GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen – Wirksamkeit eines fachdidaktischen Seminars auf die Entwicklung digitaler Werkzeugkompetenzen und auf die Veränderung technologiebezogener Überzeugungen von Mathematik-Lehramtsstudierenden PDF Free Download
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GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen –
Wirksamkeit eines fachdidaktischen Seminars auf die Entwicklung digitaler
Werkzeugkompetenzen und auf die Veränderung technologiebezogener
Überzeugungen von Mathematik-Lehramtsstudierenden
von
Ralf Wilhelm Holzmann
aus Koblenz
_________________________________________________________________
Angenommene Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
Fachbereich 3: Mathematik/Naturwissenschaften
Universität Koblenz
_________________________________________________________________
Gutachterinnen und Gutachter:
Prof. Dr. Peter Ullrich
Prof. Dr. Ute Sproesser
_________________________________________________________________
Prüfungskommission:
Prof. Dr. Bernhard Köppen
Prof. Dr. Peter Ullrich
Prof. Dr. Ute Sproesser
_________________________________________________________________
Tag der mündlichen Prüfung: 18.09.2025
Vorwort III
Vorwort
Nach fast 10 Jahren im rheinland-pfälzischen Schuldienst konnte ich an der Universität
Koblenz-Landau, an der ich selbst von 2000 bis 2005 und von 2014 bis 2016 studiert hatte, mit
Beginn des Sommersemesters 2017 eine Stelle als Wissenschaftlicher Mitarbeiter antreten.
Hier gilt mein Dank Prof. Dr. Hans-Stefan Siller (seit Wintersemester 2017/2018 Inhaber des
Lehrstuhls für Didaktik der Mathematik an der Universität Würzburg), der mir diese neue
berufliche Perspektive ermöglicht hat.
Diese Arbeit wurde im Rahmen des Bund-Länder-Programms „Qualitätsoffensive
Lehrerbildung“ im Großprojekt MoSAiK (2016-2023) der Universität Koblenz-Landau
gefördert. Vielen Dank für die finanzielle und materielle Unterstützung! Mit Beginn der
zweiten Förderphase des Projektes im Juli 2019 konnte dann letztendlich mit dem Teilprojekt
Digitale Forschungswerkstatt Multiple Repräsentationen im Mathematikunterricht der Weg
zur persönlichen Weiterqualifizierung eingeschlagen werden. Die damalige Projekt-
verantwortliche für den Standort Koblenz und heutige Vizepräsidentin für Studium und Lehre
der Universität Koblenz Prof. Dr. Constanze Juchem-Grundmann und Prof. Dr. Ute Sproesser
(von 2019-2020 Professorin für Didaktik der Mathematik, Universität Koblenz-Landau,
Campus Koblenz) als Teilprojektleiterin gaben mir die Möglichkeit und das Vertrauen diese
Forschungsarbeit zu realisieren. Danke Constanze, danke Ute! Durch den Wechsel von Frau
Sproesser an die Pädagogische Hochschule Ludwigsburg zum Wintersemester 2020/2021
übernahm dankenswerterweise Prof. Dr. Peter Ullrich (Universität Koblenz) die
Teilprojektleitung, so dass das Forschungsvorhaben nahtlos fortgeführt werden konnte.
Besten Dank, lieber Herr Ullrich! An den beiden Standorten Koblenz und Landau wurden
insgesamt 15 Teilprojekte durchgeführt, die auf verschiedenen Ebenen miteinander verknüpft
wurden. Allen Projektmitarbeiterinnen und Projektmitarbeitern zu danken, mit denen
während der regelmäßigen Gesamtprojekttreffen, Methodentreffen und Jour Fixe stets ein
konstruktiver und kollegial-freundschaftlicher Austausch stattgefunden hat, wäre an dieser
Stelle nicht möglich. Stellvertretend möchte ich Dominik Weis und Nicole Meister erwähnen,
die als gute Seelen des Projektes jederzeit bei allen organisatorischen Belangen ansprechbar
waren. Explizit möchte ich Dr. Svenja Mattheis und Dr. Linda Schürmann erwähnen, die mich
fachlich-konstruktiv und geduldig beim Anfertigen des kumulativen Evaluationsberichtes für
das Teilprojekt unterstützt haben. Einen Dank möchte ich auch Marco Nisius aussprechen, der
Vorwort IV
als Mitarbeiter des damaligen Instituts für Wissensmedien tatkräftig bei der Realisierung des
Kompetenztestes zu digitalen Mathematikwerkzeugen über das Lern-Management-System
OpenOLAT mitgewirkt hat.
Mit Herrn Ullrich als Erstgutachter und Frau Sproesser als Zweitgutachterin konnte ich darüber
hinaus meine „Doktoreltern“ für diese Dissertation gewinnen. Mein besonderer Dank gilt
daher in erster Linie den beiden Gutachtern für die hervorragende persönliche Betreuung und
professionelle Unterstützung bei der Umsetzung der gesamten Arbeit. Dabei empfand ich das
Vertrauen und die Offenheit eigene Wege gehen zu können - neben der konstruktiven und
fachlich-akademischen Kritik - als sehr wertschätzend und motivierend. Herzlichen Dank,
lieber Herr Ullrich! Herzlichen Dank Ute, dass Du trotz Beendigung des Dienstes in Koblenz die
Begutachtung übernommen hast. Das ist nicht selbstverständlich! In zahlreichen
Doktorandentreffen, die aufgrund der Pandemie und auch örtlich bedingt überwiegend in
Form von Videokonferenzen stattgefunden haben, standen meine „Doktoreltern“ mit Rat und
Tat an meiner Seite, und haben damit erheblich zu meiner Weiterqualifizierung in der
wissenschaftlichen Laufbahn beigetragen. Bei der Anfertigung meiner Dissertation zwischen
2020 und 2025 wurde ich auf vielfältige Weise unterstützt und begleitet, so dass ich weiteren
Personen meinen Dank aussprechen möchte. Nach Abschluss des MoSAiK-Projektes in
12/2023 konnte ich nahtlos ab 01/2024 als wissenschaftlicher Mitarbeiter am
mathematischen Institut der Universität Koblenz bis zur Einreichung der Dissertation
weiterbeschäftigt werden. Dabei wurde ich in erster Linie von Dagmar Michels, Dr. Irene
Grafenhofer und Prof. Dr. Kirsten Winkel wohlwollend und wertschätzend unterstützt. Danke
Dagmar! Danke Irene! Danke Kirsten!
Mit meinem Kollegen und Weggefährten Marco Böhm konnte ich mich während der
gemeinsamen Projekt- und Promotionszeit in zahlreichen Gesprächen im Büro, beim
Mittagessen in der Mensa oder auf fachdidaktischen Tagungen fachlich, kollegial aber auch
freundschaftlich austauschen. Durch die thematisch enge Verzahnung unserer beiden
Teilprojekte konnten durch die gemeinsame Entwicklung von Messinstrumenten zur
Datenerhebung produktive Synergieeffekte für unsere Forschungsarbeiten erzielt werden. So
ist über die Jahre aus einer Bürogemeinschaft eine Bürofreundschaft entstanden, die mit
großer persönlicher Wertschätzung verbunden ist. Danke Marco!
Vorwort V
Meine studentische Hilfskraft Alina Gramsch hat ebenfalls einen erheblichen Beitrag zum
Gelingen des Projektes geleistet. Während der Organisation und Durchführung des
fachdidaktischen Seminars von 03/2020 bis 09/2023 wurde ich von Ihr mehr als 3,5 Jahre lang
tatkräftig unterstützt. Danke Alina!
Erst durch Schulkooperationen war es möglich, dass die Lehramtsstudierenden, die an der
Studie teilgenommen haben, die Möglichkeit erhielten Unterrichtsstunden eigen-
verantwortlich durchzuführen. Hier möchte ich besonders Maximilian Blaum, Sabrina Gecks,
Uwe Gerhards und Julia Zander danken, die ihre Klassen für die Unterrichtserprobungen
mehrmals zur Verfügung gestellt haben.
Mein Dank gilt auch den 55 Studierenden, die das fachdidaktische Seminar zwischen dem SoSe
2021 und dem SoSe 2023 besucht hatten. Durch deren Bereitschaft zur Mitwirkung an den
empirischen Untersuchungen konnte die Dissertation erst realisiert werden. An der Stelle
kann ich mit Freude erwähnen, dass während dieser Zeit das Interesse am Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge derart geweckt wurde, dass einige Bachelorarbeiten unter meiner
Betreuung daraus entstanden sind. Daher gilt auch hier mein Dank den Studierenden, die mit
großem Engagement die schulpraktischen Studien wissenschaftlich durchgeführt haben.
Das Kodieren von qualitativen Daten ist eine zeitintensive und mühsame Arbeit. Hier gilt mein
Dank Dr. Daniel Habeck (Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der
Universität Koblenz), den ich als Gegenkodierer gewinnen konnte, um die Zuverlässigkeit einer
Teilstudie zu Vor- und Nachteilen des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen zu
überprüfen. Den Korrekturlesern Marco Böhm, Petra Gehrmann und Uwe Gerhards möchte
ich ebenso danken für das konstruktive und hilfreiche Feedback, welches in die Endfassung
dieser Dissertation eingeflossen ist.
Schließlich möchte ich meiner Familie und meinen Freunden danken, die mir einerseits den
Rücken während der Promotionszeit freigehalten haben, und mir andererseits in Gesprächen
mit einem fachfremden Blick inspirierende und motivierende Denkanstöße gaben.
Ralf Wilhelm Holzmann
Zusammenfassung VI
Zusammenfassung
Angesichts der Forderung, dass Schülerinnen und Schüler (bspw. in Rheinland-Pfalz) ab
Klassenstufe 7 selbständig mit Dynamischer Geometrie-Software und einem
Tabellenkalkulationsprogramm arbeiten müssen, kommt Lehrkräften eine besondere Rolle
bei der Integration digitaler Mathematikwerkzeuge (DMW) in den Mathematikunterricht zu.
Dies lässt sich z.B. in Bezug auf die Leitidee L4 (Funktionaler Zusammenhang) exemplarisch
umsetzen, da sich zur Förderung des funktionalen Denkens der Einsatz von digitalen
Mathematikwerkzeugen anbietet. Im Rahmen des QLB- Projektes MoSAiK des
Bundesministeriums für Bildung und Forschung wurden im Teilprojekt Digitale
Forschungswerkstatt Multiple Repräsentationen im Mathematikunterricht
Werkzeugkompetenzen von Studierenden der Lehrämter RS plus, Gymnasium und
Berufsbildende Schule bezogen auf die beiden DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation und
technologiebezogene Überzeugungen am Beispiel der elementaren Funktionen der
Sekundarstufe I beforscht.
Dazu wurde ein spezifisches fachdidaktisches Seminar, welches die Förderung von
Bedienkompetenzen der beiden DMW und eine darauf aufbauende Unterrichtsplanung und
Erprobung von Unterrichtsstunden beinhaltete, konzipiert. Vor und nach Besuch des Seminars
wurden von 55 Studierenden Bedien- und Auswahlkompetenzen der beiden Softwares
anhand eines selbstentwickelten Kompetenztestes gemessen. Darüber hinaus wurden die
Teilbereiche TK, TPK und TCK des TPACK-Modells, Selbstwirksamkeitsüberzeugungen sowie
technologiebezogene Überzeugungen in Bezug auf Vor- und Nachteile des Einsatzes von DMW
anhand eines Studierenden-Fragebogens erhoben. Die Seminarintervention erzielte einen
signifikanten Effekt auf die Entwicklung der Bedienkompetenzen der Studierenden für die
Werkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation. Ergebnisse einer qualitativen Inhaltsanalyse
mit quantitativen Elementen zeigten, dass insbesondere die Visualisierungs- und
Kontrollfunktion von den Studierenden als Vorteile der beiden DMW beim Unterrichten von
funktionalen Zusammenhängen gesehen werden. Als Nachteil wurde am häufigsten eine
Gefahr für händische Rechenverfahren genannt. In Bezug auf die benötigte Zeit beim
Benutzen der Technologie wurde einerseits eine Ersparnis durch den Einsatz von GeoGebra
und Tabellenkalkulation erwartet, andererseits ein hoher Aufwand befürchtet, wenn die
Schüler nicht über die notwendigen Werkzeugkompetenzen verfügen.
Abstract VII
Abstract
In view of the requirement that students (e.g. in Rhineland-Palatinate) from grade 7 onwards
have to work independently with dynamic geometry software (e.g. GeoGebra) and a
spreadsheet program, teachers have a special role in the integration of digital mathematics
tools in mathematics lessons. For example this can be implemented, with regard to the guiding
idea L4 (Functional connection), since the use of digital mathematics tools is recommended to
promote functional thinking. Within the qualitive offensive for pre-service-teacher training,
which has been established by the Ministry of Education, the project MoSAiK provided a
Digital Research Workshop Multiple Representations in Mathematics Education using the
topic of elementary functions on secondary school level. On the one hand this workshop
examined tool skills of students in relation to the two softwares GeoGebra and spreadsheets
that apply for secondary schools, high schools and vocational schools. On the other hand
(technology-related) beliefs of the students were researched according to the function
concept.
For that reason a specific didactic workshop, which included on the one hand the fostering of
operating skills for the tools GeoGebra and spreadsheet and on the other hand the
subsequent planning and teaching of lessons had been conceived. Before and after attending
the workshop the operating and selection skills in both tools have been measured in a sample
of 55 students using a self-developed competency test. In addition, the sub-areas TK, TPK and
TCK of the TPACK-framework, self-efficacy beliefs and technology-related beliefs regarding
the advantages and disadvantages of using digital mathematics tools were collected using a
student questionnaire. The workshop intervention achieved a significant effect on the
development of the students' operating skills for both tools – GeoGebra and spreadsheet. The
results of a qualitative content analysis with quantitative elements show that in particular the
visualizing of functions and the checking of results were viewed as advantages of the digital
tools when teaching functional thinking. The most frequently cited disadvantage was a danger
to manual calculation methods. With regard to the time required, on the one hand, savings
were expected when using digital tools, but on the other hand, there were fears of high
expenditure if pupils do not have the necessary tool skills.
Inhaltsverzeichnis VIII
Abbildungsverzeichnis .................................................................................................................. XIII
Tabellenverzeichnis ...................................................................................................................... XVI
Abkürzungsverzeichnis/Akronyme ............................................................................................... XIX
1 Einleitung ................................................................................................................................. 1
1.1 Ausgangslage und Motivation ...................................................................................... 1
1.2 Ziele der Arbeit.............................................................................................................. 3
1.3 Aufbau der Arbeit ......................................................................................................... 6
I Theoretische Grundlagen .............................................................................................................. 9
2 Funktionen ............................................................................................................................. 10
2.1 Der Funktionsbegriff ................................................................................................... 11
2.2 Der Funktionsbegriff historisch betrachtet ................................................................ 11
2.3 Didaktik des Funktionsbegriffs .................................................................................... 13
2.3.1 Aspekte und Grundvorstellungen von Funktionen ............................................. 14
2.3.2 Repräsentationsformen von Funktionen ............................................................ 16
2.3.3 Repräsentationswechsel bei Funktionen ............................................................ 18
2.3.4 Der Funktionsbegriff in Lehrplänen und im Unterricht ....................................... 22
2.4 Elementare Funktionen .............................................................................................. 28
2.4.1 Lineare Funktionen .............................................................................................. 30
2.4.2 Quadratische Funktionen und Quadratwurzelfunktionen .................................. 34
2.4.3 Potenzfunktionen ................................................................................................ 40
2.4.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen ........................................................... 45
2.4.5 Trigonometrische Funktionen ............................................................................. 48
2.5 Zusammenfassung ...................................................................................................... 55
3 Digitale Mathematikwerkzeuge ............................................................................................. 57
3.1 Der Begriff Digitale Mathematikwerkzeuge ............................................................... 57
Inhaltsverzeichnis IX
3.2 Dynamische Geometrie-Software GeoGebra ............................................................. 61
3.2.1 Die Struktur von GeoGebra ................................................................................. 62
3.2.2 Ausgewählte Einsatzmöglichkeiten von GeoGebra ............................................. 63
3.3 Tabellenkalkulationsprogramme ................................................................................ 64
3.3.1 Die Struktur von Tabellenkalkulationsprogrammen ........................................... 65
3.3.2 Ausgewählte Einsatzmöglichkeiten einer Tabellenkalkulation ........................... 65
3.4 GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich Funktionen ....................................... 69
3.4.1 GeoGebra und Funktionskonzept ........................................................................ 69
3.4.2 Tabellenkalkulationsprogramme und Funktionskonzept .................................... 71
3.5 Möglichkeiten und Grenzen von Digitalen Mathematikwerkzeugen ......................... 73
3.5.1 Didaktischer Mehrwert von digitalen Mathematikwerkzeugen ......................... 74
3.5.2 Vorteile von digitalen Mathematikwerkzeugen .................................................. 76
3.5.3 Nachteile von digitalen Mathematikwerkzeugen ............................................... 82
3.6 Zusammenfassung ...................................................................................................... 84
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften ............................................ 87
4.1 Die Modelle nach SHULMAN und BROMME ..................................................................... 88
4.2 Das Kompetenzmodell nach WEINERT .......................................................................... 90
4.3 Das Kompetenzmodell von COACTIV .......................................................................... 91
4.4 KMK: Bildungsstandards und Kompetenzen für das Fach Mathematik ..................... 94
4.4.1 Kompetenzerwerb von Schülern ......................................................................... 94
4.4.2 Kompetenzen von Lehrkräften .......................................................................... 103
4.5 Kompetenzmodelle beim Unterrichten mit digitalen Medien ................................. 104
4.5.1 Europäischer Rahmen für die digitale Kompetenz Lehrender (DigCompEdu) .. 105
4.5.2 Das TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER ....................................................... 107
4.5.3 Das didaktische Tetraeder ................................................................................. 110
Inhaltsverzeichnis X
4.5.4 Das SAMR-Modell nach PUENTEDURA .................................................................. 112
4.6 Werkzeugkompetenzen ............................................................................................ 115
4.7 Zusammenfassung .................................................................................................... 118
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften ...................................................................... 120
5.1 Der Begriff Überzeugungen ...................................................................................... 121
5.2 Epistemologische Überzeugungen............................................................................ 122
5.3 Überzeugungen zum Lehren und Lernen von Mathematik ...................................... 125
5.4 Technologiebezogene Überzeugungen .................................................................... 126
5.5 Selbstwirksamkeitsüberzeugungen .......................................................................... 127
5.6 Zusammenfassung .................................................................................................... 129
6 Fragestellungen und Hypothesen ........................................................................................ 131
II Konzeptioneller Teil .................................................................................................................. 135
7 Theorie-Praxis-Verzahnung in der Lehrkräftebildung ......................................................... 136
7.1 Lehr-Lern-Labore ....................................................................................................... 136
7.2 Lehr-Lern-Labor an der Universität Koblenz ............................................................. 138
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars .................................................................... 140
8.1 Arbeitsphase 1: Schulung von Werkzeugkompetenzen ........................................... 144
8.1.1 Bedienkompetenzen (GeoGebra und Tabellenkalkulation) .............................. 146
8.1.2 Reflexionskompetenzen (GeoGebra und Tabellenkalkulation) ........................ 151
8.2 Arbeitsphase 2: Unterrichtsplanung mit GeoGebra und Tabellenkalkulation ......... 152
8.3 Arbeitsphase 3: Unterrichtserprobung ..................................................................... 154
8.4 Reflexion der Arbeitsphasen 1-3............................................................................... 161
8.5 Studienleistung ......................................................................................................... 162
III Methodischer Teil .................................................................................................................... 163
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente ............................................................................. 163
Inhaltsverzeichnis XI
9.1 Kompetenztest .......................................................................................................... 163
9.1.1 Teil 1: Tabellenkalkulation ................................................................................. 166
9.1.2 Teil 2: GeoGebra ................................................................................................ 169
9.1.3 Teil 3: Didaktik ................................................................................................... 172
9.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung ......................................................................... 176
9.2.1 Skalen des Fragebogens .................................................................................... 178
9.2.2 Testgütekriterien ............................................................................................... 190
10 Methodik der Datenauswertung ..................................................................................... 197
10.1 Stichprobe, Design und Ablauf der Untersuchung ................................................... 197
10.2 Kompetenztest .......................................................................................................... 202
10.2.1 Datenauswertung Teil 1 (Tabellenkalkulation) und Teil 2 (GeoGebra) ......... 202
10.2.2 Datenauswertung Teil 3 (Didaktik) ................................................................ 204
10.2.3 Gütekriterien der Inhaltsanalyse ................................................................... 223
10.3 Fragebogen zur Selbsteinschätzung ......................................................................... 224
IV Ergebnisse zur Wirksamkeit des fachdidaktischen Seminars ................................................. 227
11 Darstellung der Ergebnisse.............................................................................................. 227
11.1 Kompetenztest .......................................................................................................... 227
11.1.1 Teile 1 und 2: Bedienkompetenzen Tabellenkalkulation und GeoGebra ...... 228
11.1.2 Teil 3: Didaktikaufgabe .................................................................................. 230
11.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung ......................................................................... 238
11.2.1 Teil C: Digitale Mathematikwerkzeuge während der eigenen Schulzeit ....... 238
11.2.2 Teil D: Digitale Mathematikwerkzeuge während Praktika ............................ 242
11.2.3 Teil E: Vertretungsstellen/PES-Stellen/Unterrichtserfahrung ....................... 244
11.2.4 Teil F: Fragen zur Lehrerprofessionalität ....................................................... 246
11.2.5 Teile G1 bis M2: Technologiebezogene Überzeugungen .............................. 248
Inhaltsverzeichnis XII
11.2.6 Teil N1: Selbstwirksamkeitsüberzeugungen .................................................. 251
11.2.7 Teil N2: Geplantes Lehrerverhalten ............................................................... 252
11.3 Ein differenzierter Blick auf die Kohorten (SoSe 2021 – SoSe 2023) ........................ 255
11.4 Bewertung des fachdidaktischen Seminars aus Sicht der Studierenden ................. 262
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse ......................................................... 267
12.1 Kompetenztest .......................................................................................................... 267
