakis 1982) et si c’est individu 2 qui commence et annonce 3/8,
l’ensemble fondamental se r´eduit d’un coup `a :
{a?,b,c, d} {e, f, g, h}3
8
{o, p, q, r} {s,t,u, v}3
8
3
8
3
8
Sur cet ensemble, les conditions d’Aumann (´equation 7) sont satisfaites, et alors le processus
s’arrˆete apr`es cette premi`ere ´etape.
L’exemple nous montre alors que la communication indirecte `a travers les actes selon le
protocole ´etudi´e par Sebenius et Geanakoplos (qui revient `a une communication indirecte
`a travers des annonces portant sur les probabilit´es actualis´ees sous forme d’in´egalit´es)
peut conduire `a des probabilit´es actualis´ees d’un l’´ev´enement A«plus proche »`a la vraie
valeur de v´erit´e de l’´ev´enement A(qui est soit 1 soit 0) que le processus de la communica-
tion indirecte `a travers les probabilit´es actualis´ees sous forme d’´egalit´es comme ´etudi´e par
Geanakoplos et Polemarchakis.
Comparant les deux processus dans l’exemple 8 (sous le mˆeme ordre) on comprend fa-
cilement la raison pour ce ph´enom`ene ´eventuellement contre-intuitif : ni l’un ni l’autre
processus est monotone, dans le sens qu’´eliminer moins d’´etats `a l’´etape n, permets ´even-
tuellement d’´eliminer plus d’´etats `a l’´etape n+ 1. Plus particuli`erement, ´eliminer moins
d’´etats `a l’´etape npeut ´eviter une situation Aumannienne `a l’´etape n+ 1 et peut alors
´eviter que le processus s’arrˆete.
Pour ˆetre compl`et, remarquons que si c’est l’individu 1 qui commence le processus de com-
munication indirecte `a travers les valeurs exactes des probabilit´es, les individus arriveront,
5.2. LA COMMUNICATION `
A TRAVERS LES ACTES N’EST PAS FORCEMENT «MOINS PUISSANTE »QUE LA COMMUNICATION DES PROBABILIT ´
ES ACTUALIS ´
EES57
apr`es deux ´etapes, `a :
{a?,b,c, d}3
4
3
4
,
ce qui met en ´evidence, encore une fois, que la communication indirecte `a travers les
probabilit´es actualis´ees d´epend de l’ordre.
58 CHAPITRE 5. LA COMMUNICATION INDIRECTE `
A TRAVERS LES ACTES
Chapitre 6
Relation avec des th´eories sur le
langage
6.1 Les ´enigmes – le ph´enom`ene de la connaissance
commune sous forme narrative
Avant Lewis et Aumann, le ph´enom`ene de la connaissance commune a d’abord ´et´e ´etudi´e
sous forme narrative `a travers des «´enigmes ». La plus connue de ces ´enigmes est souvent
racont´e sous le titre L’´enigme des Trois Chapeaux.
L’´enigme des Trois Chapeaux est souvent racont´e sous une forme qui ressemble `a l’histoire
suivante : la maˆıtresse d’une classe demande `a trois ´el`eves de se prˆeter `a une exp´erience.
Elle positionne `a la tˆete de chacune des trois ´el`eves un chapeau sans que l’´el`eve en question
puisse voir la couleur de son chapeau. Mais chacune des trois ´el`eves peut voir la couleur du
chapeau des deux autres. Chacun des ´el`eves voit que les deux autres portent un chapeau
rouge. La maˆıtresse explique qu’a priori, il y a des chapeaux rouges et des chapeaux blancs
et elle annonce qu’il y a au mois l’une des trois ´el`eves qui porte un chapeau rouge. Ensuite
elle demande tour `a tour aux ´el`eves si elles connaissent la couleur de leur chapeau. La
premi`ere dit non, la deuxi`eme dit non. La troisi`eme dit oui, elle connaˆıt la couleur de son
chapeau : rouge. Pourquoi ? La solution de cette ´enigme s’effectue selon un raisonnement
comme celui qui s’applique dans les dialogues d´ecrits par Geanakopolos et Polemarchakis,
sauf qu’il y a trois et non seulement deux individus. Pour des pr´esentations plus d´etaill´ees de
l’´enigme des Trois Chapeaux, notamment sa mod´elisation avec des partitions d’information,
voir M´enager (2006) et Billot (2007).