12.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung ......................................................................... 271
V Fazit .......................................................................................................................................... 278
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen ...................................... 279
14 Reflexion zum methodischen Vorgehen ......................................................................... 284
15 Ausblick ........................................................................................................................... 286
16 Literaturverzeichnis .......................................................................................................... XXI
17 Anhang ............................................................................................................................. XLI
17.1 Fragebogen zur Selbsteinschätzung (pdf-Export) ...................................................... XLI
17.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Antworten zu C3.) ........................................... LXI
17.3 Aufgaben des Kompetenztests ................................................................................. LXV
17.4 Kodiertes Material Didaktikaufgabe (SoSe 2021 – SoSe 2023) ............................... LXXI
17.5 Fachdidaktisches Seminar (Pflichtaufgaben der Arbeitsphase 1) .........................CXXXI
17.6 Fachdidaktisches Seminar (Dokumente) ............................................................... CLVIII
17.7 Kompetenztest: Kategoriensysteme Bedienkompetenzen (TKP und GeoGebra) . CLXIII
17.8 Kompetenztest: Kategoriensystem Vor- und Nachteile von DMW (deduktiv) ..... CLXXI
17.9 Kompetenztest: Kategoriensystem Vor- und Nachteile von DMW (induktiv) .. CLXXVIII
17.10 Digitaler Anhang ............................................................................................. CLXXXIII
Eidesstattliche Erklärung ...................................................................................................... CLXXXIV
Abbildungsverzeichnis XIII
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1: Aspekte und Grundvorstellungen zu Funktionen ............................................................. 14
Abb. 2: Die drei Grundvorstellungen funktionalen Denkens ........................................................ 15
Abb. 3: Darstellungswechsel am Beispiel der Exponentialfunktion f(x) = 4 · 2x ........................... 18
Abb. 4: Begriffsnetze zu reellen Funktionen ................................................................................. 28
Abb. 5: Begriffsnetz zu Elementaren Funktionen ......................................................................... 29
Abb. 6: Graphen linearer Funktionen ........................................................................................... 30
Abb. 7: Steigungsdreieck ............................................................................................................... 31
Abb. 8: Graphen konstanter Funktionen ...................................................................................... 32
Abb. 9: Graphen proportionaler Funktionen ................................................................................ 33
Abb. 10: Parallele Geraden ........................................................................................................... 33
Abb. 11: Orthogonale Geraden ..................................................................................................... 33
Abb. 12: Graph der Normalparabel ............................................................................................... 34
Abb. 13: Verschobene Normalparabeln (y-Richtung) ................................................................... 35
Abb. 14: Verschobene Normalparabeln (x-Richtung) ................................................................... 35
Abb. 15: Verschobene Normalparabeln (x- und y-Richtung) ........................................................ 36
Abb. 16: Parabeln der Form y = a · x² ............................................................................................ 37
Abb. 17: Rechter Ast der Normalparabel und Quadratwurzelfunktion ........................................ 39
Abb. 18: Potenzfunktionen (Typ 1) ............................................................................................... 41
Abb. 19: Potenzfunktionen (Typ 2) ............................................................................................... 42
Abb. 20: Potenzfunktionen (Typ 3) ............................................................................................... 42
Abb. 21: Potenzfunktionen (Typ 4) ............................................................................................... 43
Abb. 22: Potenz- und Wurzelfunktionen ....................................................................................... 44
Abb. 23: Graphen von Exponentialfunktionen ............................................................................. 45
Abb. 24: Graphen von Logarithmusfunktionen ............................................................................ 47
Abb. 25: Sinus, Kosinus, Tangens am Einheitskreis ....................................................................... 49
Abb. 26: Bogenmaß eines Winkels ................................................................................................ 50
Abb. 27: Einheitskreis und Sinusfunktion ..................................................................................... 51
Abb. 28: Sinus- und Kosinusfunktion ............................................................................................ 52
Abb. 29: Amplitudenänderung ...................................................................................................... 54
Abb. 30: Perioden- und Frequenzänderung .................................................................................. 54
Abbildungsverzeichnis XIV
Abb. 31: Phasenänderung ............................................................................................................. 54
Abb. 32: Verschiebung in y-Richtung ............................................................................................ 54
Abb. 33: Startbildschirm von GeoGebra ....................................................................................... 62
Abb. 34: Tabellenblatt in MS-Excel ............................................................................................... 65
Abb. 35: Tabellenblatt mit Wertetabelle und Graph .................................................................... 68
Abb. 36: Parallele Anzeige der Repräsentationen Term, Graph und Wertetabelle ..................... 69
Abb. 37: Einfluss des Parameters b auf den Graphen von f.......................................................... 70
Abb. 38: Wertetabelle, Term und Graph einer quadratischen Funktion ...................................... 71
Abb. 39: Didaktisches Potential digitaler Mathematikwerkzeuge ................................................ 76
Abb. 40: PCK-Modell nach SHULMAN (1986) ................................................................................... 88
Abb. 41: Das Kompetenzmodell von COACTIV mit Spezifikationen für das Professionswissen ... 91
Abb. 42: Kompetenzmodell der Bildungsstandards im Fach Mathematik ................................... 98
Abb. 43: Bereiche und Kompetenzen des DigCompEdu-Kompetenzrahmens ........................... 106
Abb. 44: TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER .......................................................................... 107
Abb. 45: Didaktisches Tetraeder ................................................................................................. 110
Abb. 46: Das SAMR-Modell ......................................................................................................... 112
Abb. 47: Werkzeugkompetenzen ................................................................................................ 116
Abb. 48: Testaufbau zu Werkzeugkompetenzen ........................................................................ 164
Abb. 49: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe T1 ............................................................... 167
Abb. 50: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe T2 ............................................................... 168
Abb. 51: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe G1 .............................................................. 170
Abb. 52: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe G2 .............................................................. 171
Abb. 53: Didaktikaufgabe D1 (Schulbuchaufgabe mit Schüler-Lösung)...................................... 172
Abb. 54: Didaktikaufgabe D2 (Schulbuchaufgabe mit Schüler-Lösung)...................................... 173
Abb. 55: 3x = 18 als funktionale Grundvorstellungen Graph und Wertetabelle ......................... 174
Abb. 56: Forschungsdesign ......................................................................................................... 197
Abb. 57: Ablaufmodell deduktiver Kategorienanwendung (Strukturierung) ............................. 212
Abb. 58: Benutzeroberfläche MAXQDA Analytics Pro ................................................................ 217
Abb. 59: Auswahl der DMW GeoGebra und TKP ........................................................................ 230
Abb. 60: Digitale Unterstützungen (GeoGebra) .......................................................................... 231
Abb. 61: Digitale Unterstützungen (Tabellenkalkulation) ........................................................... 232
Abbildungsverzeichnis XV
Abb. 62: Vorteile von DMW (deduktive Subkategorien) ............................................................ 233
Abb. 63: Vorteile von DMW (induktive Subkategorien) ............................................................. 234
Abb. 64: Nachteile von DMW (deduktive Subkategorien) .......................................................... 235
Abb. 65: Nachteile von DMW (induktive Subkategorien) ........................................................... 236
Abb. 66: Digitale Werkzeuge während der eigenen Schulzeit .................................................... 238
Abb. 67: Wunsch nach mehr Einsatz von DMW ......................................................................... 239
Abb. 68: Induktives Kategoriensystem mit den jeweiligen absoluten Häufigkeiten .................. 241
Abb. 69: Digitale Mathematikwerkzeuge während studienbegleitender Praktika .................... 243
Abb. 70: Eigenverantwortlicher Mathematikunterricht ............................................................. 244
Abb. 71: Digitale Werkzeuge im eigenverantwortlichen Unterricht .......................................... 245
Abb. 72: Schulformen des eigenverantwortlichen Unterrichts .................................................. 245
Abb. 73: Wirkungsgefüge zum Erwerb digitaler Werkzeugkompetenzen .................................. 279
Tabellenverzeichnis XVI
Tabellenverzeichnis
Tab. 1: Grundvorstellungen zu Funktionen ................................................................................... 15
Tab. 2: Exemplarische Aktivitäten zum Repräsentationswechsel ................................................ 19
Tab. 3: Elementare Funktionen ..................................................................................................... 28
Tab. 4: Übersicht zu digitalen Medien und digitalen Mathematikwerkzeugen ............................ 59
Tab. 5: Werkzeugleiste GeoGebra ................................................................................................ 63
Tab. 6: Allgemeine mathematische Kompetenz (K4) .................................................................... 95
Tab. 7: Allgemeine mathematische Kompetenz (K5) .................................................................... 96
Tab. 8: Leitidee Funktionaler Zusammenhang .............................................................................. 96
Tab. 9: Terminologie berufsbezogener Überzeugungen (Auswahl) ........................................... 121
Tab. 10: Übersicht Seminartermine ............................................................................................ 142
Tab. 11: Pflichtaufgaben ............................................................................................................. 147
Tab. 12: Didaktische Potentiale ................................................................................................... 152
Tab. 13: Unterrichtserprobung WiSe 2021/2022........................................................................ 157
Tab. 14: Unterrichtserprobung SoSe 2022 .................................................................................. 158
Tab. 15: Unterrichtserprobung WiSe 2022/2023........................................................................ 159
Tab. 16: Unterrichtserprobung SoSe 2023 .................................................................................. 160
Tab. 17: Testkonfigurationen Kompetenztest ............................................................................ 165
Tab. 18: Basale Bedienkompetenzen (Tabellenkalkulation) ....................................................... 166
Tab. 19: Basale Bedienkompetenzen GeoGebra......................................................................... 169
Tab. 20: Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Übersicht Variablen) .......................................... 178
Tab. 21: Items der Skala F1: Technological Knowledge (TK) ....................................................... 179
Tab. 22: Items der Skala F2: Technological Pedagogical Knowledge (TPK) ................................ 180
Tab. 23: Items der Skala F3: Technological Content Knowledge (TCK) ....................................... 181
Tab. 24: Items der Skala G1: Auslagerungsprinzip ...................................................................... 182
Tab. 25: Items der Skala H1: Repräsentationswechsel ............................................................... 183
Tab. 26: Items der Skala I1: Entdeckendes Lernen ..................................................................... 184
Tab. 27: Items der Skala J1: Gefahr für händisches Rechnen ..................................................... 184
Tab. 28: Items der Skala K1: Unreflektiertes Arbeiten mit DMW ............................................... 185
Tab. 29: Items der Skala L1: Einstellung zu Technologie ............................................................. 186
Tab. 30: Items der Skala M1: Zeitaufwand.................................................................................. 186
Tabellenverzeichnis XVII
Tab. 31: Items der Skala M2: Erst Mathematik, dann DMW ...................................................... 187
Tab. 32: Items der Skala N1: Selbstwirksamkeitsüberzeugungen .............................................. 188
Tab. 33: Items der Skala N2: Geplantes Lehrerverhalten ........................................................... 189
Tab. 34: Reliabilitäten der Skalen F bis N .................................................................................... 194
Tab. 35: Geschlechterverteilung der Stichprobe ........................................................................ 199
Tab. 36: Altersstruktur der Stichprobe........................................................................................ 199
Tab. 37: Verteilung Studiengang und Fachsemesteranzahl Mathematik ................................... 200
Tab. 38: Verteilung der lehramtsbezogenen Studiengänge ....................................................... 200
Tab. 39: Verteilung Zweitfach ..................................................................................................... 201
Tab. 40: Auswahl der DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation ............................................... 205
Tab. 41: Auswertungseinheiten (GeoGebra & Tabellenkalkulation) .......................................... 206
Tab. 42: Digitale Unterstützungen zu D1 mit Tabellenkalkulation ............................................. 207
Tab. 43: Digitale Unterstützungen zu D1 mit GeoGebra ............................................................ 208
Tab. 44: Digitale Unterstützungen zu D2 mit Tabellenkalkulation ............................................. 209
Tab. 45: Digitale Unterstützungen zu D2 mit GeoGebra ............................................................ 209
Tab. 46: Deduktive Kategorien (Vor- und Nachteile) .................................................................. 214
Tab. 47: Übereinstimmungstabelle für eine Kategorie und zwei Rater ...................................... 219
Tab. 48: Reliabilitäts-Koeffizienten (Vor- und Nachteile des Einsatzes von DMW) .................... 220
Tab. 49: Erweitertes Kategoriensystem (Induktive Kategorien) ................................................. 222
Tab. 50: Parameter der t-Tests für Bedienkompetenzen TKP und GeoGebra (N=55) ................ 228
Tab. 51: Durchschnittliche Bearbeitungszeiten für die Testteile TKP und GeoGebra ................ 229
Tab. 52: Abgegebene Antworten zur Aufgabe C3. ...................................................................... 240
Tab. 53: Studienbegleitende Praktikumserfahrung .................................................................... 243
Tab. 54: Deskriptive Statistik (Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf DMW) ................... 246
Tab. 55: Parameter der t-Tests für Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf DMW (N=55) . 247
Tab. 56: Deskriptive Statistik (Technologiebezogene Überzeugungen) ..................................... 248
Tab. 57: Parameter der t-Tests für Technologiebezogene Überzeugungen (N=55) ................... 250
Tab. 58: Deskriptive Statistik (Selbstwirksamkeitsüberzeugungen) ........................................... 251
Tab. 59: Parameter der t-Tests für Selbstwirksamkeitserwartungen (N=55) ............................. 252
Tab. 60: Deskriptive Statistik (Geplantes Lehrerverhalten) ........................................................ 253
Tab. 61: Parameter der t-Tests für Geplantes Lehrerverhalten (N=55) ...................................... 253
Tabellenverzeichnis XVIII
Tab. 62: Übersicht Arbeitsphase 3 .............................................................................................. 255
Tab. 63: Parameter der t-Tests für die Skalen F1 bis N2 im Vergleich (EVU, Peer, Total) .......... 257
Tab. 64: Lehrveranstaltungsevaluation ....................................................................................... 262
Tab. 65: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (TKP – Aufgabe T1) .................................... CLXIII
Tab. 66: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (TKP – Aufgabe T2) ..................................... CLXV
Tab. 67: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (GeoGebra - Aufgabe G1) ......................... CLXVII
Tab. 68: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (GeoGebra - Aufgabe G2) .......................... CLXIX
Tab. 69: Kodierleitfaden (Vorteile von DMW - deduktiv) ........................................................ CLXXI
Tab. 70: Kodierleitfaden (Nachteile von DMW - deduktiv) .................................................... CLXXVI
Tab. 71: Kodierleitfaden (Vor- und Nachteile von DMW - induktiv) .................................... CLXXVIII
Abkürzungsverzeichnis/Akronyme XIX
Abkürzungsverzeichnis/Akronyme
A AP Arbeitsphase
B BBB BigBlueButton (Webkonferenzsystem)
BBS Berufsbildende Schule
B. Ed. Bachelor of Education
BMBF Bundesministerium für Bildung und Forschung
C CAS Computer-Algebra-Systeme
CK Content knowledge
COACTIV Cognitive Activation in the classroom
D DGS Dynamische Geometrie-Software
DMW Digitale Mathematikwerkzeuge
E ESA Erster Schulabschluss
F FDS Fachdidaktisches Seminar
G GDM Gesellschaft für Didaktik der Mathematik
GER Gemeinsamer Europäischen Referenzrahmen für Sprachen
GYM Gymnasium
I ICT Information and Communication Technology
IKT Informations- und Kommunikationstechnologie
K KMK Kultusministerkonferenz
L LA Lehramt
LLL Lehr-Lern-Labor
LMS Lernmanagementsystem
LVE Lehrveranstaltungsevaluation
M M. Ed. Master of Education
MoSAiK Modulare Schulpraxiseinbindung als Ausgangspunkt zur individuellen
Kompetenzentwicklung
MSA Mittlerer Schulabschluss
MU Mathematikunterricht
O OpenOLAT Open Online Learning And Training
P PCK Pedagogical content knowledge
PES Personalmanagement im Rahmen Erweiterter Selbstständigkeit von Schulen
Abkürzungsverzeichnis/Akronyme XX
PK General pedagogical knowledge
Q QIA Qualitative Inhaltsanalyse
R RLP Sek I Rahmenlehrplan Mathematik (Klassenstufen 5-9/10)
RS+ Realschule plus
S SHK Studentische Hilfskraft
SoSe Sommersemester
StEVA Stabsstelle Evaluation der Universität Koblenz
SWS Semesterwochenstunden
T TCK Technological Content Knowledge
TK Technological Knowledge
TKP Tabellenkalkulationsprogramm
TPK Technological Pedagogical Knowledge
TPACK Technological Pedagogical And Content Knowledge
W WiSe Wintersemester
Z ZfL Zentrum für Lehrkräftebildung
1 Einleitung 1
1 Einleitung
1.1 Ausgangslage und Motivation
Die digitale Transformation oder auch wahlweise der digitale Wandel schreitet in den
verschiedensten Lebensbereichen wie Wirtschaft, Industrie oder Dienstleistungsgewerbe immer
weiter voran (Pinkernell et al., 2022). Auch im privaten und kulturell-gesellschaftlichen Leben ist
die Benutzung eines digitalen Endgerätes (z.B. personal Computer, Notebook, Tablet oder
Smartphone) inzwischen alltäglich.
Im Schulunterricht - einem wichtigen Bereich unserer Gesellschaft – ist die Benutzung digitaler
Medien nicht neu, aber auch längst noch nicht zur flächendeckenden Routine geworden. Nicht
zuletzt durch die Erfahrungen mit temporärem Aussetzen des Präsenzunterrichts,
Homeschooling oder hybridem Unterricht, bedingt durch die SARS-CoV-2-Pandemie, ist die
Digitalisierung von Unterricht ein zentrales bildungspolitisches Thema (vgl. Pinkernell et al.,
2022) und der Ruf aus der Öffentlichkeit nach computergestütztem Unterricht noch lauter
geworden (vgl. Reiss, 2020). Die Corona-Pandemie hat die Schwachstellen wie bspw. die
unzureichende digitale Infrastruktur des Bildungswesens offenbart. Durch den Digitalpakt Schule
wurden erhebliche finanzielle Mittel zur Verfügung gestellt, diese jedoch bis heute nur
schleppend abgerufen (von Elsenau et al., 2021). Die Installation und Bereitstellung der
technischen Möglichkeiten und entsprechender Endgeräte ist jedoch noch kein Garant für
gelingenden digitalen Unterricht. Vielmehr sind es die fächerübergreifenden und
fachspezifischen digitalen Kompetenzen qualifizierter Lehrkräfte, die für einen
zukunftsorientierten Unterricht essentiell sind. Es werden zwar auch weiterhin analoge
Unterrichtskonzepte eine Rolle spielen, jedoch werden digitale Lehr-Lern-Arrangements immer
mehr an Bedeutung gewinnen, um einen Beitrag zur Entwicklung der Kompetenzen von
Schülerinnen und Schülern in einer digitalen Lebenswelt leisten zu können (vgl. Reiss, 2020).
Digitale Medien und Werkzeuge haben das Potential den klassischen Unterricht anschaulicher zu
gestalten und neue didaktisch gewinnbringende Zugänge herzustellen. Für viele Schülerinnen
und Schüler
1
kann der mittlerweile alltägliche Umgang mit Notebook, Tablet oder Smartphone
1
In dieser Arbeit wird aus rein pragmatischen Gründen zu Gunsten der besseren Lesbarkeit auf die gleichzeitige
Verwendung der gendergerechten Sprache (männlich/weiblich/divers) verzichtet. Es wird ausschließlich die
männliche Sprachform (generisches Maskulinum) verwendet. Sämtliche Personenbezeichnungen gelten
gleichermaßen für alle Geschlechter.
1 Einleitung 2
aktivierender und motivierender sein. Für das digitale Lehren und Lernen im
Mathematikunterricht bedeutet dies, dass fertig ausgebildete Lehrkräfte über entsprechende
Kompetenzen verfügen sollten und bereit sind diese als ständige Lernaufgabe stetig
weiterzuentwickeln. Wesentliche Stationen auf dem Weg in den Schuldienst sind für angehende
Lehrkräfte die erste und zweite Ausbildungsphase, wo der digitale Kompetenzerwerb
ausreichend und verbindlich verankert sein sollte. Für die Lehrkräftebildung wurde dies im
Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 8. März 2012 (Medienbildung in der Schule) explizit
gefordert:
In diesem Sinne ist Medienbildung sowohl in den Bildungswissenschaften als auch in der
fachbezogenen Lehrerausbildung der ersten und zweiten Phase in den Prüfungsordnungen
ausreichend und verbindlich zu verankern. Diese grundlegende Ausbildung für Lehrkräfte
muss fortgeführt und ergänzt werden durch entsprechende bedarfsgerechte Qualifizierungs-
und Fortbildungsangebote, in denen Medienkompetenz und medienpädagogische
Kompetenzen für bestimmte Anwendungssituationen und Aufgabenstellungen im
Zusammenhang von Schule und Unterricht vermittelt und erworben werden können. (KMK,
2012, S. 7).
Nicht nur die ständige Konferenz der Kultusminister der Länder, sondern auch das
Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) hat die Notwendigkeit der Verbesserung
digitaler Bildung erkannt. So hat sich das von Bund und Ländern im Jahr 2016 gemeinsam
initiierte Förder- und Entwicklungsprogramm Qualitätsoffensive Lehrerbildung, welches Ende
2023 abgeschlossen wurde „[…] die Aufwertung des Lehramtsstudiums und die Optimierung
seiner Strukturen“ (BMBF 2020, S. VIII) zum Ziel gemacht.
Wirft man bspw. einen Blick in den rheinland-pfälzischen Rahmenlehrplan Mathematik für die
Klassenstufen 5-9/10 aus dem Jahr 2007, so wird darin bereits das verpflichtende Arbeiten mit
elektronischen Medien festgelegt. Neben den bereits etablierten (wissenschaftlichen)
Taschenrechnern heißt es bezugnehmend auf die digitalen Mathematikwerkzeuge Dynamische
Geometriesoftware und Tabellenkalkulation konkret:
Ab Klassenstufe 7 müssen Schülerinnen und Schüler mindestens einmal im Schuljahr innerhalb
einer Lernsequenz mit dynamischer Geometriesoftware oder einer Tabellenkalkulation
selbstständig arbeiten. Die Einführung dieser Software empfiehlt sich schon in der
Orientierungsstufe. (MBWJK, 2007, S. 12)
Bei der empfohlenen Einführung dieser beiden Softwares schon in der Orientierungsstufe bzw.
bei der Integration digitaler Mathematikwerkzeuge im Allgemeinen wird der Lehrkraft eine
besondere Rolle zugeschrieben (z.B. Hillmayr et al., 2017; Thurm, 2020; Vollrath & Roth, 2012;
1 Einleitung 3
Weigand & Weth, 2002). Mit der KMK-Strategie Bildung in der digitalen Welt (KMK, 2016) wird
im Kompetenzbereich 5 Problemlösen und Handeln u.a. der bedarfsgerechte Einsatz von
Werkzeugen gefordert. Der Beschluss der Kultusministerkonferenz für das Fach Mathematik zum
Ersten Schulabschluss (ESA) und Mittleren Schulabschluss (MSA) verleiht dieser Forderung mit
der prozessbezogenen Kompetenz Mit Medien mathematisch arbeiten weiteren Nachdruck
(KMK, 2022). Die verpflichtenden Vorgaben der KMK oder der jeweiligen Lehrpläne der
Bundesländer garantieren sicherlich nicht, dass DMW im Unterricht tatsächlich eingesetzt
werden, vielmehr sind es u.a. folgende Bedingungen, die für die Integration von digitalen
Mathematikwerkzeugen durch eine Lehrkraft eine signifikante Bedeutung haben: die
individuellen Werkzeugkompetenzen (vgl. Heintz et al., 2017) in Form von Bedienung, Auswahl
und Reflexion und die Überzeugung digitale Mathematikwerkzeuge in Lehr-Lern-Prozessen mit
dem Bewusstsein einzusetzen, dass ein didaktischer Mehrwert im Vergleich zum ausschließlich
analogen, klassischen Unterricht erzielt werden kann.
An dieser Stelle setzt das Forschungsinteresse im Hinblick auf Werkzeugkompetenzen und
(technologiebezogene) Überzeugungen von Lehramtsstudierenden der Sekundarstufen an. In
Anlehnung an die Forderung des rheinland-pfälzischen Rahmenlehrplans wird der Fokus
ausschließlich auf die beiden Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation gerichtet. Da die
fachwissenschaftliche Berücksichtigung aller inhaltsbezogenen Kompetenzen für diese Arbeit zu
weit führe, geschieht dies im Kontext der Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang
(vgl. KMK, 2022), eingegrenzt auf die elementaren Funktionen der Sekundarstufe I.
1.2 Ziele der Arbeit
Bisherige Studien zum Lehrerprofessionswissen, die Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf
digitale Technologien adressieren, basieren i.d.R. auf den Selbsteinschätzungen der Probanden.
Das TPACK-Modell nach Mishra & Koehler (2006) ist ein international renommiertes Framework,
um das technologische Wissen von (angehenden) Lehrkräften zu messen. In zahlreichen
nationalen und internationalen Studien aus den verschiedensten Fachgebieten (z.B. Chai et al.,
2013; Cramer et al., 2017; Dinse de Salas, 2019; Gasteiger et al., 2019; Handal et al., 2013;
Schmidt et al., 2009) wurde dieses Forschungsinteresse bereits verfolgt. Auch für diese Studie
wurde ein Fragebogen eingesetzt, der Einschätzungen zu Kompetenzen und Einstellungen zum
Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge erhebt und an den Einschätzungen zu den TPACK-
1 Einleitung 4
Facetten TK, TPK und TCK anknüpft. Dazu wurden bisherige Studien gesichtet und Itemsets für
die Befragung von Lehramtsstudierenden adaptiert. In der mathematikdidaktischen Forschung
wurde bereits ein Item-Set für ausgebildete Lehrkräfte entwickelt, mit dem u.a.
technologiebezogene Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen im Kontext einer
Lehrkräfte-Fortbildung zu graphikfähigen Taschenrechnern (GTR) gemessen wurden (z. B. Rögler
et al., 2013; Rögler, 2014, Thurm et al., 2017; Thurm, 2020). Die vorliegende Dissertation knüpft
daran an, indem das Item-Set für die Peergroup der Studierenden der Lehrämter Realschule plus,
Gymnasium und Berufsbildende Schule angepasst wurde und thematisch für den Einsatz der
digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation adaptiert wurde. Darüber
hinaus wurden für den Fragebogen (Messinstrument 1) Daten zu Erfahrungen mit digitalen
Mathematikwerkzeugen in der eigenen Schulzeit, während studienbegleitender Praktika und
eigenverantwortlichem Unterricht erhoben. Eine weitere Facette des Fragebogens bildet die
Theorie des geplanten Verhaltens (Theory of Planned Behaviour) nach Ajzen (1991). Diese
Theorie beinhaltet die vier Bereiche Einstellungen (attitudes), Selbstwirksamkeit (self-efficacy),
Verhaltenskontrolle (behavioural intentions) und subjektive Normen (subjective norms). Die
Studien von Valtonen und Kollegen (Valtonen et al., 2015; Valtonen et al., 2020) zum geplanten
Lehrerverhalten von Lehrkräften wurden aufgegriffen und für die Befragung von angehenden
Lehrkräften angepasst. Ziel dieses Fragebogens ist es neben der personenbezogenen
Datenerhebung Erkenntnisse zu gewinnen, wie die universitäre Lehre in Bezug auf den Einsatz
digitaler Mathematikwerkzeuge verbessert werden kann.
Um valide Daten über die Werkzeugkompetenzen angehender Mathematiklehrkräfte der
Sekundarstufen zu bekommen, die nicht ausschließlich auf Selbsteinschätzungen basieren,
wurde ein Kompetenztest entwickelt (Messinstrument 2). Dieses Instrument soll einen Beitrag
zur mathematikdidaktischen Forschung leisten, um Werkzeugkompetenzen objektiv messen zu
können. Dabei werden sowohl basale Bedienkompetenzen von Lehramtsstudierenden für die
beiden digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich
elementarer Funktionen als auch Auswahl- und Reflexionskompetenzen getestet (vgl. Heintz et
al., 2017).
Im Rahmen eines spezifischen fachdidaktischen Seminars (Lehr-Lern-Labor-Begleitseminar)
wurden die beiden Messinstrumente im Prä-Post-Design eingesetzt, um die Wirksamkeit der
1 Einleitung 5
Intervention u.a. auf die Entwicklung von digitalen Werkzeugkompetenzen und die Veränderung
technologiebezogener Überzeugungen zu messen.
Die Konzeption des fachdidaktischen Lehr-Lern-Labor-Begleitseminar erfolgte im Rahmen des
Teilprojektes Digitale Forschungswerkstatt Multiple Repräsentationen im Mathematikunterricht
des QLB-Projektes MoSAiK
2
unter Berücksichtigung der Zielbereiche Theorie-Praxis-Verknüpfung,
Digitalisierung von Lern- und Bildungsprozessen und individuelle Weiterentwicklung der
Studierenden durch Reflexion. In diesem curricular verankerten fachdidaktischen Seminar stand
die Förderung von Werkzeugkompetenzen, eine theoriegeleitete Anleitung beim Planen von
Unterricht mit dem Einsatz der digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und
Tabellenkalkulation und die Begleitung bei videographierten Unterrichtserprobungen der
Lehramtsstudierenden im Fokus. Aus hochschuldidaktischer Perspektive wird für Dozierende
durch ein mathematikdidaktisches Seminarkonzept eine Anregung aufgezeigt, wie die Aspekte
Theorie-Praxis-Verknüpfung, Digitalisierung und professionsbezogene Reflexion innerhalb einer
curricularen Lehrveranstaltung realisiert werden können. Mit der Analyse der Ergebnisse der
beiden Messinstrumente kann die Wirksamkeit des Treatments, das zu Veränderungen von
technologiebezogenen Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen zum Einsatz von
digitalen Mathematikwerkzeugen geführt hat, evaluiert werden. Mit dem Kompetenztest soll ein
Beitrag zur professionsbezogenen Kompetenzforschung geleistet werden, indem eine
Möglichkeit aufgezeigt wird, wie digitale Werkzeugkompetenzen auch in anderen
Themenbereichen der Mathematik gemessen werden können.
Mit den gewonnenen Erkenntnissen und Potentialen aus den Durchführungen des
fachdidaktischen Seminars über fünf Semester, in die auch die Lehrveranstaltungsevaluationen
der Studierenden einfließen, werden Schlussfolgerungen gezogen, wie die Qualität einer
zukunftsorientierten Lehramtsausbildung mit Technologieeinsatz, auch in Verbindung mit der
zweiten und dritten Phase der Lehramtsausbildung verbessert werden kann.
2
Weiterführende Informationen zum BMBF-Projekt MoSAiK (Modulare Schulpraxiseinbindung als Ausgangspunkt
zur individuellen Kompetenzentwicklung) der Universität Koblenz-Landau finden sich unter https://mosaik-
koblenz-landau.de/ .
1 Einleitung 6
1.3 Aufbau der Arbeit
Im Anschluss an dieses einleitende Kapitel 1 gliedert sich die Arbeit in fünf weitere Hauptteile:
I. Theoretische Grundlagen
II. Konzeptioneller Teil
III. Methodischer Teil
IV. Ergebnisse
V. Fazit
Im ersten Teil (I), der aus den Kapiteln 2 bis 5 besteht, wird der theoretische Rahmen dieser Arbeit
dargestellt. In Kapitel 2 werden zunächst Grundlagen zum Funktionsbegriff mit historischem
Hintergrund (2.1/2.2) und zur Didaktik des Funktionsbegriffs (2.3) dargelegt, ehe eine
systematische, fachwissenschaftliche Skizzierung der elementaren Funktionen der
Sekundarstufe I in Abschnitt 2.4 vorgenommen wird. Abschnitt 2.5 sieht eine Zusammenfassung
des zweiten Kapitels vor.
Im anschließenden Kapitel 3 wird der Fokus auf digitale Mathematikwerkzeuge gelegt. Nach
einer Begriffsklärung in Abschnitt 3.1 werden die für diese Dissertation relevanten Werkzeuge
GeoGebra (3.2) und Tabellenkalkulation (3.3) im Allgemeinen und auch im Hinblick auf den
Kontext elementarer Funktionen (3.4) vorgestellt. In diesem Zusammenhang werden auch die
Möglichkeiten und Grenzen des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen mit ihren Vor-
und Nachteilen (3.5) systematisiert und der Begriff didaktischer Mehrwert näher beleuchtet. Mit
einer Zusammenfassung in Abschnitt 3.6 wird das dritte Kapitel geschlossen.
Die Betrachtung der professionellen Kompetenzen von Lehrkräften, die sich durch deren Handeln
äußern, erfolgt daher in Kapitel 4. Hier werden einführend und exemplarisch für den
Kompetenzbegriff ohne Bezug zum digitalen Aspekt das fächerübergreifende PCK-Modell nach
SHULMAN mit der mathematischen Erweiterung dessen durch die Sichtweise nach BROMME (4.1),
das Kompetenzmodell nach WEINERT (4.2) und in Abschnitt 4.3 das Kompetenzmodell der
Forschungsgruppe COACTIV skizziert. In Abschnitt 4.4 werden mit Beginn der Verabschiedung
der Bildungsstandards im Jahr 2004 die KMK-Strategien bis heute, unter besonderer
Berücksichtigung der Strategie zur Bildung in der digitalen Welt (KMK,2016) dargestellt. Dieser
Abschnitt schlägt eine Brücke über verschiedene Kompetenzmodelle (DigCompEdu, TPACK-
Modell nach MISHRA & KOEHLER, didaktisches Tetraeder, SAMR-Modell nach PUENTEDURA) beim
Unterrichten mit digitalen Medien (4.5) zum Begriff Werkzeugkompetenz in Abschnitt 4.6. Eine
1 Einleitung 7
Zusammenfassung der dargestellten Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von
Lehrkräften (4.7) runden Kapitel 4 ab.
Kapitel 5 thematisiert die Überzeugungen von Mathematiklehrkräften, wobei zunächst die
Komplexität des Begriffs Überzeugungen/beliefs anhand deutsch- und englischsprachiger
Quellen behandelt und definiert wird (5.1). Ausgewählte Facetten werden in den
darauffolgenden Abschnitten erläutert. Diese sind epistemologische Überzeugungen (5.2),
Überzeugungen zum Lehren und Lernen von Mathematik (5.3), Technologiebezogene
Überzeugungen (5.4) und Selbstwirksamkeitsüberzeugungen (5.5). Die wesentlichen
Informationen zu Überzeugungen werden in Abschnitt 5.6 zusammengefasst.
Die Ausführungen der Kapitel 2 bis 5 bilden den theoretischen Rahmen für das
Forschungsdesiderat, welches in Kapitel 6 dargelegt wird. Mit den Forschungsfragen und den
daraus abgeleiteten Hypothesen wird zum konzeptionellen Teil (II) übergeleitet. Auch hier fließen
ausgewählte Grundlagen des Theorieteils in die Konzeption eines Lehr-Lern-Labors mit
entsprechendem fachdidaktischem Begleitseminar (Kapitel 7 & 8) ein. Nach der Begründung der
Wichtigkeit einer Theorie-Praxis-Verzahnung in der ersten Phase der Lehrkräftebildung (Kapitel
7) für das Lehrerprofessionswissen mit besonderem Bezug zu Lehr-Lern-Laboren, wird in Kapitel
8 die Konzeption des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars an der Universität Koblenz-Landau
3
erläutert. Das Treatment wird mit besonderem Fokus auf die Verknüpfung von Theorie- und
Praxiselementen detailliert beschrieben, da dessen Wirksamkeit in der vorliegenden Arbeit einer
der Untersuchungsgegenstände ist. Die fachwissenschaftliche Darstellung der elementaren
Funktionen (2.4), unter Berücksichtigung des Rahmenlehrplans Mathematik für die Klassenstufen
5-9/10 (RLP Sek I), bilden das Fundament für den Aufgabenkatalog zu Bedienkompetenzen
(Abschnitt 8.1). Für die Erstellung eines dreiteiligen Kompetenztestes (9.1), bestehend aus zwei
Teilbereichen zu den beiden Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation und einem dritten Teil
zur Didaktik, welches den methodischen Teil (III) einleitet, finden die Grundlagen des zweiten
Kapitels ebenso ihre Anwendung. Für die Entwicklung des selbsteinschätzenden Fragebogens
(9.2) sind besonders das international etablierte TPACK-Modell und die Ausführungen zu
3
Die Universität Koblenz-Landau wurde mit Wirkung zum 1.1.2023 getrennt. Der Campus Landau fusionierte mit
der TU Kaiserslautern zur Rheinland-Pfälzischen TU Kaiserslautern-Landau während sich aus dem Campus Koblenz
die eigenständige Universität Koblenz gründete. Im weiteren Verlauf der Dissertation wird daher die Bezeichnung
Universität Koblenz synonym für die Zeit vor und nach der neu gegründeten Universität Koblenz verwendet.
1 Einleitung 8
technologiebezogenen Überzeugungen und Selbstwirksamkeitsüberzeugungen von Relevanz.
Die untersuchte Stichprobe und die methodische Durchführung der beiden
Erhebungsinstrumente werden in Kapitel 10 erläutert.
Im Hauptteil IV (Ergebnisse) wird zunächst die statistische Auswertung im elften Kapitel
vorgenommen, um sich einen Überblick über die Daten zu verschaffen. In Abschnitt 11.1 werden
die Daten des Kompetenztestes, mit besonderer Berücksichtigung der dritten Teilaufgabe zur
Didaktik, anhand einer qualitativen Inhaltsanalyse mit quantitativen Elementen beleuchtet.
Abschnitt 11.2 fokussiert auf den Fragebogen zur Selbsteinschätzung mittels deskriptiver Statistik
und inferenzstatistischer Verfahren. Die Ergebnisse der Studien werden zusammenfassend in
Kapitel 12 diskutiert.
Im abschließenden Teil V (Fazit) dienen die Erkenntnisse zur Wirksamkeit der
Seminarintervention dazu, Schlussfolgerungen für das Lehrer-Professionswissen zu ziehen. In
Kapitel 13 wird – aufbauend auf den Erkenntnissen dieser Studie - ein Wirkungsgefüge zwischen
eigener Schulzeit und den Aus- und Weiterbildungsphasen unter besonderer Berücksichtigung
der ersten Phase aufgezeigt, wie digitale Kompetenzen während einer Bildungskarriere
aufgebaut werden können. Das methodische Vorgehen wird in Kapitel 14 reflektiert, bei
gleichzeitig kritischem Blick auf mögliche Grenzen und Limitationen der Studie. Ein
abschließender Ausblick mit Anregungen für weitere Forschungsaktivitäten wird in Kapitel 15
gewagt.
I Theoretische Grundlagen 9
I Theoretische Grundlagen
Aufbauend auf der zuvor skizzierten Ausgangslage und Motivation sowie den damit verbundenen
Zielen dieser Arbeit, wird im ersten Hauptteil der theoretische Rahmen vorgestellt. Bei der
Entwicklung der beiden Testinstrumente und bei der Konzeption des Seminars spielt dieser eine
tragende Rolle. Fachlich wird zunächst der Themenkomplex Funktionen erläutert. Hier wird
einleitend der Funktionsbegriff definiert und aus historischer Perspektive betrachtet. Mit Blick
auf die Didaktik des Funktionsbegriffs werden daran anknüpfend entsprechende Gesichtspunkte
auch unter Einbezug des rheinland-pfälzischen Rahmenlehrplans Mathematik für den mittleren
Schulabschluss dargelegt. Mit Bezug zum Rahmenlehrplan werden die elementaren Funktionen
eingegrenzt und deren Eigenschaften systematisch wiedergegeben. Wesentlicher Bestandteil
dieser Studie ist der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge im Bereich elementarer Funktionen.
Mit einem entsprechenden Test für angehende Lehrkräfte werden basale
Werkzeugkompetenzen (Bedienung, Auswahl und Reflexion) gemessen. Daher wird der
theoretische Rahmen mit besonderem Fokus auf die Werkzeuge GeoGebra und
Tabellenkalkulation und deren Chancen und Risiken bei Lehr-Lern-Prozessen in Kapitel 3
erweitert. Beim Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen sind entsprechende Kompetenzen
als Facette des Lehrerprofessionswissens notwendig. Wesentliche Grundlagen zu digitalen
Werkzeugkompetenzen und deskriptiven Modellen (z.B. COACTIV, DigCompEdu und TPACK),
auch unter Berücksichtigung des bildungspolitischen Blickwinkels der KMK werden anschließend
im vierten Kapitel vorgestellt.
Im abschließenden Kapitel 5 werden relevante Aspekte zum Themenfeld Überzeugungen von
Mathematiklehrkräften angesprochen. Neben epistemologischen Überzeugungen und
Überzeugungen zum Lehren und Lernen von Mathematik liegt der Schwerpunkt auf den
technologiebezogenen Überzeugungen und den Selbstwirksamkeitsüberzeugungen, die bei der
Entwicklung des zweiten Testinstrumentes (Fragebogen zur Selbsteinschätzung der
Studierenden) Berücksichtigung fanden.
2 Funktionen 10
2 Funktionen
Nicht zuletzt seit FELIX KLEIN, der dies zu Beginn des 20. Jahrhunderts „[…] immer wieder in der
Öffentlichkeit betont […]“ (Vollrath & Weigand, 2007) hat, spielt der Begriff Funktion im
Mathematikunterricht der Sekundarstufen I & II eine tragende Rolle, wenngleich das Denken in
Zuordnungen und Veränderungen bereits im Kindergarten angebahnt werden sollte (vom Hofe
et al., 2015). „Dies zeigt sich nicht zuletzt darin, dass die Leitidee Funktionaler Zusammenhang in
den Sekundarstufen I und II einen von fünf grundlegenden In-haltsbereichen bildet.“ (Sproesser
et al., 2020, S. 2) So sollen Schüler laut KMK (2012) innerhalb der Leitidee Funktionaler
Zusammenhang (L4) für inhaltsbezogene Kompetenzen allgemeine mathematische
Kompetenzen K1 bis K6 auf verschiedenen Niveaus (Anforderungsbereiche I bis III) erlernen, um
mit Funktionen flexibel umzugehen.
Abseits der Mathematik helfen Funktionen laut Vollrath & Weigand (2007) in vielen Disziplinen
(z.B. Wissenschaft und Technik) dabei Zusammenhänge zu betrachten, zu beschreiben, zu
erklären und zu erforschen und leisten damit einen gewichtigen Beitrag unzählige Phänomene
unserer Umwelt zu erschließen.