La mention la plus ancienne de cet exemple, dont nous avons trouv´e la r´ef´erence, se trouve
dans un article de Jaques Lacan (1945) dans une version avec trois prisonniers qui ont cha-
cun un disque, de couleur noir ou blanc, attach´e au dos (voir Billot 2007). L’exemple parait
aussi chez Littlewood (1953, 3) dans une version avec trois dames dans un compartiment
59
60 CHAPITRE 6. RELATION AVEC DES TH ´
EORIES SUR LE LANGAGE
de train qui ont toutes un visage sale. Littlewood, et dans cet aspect sa pr´esentation est
plus g´en´erale que celle de Lacan, donne aussi l’extension de l’exemple avec ndames qui ont
toutes un visage sale. La premi`ere pr´esentation utilisant explicitement un mod`ele d’´etats
du monde est, d’apr`es nos connaissances, due `a Fagin, Halpern, Moses et Vardi (1988) ;
voir aussi Geanakopolos (1992).
6.2 Lacan – la th´eorie de la psychanalyse
Chez Lacan, l’´enigme apparaˆıt `a une diff´erence pr`es par rapport `a la version avec les
trois chapeaux donn´ee ci-dessus : il n’y a pas de structure temporelle discr`ete comme
celle impos´ee par le fait que la maˆıtresse demande tour `a tour aux ´el`eves. Chez Lacan, le
directeur de la prison, au d´ebut de l’exp´erience, annonce aux trois prisonniers que celui
d’entre eux qui connaˆıtra en premier la couleur du disque attach´e `a son dos sera lib´er´e.
Ceci pose une difficult´e suppl´ementaire : c’est la pens´ee qui doit structurer le temps et
c’est dans cet optique-l`a que Lacan s’int´eresse `a ce probl`eme. Deuxi`emement, mais c’est
moins important, chez Lacan ce n’est pas par un acte de parole du directeur de la prison
que les trois prisonniers apprennent qu’il y a au moins l’un d’entre eux qui porte un disque
noir mais par connaissance du fait qu’il y a en tout trois disques noirs et seulement deux
disques blancs.
Chez Littlewood le r´ecit apparaˆıt ´egalement sans structure temporelle discr`ete impos´ee
par les r`egles du jeu. Chez Littlewood, il n’y a effectivement pas de jeu avec des r`egles
explicites : tout le dilemme se passe uniquement `a l’int´erieur de chaque personne, au niveau
du croisement des pens´ees : chacune des trois dames voit que les deux autres ont un visage
sale et chacune ´eclate de rire. Mais pass´e ce moment d’agitation, toutes trois deviennent
d’un seul coup gravement silencieuses : voyant les deux autres ´eclater de rire, chacune
comprend qu’elle aussi doit avoir le visage sale, puisque, dans le cas contraire, seule l’une
des deux aurait `a rire. Ce qui s´epare ces deux moments – le moment d’exaltation et le
moment de gˆene – c’est juste le temps n´ecessaire pour faire ce raisonnement.
Dans l’´enigme des trois chapeaux comme relat´ee ici avec sa structure temporelle discr`ete
(que l’on prolonge ´etroitement `a nchapeaux), jusqu’`a l’avant-derni`ere ´etape, `a la surface
des choses, il ne se passe «rien »dans le sens que la mˆeme r´eponse est r´ep´et´ee :
«non (je ne connais pas la couleur de mon chapeau) »,...,«non »
| {z }
n−1 fois
,«oui ».
Sous la forme narrative avec les trois prisonniers donn´ee par Lacan, respectivement celle
avec les trois dames dans le compartiment de train donn´ee par Littlewood, cette propri´et´e
n’apparaˆıt pas explicitement puisque le temps n’a pas de structure discr`ete.
Remarquons ´egalement que sous la forme narrative avec la structure temporelle discr`ete, le
processus est d´eclench´e par un acte de paroles publique qui revient `a porter au niveau d’une
6.2. LACAN – LA TH ´
EORIE DE LA PSYCHANALYSE 61
connaissance commune un fait dont tout le monde a d´ej`a connaissance individuellement :
l’annonce de la maˆıtresse qu’il y a au moins un chapeau rouge. L`a encore, cette propri´et´e
se perd dans la version narrative donn´ee par Lacan. Certainement, cette fonction peut-
elle ˆetre facilement r´etablie : il suffit de changer l’histoire en sorte que le directeur de la
prison annonce qu’il y a au moins un disque noir (au lieu de montrer auparavant aux trois
prisonniers qu’il y a en tout trois disques noirs et deux disques blancs). Toutefois, cette
petite diff´erence dans l’histoire, on peut sp´eculer, n’a pas permis `a Lacan de remarquer ce
d´etail int´eressant : qu’on a ici un mod`ele formel (purement logique) qui d´ecrit une situation
o`u dire une chose que tout le monde sait d´ej`a change de mani`ere significative le d´enouement
de l’histoire puisque dire cette chose (la prononcer) la rendra de connaissance commune.
L’´etude des dialogues `a travers les croyances a peut-ˆetre un potentiel d’interpr´etation dans
la th´eorie de la psychanalyse au del`a de cette observation. Nous pensons notamment `a deux
aspects : (1) la r´ep´etition – ici la r´ep´etition de la mˆeme probabilit´e actualis´ee, attribu´ee `a
un ´ev´enement, et (2) le r´esultat de Polemarchakis (2016) portant sur le fait que toute suite
de croyances peut provenir d’un dialogue bay´esien.
(1) La r´ep´etition : comme nous l’avons d´ej`a observ´e, dans le mod`ele de la communication
indirecte `a travers les croyances (Geanakoplos et Polemarchakis 1982), r´ep´eter le mˆeme
´enonc´e, ici la mˆeme valeur de probabilit´e attribu´ee a posteriori `a un certain ´ev´enement,
ne veut pas forc´ement dire que l’individu qui se trouve dans cette r´ep´etition – le sujet,
pour le dire dans le langage de la psychanalyse – n’apprenne rien. Il apprend. Il se trouve
juste que ce qu’il apprend ne se manifeste pas dans un changement de la croyance apport´ee
`a l’´ev´enement en question, c’est-`a-dire la forme «ext´erieure »`a travers laquelle se fait
l’´echange de l’information dans le sc´enario consid´er´e, mais uniquement dans ce qui se passe
dans le fond : la r´eduction de l’ensemble de tous les ´etats qui ne peuvent pas ˆetre rejet´es
en connaissance commune. Ceci montre que la r´ep´etition n’est pas forcement en vain. Un
individu qui r´ep`ete n’est pas forcement irrationnel ; il se peut que c’est un individu qui est
toujours en train d’effectuer – non sans progression – un travail de r´eduction (de clarification
si on veut) qui n’a pas encore trouv´e sa fin.
(2) Le r´esultat de Polemarchakis (2016) portant sur le fait que toute suite de croyances
peut provenir d’un dialogue bay´esien g´en´eralise en effet l’observation pr´ec´edente : non
seulement la r´ep´etition de la mˆeme croyance, de la mˆeme valeur de probabilit´e attribu´ee `a
un ´ev´enement, peut ˆetre rationnelle, mais il n’y a aucune r´egularit´e qui s’impose `a la suite
des croyances ´echang´ees au cours d’un dialogue bay´esien. Ce qui parait ´eventuellement
incoh´erent `a la surface, par exemple, parce que les probabilit´es actualis´ees montent et
descendent, n’est pas forcement irrationnel ; il se peut qu’il y ait une parfaite logique
(bay´esienne) derri`ere.
62 CHAPITRE 6. RELATION AVEC DES TH ´
EORIES SUR LE LANGAGE
6.3 Le fond de la connaissance commune – le fond
commun
Ce que nous appelons ici le fond de la connaissance commune et notons par Ω(n), l’ensemble
des ´etats du monde dont il n’est pas devenu de connaissance commune `a l’´etape nqu’ils
ne peuvent pas ˆetre l’´etat r´ealis´e, est `a distinguer de ce qui est de connaissance commune
`a l’´etape n.
Etant donn´e Ω(n) et les partitions d’information induites par Ω(n), P1,Ω(n)et P2,Ω(n),
c’est-`a-dire les partitions d’information dont on a enlev´e les ´etats qui n’appartiennent pas
`a Ω(n), on peut bien sˆur d´eterminer la partition fondue `a l’´etape n:
ˆ
PΩ(n)=P1,Ω(n)∧P2,Ω(n).