Nach einer einführenden Definition des Funktionsbegriffs (vgl. Abschnitt 2.1) folgt ein
historischer Abriss in Abschnitt 2.2, der den Weg mit den wichtigsten Stationen der Entwicklung
des Funktionsbegriffs skizziert. Anschließend werden in Abschnitt 2.3.1 Aspekte und
Grundvorstellungen zum Funktionsbegriff erläutert, auch mit Blick auf die klassischen
Repräsentationsformen von Funktionen und deren Darstellungswechsel in den Unterabschnitten
2.3.2 und 2.3.3. Im folgenden Unterabschnitt 2.3.4 wird ein Bogen zum Lehrplan gespannt, indem
der Weg des Funktionsbegriffs in den Lehrplan von anfänglichen Schwierigkeiten – beginnend im
18. Jahrhundert - bis in die heutige Schulzeit wiedergegeben wird. Mit einer systematischen
Darlegung der fachwissenschaftlichen Grundlagen - vom schulischen Standpunkt aus gesehen -
zu den elementaren Funktionen (vgl. Abschnitt 2.4) wird anschließend fortgefahren. Diese
werden für die vorliegende Arbeit anhand des Rahmenlehrplans Mathematik (Klassenstufen 5-
9/10) für die Klassenstufen 7 bis 10 eingegrenzt. Das Kapitel 2 schließt mit einer
Zusammenfassung der wesentlichen Aspekte zum Themenkomplex Funktionen (vgl. Abschnitt
2.6).
2 Funktionen 11
2.1 Der Funktionsbegriff
Ausgehend von der Definition einer Zuordnung, die besagt, dass eine Zuordnung von einer
Menge A in eine Menge B vorliegt, wenn jedem Element aus A ein oder auch mehrere Elemente
aus B zugeordnet werden können, gelangt man im nächsten Schritt zu den Funktionen, die nach
Wittmann (2019, S.10) wie folgt definiert werden: „Eine Zuordnung von einer nichtleeren Menge
A in eine nichtleere Menge B, die jedem Element aus A genau ein Element aus B zuordnet, heißt
Funktion.“ Das entscheidende Kriterium bei dieser Definition ist die Eindeutigkeit der Beziehung
zwischen den Elementen der Menge A und den Elementen der Menge B. Die Elemente der Menge
A (Definitionsmenge, Definitionsbereich) werden meist -Werte oder auch Argumente genannt,
während die Menge B (Wertemenge, Wertebereich) die zugeordneten -Werte (Funktionswerte)
als Elemente enthält. Die Darstellungsmöglichkeiten einer Funktion werden in Unterabschnitt
2.3.2 explizit behandelt.
2.2 Der Funktionsbegriff historisch betrachtet
Auf babylonischen Keilschrifttafeln (ab ca. 4000 v. Chr.) lassen sich bereits erste Hinweise
entdecken, die auf funktionale Zusammenhänge hinweisen (Mattheis, 2020). Es dauerte jedoch
noch bis ins Mittelalter, ehe wichtige Schritte von den Mathematikern jener Zeit auf dem Weg zu
unserem heutigen Funktionsverständnis gegangen wurden. „[D)as Wort „Funktion“ wurde
erstmals 1673 von LEIBNIZ verwendet.“ (Büchter & Henn 2010, S. 16) In dessen Abhandlung
Methodus nova investigandi Tangentes bedeutet das lateinische Wort functio Verrichtung oder
Ausführung (vom Hofe et al., 2015). Die nachfolgenden markanten Etappen stellen lediglich
einen knappen historischen Abriss dieses Weges dar, um das Konzept des funktionalen Denkens
an späterer Stelle präzisieren zu können. Umfangreichere Darstellungen findet man z.B. in
Büchter & Henn (2010), Malle (1996), Mattheis (2020) oder Thiele (2022).
NICOLAS ORESME (1320-1382) fand eine Methode zur Darstellung von Graphen, die mit der
heutigen vergleichbar ist und äußerte die Idee, dass sich „[…] jede messbare Größe – wie z.B.
Geschwindigkeit – „als stetig veränderliche Größe denken lasse“ […]“ (Mattheis 2020, S. 157).
GALILEO GALILEI (1564-1642) und JOHANNES KEPLER (1571-1630) beschrieben erstmals
Beobachtungen zu Bewegungsbahnen mathematisch. Nach Krüger (2000) wird Galileis
Herleitung des Fallgesetzes als Beispiel für die Entwicklung des funktionalen Denkens
angesehen.
2 Funktionen 12
PIERRE DE FERMAT (1607-1665) verknüpfte die symbolische Schreibweise Vietas und die Geometrie
zur Analytischen Geometrie als Teilgebiet der Mathematik.
RENÉ DESCARTES (1596-1650) kommunizierte 1637 erstmals einen funktionalen Zusammenhang
explizit in einer Gleichung.
JOHANN BERNOULLI (1667-1748) verwendete einen Funktionsterm zur Beschreibung einer Funktion
und unterschied dabei eine variable (geometrische) Größe und eine Funktion dieser variablen
Größe, die in Bernoullis Sinne eine Quantität aus der variablen Größe und Konstanten erzeugt.
„On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composé de quelque manière que
soit de cette grandeur variable et de constants.“ (zit. nach Büchter & Henn 2010, S. 16)
SIR ISAAC NEWTON (1643-1727) untersuchte Größen in geometrischen und physikalischen
Situationen, die mit der Zeit fließen (sog. Fluente). Die Bewegung eines Punktes im Raum
führte ihn zur Erkenntnis der Momentangeschwindigkeit (Fluxion). Die Koordinaten eines
Punktes auf einer Kurve waren für ihn ebenso Fluenten, die ihm u.a. Erkenntnisse zu
Tangenten in einem Punkt des Graphen lieferten.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) bildet gemeinsam mit NEWTON das berühmte Paar, welches
die Analysis begründet hat. Wie bereits erwähnt, war er es, der den Begriff Funktion erstmals
1673 in seinem Manuskript Methodus tangentium inversa, seu de functionibus verwendete.
Genauer gesagt im Zusammenhang mit Strecken, deren Länge und Lage von einem Punkt auf
einem Graphen abhängen. Daraus entwickelte sich auch die heute gängige Symbolik für
Differentiale, wie oder .
LEONHARD EULER (1707-1783) knüpft an den Vorarbeiten seines Lehrers Bernoulli an und prägt
einen analytischen Funktionsaspekt (Funktionsterm) und mit einem Funktionsgraphen einen
geometrischen Aspekt. Die heute übliche Schreibweise geht ebenso auf Euler zurück.
PETER GUSTAV LEJEUNE-DIRICHLET (1805-1859) unterscheidet ebenso zwischen einer unabhängigen
und einer abhängigen Größe, fordert aber zusätzlich die Eindeutigkeit der Zuordnung:
Eine Funktion heißt y von x, wenn jedem Werte der veränderlichen Größe x innerhalb eines
gewissen Intervalls ein bestimmter Wert von y entspricht; gleich, ob y in dem ganzen
Intervalle nach demselben Gesetz von x abhängt oder nicht, ob die Abhängigkeit durch
mathematische Operationen ausgedrückt werden kann oder nicht. (zit. nach Büchter & Henn
2010, S. 17)
KARL WEIERSTRAß (1815-1897) und RICHARD DEDEKIND (1831-1916) lösten sich vom Größenbegriff
Eulers und von der bis dahin vorherrschenden Idee Funktionen im geometrisch-algebraischen
2 Funktionen 13
Kontext zu sehen, und legten den Fokus zunächst auf die natürlichen Zahlen und die
Arithmetik, um letztendlich im Bereich der reellen Zahlen die Grundlage für die Analysis zu
legen (Mattheis, 2020). Im Besonderen „[…] hat Dedekind die Zahlen axiomatisiert und damit
von jeder konkreten Bedeutung (Größen) gelöst […]“ (Humenberger & Schuppar 2019, S.1)
NICOLAS BOURBAKI (AB 1934) ist ein Pseudonym für eine aus überwiegend französischen Autoren
bestehende Gruppe, die es sich zur Aufgabe machte, die bisherigen Erkenntnisse systematisch
zu ordnen. Vor allem richteten sie den Fokus auf eine stringente Definition für die Zuordnung,
aber auch auf die Öffnung des Funktionsbegriffs auf beliebige Mengen. Das mehrbändige
Werk Eléments de mathématique oder der spätere Band Théorie des Ensembles hatten
erheblichen Einfluss auf die Mathematik im 20. Jahrhundert. So ist in letzterem folgende
Definition für eine Funktion zu lesen: „Seien und Mengen sowie eine Teilmenge des
kartesischen Produktes . Das Tripel heißt Funktion, wenn für alle
genau ein existiert mit . (Bourbaki 1970, zit. nach Greefrath et al., 2016, S.
30) Mit wird der Aspekt der Zuordnung ausgedrückt. Mit der Definitionsmenge und der
Wertemenge wird wird für jedes eindeutig ein Funktionswert angegeben und mit der
heute üblichen Schreibweise bezeichnet.
Der historische Abriss, in groben Etappen dargestellt, verdeutlicht, dass der Funktionsbegriff und
das funktionale Denken von den Anfängen bis ins frühe 20. Jahrhundert einen langen
Entwicklungsweg zu nehmen hatte. Erst 1925 wurden Funktionen und das Wissen um funktionale
Zusammenhänge „[…] als eine grundlegende Idee ins Zentrum des schulischen
Mathematikunterrichts […]“ (Mattheis, 2020, S. 171) gesetzt. Auf die Entwicklung des
Funktionsbegriffs in Lehrplänen wird in Unterabschnitt 2.3.4 genauer eingegangen.
2.3 Didaktik des Funktionsbegriffs
Lehrende und Lernende verfügen über unterschiedliche, und damit subjektive Vorstellungen zu
mathematischen Inhalten und Begriffen. Es ist daher notwendig (z.B. Greefrath et al., 2016; vom
Hofe, 2003), dass im Mathematikunterricht tragfähige bzw. objektive Vorstellungen vermittelt
werden. Für vom Hofe (2003) ist einer der Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts, dass die
Grundvorstellungen nicht statisch kumulativ vermittelt werden, sondern sich ein leistungsfähiges
System mentaler mathematischer Modelle entwickelt. Der Funktionsbegriff erhält daher erst eine
(sich entwickelnde) Bedeutung, wenn dieser mit fachlichen Aspekten und entsprechenden
2 Funktionen 14
Grundvorstellungen versehen ist. Daran anknüpfend ist es aus stoffdidaktischer Perspektive
wichtig, dass die vielfältigen Darstellungsformen (Repräsentationsformen, Repräsentationen)
von Funktionen und deren Wechsel untereinander verstanden werden, um funktionales Denken
zu entwickeln. Aber auch Anpassungen innerhalb einer Repräsentationsform sind von großer
Bedeutung in diesem Zusammenhang (Hußmann & Laakmann, 2011). In den anschließenden
Unterabschnitten werden Aspekte und Grundvorstellungen von Funktionen (2.3.1) und
Repräsentationsformen von Funktionen (2.3.2) wiedergegeben. Unterabschnitt 2.3.3 soll einen
groben historischen Überblick vermitteln wie der Funktionsbegriff seinen Weg in die heutigen
Curricula fand. Dabei wird im Jahr 1788 angesetzt, beginnend mit der ersten preußischen
Abiturprüfung.
2.3.1 Aspekte und Grundvorstellungen von Funktionen
Neben der Funktion als Objekt mit ihren Eigenschaften wird der Begriff funktionales Denken (z.B.
Vollrath, 1989; Lichti & Roth, 2019) für eine bestimmte Denkweise verwendet. Bereits 1989
unterscheidet Vollrath dabei zwischen drei grundlegenden Sachverhalten: Zuordnungscharakter,
Änderungsverhalten und Sicht als Ganzes. In neuerer Literatur werden diese Sachverhalte z.B.
von Greefrath et al. (2016) als Grundvorstellungen zu Funktionen (Zuordnungsvorstellung,
Kovariationsvorstellung und Objektvorstellung) verstanden. Wie in Abschnitt 2.2 beschrieben,
hat der Funktionsbegriff eine Entwicklung über mehrere hundert Jahre durchlaufen. Nach
heutigem Verständnis bauen die Grundvorstellungen des Funktionsbegriffs auf den beiden
fachlichen Aspekten (Zuordnungs- und Paarmengenaspekt) auf.
Abb. 1: Aspekte und Grundvorstellungen zu Funktionen
Quelle: Greefrath et al. (2016, S. 46)
In Abbildung 1 ist ein strukturierter Überblick zu Aspekten und Grundvorstellungen von
Funktionen dargestellt. Greefrath und Kollegen (2016, S.47) definieren den Zuordnungsaspekt
2 Funktionen 15
wie folgt: „Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge genau ein
Element der Menge zuordnet.“ Die Definition des Paarmengenaspekts lautet folgendermaßen:
“Eine Funktion ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen und ,
bei der für alle genau ein existiert mit .“ (Greefrath et al.,2016, S.47) Mit
jedem Aspekt, der ein Teilbereich des Funktionsbegriffs ist, können alle Grundvorstellungen, die
inhaltliche Deutungen des Funktionsbegriffs sind, verknüpft werden. In Tabelle 1 werden die
Grundvorstellungen mit den jeweiligen Definitionen nach Greefrath et al. (2016, S.47-49)
aufgeführt:
Tab. 1: Grundvorstellungen zu Funktionen
Grundvorstellung
Definition
Zuordnungsvorstellung
Zuordnungscharakter
Eine Funktion ordnet jedem Element einer
Definitionsmenge genau ein Element einer Zielmenge zu.
Kovariationsvorstellung
Änderungsverhalten
Mit Funktionen wird erfasst, wie sich Änderungen einer
Größe auf eine zweite Größe auswirken bzw. wie die
zweite Größe durch die erste beeinflusst wird.
Objektvorstellung
Sicht als Ganzes
Eine Funktion ist ein einziges Objekt, das einen
Zusammenhang als Ganzes beschreibt.
Quelle: Greefrath et al. (2016)
Im Verlauf der Schuljahre wird bereits ab der Primarstufe in funktionalen Zusammenhängen
gedacht, ohne jedoch eine Funktionsdefinition zu verwenden. Erst mit Einführung der
proportionalen bzw. antiproportionalen
Zuordnungen (i.d.R. in Klasse 7), bei denen
durch deren Eindeutigkeit von Funktionen
gesprochen wird, oder später bei linearen
Funktionen (i.d.R. in Klasse 8) findet dies
statt, so dass die Grundvorstellungen -
visualisiert anhand einer linearen Funktion
in Abbildung 2 – sukzessive aufgebaut
werden können.
Abb. 2: Die drei Grundvorstellungen funktionalen Denkens
Quelle: Lichti & Roth (2019, S. 38)
2 Funktionen 16
2.3.2 Repräsentationsformen von Funktionen
Zum Aufbau und zur Interpretation der in Unterabschnitt 2.3.1 vorgestellten tragfähigen
Grundvorstellungen zu Funktionen, die sich aus den fachlichen Aspekten (Zuordnungs- und
Paarmengenaspekt) ableiten, ist es notwendig diese mit Darstellungsmöglichkeiten zu
verknüpfen. Funktionale Zusammenhänge können auf ganz unterschiedliche Arten und Weisen
dargestellt werden (Barzel et al., 2021a).
Herget, Malitte & Richter (2000) sprechen davon, dass eine Funktion viele Gesichter habe.
Ebenso konstatieren Humenberger & Schuppbar (2019), dass „[…] Funktionen in vielen
verschiedenen Gestalten […]“ auftreten, „[…] die jeweils andere Eigenschaften der Funktion
deutlich machen.“ Je nach zugrundeliegender Literatur (z.B. Büchter & Henn, 2010; Vollrath &
Weigand, 2007; Wittmann, 2019; Zindel, 2019; Klinger, 2018; Barzel et al., 2021a) werden diese
Repräsentationsformen unterschiedlich differenziert. Häufig werden die vier Darstellungsformen
formal-symbolisch (Funktionsgleichung/Funktionsterm), graphisch-visuell (Funktionsgraph),
numerisch-tabellarisch (Wertetabelle) und situativ-sprachlich (verbale Beschreibung)
unterschieden (vgl. Wittmann, 2019; Barzel et al., 2021a). Folgt man Greefrath und Kollegen so
werden fünf verschiedene Darstellungs- bzw. Repräsentationsformen zur Darstellung von
Funktionen unterschieden (Greefrath et al., 2016), die für einen verständnisorientierten Umgang
mit Funktionen essentiell sind:
(1) Reale situative Darstellungen
(2) Verbale Darstellungen
(3) Tabellarische Darstellungen
(4) Grafische Darstellungen
(5) Darstellungen mit Termen
(1) Reale situative Darstellungen beschreiben Phänomene aus unserer Lebenswelt (z.B.
Wirtschaft, Naturwissenschaft und Technik), bei „[…] denen Größen funktional voneinander
abhängen […]“ (Greefrath et al., 2016, S.51). So kann aus einem -Diagramm, dass den
Verlauf einer Autofahrt festhält, ein zugehöriges -Diagramm erstellt werden. Durch die
Abhängigkeit zweier Größen ist der Zuordnungsaspekt hier am stärksten ausgeprägt (vgl.
Nitsch, 2015).
(2) Verbale Darstellungen werden „[…] insbesondere in Kommunikationssituationen, beim
Sprechen über Funktionen […]“ (Wittmann, 2008, S.14) eingesetzt und dienen daher als
2 Funktionen 17
Ausgangspunkt oder auch als Vorstufe der drei anderen Repräsentationsformen
(Wertetabelle, Graph und Term), um Zusammenhänge aus Bestand und Änderung mündlich
oder schriftlich auszudrücken.
Bereits bei Grundschülern werden wichtige Vorerfahrungen bspw. im Hinblick auf
proportionale Zuordnungen geebnet, wenn diese sich fragen wie viel es weniger kostet,
wenn vier Brötchen weniger für das Klassenfrühstück eingekauft werden müssen. Auch in
historischen Texten vor der Einführung der symbolischen Schreibweise durch Francois Viète
(1540-1603) findet sich eine Vielzahl von Notationen, die eine funktionale Beziehung
beschreiben. So drückt Archimedes (287-212 v. Chr.) die heute gebräuchliche Formel zur
Berechnung des Umfangs eines Kreises () folgendermaßen aus: „Der Umfang eines
jeden Kreises ist dreimal so groß als [sic] der Durchmesser und noch um etwas größer,
nämlich um weniger als ein Siebentel, aber um mehr als zehn Einundsiebenzigstel des
Durchmessers.“ (Archimedes, 250 v. Chr., zitiert nach Rolfes, 2018, S. 15).
(3) Anhand von tabellarischen Darstellungen können Wertepaare unmittelbar abgelesen
werden. In dieser Form können Aufzählungen von Punkten
() oder Aufzählungen von funktionalen Zuordnungen in
symbolischer Schreibweise (), die i.A. aufwändig
und unhandlich sind, übersichtlich dargestellt werden. Es lassen sich auf diese Weise viele
Wertepaare überblicken. Zudem können diese mit zunehmender Größe der unabhängigen
Variablen verglichen werden (vgl. Kovariationsaspekt). Allerdings ist die Erfassung der Daten
in einer Wertetabelle auf eine endliche Anzahl von punktuellen Wertepaaren, oft mit einem
regelmäßigen Inkrement zwischen den Argumenten, begrenzt.
(4) Der Funktionsgraph als grafische Darstellung bietet die Möglichkeit die charakteristischen
Eigenschaften einer Funktion (z.B. Monotonieverhalten, besondere Punkte des Graphen,
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) visuell als Ganzes in einem kartesischen
Koordinatensystem zu erfassen. Es können einzelne Zahlen- oder Wertepaare
entnommen werden, jedoch häufig auf Kosten der Ablesegenauigkeit (Wittmann, 2008, S.
16). Visualisierungen mit Säulen-, Balken-, oder Kreisdiagrammen eignen sich i.d.R. weniger,
um funktionale Zusammenhänge darzustellen.
(5) Liegt eine Darstellung mit Termen oder eine Funktionsgleichung zur Darstellung einer
Gesetzmäßigkeit oder eines funktionalen Zusammenhangs vor, so ist es möglich zu einem
2 Funktionen 18
Argument der Definitionsmenge einen Funktionswert der Wertemenge
mit dem entsprechenden Funktionsterm zu berechnen. Folgende Schreibweisen als
Funktionsgleichung oder als Funktionsvorschrift sind, dargestellt am Beispiel einer
quadratischen Funktion, für den Schulgebrauch üblich:
o Funktionsgleichung:
bzw.
o Funktionsvorschrift:
bzw.
2.3.3 Repräsentationswechsel bei Funktionen
In Unterabschnitt 2.3.2 wurden fünf potentielle Repräsentationen/Darstellungen von Funktionen
erläutert. Das Denken in Funktionen zeichnet sich u.a. dadurch aus, zwischen diesen
Darstellungen mit geeigneten Arbeitsschritten flexibel wechseln zu können (z.B. Barzel et al.,
2005; Duval, 2006; Nitsch, 2015).
Abb. 3: Darstellungswechsel am Beispiel der Exponentialfunktion f(x) = 4 · 2x
Quelle: Eigene Darstellung
2 Funktionen 19
Für den Untersuchungsgegenstand sind die realen situativen und die verbalen Darstellungen
nicht relevant, da die digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation
lediglich die drei Formen Wertetabelle, Funktionsgraph und Funktionsgleichung vereinen (vgl.
Wittmann, 2019).
Die zentrale Bedeutung des Repräsentationswechsels bzw. von Übersetzungsprozessen, wie sie
von Nitsch (2015, S.101) bezeichnet werden, werden nachfolgend am Beispiel der
Exponentialfunktion erläutert (vgl. Abb.3). Dabei gilt es die Interdependenz
zwischen Wertetabelle, Funktionsgraph und Funktionsgleichung und auch die exemplarischen
Aktivitäten (Barzel et al., 2021a) innerhalb einer Darstellungsform zu berücksichtigen.