Les ´ev´enements qui sont de connaissance commune `a l’´etat ωsont tous les ´ev´enements A
tels que ˆ
PΩ(n)(ω)⊂A,
sachant que ˆ
PΩ(n)(ω) est la classe de la partition fondue `a l’´etape ncontenant ω.
Dans ce sens-l`a, Ω(n) est v´eritablement le fond de la connaissance commune : c’est le
fondement, le socle, sur lequel s’´edifie, `a l’´etape ndu processus de communication indirecte,
tout ce qui est de connaissance commune `a cette ´etape : `a partir duquel tous les ´ev´enements
dont il est d´esormais devenu de connaissance commune qu’ils se sont r´ealis´e (toutes les
phrases dont on sait d´esormais qu’elles sont vraies) peuvent ˆetre construits.
Nous proposons d’identifier Ω(n) avec ce que l’on appelle en linguistique le fond commun
(the common ground) ou aussi l’ensemble de contexte (the context set) : l’ensemble des
´etats du monde possibles dont tout le monde suppose d’ˆetre le contexte de se qui est
communiqu´e (voir, par exemple, Stalnaker 2002).
6.4 Existe-t-il toujours une «croyance commune »?
Faisons la distinction suivante : ´etant donn´e une partition d’information P:
—connaissance d’un ´ev´enement E`a l’´etat ωveut dire que la classe de la partition
contenant ωest inclus dans E:P(ω)⊂E;
— une croyance par rapport `a un ´ev´enement E⊂Ω est une probabilit´e attribu´ee `a
cet ´ev´enement E`a l’´etat ω´etant donn´e l’information apport´ee par la partition :
p(E|P(ω)).
Dans cette terminologie-l`a, connaissance d’un ´ev´enement veut tout simplement dire lui
attribuer une probabilit´e de 1.
6.4. EXISTE-T-IL TOUJOURS UNE «CROYANCE COMMUNE »?63
Nous savons d´ej`a ce que sont les ´ev´enements qui sont de connaissance commune dans le
mod`ele d’Aumann : tous les ´ev´enements sous-ensemble de la classe de la partition fondue
`a laquelle appartient le vrai ´etat – tous les E⊂Ω tels que ˆ
P(ω) = P1∧P2(ω)⊂E. Mais
qu’est-ce qu’une croyance commune ?
Le th´eor`eme d’Aumann peut ˆetre interpr´et´e comme un th´eor`eme d’existence pour une
croyance commune. Il nous dit que si jamais il est de connaissance commune que l’individu
1, apr`es avoir exploit´e l’information apport´ee par sa partition d’information, estime que la
probabilit´e de Eest de q1et que l’individu 2, apr`es avoir exploit´e l’information apport´ee
par sa partition d’information, estime que la probabilit´e de Eest de q2– en d’autres mots
si leurs croyances a posteriori sont de connaissance commune – alors elles sont ´egales :
q1=q=q2. Le th´eor`eme implique (voir l’´equation 7) que cette croyance partag´ee en
connaissance commune est aussi celle apport´ee par la partition fondue P1∧P2:
q1=q2=qP1∧P2=p(E|P1∧P2(ω)).
Or, ind´ependamment du fait que les croyances actualis´ees des individus sont de connais-
sance commune ou pas, on peut toujours calculer la probabilit´e actualis´ee apport´ee par la
partition fondue,
qP1∧P2=p(E|P1∧P2(ω)).
Mais que repr´esente cette probabilit´e ? Peut-elle, dans un certain sens, toujours ˆetre inter-
pr´et´ee comme la croyance commune des deux individus ?
Une r´eponse se dessine `a partir de la d´efinition du processus de communication indirecte
donn´ee dans le chapitre 4 : apr`es que les individus ont re¸cu leurs informations selon leurs
partitions d’information individuelles, pourvu que le fait que c’est ce qui s’est pass´e est de
connaissance commune, ˆ
P(ω) = P1∧P2(ω) joue le rˆole d’un nouvel ensemble fondamental
dont il est d´esormais de connaissance commune entre les deux individus que le vrai ´etat
du monde ne peut pas se trouver en dehors. La probabilit´e d’un ´ev´enement Asachant
ˆ
P(ω), P(A|ˆ
P(ω)) joue alors le rˆole d’une nouvelle probabilit´e a priori de A; une sorte de
probabilit´e actualis´ee interm´ediaire : la probabilit´e de Aavant que les individus ont pris
en compte les informations individuelles apport´ees par leurs partitions individuelles qui
vont au del`a de ce qui est de connaissance commune entre les deux grˆace `a la connaissance
commune de leurs partitions d’information individuelles.