Im Sinne eines kompetenzorientierten Unterrichts sollten die in Tabelle 2 beschriebenen
Aktivitäten zum Darstellungswechsel nach Barzel und Kollegen (2021a) ohne Einsatz von
Technologie von Lernenden erreicht werden.
Tab. 2: Exemplarische Aktivitäten zum Repräsentationswechsel
nach
Wertetabelle
Funktionsgraph
Funktionsgleichung
von
Wertetabelle
Wertepaare sortieren;
Verfeinern/Vergröbern
der Tabelle
Übertrag von Werte-
paaren/Punkten in ein
Punktediagramm
Vorauss.: Funktionstyp
bekannt; Parameter
mit Gleichungen
bestimmen
Funktionsgraph
Wertepaare/Punkte
systematisch
ermitteln/ablesen
Veränderung der
Achsenskalierung;
Strecken/Stauchen
des Graphen
Typischen Verlauf
erkennen und mit
Eigenschaften und
markanten Punkten
Parameter
bestimmen;
Annäherung
Funktionsgleichung
-Werte (Argumente)
einsetzen und zugehörige
-Werte bestimmen
Qualitatives Skizzieren
des typischen Verlaufs
durch Interpretation
der Funktions-
parameter
Algebraische
Umformungen
Quelle: Barzel et al. (2021a)
Durch Übertrag von Wertepaaren/Punkten einer Wertetabelle in ein Punktediagramm lässt sich
der Funktionsgraph relativ genau skizzieren. Umgekehrt können abhängig von der Genauigkeit
des vorliegenden Graphen und der Ablesegenauigkeit des Lernenden Wertepaare/Punkte
systematisch ermittelt werden, um eine Wertetabelle zu erstellen. Der Wechsel von
Wertetabelle zu Funktionsgleichung kann sich auf zwei Wegen vollziehen. Mit der
2 Funktionen 20
Voraussetzung, dass eine Funktionsgleichung in der Form zu bestimmen ist, und
der Berücksichtigung des Potenzgesetzes kann der Parameter sofort abgelesen
werden. Setzt man nun in die vorläufige Funktionsgleichung einen beliebigen Punkt
der Wertetabelle, außer , ein, kann der Parameter berechnet und somit die
Funktionsgleichung bestimmt werden. Sind jedoch nur zwei Punkte und
mit bekannt, die auf dem Graphen der zu bestimmenden
Funktionsgleichung liegen, können die Parameter und mit den Gleichungen und
bestimmt werden. Um die Funktionsgleichung aus dem Funktionsgraphen zu
gewinnen, wird folgende Aktivität zum Repräsentationswechsel umgesetzt. Die beiden
Parameter und können anhand des Graphen von bei hinreichender Ablesegenauigkeit
markanter Punkte ermittelt werden. Dabei erhält man den Wert des Parameters
(Anfangswert) durch das Ablesen des y-Wertes des Schnittpunktes mit der y-Achse . Mit
dem Wissen über exponentielles Wachstum lässt sich der Parameter (Wachstumsfaktor)
folgendermaßen bestimmen. Mit der Zunahme der Argumente um eine Einheit () wird der
jeweilige -Wert durch Multiplikation mit dem Wachstumsfaktor ermittelt (vgl.
Kovariationsaspekt). In der Praxis geht man von eine Einheit in die positive -Richtung
und anschließend in die positive -Richtung bis man einen Punkt mit erreicht hat (hier
). Dividiert man den -Wert von P durch den -Wert von (
), erhält man den
Wert für . Sind markante Punkte des Graphen nicht eindeutig ablesbar, lässt sich die
Funktionsgleichung annähernd bestimmen. Ist wiederum die Funktionsgleichung bekannt, so
können für beliebige -Werte (Argumente) die zugehörigen -Werte bestimmt werden, um eine
Wertetabelle zu erstellen. Um den Graphen anhand der gegebenen Funktionsgleichung zu
erstellen, kann folgendermaßen vorgegangen werden. Durch den Parameter kann der
Schnittpunkt mit der y-Achse markiert werden. Mit dem Wissen über das Global- und
Monotonieverhalten anhand des Parameters (hier: ) kann der Graph der
Exponentialfunktion qualitativ skizziert werden. Außer den exemplarisch beschriebenen
Aktivitäten, die zu einem Darstellungswechsel führen (Conversions), werden bei Treatments
Aktivitäten innerhalb einer Darstellungsform (vgl. Diagonalelemente in Tab. 2) durchgeführt (vgl.
Duval, 2006). Innerhalb der numerisch-tabellarischen Darstellung kann es notwendig sein
vorhandene Wertepaare zu sortieren oder die Wertetabelle zu verfeinern oder zu vergröbern
(Barzel et al., 2021a). Im graphisch-visuellen Bereich kann eine adäquate Veränderung der
2 Funktionen 21
Skalierung der Koordinatenachsen sinnvoll sein, um die Visualisierung eines funktionalen
Zusammenhangs durch Streckung oder Stauchung des Graphen prägnanter darzustellen. Das
algebraische Umformen von Funktionsgleichungen oder Funktionstermen ist innerhalb der
formal-symbolischen Darstellung eine weitere wichtige Kompetenz. Aus der Perspektive der
Lernenden betrachtet, kann es durchaus ein Unterschied sein, ob die Funktionsgleichung in der
Form oder in der Form vorliegt. In Anlehnung an den
Paarmengenaspekt könnte letztere intuitiv besser verstanden werden. Die Funktionsgleichung
lässt sich in die Form umformen, so dass sich die Transformation
der Exponentialfunktion zu als Verschiebung des Graphen von um
zwei Einheiten nach links in Richtung der -Achse erkennen lässt. Es besteht bei Lernenden die
Notwendigkeit, dass der Wechsel einer Darstellungsform in eine andere nicht auf direktem Wege
vollzogen wird. Janvier (1978) spricht hier von direkten und indirekten Darstellungswechseln
(Janvier, 1978). So wird auf dem Weg von einer Wertetabelle zu einer Funktionsgleichung
zunächst der Funktionsgraph erstellt. Einerseits hilft die Visualisierung Schülern funktionale
Zusammenhänge besser zu verstehen, andererseits lässt sich die Funktionsgleichung
möglicherweise individuell leichter bestimmen, als auf dem algebraischen Weg. Ebenso ist es
typisch, dass sich Schüler einer Wertetabelle als Unterstützung bedienen, wenn von einer
Funktionsgleichung in einen Funktionsgraphen konvertiert werden soll.
In den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz (KMK, 2003) wird der zentralen
Bedeutung des Repräsentationswechsels Rechnung getragen. Die KMK verweist in diesem
Zusammenhang auf die allgemeinen mathematischen Kompetenzen (K4) Mathematische
Darstellungen verwenden und (K5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik umgehen. (vgl. Abschnitt 4.4). Unter Verwendung wird bei (K4) im engeren Sinne
die Anwendung, Interpretation, Unterscheidung und adäquate Auswahl der Darstellungsformen
nach Situation und Zweck sowie deren Beziehungen untereinander verstanden. Das Arbeiten mit
Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen und Tabellen sowie die Übersetzung
von symbolischer und formaler Sprache in natürliche Sprache wird u.a. in (K5) adressiert.
Der kompetente Umgang mit den verschiedenen Repräsentationsformen und deren
Darstellungswechsel untereinander (vgl. Nitsch, 2015) sowie die korrekte Anwendung
symbolischer und formaler Sprache im Sinne von (K4) und (K5) sind essentiell, um ein
verständnisorientiertes Funktionskonzept aufzubauen (vgl. Hußmann & Laakmann, 2011).
2 Funktionen 22
Insbesondere beim Wechsel zwischen den Darstellungsformen verfügen Schüler häufig über
begrenzte Kompetenzen, wie eine Studie von Sproesser und Kollegen (2022) zu linearen
Funktionen mit 856 Probanden belegen konnte. Umso wichtiger ist es, dass verschiedene
Darstellungen und Darstellungsänderungen in den Funktionsunterricht anhand von Aufgaben mit
und ohne situativen Kontext einbezogen werden, um das funktionale Denken zu fördern und
Problemlösestrategien zu entwickeln (vgl. Sproesser et al., 2022).
Beim Wechsel der Darstellungen, die den Schülern häufig schwerfallen, können digitale
Mathematikwerkzeuge wie etwa GeoGebra oder eine Tabellenkalkulation helfen. Deren Einsatz
erleichtert, ergänzt oder ersetzt sogar die oft mühevollen und langwierigen Aktivitäten (vgl.
Barzel et al., 2021a). So spielt der Wechsel der Darstellungsformen beim Arbeiten mit digitalen
Endgeräten und entsprechender Software eine bedeutende Rolle (vgl. Wittmann, 2019). Der
Einsatz der beiden DMW im Kontext elementarer Funktionen wird in Kapitel 3 vertiefend
erläutert.
2.3.4 Der Funktionsbegriff in Lehrplänen und im Unterricht
„[B]eginnend mit der ersten preußischen Abiturprüfungsordnung vom 23. Dezember 1788 […]“
(Mattheis, 2020, S.170) nahm der Funktionsbegriff bzw. das funktionale Denken nur schleppend
Einzug in die Lehrpläne von höheren Schulen. Wie heute in den Bundesländern, war die
Bildungsadministration zu dieser Zeit Zuständigkeitsbereich der Bundesstaaten. Dennoch
wurden Fragen der höheren Bildung, vornehmlich durch die 1822 gegründete Gesellschaft
deutscher Naturforscher und Ärzte und in Versammlungen der deutschen Philologen und
Schulmänner (gegründet 1822) diskutiert. In vielen wissenschaftlichen Vorträgen wurden neue
Erkenntnisse aus Naturwissenschaft, Medizin und Mathematik kommuniziert. Ziel war es auch
einen Gegenpol – mit dem entstehenden humanistischen Gymnasiallehrerstand – zu den bereits
etablierten Realschulen zu schaffen.
Mit Gründung des Kaiserreichs im Jahre 1871 orientierten sich die Bundesstaaten am
bildungspolitischen Vorbild Preußens. Bereits im 18. Jahrhundert wurde im Edict vom 23.
December 1788 wegen Prüfung der auf die Universitäten gehenden Schüler auch Collation der
Stipendien und anderer Beneficien ein Abiturientenexamen eingeführt, welches die höheren
Schulen privilegierte dieses abzunehmen. Dieses Examen wurde fortan zur Immatrikulation an
Universitäten vorgelegt, war aber erst ab 1834 obligatorisch. Außerdem konnten die
2 Funktionen 23
Abiturienten damit in den höheren Staatsdienst eintreten. „Mit diesen beiden Funktionen
entwickelte sich das Abiturzeugnis des Gymnasiums zu einem Auswahlkriterium zur Rekrutierung
der staatstragenden Elite.“ (Bölling, 2010, zit. nach Mattheis, 2020)
Im 19. Jahrhundert wurde vornehmlich versucht die verschiedenen Schulformen (Bürgerschule,
Lateinschulen) unter die „[…] Oberaufsicht des Staates […]“ (Mattheis, 2020, S.161) zu stellen
und zu vereinheitlichen. In den Kultusministerkonferenzen der Jahre 1873, 1890 und 1900 wurde
der preußische Staat von Fachleuten zu Veränderungen des höheren Schulwesens ohne
verbindlichen Charakter beraten. Mit der Einführung des Lehrplans im Jahre 1892 existierten im
Wesentlichen fortan nur noch drei verschiedene 9-jährige Schulformen: Gymnasien (Latein und
Griechisch), Realgymnasien (Latein und moderne Fremdsprachen) und Oberrealschulen mit dem
Schwerpunkt Naturwissenschaften und Mathematik.
Da die Oberrealschulen eine erhöhte Stundenzahl an naturwissenschaftlichem und
mathematischem Unterricht hatten, wurden diese als Fachschulen abgewertet, da sie ohne die
klassischen Sprachen Latein und Griechisch nicht mit dem kulturellen Rang der Gymnasien
mithalten konnte, wie der folgende Auszug aus dem Lehrplan von 1882 zeigt:
Die lateinlosen Realschulen von neunjähriger Lehrdauer (Ober-Realschulen) haben sich im
Wesentlichen selbständig entwickelt, ohne das im Voraus ein Normalplan für die Stundenzahl
und für die in den einzelnen Gegenständen zu erreichenden Lehrziele vorgezeichnet war. In
Folge hiervon sind sie nicht frei von der Gefahr geblieben, durch eine überwiegende
Hingebung an die mathematisch-naturwissenschaftliche Seite des Unterrichts den Charakter
von Fachschulen anzunehmen. Dieser Gefahr vorzubeugen liegt im dringenden Interesse
dieser Schulen; denn nur insoweit dieselben den thatsächlichen Beweis liefern, daß auch unter
Beschränkung auf moderne Sprachen der Aufgabe der sprachlich formalen und der ethischen
Bildung vollständig Genüge geschieht, sind dieselben fähig, als Schulen allgemeiner Bildung
neben den Gymnasien und Realschulen 1. Ordnung zu gelten. (Lehrplan von 1882, zit. Nach
Mattheis, 2020, S. 162)
Gerade in den Lehrplänen für Gymnasien findet man keine Hinweise zum verbindlichen
Behandeln des Funktionsbegriffs bzw. des funktionalen Denkens. Im Gegenteil, es wurde sogar
untersagt, wie der folgende Auszug des Lehrplans aus dem gleichen Jahr beweist, Differential-
oder Integralrechnung zu unterrichten, da es ausreichend sei dieses Wissen auf einer Universität
zu erlangen:
Die wirkliche Aneignung des mathematischen Wissens und Könnens in dem Umfange, welcher
als Lehraufgabe des Gymnasiums bezeichnet ist, reicht nach den ausdrücklichen Erklärungen
kompetenter Fachmänner des technischen Gebietes auch zum Eintritte in die technischen
Hochschulen aus. Dieser Umfang ist nicht zur verringern, er ist aber auch nicht durch
Hineinziehen der sphärischen Trigonometrie oder der analytischen Geometrie oder gar der
2 Funktionen 24
Differentialrechnung in den Schulunterricht zu erweitern. (Lehrplan von 1882, zit. Nach
Mattheis, 2020, S. 162-163)
Im Lehrplanteil für Realgymnasien und Oberrealschulen wurde immerhin die Möglichkeit
erläutert, höhere Mathematik, wenn auch nicht verbindlich, in das Curriculum zu integrieren:
An den Ober-Realschulen können die Elemente der analytischen Geometrie des Raumes und
der Differentialberechnung hinzugefügt werden. [. . .] Der Umfang des mathematischen
Unterrichtes ist nach Stundenzahl und Lehraufgabe im Wesentlichen ungeändert gelassen;
nur sind die Elemente der Integralrechnung ganz beseitigt und diejenigen der
Differentialrechnung und der analytischen Geometrie des Raumes nur an den Ober-
Realschulen als statthaft (aber nicht als unbedingt erforderlich) gelassen worden. (Lehrplan
von 1882, zit. nach Mattheis, 2020)
Erst nachdem alle drei höhere Schulen durch den kaiserlichen Erlass vom 26. November 1900
Wilhelms des II., auch begünstigt durch seine ablehnende Haltung gegenüber humanistischen
Gymnasien, als gleichwertig anerkannt wurden, konnten Mathematiker und
Naturwissenschaftler sich damit beschäftigen die schulischen Unterrichtsinhalte ihrer Fächer mit
aktuellen Erkenntnissen ihrer Wissenschaften anzupassen. Für das Fach Mathematik bedeutete
dies vor allem die Aufnahme höherer Mathematik (z.B. Koordinatenbegriff, Elementare Theorie
der Maxima und Minima) und auch des Funktionsbegriffs in die Lehrpläne des dreigliedrigen
Schulsystems. Der Funktionsbegriff wurde vor dem ersten Weltkrieg lediglich einmal in den
Methodischen Bemerkungen für Rechnen und Mathematik des Lehrplans von 1901 erwähnt:
10. In der obersten Klasse wird auf den verschiedenen Lehrgebieten neben der fortgesetzten
Übung im Lösen von Aufgaben eine zusammenfassende Rückschau auf den erledigten
Lehrstoff anzustreben sein. Dabei wird sich Gelegenheit bieten, den Schülern ein eingehendes
Verständnis des Funktionsbegriffs, mit dem sie schon auf früheren Stufen bekannt geworden
sind, zu erschließen.“ (Lehrplan von 1901, zit. nach Mattheis, 2020, S.164-165)
Eine entscheidende Rolle in den Reformbestrebungen spielte der Göttinger Professor für
Mathematik FELIX KLEIN (1849-1925), der durch seine Kontakte zu der preußischen
Kultusministerkonferenz von 1900 eingeladen wurde. Bereits damit vertraut in Göttingen einen
international anerkannten Standort für universitäre mathematische Bildung zu etablieren,
machte er auch auf der Konferenz mit Nachdruck die Wichtigkeit eines Mathematik-Curriculums
(Analytische Geometrie, Differential- und Integralrechnung, Darstellende Geometrie) in den
höheren Schulen deutlich, da dieses zu einem naturwissenschaftlich-mathematischen Studium
aber auch für ein Medizin-Studium an einer Technischen Hochschule oder an einer Universität
befähige. Die 76. und 77. Versammlung der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte in
2 Funktionen 25
den Jahren 1904 und 1905 sollten dann wichtige Etappen auf dem Weg des Funktionsbegriffs in
den preußischen Lehrplan sein. Vor allem der Lehrplanvorschlag aus dem Jahr 1905, der aufgrund
des Tagungsortes als Meraner Reformbewegung oder Meraner Vorschläge (Vollrath & Weigand,
2007) bezeichnet wird, sollte eine richtungsweisende Änderung mit sich bringen:
Unter voller Anerkennung des formalen Bildungswertes der Mathematik muß auf einseitige
und praktisch wertlose Spezialkenntnisse verzichtet, dagegen die Fähigkeit zur
mathematischen Betrachtung und Auffassung der Vorgänge in der Natur und in den
menschlichen Lebensverhältnissen geweckt und gekräftigt werden. Demgemäß stellt die
Kommission die Stärkung des räumlichen Anschauungsvermögens und die Erziehung zur
Gewohnheit des funktionalen Denkens als wichtigste Aufgaben des Mathematikunterrichts
hin. Dabei bleibt die Pflege der logischen Schulung nicht nur unbeeinträchtigt, sondern sie
wird bei der gekennzeichneten Richtung des mathematischen Unterrichts noch gewinnen.
(Gutzmer 1905, zit. nach Mattheis, 2020, S.166)
Der Funktionsbegriff wurde auch für die unteren Klassen vorgeschlagen. Beispielsweise ist in der
Untertertia als Inhalt „Fortsetzung der Übungen in Auswertung von Buchstabenausdrücken unter
Heranziehung der negativen Größen und steter Betonung des funktionalen Charakters der
auftretenden Größenveränderungen. (Meraner Lehrplanvorschlag von 1905, zit. nach Mattheis,
2020, S. 167)“ zu lesen. So finden sich funktionale Zusammenhänge und Funktionen in der
Arithmetik aber auch in der Raumlehre in den jeweiligen Jahrgangsstufen bis zur Oberprima.
Klein machte fortan weiter Werbung in Lehrveranstaltungen und Publikationen für ein
verbindliches Unterrichten der mathematischen Inhalte an höheren Schulen, da die Meraner
Vorschläge buchstäblich noch keine staatliche und somit juristische Vorgabe für die Lehrer dieser
Zeit bedeutete.
Durch den ersten Weltkrieg, aber auch dadurch bedingt, dass nicht jede Veränderung des
Curriculums jährlich eine neue Auflage erfahren sollte, dauerte es schließlich bis zum 4. April
1925, bis der Lehrplan im Sinne der Meraner Vorschläge verabschiedet wurde und u.a. die
Entwicklung des funktionalen Denkens als Lehrziel formulierte. Unter dem Punkt Arithmetik,
Algebra und Analysis findet sich bereits nachfolgende Textstelle im Lehrplan von 1925, die in
Anlehnung an die heutzutage gängige Objektvorstellung (vgl. Unterabschnitt 2.3.1) die Funktion
mit der Sicht als Ganzes hervorhebt:
2. Der in den Mittelpunkt des Unterrichts zu stellende Funktionsbegriff wird zunächst
anschaulich eingeführt, um allmählich schärfer gefaßt und auf der Oberstufe in allgemeiner
Form behandelt zu werden. Schon in UIII [Untertertia] beginnt die Einführung in die
Grundlagen der graphischen Darstellung an praktischen Beispielen. Daran schließen sich in
rein anschauungsmäßiger Behandlung die wichtigsten Eigenschaften empirischer
Funktionen: Stetigkeit, Steigung, Flächeninhalt. Um eine klare Trennung der Begriffe
2 Funktionen 26
‚Unbekannte und Gleichung‘ von den Begriffen ‚Veränderliche und Funktion‘ zu erzielen, darf
aber die graphische Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem erst nach den
Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten behandelt werden. Auf allen Stufen,
besonders aber in den Mittelklassen, ist darauf hinzuweisen, daß bei der Verwertung
graphischer Darstellungen die bildliche Wiedergabe nicht Selbstzweck ist, sondern nur ein
Mittel zum Übersehen eines Funktionsverlaufes. Daneben ist ebenso das andere Mittel, die
Tabelle, in ihrer Bedeutung voll zu würdigen. (Lehrplan von 1925, zit. nach Mattheis, 2020,
S.169)
Hier werden bereits graphische Darstellungen im Koordinatensystem und deren Bedeutung für
die Anschaulichkeit von Funktionen, Wertetabellen und wichtige Eigenschaften wie Stetigkeit
oder Steigung erwähnt.
Somit wurde der preußische Lehrplan höherer Schulen aus dem Jahr 1925 der erste Lehrplan, der
den Funktionsbegriff und das funktionale Denken als eine zentrale Idee des schulischen
Mathematikunterrichts ansah.
Die Inhalte des preußischen Lehrplans, bezogen auf das funktionale Denken, sollten bis in die
1950er Jahre in den Lehrplänen und Schulbüchern so bestehen bleiben (Vollrath & Weigand,
2007). In den Rahmenlichtlinien der Kultusministerkonferenz aus dem Jahre 1968 wurde „[…]
eine Präzisierung des Funktionsbegriffs unter Rückgriff auf den Begriff der Relation […]“ (KMK
1968, zit. nach Vollrath & Weigand, 2007) vorgenommen. Es gab zunehmend Kritik aus den
Reihen der Fachkommunität über die vorherrschende deduktive Unterrichtsform. So prangerte
Wittenberg 1963 bspw. an, dass Mathematik nur zu seinem Selbstzweck betrieben werde,
während Laugwitz 1965 die Überbetonung der Axiomatik und Strukturen kritisierte. Letztendlich
wurde, auch auf schlechten Unterrichtsergebnissen basierend, u.a. der Funktionsbegriff mit
mehr Anschaulichkeit und Intuition verknüpft. Die 1974 publizierte Theorie des genetischen
Lehrens (Wittmann, 1974), welche im Wesentlichen konstatiert, dass das mathematische Denken
des Lernenden sich durch deduktive Unterrichtsmethoden nicht entfalten könne, sondern sich
vielmehr auf erkenntnistheoretische, psychologische, pädagogische und soziale Ansätze
fokussieren sollte, bekräftigte den Wunsch nach mehr Anschaulichkeit beim Unterrichten von
Funktionen.
„In den 1980er-Jahren erwacht das Interesse der didaktischen Forschung an Denkvorgängen der
Lernenden.“ (Vollrath & Weigand, 2007, S.12) Neben typischen Schülerfehlern wurde besonders
„[…] das offensichtliche Vorhandensein ganz unterschiedlicher Vorstellungen bei Lehrenden und
Lernenden, die den Lehrenden offenbar nur selten bewusst sind […]“ (Vollrath & Weigand, 2007,
S.13), entdeckt. Lehrende und Lernende haben aufgrund ihrer divergenten Interessenslage
2 Funktionen 27
verschiedene Vorstellungen von mathematischen Inhalten (Leitbegriffe bzw. Leitideen). Der
verständnisorientierte Unterricht sollte stärker gelebt werden, da schlichtes prozedurales
Abarbeiten von Lösungsalgorithmen keine Abhilfe schaffen konnte, wie zahlreiche Studien aus
dieser Zeit belegten. Leistungsvergleiche wie die von der OECD seit 2000 im dreijährigen Turnus
international angelegte PISA-Studie, bei denen 15-jährige deutsche Schüler im internationalen
Vergleich ein enttäuschendes Bild abgaben, bekräftigten die Schwierigkeiten in der Algebra und
deren formaler Symbolik.
Seit der Verabschiedung der Bildungsstandards im Jahre 2003 durch die KMK wird dieser
negativen Entwicklung Rechnung getragen, indem der Erwerb von inhaltlichen und allgemeinen
mathematischen Kompetenzen (vgl. Abschnitt 4.4) mindestens bis zum Mittleren Schulabschluss
erlangt werden sollte.
Auf die voranschreitende Digitalisierung hat die Kultusministerkonferenz der Länder im Jahr 2016
reagiert. Mit dem Strategiepapier Bildung in der digitalen Welt (KMK, 2016) wurden verbindliche
Erwartungen an das kompetente Lehren und Lernen mit digitalen Medien formuliert. Die
Bildungsstandards für das Fach Mathematik (Erster Schulabschluss und Mittlerer Schulabschluss)
wurden im Jahr 2022 novelliert (KMK, 2022). Mit der prozessbezogenen Kompetenz Mit Medien
mathematisch arbeiten wurde die Bedeutung des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen gestärkt, u.a. auch im Zusammenhang mit der Didaktik des
Funktionsbegriffs. Bei der Beschreibung der Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang
(vgl. Anhang 17.1) wurde in 8 der 14 Kompetenzerwartungen für den MSA ausdrücklich die Hilfe,
der Einsatz und die Verwendung eines digitalen Mathematikwerkzeugs erwähnt. So sollen bspw.
funktionale Zusammenhänge mit verschiedenen Repräsentationen und Darstellungswechseln
mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge erkannt und verwendet werden. Ebenso sollen DMW
dabei helfen verschiedene Funktionstypen zu beschreiben, zu analysieren und zu interpretieren.
2 Funktionen 28
2.4 Elementare Funktionen
Für die Bezeichnung Elementare Funktionen gibt es keine verbindlichen Kriterien, die eine
eindeutige Definition nach sich ziehen. Büchter & Henn (2010) verwenden bspw. die Bezeichnung
Elementare Funktionstypen. Vollrath & Weigand (2007) verweisen in diesem Zusammenhang auf
Begriffspyramiden oder Begriffsnetze, mit denen ein begrifflich orientierter Unterricht didaktisch
sinnvoll umgesetzt werden sollte.
Abb. 4: Begriffsnetze zu reellen Funktionen
Quelle: Vollrath & Weigand (2007, S.134)
So können Funktionen bspw. anhand ihrer Funktionsterme (vgl. Abb. 4 - links) und ihrer
Eigenschaften (vgl. Abb. 4 - rechts) mit logischen Beziehungsgeflechten systematisiert werden.
Für die nachfolgenden Unterabschnitte bildet u.a. der Rahmenlehrplan Sek I (MBWJK, 2007) den
Orientierungsrahmen. Innerhalb der Leitidee L4: Funktionaler Zusammenhang sind in den
Klassenstufen 7 bis 10 (Mittlerer Schulabschluss) in den Themenkreisen Zuordnungen und
Funktionen (7/8) bzw. Nicht-lineare Funktionen (9/10) folgende Zuordnungen und Funktionen
vorgesehen (vgl. Tab. 3). Die im RLP Sek I genannten Funktionstypen werden fortan als
elementare Funktionen bezeichnet.
Tab. 3: Elementare Funktionen
Klassenstufen 7/8
Zuordnungen und Funktionen
Klassenstufen 9/10
Nicht-lineare Funktionen
Proportionale Zuordnungen
Quadratische Funktionen
Antiproportionale Zuordnungen
Wurzelfunktionen
Lineare Funktionen
Potenzfunktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmusfunktionen
Trigonometrische Funktionen
Quelle: MBWJK (2007)
2 Funktionen 29
Fachwissenschaftlich und fachdidaktisch werden im Sinne eines Begriffsnetzes (vgl. Abb. 4) die
beiden Kategorien Zuordnungen und Funktionen und Nicht-lineare Funktionen mit deren
Merkmalen (Eigenschaften, Graph der Funktion, Monotonieverhalten, Schnittpunkte mit den
Koordinatenachsen und Symmetrieeigenschaften) im Rahmen reeller Funktionen behandelt.
Dies geschieht vom Standpunkt der Schulmathematik aus mit Berücksichtigung der Inhalte,
Hinweise und Vernetzung (vgl. MBWJK, 2007) der Leitidee L4. Begriffe wie bspw. injektiv, surjektiv
und bijektiv oder der Begriff der Stetigkeit werden daher nicht explizit aufgeführt.
Abbildung 5 gibt einen Überblick über dieses Begriffsnetz, wobei die proportionalen bzw.
antiproportionalen Zuordnungen nicht gesondert erwähnt werden. Die proportionale Zuordnung
wird als Sonderfall der linearen Funktionen betrachtet. Ebenso wird die
antiproportionale Zuordnung
als eine Potenzfunktion mit dem Exponent der
Form kategorisiert. Bei der Darlegung der fachwissenschaftlichen Grundlagen der
Unterabschnitte 2.4.1 bis 2.4.5 wurden u.a. folgende Quellen verwendet (Barzel et al., 2021;
Büchter & Henn, 2010; Humenberger & Schuppar, 2019; Vollrath & Weigand, 2007 und
Wittmann, 2019)
Abb. 5: Begriffsnetz zu Elementaren Funktionen
Quelle: Eigene Darstellung
Für die sich anschließende systematische Darlegung der elementaren Funktionen
4
in den
Unterabschnitten 2.4.1 bis 2.4.5 wird zwischen den Funktionstypen lineare Funktionen,
quadratische Funktionen und Quadratwurzelfunktionen, Potenzfunktionen, Exponential- und
Logarithmusfunktionen und trigonomterische Funktionen unterschieden.
4
Die Abbildungen 6 bis 32 in den Unterabschnitten 2.4.1 bis 2.4.5 wurden alle eigenständig mit dem digitalen
Mathematikwerkzeug GeoGebra erstellt bzw. teilweise mit der Bildbearbeitungssoftware Microsoft Paint
nachbearbeitet, und werden daher nicht als solche explizit an den betreffenden Stellen kenntlich gemacht.
2 Funktionen 30
2.4.1 Lineare Funktionen
In diesem Unterabschnitt soll ein fachwissenschaftlicher Überblick über lineare Zusammenhänge
bzw. Abhängigkeiten zweier Größen gegeben werden. Mit linearen Funktionen können
Zusammnenhänge und Prozesse beschrieben werden. Der Preis hängt von der Anzahl oder der
Menge der gekauften Artikel ab, die Kosten für ein Taxi von den gefahrenen Kilometern zuzüglich
einer Anfahrtspauschalen oder die Stromrechnung von der Grundgebühr und den verbrauchten
kWh. Ebenso könnte die Dauer für die Leerung eines Fußballstadions nach Spielende modelliert
werden, wenn man eine konstante Durchlassrate [Menschen/Minute] annehmen würde. Mit
linearen Funktionen können solche Zusammenhänge und Prozesse beschrieben werden.
Zunächst wird die allgemeine Form einer linearen Funktion erläutert, ehe noch auf die beiden
Sonderfälle der konstanten und der proportionalen Funktion eingegangen wird. Die besondere
Lage zweier Geraden zueinander (parallel und orthogonal) bildet den Abschluss dieses
Unterabschnitts.
Eigenschaften
Der Graph einer linearen Funktion ist stets eine Gerade. Daher wird die Funktionsgleichung in
der Form als Geradengleichung bezeichnet. Die Gerade besteht aus allen Punkten,
die mit den Wertepaaren der Form
gebildet werden. Die
beiden Parameter (Steigungs-
faktor, Steigung, Anstieg, Ände-
rungsrate) und (absolutes Glied,
y-Achsenabschnitt, Ordinaten-
abschnitt) beeinflussen die Lage
der jeweiligen Graphen im
Koordinatensystem (vgl. Abb. 6):
Abb. 6: Graphen linearer Funktionen
Definition 1:
Eine Funktion mit der Gleichung in der Form mit
heißt lineare Funktion.
2 Funktionen 31
o Für ist der Graph streng monoton steigend.
o Für ist der Graph streng monoton fallend.
Sofern gilt, ergeben sich durch die Lage der Geraden im Koordinatensystem
besondere Punkte:
o Im Punkt schneidet der Graph die y-Achse.
o
ist die Nullstelle der Funktion bzw. im Punkt
schneidet der Graph
die x-Achse.
Liegen die Punkte und mit auf dem Graphen einer linearen
Funktion, so bilden die Strecken/Katheten
und
und die Strecke
(Hypotenuse) ein
rechtwinkliges Dreieck (vgl. Abb. 7), das sogenannte Steigungsdreieck.
Abb. 7: Steigungsdreieck
Für jedes Steigungsdreieck gilt:
Der Parameter gibt somit den Wert für die Steigung der Geraden an. Werden Minuend und
Subtrahend in den Differenzen der x- bzw. y-Werte vertauscht, ergibt sich folgender Ansatz, mit
dem ebenso der Steigungsfaktor berechnet werden kann:
2 Funktionen 32
Innerhalb der Klasse der linearen Funktionen gibt es zwei Sonderfälle, die nachfolgend definiert
und deren Eigenschaften dargestellt werden:
Eigenschaften
Bei einer konstanten Funktion mit wird allen
Argumenten ) des Definitionsbereichs
derselbe Funktionswert) des Wertebereichs
zugeordnet. Die Punkte der Form liegen auf
dem Graphen von . Die Graphen sind Geraden, die
parallel zur x-Achse durch den Punkt
verlaufen (vgl. Abb. 8). Für ergibt sich die x-
Achse mit der Funktionsgleichung .
Eigenschaften
Die Graphen bestehen aus allen Punkten der Form und liegen auf einer
Ursprungsgeraden (vgl. Abb.9). Die Gleichung mit gibt eine proportionale
Zuordnung (direkte Proportionalität) an. Der Parameter mit
heißt
Proportionalitätsfaktor oder auch Proportionalitätskonstante, da der Quotient aus und
konstant ist (Quotientengleichheit). Für alle Wertepaare und mit der
Zuordnung gilt:
. Zum -fachen der Ausgangsgröße gehört das -fache der
zugeordneten Größe (). Für spezielle Werte des Parameters ergeben sich vier
besondere Fälle:
Definition 2:
Eine Funktion mit der Gleichung in der Form mit heißt
konstante Funktion.
Definition 3
:
Eine Funktion mit der Gleichung in der Form mit heißt
proportionale Funktion.
Abb. 8: Graphen konstanter Funktionen
2 Funktionen 33
o Für verlaufen die Graphen streng monoton fallend vom II. in den IV. Quadranten.
o Für ist der Graph die Winkelhalbierende des II. und IV. Quadranten mit der
Funktionsgleichung .
o Für ist der Graph die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten mit der
Funktionsgleichung .
o Für verlaufen die Graphen streng monoton steigend vom III. in den I. Quadranten.
Abb. 9: Graphen proportionaler Funktionen
Parallele und senkrechte Geraden
Für die Geraden und mit den Steigungen und gilt:
Abb. 10: Parallele Geraden
Abb. 11: Orthogonale Geraden
2 Funktionen 34
2.4.2 Quadratische Funktionen und Quadratwurzelfunktionen
Die quadratischen Funktionen bieten im Vergleich zu den zuvor dargestellten linearen
Funktionen weiterführende Aspekte und Eigenschaften. Sie werden benutzt, um Probleme in der
Mathematik, in den Naturwissenschaften oder in vielen anderen Teilgebieten wie der
Betriebswirtschaftslehre zu modellieren, zu lösen und auch zu optimieren. So kann bspw. die
Länge des Bremsweges eines Fahrzeugs mit einer bestimmten Geschwindigkeit berechnet, die
ideale Flugkurve eines Balles beschrieben oder der maximale Gewinn in Abhängigkeit des
Verkaufspreises eines Gutes ermittelt werden. In diesem Unterabschnitt werden die
fachwissenschaftlichen Grundlagen ausgehend von der Normalparabel mit der
Funktionsgleichung sukzessive bis zur allgemeinen Form einer
quadratischen Funktion wiedergegeben, ehe am Ende die Quadratwurzelfunktion als
Umkehrzuordnung der quadratischen Funktion thematisiert wird.
Quadratische Funktionen
Eigenschaften
In Abbildung 12 ist zu erkennen, dass die Gleichung
gilt, und somit die y-Achse die
Symmetrieachse der Parabel ist. Auf der
Symmetrieachse liegt Der Punkt . Dieses
globale Minimum ist der Scheitelpunkt oder Scheitel
der Parabel. Die Parabel berührt in diesem Punkt die
x-Achse.
Definition 1:
Der Graph der Funktion
mit der Gleichung in der Form ist die
Normalparabel mit dem Scheitelpunkt .
Abb. 12: Graph der Normalparabel
2 Funktionen 35
Die Normalparabel kann sowohl in Richtung der y-Achse als auch in Richtung der x-Achse
verschoben werden bzw. können beide Verschiebungen miteinander kombiniert werden.
Eigenschaften
In Abbildung 13 erkennt man, dass die Normalparabel für
nach oben verschoben ist. Für ist der Graph nach unten
verschoben. Die Symmetrieachse verändert sich durch die
Verschiebung in y-Richtung nicht.
Eigenschaften
Abbildung 14 kann man entnehmen, dass die Normalparabel für nach rechts verschoben
ist. Für ist der Graph nach
links verschoben. Die Sym-
metrieachse der Parabel verläuft
nun parallel zur y-Achse durch den
Scheitelpunkt .
Abb. 14: Verschobene Normalparabeln (x-Richtung)
Definition 2:
Der Graph der Funktion mit der Gleichung in der Form mit
ist eine in y-Richtung verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt .
Definition 3:
Der Graph der Funktion
mit der Gleichung in der Form mit
ist eine in x-Richtung verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt .
Abb. 13: Verschobene
Normalparabeln (y-Richtung)
2 Funktionen 36
Eigenschaften
Anhand der Scheitelpunkform der Normalparabel lässt sich der Scheitelpunkt
unmittelbar ablesen. Die Symmetrieachse der Parabel verläuft nun parallel zur -Achse durch
den Scheitelpunkt .
In Abbildung 15 sind neben
der Normalparabel zwei
Graphen von quadratischen
Funk-tionen zu sehen, die die
Verschiebung in beide
Koordinatenrichtungen ver-
anschaulichen.
Abb. 15: Verschobene Normalparabeln (x- und y-Richtung)
Wie bereits dargelegt, kann die Normalparabel sowohl in die positive als auch in die negative
Richtung beider Koordinatenachsen verschoben werden bzw. können diese Transformationen
auch kombiniert werden. Außerdem kann das Aussehen (Form und Öffnung) einer
Normalparabel mit einem Vorfaktor oder Koeffizienten verändert werden.
Eigenschaften
Für sind die Graphen der Funktionen keine Normalparabeln. Der Wert des Parameters
bestimmt dabei die Form der Parabel als auch die Öffnung (vgl. Abb. 16):
o Für sind die Graphen von nach oben geöffnet.
o Für sind die Graphen von nach unten geöffnet.
Definition 4:
Der Graph der Funktion mit der Gleichung in der Form
(Scheitelpunktform der Normalparabel) mit ist eine in x- und y-Richtung
verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt .
Definition 5:
Der Graph der Funktion mit der Gleichung in der Form mit
ist eine zur y-Achse symmetrische Parabel mit dem Scheitelpunkt .
2 Funktionen 37
o Für sind die Graphen von
gestreckt, d.h. sie sind „schlanker“
als die Normalparabel, die Öffnung
ist geringer und der Graph verläuft
steiler.
o Für sind die Graphen von
gestaucht, d.h. sie sind „breiter“ als
die Normalparabel, die Öffnung ist
größer und der Graph verläuft
flacher.
o Für entsteht die Funktions-
gleichung der Normalparabel
.
o Für entsteht die Funktions-
gleichung der an der x-Achse
gespiegelten Normalparabel
.
Abb. 16: Parabeln der Form y = a · x²
Die Funktionsgleichung einer Parabel kann mit den folgenden Darstellungen realisiert werden.
Dabei wird nach der Scheitelpunktform, der allgemeinen Form und nach der faktorisierten Form
differenziert. Die notwendigen Termumformungen und die algebraischen Grundkenntnisse und
Fertigkeiten (quadratische Ergänzung, 1. und 2. binomische Formel, Linearfaktorzerlegung,
Distributivgesetz), mit denen der Funktionsterm in die jeweils andere Darstellung transformiert
werden kann, werden an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt. Bei allen Funktionsgleichungen ist
die Streckung/Stauchung und die Öffnung der Parabel am Parameter unmittelbar abzulesen.
Jede Darstellung hat darüber hinaus ihre spezifische Struktur des Funktionsterms, der Vorteile
bei der Entdeckung und Angabe von Eigenschaften mit sich bringt. Diese werden nun
nachfolgend, beginnend mit der Scheitelpunktform, erläutert:
Definition 6:
Der Graph der Funktion mit der Gleichung in der Form
mit und ist eine verschobene Parabel mit dem Scheitelpunkt
. Diese Form wird Scheitelform oder Scheitpunktform genannt.
2 Funktionen 38
Die Koordinaten des Scheitelpunktes lassen sich direkt an der Funktionsgleichung ablesen.
Daraus lässt sich z.B. die Lage der Symmetrieachse () der Parabel, die durch
verläuft, ableiten und ggfs. auch im Koordinatensystem einzeichnen.
Die sich anschließende allgemeine Form erhält man durch Umformung der Scheitelpunktform
und nachträglicher alphabetischer Anpassung der Parameter.
In dieser Darstellung lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse durch das absolute Glied
unmittelbar ablesen. Die dritte Darstellungsform ist die faktorisierte Form, die wie folgt
definiert wird:
Die Nullstellen und der Parabel lassen sich durch die Linearfaktorzerlegung von
unmittelbar ablesen. An der Produktdarstellung erkennt man, dass eine quadratische Funktion
aus dem Produkt zweier linearer Funktionsterme hervorgeht. Falls eine Parabel zwei Nullstellen
und hat, lässt sich die -Koordinate des Scheitelpunkts folgendermaßen ermitteln. Aus
Symmetriegründen hat zu den beiden Nullstellen und den gleichen Abstand. Mit
lässt dich dieser Abstand mit
berechnen. Wird zu addiert oder von
subtrahiert, erhält man . Mit der Berechnung der -Koordinate des Scheitelpunkts mit
und den beiden Nullstellen und lässt sich der Graph der Funktion anhand der
faktorisierten Form skizzieren.
Definition 7:
Der Graph der Funktion mit der Gleichung in der Form
mit und ist die allgemeine Form einer quadratischen Funktion.
Definition 8:
Die Funktion mit der Gleichung in der Form
mit ist die Produktdarstellung einer quadratischen Funktion. Man bezeichnet
und als Linearfaktoren.