64 CHAPITRE 6. RELATION AVEC DES TH ´
EORIES SUR LE LANGAGE
Chapitre 7
Appendice : D’o`u viennent les
partitions ?
7.1 Op´erateurs de connaissance
Dans l’approche Aumannienne (1976), on peut consid´erer que le fait qu’un individu ia
connaissance d’un ´ev´enement E`a l’´etat ω, ce qui est la cas si Pi(ω)⊂E, est lui-mˆeme
un ´ev´enement, ce que l’on peut noter KiE(ω). L’op´erateur Ki, auquel on se r´ef`ere alors
comme un op´erateur de connaissance, peut ˆetre emboˆıt´e, donnant des expressions comme,
par exemple, KjKiE(ω), ce qui signifie qu’`a l’´etat ω, l’individu jsait que isait que Es’est
r´ealis´e. Certes, le cadre formel bas´e sur les partitions d’information, employ´e par Aumann
(1976), implique certaines propri´et´es d’un tel op´erateur. Inversement, on peut prendre un
tel op´erateur de connaissance comme point de d´epart. Cette approche permet, d’un cˆot´e,
de poser la question quels sont les axiomes qu’un tel op´erateur doit satisfaire pour qu’il
peut ˆetre repr´esent´e par une partition d’information, donnant un fondement axiomatique
de l’approche bas´ee sur les partitions d’information ; de l’autre cˆot´e, elle permet d’´elargir
le mod`ele en retenant des propri´et´es d’un tel op´erateur diff´erentes de celles implicitement
retenues par l’approche bas´ee sur les partitions d’informations (Bacherach 1985 ; voir aussi
Fagin et al. 1995 [1988], Aumann 1999a et Aumann et Heifetz 2002.)
Dans ce livre, je n’emploie pas un tel op´erateur de connaissance, puisque l’´etude des dia-
logues – si on reste dans le mod`ele standard d’Aumann – se pr´esente, `a mon avis, plus
facilement dans le langage des partition, et je ne cherche pas `a explorer ou modifier les
bases ´epist´emiques de ce mod`ele. 1
1. Plus sur les op´erateurs de connaissance dans des articles en langue fran¸caise se trouve chez Lismont
(1994) et les articles de synth`ese de M´enager (2006) et Billot (2007).
65
66 CHAPITRE 7. APPENDICE : D’O `
U VIENNENT LES PARTITIONS ?
7.2 L’approche s´emantique versus l’approche syntac-
tique
L’approche prise par Aumann dans «Agreeing to disagree »(1976) de bˆatir un mod`ele des
connaissances des individus – et d’en d´eduire une notion de la connaissance commune –
bas´e sur la notion d’un ´etat du monde est s´erieusement efficace. Mais cette efficacit´e vient
`a un prix : la notion d’un ´etat du monde devient une sorte de boˆıte noire dans laquelle
disparaˆıt tout d´etail, tout aspect qui peut int´eresser dans un ´etat du monde et que les gens
normalement expriment par des mots, des phrases.
Les mod`eles de connaissance qui s’´edifient sur un ensemble d’´etats du monde possibles sont
souvent qualifi´es de s´emantique – par contraste `a des approches syntactiques, qui prennent
comme point de d´eparts des propositions, des phrases, dont un individu sait quelles sont
vraies et qui ´etudient ce qu’il s’en suit si on impose certaines r`egles (logiques) qui doivent
ˆetre respect´ees entres ces phrases (Hintikka 1962).
Roland Fagin, Joseph Halpern, Yoram Moses et Moshe Vardi (Halpern et Moses 1984,
1985, Fagin, Halpern et Vardi 1985, Fagin et al. 1995 [1988]), Luc Lismont et Philippe
Mogin (1994) se sont int´eress´es `a la question comment les deux approches communiquent.
Dov Samet (1990) montre sous quelles conditions le th´eor`eme d’Aumann (1976) peut ˆetre
retrouv´e dans un formalisme syntactique.