2 Funktionen 39
Quadratwurzelfunktion
Algebraisch ist das Ziehen der Quadratwurzel die Umkehroperation des Quadrierens. Daher ist
auch die Quadratwurzelfunktion die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion bei
entsprechender Einschränkung des Definitionsbereichs. Mit einer quadratischen Funktion kann
bspw. einem Fahrzeug mit einer bestimmten Geschwindigkeit die Länge des Bremsweges
zugeordnet werden (Geschwindigkeit Bremsweg). Umgekehrt ist es für Unfallforscher möglich
bei einem gemessenen Bremsweg Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit zu ziehen (Bremsweg
Geschwindigkeit). Quadratwurzelfunktionen werden ebenso wie andere Funktionstypen in
vielen Anwendungsbereichen verwendet, um Situationen zu modellieren und Probleme zu lösen.
In der Physik wird die Fallzeit eines Körpers, der aus einer bestimmten Anfangshöhe
losgelassen wird und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ausführt, mit folgender Funktion
beschrieben:
. Nachfolgend wird zunächst auf die
Umkehrung der Funktion eingegangen, ehe im Anschluss dargelegt wird, wie die
Parameter und Lage, Form und Definitionsbereich der allgemeinen Quadratwurzelfunktion
verändern.
Eigenschaften
Der Graph der Quadratwurzelfunktion (auch kurz:
Wurzelfunktion) entsteht nach Einschränkung des
Definitionsbereiches der Funktion von auf
(rechter Ast der Normalparabel) durch Spiegelung an
der ersten Winkelhalbierenden (vgl. Abb. 17).
o Der Graph von ist streng monoton steigend
o Der Graph von verläuft im I. Quadranten
Definition 9:
Die Funktion
mit der Gleichung in der Form heißt
Quadratwurzelfunktion. Sie ist die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion
mit der Gleichung in der Form .
Abb. 17: Rechter Ast der Normalparabel
und Quadratwurzelfunktion
2 Funktionen 40
Wurzelfunktionen und Parameter
Wie bei den quadratischen Funktionen in diesem Unterabschnitt bereits dargestellt wurde,
haben die einzelnen Parameter und Auswirkungen auf Lage und Form des zugehörigen
Graphen, ausgehend von der Normalparabel. Die Wirkungen dieser Parameter sind auf die
allgemeine Quadratwurzelfunktion , ausgehend von
übertragbar und werden daher an dieser Stelle nicht explizit erläutert. Im Vergleich zu den
quadratischen Funktionen mit , ist jedoch der Definitionsbereich bei
Quadratwurzelfunktionen besonders zu beachten. Je nach Veränderung des Funktionsterms
ergeben sich folgende Unterscheidungen:
o , }
o , }
o , }
2.4.3 Potenzfunktionen
Innerhalb der nicht-linearen Funktionen bilden die Potenzfunktionen einen weiteren
Funktionstyp, der mit der Funktionsgleichung angegeben wird. Ausgehend von der
Hochschulmathematik können für den Exponenten alle reellen Zahlen (außer 0) eingesetzt
werden. Zur Kategorisierung im Sinne der Schulmathematik, „[…] abhängig […] vom Zahlbereich,
aus dem der Exponent stammt […]“ (Wittmann, 2019, S.93), und den daraus resultierenden
Eigenschaften, werden die Potenzfunktionen nachfolgend unterschieden zwischen
Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
der Form
. Im Fall der rationalen Exponenten werden diese auch als Wurzelfunktionen
bezeichnet bzw. bilden diese die Umkehrfunktionen der Potenzfunktionen für natürliche
Exponenten mit dem Mindestgrad 2. Bei der sachlichen Darlegung der Wurzelfunktionen werden
nur solche mit Stammbrüchen als Exponenten thematisiert. Spezialfälle der Potenzfunktionen
mit (Konstante Funktion mit ), (Proportionale Funktion mit )
und (Quadratische Funktion mit) wurden bereits in den Unterabschnitten
2.4.1 bzw. 2.4.2 vorgestellt.
2 Funktionen 41
Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
Die geometrischen Transformationen, mit denen man aus dem Graphen von den
Graphen der Funktion erhält, wurden in Unterabschnitt 2.4.2 bereits
dargestellt. Diese Änderungen lassen sich unmittelbar auf die Potenzfunktionen der Form
mit übertragen. Für die weitere Betrachtung wird der
Definitionsbereich des Exponenten auf die Menge der ganzen Zahlen erweitert und die
Funktionsgleichung auf die Grundform beschränkt.
Eigenschaften
Durch die Festlegung des Exponenten auf ganzzahlige Werte entstehen außer für
(konstante Funktion: ) vier verschiedene Typen von Potenzfunktionen (vgl. Abb. 18 –
Abb. 21), die nachfolgend dargestellt werden.
(Typ 1):
o Für gerade Exponenten ist die Potenzfunktion
eine gerade Funktion.
o Der Definitionsbereich ist .
o Der Wertebereich ist
.
o Nullstelle: .
o Gemeinsame Punkte aller Graphen:
; und
o Der Graph der Funktion ist eine Parabel
vom Grad .
o Alle Graphen sind achsensymmetrisch zur y-
Achse ( ).
o Alle Graphen verlaufen im I. und II.
Quadranten.
o Für sind die Graphen streng monoton
fallend und für streng monoton steigend
Definition 1:
Funktionen mit Gleichungen der Form mit heißen Potenzfunktionen. Der
Exponent gibt den Grad der Funktion an.
Abb. 18: Potenzfunktionen (Typ 1)
2 Funktionen 42
(Typ 2):
o Für ungerade Exponenten ist die
Potenzfunktion eine ungerade Funktion.
o Der Definitionsbereich ist .
o Der Wertebereich ist .
o Nullstelle: .
o Gemeinsame Punkte aller Graphen:
; und
o Der Graph der Funktion ist eine Parabel
vom Grad .
o Alle Graphen sind punktsymmetrisch zum
Ursprung ( ).
o Alle Graphen verlaufen im I. und III.
Quadranten.
o Die Graphen sind überall streng monoton
steigend
(Typ 3):
o Der Definitionsbereich ist .
o Der Wertebereich ist .
o keine Nullstellen
o Gemeinsame Punkte aller Graphen:
und
o Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel
vom Grad .
o Die x-Achse ist waagerechte Asymptote
5
.
o Die y-Achse ist senkrechte Asymptote.
o Alle Graphen sind achsensymmetrisch zur y-
Achse ( ).
o Alle Graphen verlaufen im I. und II.
Quadranten.
o Für sind die Graphen streng
monoton steigend und für streng
monoton fallend
5
Schmiegt sich ein Graph an eine Gerade an, so heißt diese Gerade Asymptote des Graphen. Das Wort sympiptein
(griech.) heißt zusammenfallen. Die Vorsilbe a gibt eine Verneinung an.
Abb. 19: Potenzfunktionen (Typ 2)
Abb. 20: Potenzfunktionen (Typ 3)
2 Funktionen 43
(Typ 4):
o Der Definitionsbereich ist .
o Der Wertebereich ist .
o keine Nullstellen
o Gemeinsame Punkte aller Graphen:
und
o Der Graph der Funktion ist eine
Hyperbel vom Grad .
o Die x-Achse ist waagerechte Asymptote.
o Die y-Achse ist senkrechte Asymptote.
o Alle Graphen sind punktsymmetrisch
zum Ursprung ( ).
o Alle Graphen verlaufen im I. und III.
Quadranten.
o Für und für sind die
Graphen streng monoton fallend
Sonderfall zu (Typ 4):
Durch die Zahlbereichserweiterung von auf , die i.d.R. in Klassenstufe 9 vorgenommen wird,
ergibt sich nachfolgende Definition für eine antiproportionale Funktion als Sonderfall der
Potenzfunktion vom Typ 4, ergänzt mit dem Vorfaktor .
Antiproportionale Sachzusammenhänge (z.B. Kostenkalkulationen für Klassenfahrten bei festem
Preis und veränderter Teilnehmerzahl oder das Abfüllen einer gegebenen Flüssigkeitsmenge in
Flaschen mit verschiedenen Volumina) sind laut Rahmenlehrplan Sek I (MBWJK, 2007, S. 57) in
den Klassenstufen 7 und 8 vorgesehen, so dass der Definitionsbereich für und auf die
positiven rationalen Zahlen eingeschränkt wird. Die Gleichung
() gibt eine
antiproportionale Zuordnung (indirekte oder umgekehrte Proportionalität) an.
Definition 2:
Eine Funktion mit der Gleichung in der Form bzw.
mit heißt antiproportionale Funktion.
Abb. 21: Potenzfunktionen (Typ 4)
2 Funktionen 44
Eigenschaften
Die Graphen bestehen aus allen Punkten der Form
und liegen auf einem Hyperbel-Ast
im ersten Quadranten (vgl. Abb. 21). Der Parameter mit heißt
Gesamtgröße. Da das Produkt aus und konstant ist, spricht man von Produktgleichheit. Für
alle Wertepaare und mit der Zuordnung gilt: . Zum -
fachen der Ausgangsgröße gehört das
-fache der zugeordneten Größe (). Für das
Lösen von Problemen, die sich mit antiproportionalen Zuordnungen erfassen lassen, wird neben
der Rechenvorschrift
auch der Dreisatz bzw. das Anlegen einer Tabelle als Lösungsweg
verwendet.
Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten der Form
Schränkt man den Definitionsbereich der Potenzfunktionen ()
auf
ein, so ist die Umkehrzuordnung von jeder dieser Funktionen wieder eine Funktion.
Eigenschaften
Die Graphen der Wurzelfunktionen entstehen durch Spiegelung an der ersten
Winkelhalbierenden (vgl. Abb. 22). Die Wurzelfunktionen weisen nachfolgende
Eigenschaften auf:
o Der Definitionsbereich ist
o Der Wertebereich ist
o Gemeinsame Punkte aller Graphen:
und
o Alle Graphen verlaufen im I.
Quadranten.
o Alle Graphen sind überall streng
monoton steigend.
Definition 3:
Für rationale Exponenten der Form
spricht man von Wurzelfunktionen. Die Gleichungen
der Wurzelfunktionen
werden in der Form
oder
mit
angegeben.
Abb. 22: Potenz- und Wurzelfunktionen
2 Funktionen 45
2.4.4 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Eine weitere Klasse der nicht-linearen Funktionen sind die Exponentialfunktionen, welche mit
der Funktionsgleichung angegeben werden. In Abgrenzung zum linearen oder
quadratischen Wachstum lassen sich mit Exponentialfunktionen Wachstumsprozesse (z.B.
Erdbevölkerung, Bakterienkulturen oder Zinseszinsberechnungen) und Zerfallsprozesse wie der
Abbau von Stoffen im menschlichen Körper oder radioaktiver Zerfall beschreiben und
modellieren.
Die Umkehrung der vereinfachten Exponentialfunktion der Form ist die
Logarithmusfunktion . Dieser Funktionstyp mit entsprechenden logarith-
mischen Skalierungen findet u.a. seine Anwendung in der Chemie (pH-Wert) oder bei
physikalischen Messungen wie Laut- und Erdbebenstärke. Nachfolgend werden die beiden
Funktionstypen und die charakteristischen Eigenschaften der Graphen als auch die
Zusammenhänge in Abhängigkeit der Parameter und dargelegt.
Der Wert wird aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, da sich sonst die
konstante Funktion ergeben würde.
Eigenschaften
o Alle Graphen verlaufen durch die Punkte
o Gemeinsamer Punkt aller Graphen ist
o Waagerechte Asymptote ist die x-Achse ( )
o Die Graphen von haben keine Nullstellen
o Die Graphen der Funktionen und
sind symmetrisch zueinander
bezüglich der y-Achse
o Fallunterscheidung für die Basis (vgl. Abb. 23):
• Für sind die Graphen überall streng
monoton steigend
• Für sind die Graphen überall streng
monoton fallend
Definition 1:
Die Funktion mit der Gleichung mit nennt man
Exponentialfunktion mit der Basis .
Abb. 23: Graphen von
Exponentialfunktionen
2 Funktionen 46
Die Parameter und verändern die Eigenschaften der Funktion in folgender
Weise:
(1)
o Für wird der Graph in Richtung y-Achse gestreckt
o Für wird der Graph in Richtung y-Achse gestaucht
o Für wird der Graph an der x-Achse gespiegelt
o Schnittpunkt mit der y-Achse ist:
o Für und ist der Graph streng monoton steigend
o Für und ist der Graph streng monoton fallend
o Für und ist der Graph streng monoton fallend
o Für und ist der Graph streng monoton steigend
Anmerkung: Die Streckung/Stauchung des Graphen von in Richtung der y-Achse kann
auch als Verschiebung um Einheiten parallel zu x-Achse aufgefasst werden,
denn: mit
(2)
o Für wird der Graph in Richtung y-Achse nach oben verschoben
o Für wird der Graph in Richtung y-Achse nach unten verschoben
o Schnittpunkt mit der y-Achse ist:
o Waagerechte Asymptote ist eine Parallele zur x-Achse ( )
Für zeitlich ablaufende Wachstumsvorgänge wird die unabhängige Funktionsvariable der
Funktionsgleichung häufig mit der Variablen ersetzt: . Der
Koeffizient steht hierbei für den Anfangs- bzw. Startwert einer Messung/Beobachtung oder
auch für den Bestand zum Zeitpunkt . Die Basis wird dann als Wachstumsfaktor
bezeichnet. Für exponentielle Abnahmeprozesse (negatives Wachstum) wird auch der der Begriff
Zerfalls- oder Abnahmefaktor verwendet, da es sich im semantischen Sinne nicht um ein
Wachstum handelt. Mit einer Fallunterscheidung bezüglich können exponentielle Zu- und
Abnahme beschrieben werden:
(1) (Exponentielle Zunahme)
o Wachstumsfaktor:
o Zunahme um (konstante prozentuale Wachstumsrate)
2 Funktionen 47
(2) (Exponentielle Abnahme)
o Wachstumsfaktor:
o Abnahme um (Abnahmerate, Zerfallsrate)
Eine Anwendung der Funktionsgleichung ist das exponentielle Modell für die
Berechnung der Zinseszinsen. Mit der Funktionsgleichung
lässt sich das
Kapital nach Jahren mit Startkapital und konstantem Jahreszinssatz berechnen.
Wie bereits zu Beginn des Unterabschnitts 2.4.4 erwähnt, ist die Umkehrfunktion der
Exponentialfunktion die Logarithmusfunktion. Aus ergibt sich . Durch
Vertauschen von und erhält man die Gleichung . Die Logarithmusfunktion wird
wie folgt definiert:
Eigenschaften
o Alle Graphen verlaufen durch den Punkt , da
.
o Der Graph von verläuft stets durch
den Punkt , da .
o Senkrechte Asymptote ist die y-Achse ( )
o Fallunterscheidung für die Basis (vgl. Abb. 24):
• Für sind die Graphen überall streng
monoton steigend
• Für sind die Graphen überall streng
monoton fallend
o Die Graphen der Funktionen und
liegen symmetrisch zur x-Achse.
Definition 2:
Die Funktion mit der Gleichung mit nennt man
Logarithmusfunktion mit der Basis und ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion
.
Abb. 24: Graphen von
Logarithmusfunktionen
2 Funktionen 48
2.4.5 Trigonometrische Funktionen
Die fachwissenschaftliche Darlegung der Funktionen der Sekundarstufe I wird mit den
elementaren trigonometrischen Funktionen beschlossen, die als Standardbeispiele von
periodischen Funktionen angesehen werden können. Zu ihnen gehören die Sinus-, Kosinus- und
Tangensfunktion, wobei die Thematisierung letzterer nicht verpflichtend ist (vgl. MBWJK, 2007)
und daher auch in diesem Unterabschnitt nicht dargestellt wird. Mit Trigonometrischen
Funktionen lassen sich periodische Vorgänge aus Medizin, Natur und Technik beschreiben und
modellieren, die sich zeitlich wiederholen (z.B. EKG, Zusammenspiel von Ebbe und Flut,
Simulation der Fahrt auf einem Riesenrad oder auch akustische Schwingungen). Im folgenden
Unterabschnitt wird zunächst eine periodische Funktion definiert und ihre Eigenschaften
dargelegt. Die Zugänge zu trigonometrischen Funktionen können in vielfältiger Weise geschehen.
Die Einführung in der Schule basiert i.d.R. auf der geometrischen Anschauung. Daher werden
entsprechende Überlegungen (Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck, Satz des
Pythagoras und zweiter Strahlensatz) über Beziehungen von Sinus, Kosinus und Tangens am
Einheitskreis verknüpft dargestellt. Nach einem Einblick in die direkt-proportionale Abhängigkeit
zwischen Grad- und Bogenmaß wird systematisch die Sinus- und Kosinusfunktion und deren
Eigenschaften erläutert. Abschließend werden die Auswirkungen der Parameter , , , und
auf die allgemeine Sinusfunktion beschrieben.
Periodische Funktionen
Periodische oder zyklische Vorgänge (vgl. Barzel et al., 2021) bringen die besondere Eigenschaft
mit, dass sich die Funktionswerte beim Durchlaufen des Definitionsbereichs wiederholen.
Periodische Funktionen haben eine bestimmte Periodenlänge oder Periode, die besondere
Eigenschaften mit sich bringt.
Definition 1:
Eine Funktion heißt periodisch, wenn die Gleichung für einen
festen Wert mit erfüllt ist. Die reelle Zahl wird als Periode der
Funktion bezeichnet. Wenn Periode von ist, so ist ebenso Periode von .
für .
2 Funktionen 49
Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
In der Schullaufbahn kommen lernende
zunächst mit den trigonometrischen
Beziehungen in einem rechtwinkligen
Dreieck in Berührung. Im rechtwinkligen
Standarddreieck () mit den
Katheten und sowie der Hypotenuse
und dem Winkel bei A bzw. bei B
werden die Verhältnisse aus Ankathete,
Gegenkathete und Hypotenuse wie folgt
benannt:
o
o
o
o
Wenn der Zugang zu trigonometrischen Funktionen über den Einheitskreis erfolgt, werden die
zuvor beschriebenen Verhältnisse als bekannt vorausgesetzt. Im Einheitskreis (vgl. Abb. 25) ist
die Länge der Hypotenuse stets Mit der Einheitslänge für die Hypotenuse
gelten die Gleichungen
und
im Einheitskreis. Im
kartesischen Koordinatensystem wird folgendes definiert.
Zusammenhänge im Einheitskreis
o Trigonometrischer Pythagoras:
o Quadrantenbeziehungen:
•
•
•
Definition 2:
Die Koordinaten eines Punktes P auf dem Rand des Einheitskreises werden mit
und bezeichnet, wobei das Maß des Winkels ist, den die Strecke
mit der
positiven x-Achse bildet: mit .
Abb. 25: Sinus, Kosinus, Tangens am Einheitskreis
2 Funktionen 50
Wie in Abbildung 25 zu sehen ist, schneidet die senkrechte Tangente an den Einheitskreis im
Punkt die Halbgerade im Punkt . Durch Anwendung des zweiten
Strahlensatzes (
) kann die Beziehung:
mit
unmittelbar hergeleitet werden.
Bogenmaß eines Winkels
Die Größe eines Winkels kann u.a. im geodätischen Winkelmaß (Vollwinkel = 400 gon) oder auch
als Zeitmaß (Vollwinkel = 24 h) angegeben werden. Im Kontext der trigonometrischen Funktionen
ist die Umrechnung vom Gradmaß in das Bogenmaß (engl.: radiant oder kurz rad) besonders
günstig, da durch dieselbe Skalierung der Koordinatenachsen (Wittmann, 2019, S.185) eine
Vergleichbarkeit mit anderen reellen Funktionen in anderen Unterrichtssituationen der Analysis
gewährleistet ist. Der Winkel im Gradmaß wird indirekt über die Länge des zugehörigen
Kreisbogens gemessen (vgl. Barzel et al., 2021).
In einem Kreisausschnitt des Einheitskreises wird dem
Winkel eindeutig die die Länge des zugehörigen
Kreisbogens zugeordnet (vgl. Abb. 26). Für den Umfang
eines Einheitskreises gilt . Damit ergibt sich für
den Vollwinkel folgender proportionaler Zusammenhang:
(). Mit der Verhältnis-
gleichung
können jeweils Formeln zur
Berechnung des Bogenmaßes aus gegebenem Gradmaß
und umgekehrt aus der direkten Proportionalität
hergeleitet werden:
o
o
Definition 3:
Das Bogenmaß eines Winkels ist das Verhältnis
aus der Länge des Kreisbogens
und dem Radius .
Abb. 26: Bogenmaß eines Winkels
2 Funktionen 51
In der folgenden Übersicht wird eine Auswahl an wichtigen Winkeln im Gradmaß als Vielfache
von im Bogenmaß gegenübergestellt.
Sinus- und Kosinusfunktion
Die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion können nun mithilfe der zuvor genannten
Definitionen 2 und 3 konstruiert und bestimmt werden. Für die abhängige Variable wird dabei x
statt verwendet. Für die Sinusfunktion soll dies exemplarisch betrachtet
werden (vgl. Abb. 27
6
). Dazu verfolgt man eine volle Kreisbewegung eines Punktes
auf dem Einheitskreis, von ausgehend, entgegen des Uhrzeigersinns.
Der Länge der senkrechten Kathete im rechtwinkligen Dreieck entspricht der Funktionswert im
kartesischen Koordinatensystem (Bsp.:
). Für die Punkte
, , und ergeben sich Sonderfälle in der Art, dass aus dem
rechtwinkligen Dreieck jeweils waagerechte oder senkrechte Strecken der Länge 1 entstehen mit
den daraus resultierenden besonderen Funktionswerten im Intervall (vgl. Tabelle rechts
in Abb. 27).
Abb. 27: Einheitskreis und Sinusfunktion
6
Abbildung 27 (links) ist ein Screenshot eines selbst erstellten GeoGebra-Applets. Mit der Play-Funktion (im Bild
unten links) kann die Kreisbewegung des Punktes P dynamisch verfolgt werden, um so die Konstruktion der
Sinusfunktion für nachzuvollziehen.