Aumann (1999a) lui-mˆeme a ´etendu ses recherches dans cette voie. Il s’est plus pr´ecis´ement
int´eress´e `a la question `a quel d´egr´ee un syst`eme de r`egles syntactiques (bas´e sur des op´e-
rateurs logiques) donne un fondement pour l’approche s´emantique et il a montr´e que ceci
est seulement partiellement le cas : pas tous les ´ev´enements qui peuvent ˆetre retenus dans
un mod`ele bas´e sur un ensemble d’´etats du monde possibles (et dans cette approche, un
´ev´enement est tout simplement un sous-ensemble de l’ensemble de tous les ´etats du monde
possibles) correspondent `a une phrase admissible selon les r`egles syntactiques.
7.3 Des partitions d’informations engendr´ees par des
signaux
Chez Aumann (1976), aussi bien que chez les auteurs qui ´etudient les sc´enarios de commu-
nication dans la tradition Aumannienne (Geanakoplos et Polemarchakis 1982, Sebenius et
Geanakoplos 1983), les partitions d’information des individus sont tout simplement don-
n´ees ; elles font partie de ce qui constitue l’´etat du monde. On peut, toutefois, tenter d’en
donner un fondement, une explication, une histoire si on veut. 2
2. Nous ne parlerons mˆeme pas de la question encore plus profonde : Qu’est-ce qu’un ´etat du monde ?
Pour cette discussion voir, par exemple, Aumann (1999a).
7.3. DES PARTITIONS D’INFORMATIONS ENGENDR ´
EES PAR DES SIGNAUX 67
Un signal
Une explication possible est que les individus re¸coivent un signal. Math´ematiquement un
signal peut s’exprimer par une application qui associe `a chaque ´etat ω∈Ω un signal S
appartenant `a un ensemble de signaux :
Si: Ω →Si,Si={Si
1, Si
2, . . . , Si
N}.
Pourvu que l’ensemble des signaux Siest fini, ce que nous supposons, une telle appli-
cation engendre une partition de Ω : cette partition engendr´ee par Sisera la partition
d’information de l’individu i.
Un signal m´elang´e
Qu’est-ce qui se passe si un tel signal n’est pas pur, c’est-`a-dire si les individus ne re¸coivent
pas de mani`ere sˆure un signal en fonction de l’´etat r´ealis´e, mais si les individus re¸coivent un
signal selon une certaine loi de probabilit´e ? Math´ematiquement cela revient `a remplacer
l’ensemble de signaux Sipar l’ensemble des lois de probabilit´e sur Si, le simplex ∆(Si) :
S: Ω →∆(S),∆(S) = {(s1, s2, . . . , sN):0≤sn≤1∀net X
n
sn= 1},
avec l’interpr´etation que S(ω) = s1(ω), s2(ω), . . . , sN(ω) repr´esente les probabilit´es avec
lesquelles le signal relatif sera re¸cu lorsque ωse produit.
Dans une approche qui prend comme point de d´epart le concept d’un ´etat du monde, de
tels signaux peuvent – et devraient – ˆetre inclus dans ce qui constitue un ´etat du monde.
Par cons´equent, un ´etat du monde n’est plus simplement ω, mais ωplus les r´ealisations
des fonctions de signaux S1et S2des deux individus : (ω, s1, s2). On aura alors un nouvel
ensemble d’´etats du monde possibles Ω×S1×S2. Etant donn´e les fonctions de signaux S1et
S2, on peut bien sˆur d´eterminer la probabilit´e de chaque ´ev´enement (ω, s1, s2)∈Ω×S1×S2,
et, certes, les fonctions des signaux des individus S1et S2engendrent des partitions sur ce
nouvel ensemble d’´etats du monde possible.
En r´esum´e : si les fonctions de signaux S1et S2sont de connaissance commune entre les
deux individus, on retombe dans le mod`ele Aumannien.
68 CHAPITRE 7. APPENDICE : D’O `
U VIENNENT LES PARTITIONS ?
Bibliographie
[1] Aumann, Robert J. 1976. «Agreeing to Disagree ».The Annals of Statistics 4, 1236–
1239.
[2] Aumann, Robert, J. 1999a. «Interactive epistemology I : knowledge ».International
Journal of Game Theory 28, 263–300.
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