2 Funktionen 52
Im Intervall ist die Länge der senkrechten Kathete ein positiver Funktionswert und im
Intervall ein negativer Funktionswert. Analog zur Konstruktion der Sinusfunktion mit
senkrechten Katheten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis ließe sich die Konstruktion
der Kosinusfunktion entsprechend mit den waagerechten Katheten vollziehen.
Die Koordinaten des Punktes entsprechen den Sinus- und Kosinuswerten
entsprechender Winkel und führen somit zu nachfolgender Definition.
In Abbildung 28 sind die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion dargestellt. Der Graph der
Kosinusfunktion geht durch eine Verschiebung der Sinusfunktion um den Winkel
in Richtung
negativer -Achse hervor. Ausgehend vom Einheitskreis (vgl. Abb. 27, S. 52) kann im
Koordinatensystem der Durchlauf des Punktes und der Verlauf der Graphen
bezogen auf die Quadranten I. bis IV. nachvollzogen werden.
Abb. 28: Sinus- und Kosinusfunktion
Definition 4:
Die Sinusfunktion mit der Gleichung und die
Kosinusfunktion mit der Gleichung entsprechen der - bzw.
-Koordinate des Punktes . Die Strecke
bildet dabei mit der
positiven x-Achse den Winkel .
2 Funktionen 53
Die Sinus- und Kosinusfunktion weisen u.a. nachfolgende Eigenschaften auf:
Eigenschaften der Sinusfunktion
o Definitionsbereich:
o Wertebereich:
o Nullstellen:
o Periodizität:
• Periodenlänge:
•
o Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung ( )
Eigenschaften der Kosinusfunktion
o Definitionsbereich:
o Wertebereich:
o Nullstellen:
o Periodizität:
• Periodenlänge:
•
o Symmetrie: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse ( )
Allgemeine Sinusfunktion
Wie auch bei den zuvor behandelten Funktionstypen können trigonometrische Funktionen durch
entsprechende Parameter verändert werden. In Sachsituationen wie bspw. akustische
Schwingungen, sinusförmige Spannungen in der Elektrizitätslehre, Gezeiten oder beim
Durchlaufen der Mondphasen haben Begriffe wie Amplitude, Frequenz, Phasenverschiebung und
Phasenänderung eine tragende Bedeutung.
Die Bedeutung der zuvor genannten Begriffe aus verschiedenen Sachkontexten sollen nun am
Beispiel der allgemeinen Sinusfunktion (Sinuskurve, Sinusschwingung) mit der
Funktionsgleichung dargelegt werden. Die sukzessive
Transformation des Graphen von wird durch die Parameter , , , und in den
Schritten (1) bis (4) veranschaulicht (vgl. Abb. 29 – Abb. 32).
2 Funktionen 54
(1)
o Amplitude
o Für wird der Graph
in -Richtung gestreckt.
o Für wird Graph
in -Richtung gestaucht.
o Der Wertebereich von
ist
(2)
o b beeinflusst die Periodenlänge und die Frequenz
o : Stauchung des
Graphen in -Richtung
o : Streckung des
Graphen in -Richtung
o Periodenlänge:
o Frequenz:
(3)
o Phasenänderung
o : Verschiebung des
Graphen in die positive
-Richtung.
o : Verschiebung des
Graphen in die negative -
Richtung.
(4)
o Verschiebung in -
Richtung
o : Verschiebung des
Graphen in die positive -
Richtung.
o : Verschiebung des
Graphen in die negative -
Richtung.
Abb. 29: Amplitudenänderung
Abb. 30: Perioden- und Frequenzänderung
Abb. 31: Phasenänderung
Abb. 32: Verschiebung in y-Richtung
2 Funktionen 55
Die Amplitude und die Verschiebung in Richtung der -Achse können mit nachfolgenden
Formeln bestimmt werden:
o
o
Anmerkung: Die Einflüsse der Parameter und auf die allgemeine Kosinusfunktion
erfolgen analog zur Sinusfunktion, sollen aber an
dieser Stelle nicht weiter ausgeführt werden.
2.5 Zusammenfassung
In diesem Kapitel wurden grundlegende fachwissenschaftliche und fachdidaktische
Beschreibungen zum Funktionsbegriff vorgenommen. Dazu zählen eine Definition des Begriffs
selbst sowie didaktisch relevante Grundlagen zu Aspekten und Grundvorstellungen von
Funktionen und deren Repräsentationsformen. Die Interdependenz der Repräsentationen und
die damit verbundenen flexiblen Schritte bei Darstellungswechseln sind zentrale Elemente, um
das Denken in Funktionen zu fördern (z.B. Barzel et al., 2005). Funktionales Denken ist
charakteristisch für die Mathematik und hilft bei der Erfassung verschiedenster Phänomene
unserer Umwelt. Historisch betrachtet wurden bereits Hinweise auf babylonischen
Keilschrifttafeln gefunden (ca. 4000 v. Chr.). Eine intensivere Beschäftigung mit Funktionen
vollzog sich jedoch erst ab dem Mittelalter, wo zahlreiche Gelehrte und Wissenschaftler ihre
Beiträge rund um diesen zentralen Begriff leisteten. LEIBNIZ wird zugeschrieben den Begriff
Funktion im Jahr 1673 zum ersten Mal verwendet zu haben. Mit der ersten preußischen
Abiturprüfungsordnung aus dem Jahr 1788 machte man sich verstärkt Gedanken über Lehrpläne
und deren Inhalte. Der Funktionsbegriff nahm nur schleppend Einzug, da zu dieser Zeit die
humanistische Sichtweise mit Latein und Griechisch als zentrale Fächer angesehen wurde.
Lediglich in den Stundentafeln von Oberrealschulen wurden mathematische und
naturwissenschaftliche Angebote gemacht. Die Meraner Reform im Jahr 1905, die untrennbar
mit dem Göttinger Professor FELIX KLEIN und dessen Bemühungen um Anwendung und Lehre der
Mathematik verbunden ist, wird als Meilenstein angesehen. Zwei bedeutende Resultate sind u.a.
seinem didaktischen Engagement für die Lehrer- und Schulbildung zu verdanken: die Einführung
des Funktionsbegriffs am Gymnasium und die Erziehung zum funktionalen Denken. Seither ist
2 Funktionen 56
der Bereich Funktionen ein zentrales Element des Unterrichts und hat bis heute diese besondere
Stellung innerhalb der Schul-Curricula nicht verloren. Im Jahr 2003 wurde von der KMK durch
deren Beschluss eine Orientierung hin zum Erwerb von inhaltsbezogenen (Leitideen) und
allgemeinen Kompetenzen mit den Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren
Schulabschluss (KMK, 2003) vollzogen. Auch für die Leitidee Funktionaler Zusammenhang (seit
2022: Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang) gilt seitdem, dass Lernende
funktionale Zusammenhänge und funktionales Denken anhand einer vernetzten Struktur aus den
sechs inhaltsbezogenen Kompetenzen K1 bis K6 (vgl. KMK, 2003) bis zum mittleren
Schulabschluss erlernen sollen. Besondere Bedeutung haben hier die Kompetenzen (K4)
Mathematische Darstellungen verwenden und (K5) Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen. Mit der voranschreitenden Digitalisierung wurden die
Bildungsstandards für das Fach Mathematik (ESA und MSA) im Jahr 2022 neu gestaltet (KMK,
2022). Die prozessbezogene Kompetenz Mit Medien mathematisch arbeiten hebt die Bedeutung
des Einsatzes von DMW bei einem kompetenzorientierten Unterricht hervor.
Für die vorliegende Arbeit gilt die Konzentration auf den Zuordnungen und Funktionstypen der
Klassen 7 bis 10 der Sekundarstufe I des Rahmenlehrplans für Rheinland-Pfalz (MBWJK, 2007),
die als elementare Funktionen deklariert wurden. Eine systematische fachwissenschaftliche
Darstellung der elementaren Funktionen (Lineare Funktionen, Quadratische Funktionen und
Quadratwurzelfunktionen, Potenzfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen,
Trigonometrische Funktionen) wurde am Ende des Kapitels vorgenommen. Ein fundiertes
Fachwissen über die relevanten Funktionstypen und die bereits erwähnten didaktischen
Grundlagen sind eine wichtige Voraussetzung für (angehende) Lehrkräfte das Potential des
Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen bei Planung und Durchführung von Unterricht
beurteilen zu können. Das folgende Kapitel 3 lenkt daher den Blick auf digitale
Mathematikwerkzeuge, mit dem besonderen Fokus auf die beiden Werkzeuge GeoGebra und
Tabellenkalkulation.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 57
3 Digitale Mathematikwerkzeuge
Digitale Mathematikwerkzeuge sind mathematikspezifische Programme (vgl. Barzel & Klinger,
2022) aber auch Geräte bzw. Handhelds mit denen mathematische Routinetätigkeiten
ausgeführt werden können. Aufgrund der inzwischen gut 50-jährigen Tradition des Einsatzes
digitaler Mathematikwerkzeuge, lohnt sich ein vertiefter Blick auf die Entwicklung und die
begriffliche Abgrenzung aus heutiger Sicht (vgl. Abschnitt 3.1). In der Dissertation liegt der Fokus
auf den beiden Werkzeugen GeoGebra und Tabellenkalkulation. Daher werden diese Softwares
mit ihren charakteristischen Nutzungsmöglichkeiten und Eigenschaften in den Abschnitten 3.2
und 3.3 näher erläutert. Aufgrund der thematischen Ausrichtung werden die beiden digitalen
Mathematikwerkzeuge in Abschnitt 3.4 mit dem besonderen Augenmerk auf die
Anwendungsmöglichkeiten und Bedienelemente innerhalb der Leitidee Strukturen und
funktionaler Zusammenhang (vgl. KMK, 2022) noch spezifischer charakterisiert. Die jahrzehnte-
lange Tradition und Entwicklung von technischen Unterstützungsmöglichkeiten für den MU und
die aktuelle Relevanz für die voranschreitende Digitalisierung von Lehr-Lern-Prozessen im Fach
Mathematik beschäftigen bis heute Forschende der Mathematikdidaktik. So schließt dieses
Kapitel in Abschnitt 3.5 mit den Möglichkeiten und Grenzen des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen. Dabei wird zunächst der Begriff didaktischer Mehrwert definiert, ehe
eine Kategorisierung von Vor- und Nachteilen des Einsatzes von DMW vorgenommen wird, die
sich durch zahlreiche Studien herauskristallisiert hat.
3.1 Der Begriff Digitale Mathematikwerkzeuge
Die mathematischen Werkzeuge, die im Lernprozess genutzt werden, haben sich im Lauf der
Geschichte verändert. Zu den klassischen Werkzeugen wie Zeicheninstrumente, Tafeln,
Formelsammlungen und Rechenmaschinen (vgl. Vollrath & Roth, 2012) sind durch den
technologischen Fortschritt ab Mitte der 1970er-Jahre (Reiss, 2020) sukzessive elektronische
Medien wie Taschenrechner, Computer und Tablets hinzugekommen. Im Jahr 1988 wurde auf
der International Conference of Mathematics Education (ICME) in Budapest die Software Cabri
vorgestellt – das erste dynamische Geometrieprogramm für den Mathematikunterricht
(Laakmann, 2013). Das Computer-Algebra-System Derive wurde kommerziell von der Firma Texas
Instruments ab den 1990er Jahren vertrieben und diente als Grundlage zur Entwicklung von
grafikfähigen Taschenrechnern. Neben diesen beiden exemplarischen digitalen
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 58
Mathematikwerkzeugen wären noch zahlreiche andere zu nennen. Einen ausführlichen Überblick
über Werkzeuge im Mathematikunterricht lässt sich z.B. in Weigand und Weth (2002), Vollrath
und Roth (2012) oder in Heintz et al. (2017) nachlesen.
Um ein besseres Verständnis des Begriffs Digitale Mathematikwerkzeuge zu erhalten, wird der
Ausdruck zunächst im weiteren Verlauf auf Basis verschiedener Sichtweisen präzisiert.
Heintz et al. (2017) unterscheiden grundlegend zwischen digitalen Medien und digitalen
Werkzeugen im MU. „Digitale Medien dienen als Träger oder Übermittler von Informationen“,
während ein „Digitales (Lern-)Werkzeug“ als „[…] flexibel einsetzbares Hilfsmittel beim Lehren
und Lernen […]“ (Heintz et al. 2017, S.13) angesehen wird. Für Heintz und Kollegen zählen zu den
digitalen Mathematikwerkzeugen einerseits spezifische Programme (z.B.
Tabellenkalkulationsprogramme, Dynamische Geometriesoftware, Funktionenplotter und
Computer-Algebra-Systeme) und allgemeine Software (z.B. Textverarbeitungsprogramme,
Internet-Browser oder Präsentationssoftware), die auf unterschiedlicher Hardware (Computer,
Laptop und Tablet) nutzbar sind und andererseits auch Handheld-Geräte wie ein grafikfähiger
Taschenrechner. Müller (2023) verbindet mit dem Einsatz von DMW den primären Zweck das
mathematische Arbeiten zu unterstützen (Müller, 2023). Zieht man Pallacks Definition für den
Begriff digitale Medien („Digitale Medien sind dann solche Medien, die Informationen mit Hilfe
elektronischer Geräte digital speichern oder übertragen und in bildhafter oder symbolischer
Darstellung wiedergeben.“, Pallack, 2018, S.28) hinzu, stellt man fest, wie eng die Begriffe
Medium und Werkzeug (bildhafte oder symbolische Darstellung) vernetzt sind. In diesem Sinne
werden digitale Mathematikwerkzeuge von anderen Autoren (z.B. Ostermann et al. (2021) oder
Rink & Walther (2020)) auch als mathematikspezifische digitale Medien bezeichnet. Für Rink und
Walther ist vor allem die Funktion des Mediums als Mittler zwischen Inhalt und Lernenden
zentraler Bestandteil bei der Begriffsbestimmung (Rink & Walther, 2020). Barzel (2019) und
Müller et al. (2020) unterscheiden zwischen Fachdidaktisch orientierten Medien und An Beruf
und Alltag orientierten Medien und unterscheiden diese jeweils nach den Unterpunkten
allgemein, Mathematik-spezifisch und Informatik-spezifisch. An dieser Stelle soll lediglich die
Mathematik-spezifische Komponente fokussiert werden (vgl. Tab. 4). Für die Autoren sind
digitale Mathematikwerkzeuge die Summe aus beiden Mathematik-spezifischen
Mediengruppen.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 59
Tab. 4: Übersicht zu digitalen Medien und digitalen Mathematikwerkzeugen
Medien
Mathematik-spezifisch
Fachdidaktisch
orientiert
• Dynamische Geometriesoftware (z.B. GeoGebra, TI-Nspire, CASIO
ClassPad)
• Funktionenplotter
• Schulcomputeralgebrasysteme (z.B. GeoGebra, TI-Nspire, CASIO
ClassPad)
• Stochastiktools (z.B. Fathom, Tinkerplots, TI-Nspire)
An Beruf und
Alltag orientiert
• Tabellenkalkulation (z.B. Excel)
• Computeralgebra-Systeme (z.B. Maple, Mathematica)
• Statistiktools (z.B. SPSS, R)
• Tools zur Messwerterfassung (z.B. C-LAB)
Digitale Mathematikwerkzeuge
Quellen: Barzel (2019) & Müller et al. (2020)
Die Dynamische Geometriesoftware (DGS) wie bspw. GeoGebra ist ein interaktives Werkzeug,
mit dem Schüler bspw. geometrische Zusammenhänge, Veränderungen (dynamischer
Zugmodus) und Entdeckungen eigenständig erschließen können. Als Multirepräsentationssystem
vereinigt GeoGebra eine Vielzahl von Anwendungsmöglichkeiten. Funktionenplotter – meist in
einer DGS integriert - werden zur Visualisierung von Funktionen oder Funktionsscharen
eingesetzt, um funktionale Zusammenhänge zu entdecken. Mit Computer-Algebra-Systemen
(CAS) können algebraische, symbolische und analytische Berechnungen mit Termen und
Variablen (Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen oder Differenzieren und Integrieren)
durchgeführt werden. Spezielle Stochastiktools sind Hilfsmittel, die innerhalb der Leitidee Daten
und Zufall eingesetzt werden können. Ein Tabellenkalkulationsprogramm, wie z.B. MS-Excel,
gehört heutzutage zur Standard-Software in beruflichen Kontexten und ist in Office-Paketen für
die private Nutzung verfügbar (vgl. Vollrath & Roth, 2012). Trotz der schwerpunktmäßigen
Orientierung für Beruf und Alltag kann diese Software im Mathematikunterricht für Rechnungen
mit größeren Datenmengen oder Problemlösungen mit Variablen und Termen genutzt werden.
Visualisierungen der Daten mit Diagrammen oder Boxplots können ebenso realisiert werden wie
das Erstellen von Funktionsgraphen.
Nach Barzel et al. (2005) werden Werkzeuge von Lernumgebungen unterschieden. Eine
Lernumgebung meint dabei, was Schüler „[…] von außen instruiert. Dazu gehören Inhalte, Ziele,
Kommunikationsformen u. a., die durch die Lehrperson oder die Lernenden vorstrukturiert bzw.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 60
festgelegt sind und die den Rahmen bieten für die Lernprozesse der Einzelnen oder der Gruppe.“
(Barzel et al., 2005, S. 30)
Werkzeuge hingegen sollen „[…] universell einsetzbare Hilfsmittel zur Bearbeitung einer breiten
Klasse von Problemen“ (Barzel et al., 2005, S. 30) sein. Daher sind Werkzeuge im Vergleich zum
lokalen und kurzfristigen Einsatz bei Lernumgebungen für den langfristigen Einsatz gedacht, und
können somit zu einem „[…] Begleiter über mehrere Jahre […]“ (Barzel et al., 2021a, S.100)
werden. Neben den bereits erwähnten digitalen Mathematikwerkzeugen zählen Barzel et al.
(2005, S.31) „[…] alle Instrumente, ob nun software- oder hardwarebasiert, die flexibel für eine
Vielzahl von Fragen und Problemen einsetzbar sind […], zu den digitalen Werkzeugen. Diese
werden noch weiter nach allgemeinen digitalen Werkzeugen, wie bspw. Textverarbeitungs-,
Bildverarbeitungs- und Präsentationssoftware und spezifischen Werkzeugen wie DGS oder CAS,
die insbesondere für den Mathematikunterricht wichtig sind, unterschieden (Barzel et al., 2005).
Bereits 2005 sprechen Barzel und Kollegen von einer sich abzeichnenden Trias von
Programmtypen, in die sich die unzähligen Programme und Apps kategorisieren lassen:
o Tabellenkalkulation zur numerisch-tabellarischen Darstellung
o Computer-Algebra-Systeme zur algebraisch-symbolischen Darstellung
o Dynamische Geometrie-Software zur graphisch-visuellen Darstellung
Diese Programmtypen reichen nach deren Meinung (Barzel et al., 2005, S.36) aus, alle „[…]
wesentlich erscheinenden Funktionen übernehmen […]“ zu können, die im MU relevant sind. Da
in dieser Arbeit der Fokus ausschließlich auf den DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation liegt,
werden nur diese beiden Werkzeuge in den anschließenden Unterkapiteln 3.2 und 3.3
ausführlich dargestellt. Obwohl im Multirepräsentationssystem GeoGebra auch eine
Tabellenkalkulation integriert ist, wurde für die vorliegende Studie ein spezifisches TKP
obligatorisch vorgegeben. Von den Studierenden wurde größtenteils MS-Excel verwendet.
Benutzer mit Apple-Endgeräten verwendeten das TKP Numbers. Diese spezifischen TKP zeichnen
sich im Vergleich zur Implementation der Tabellenkalkulation in GeoGebra durch seine
Benutzerfreundlichkeit und den besseren Anwendungsmöglichkeiten und Funktionalitäten aus.
Nach einem allgemeinen und prägnanten Zugang zu den beiden Softwares werden diese jeweils
bezogen auf basale Einsatzmöglichkeiten im Bereich funktionaler Zusammenhänge detailliert
erläutert.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 61
3.2 Dynamische Geometrie-Software GeoGebra
7
Die Bezeichnung GeoGebra vereint als Kofferwort die mathematischen Teilbereiche Geometrie
und Algebra, was die Möglichkeiten des Programms bereits andeutet. Kaenders & Schmidt (2014,
S.1) heben u.a. einen wesentlichen Vorteil hervor: „Es ist für den Mathematikunterricht
entwickelt und an seine spezifischen Anforderungen angepasst worden.“ Dadurch können
vielfältige Lernanlässe für den Mathematikunterricht von Lehrkräften – die notwendigen
Werkzeugkompetenzen vorausgesetzt – geplant und iniziiert werden, bei denen Lehrkräfte wie
auch Schüler das Werkzeug nutzen. Ebenso kann GeoGebra zu Hause bei der Erledigung von
Mathematikaufgaben eingesetzt werden.
Im Zuge der Veröffentlichung im Jahr 2005 testeten viele Lehrkräfte die Software in Lehr-Lern-
Prozessen. Deren positives Feedback führte im Laufe der Jahre zu einer fortwährenden
Weiterentwicklung und Verbesserung durch Programm-Updates (Hohenwarter et al., 2008). Bis
heute hält diese positive Entwicklung an, so dass GeoGebra inzwischen zu einer Standard-
Software als digitale Unterstützung für den MU gereift ist.
GeoGebra bietet Schülern Möglichkeiten zur eigenen Gestaltung und Erforschung von
Mathematik. Zusätzlich können mathematische Sachverhalte visualisiert werden (Kaenders &
Schmidt, 2014). Dadurch steht den Lernenden bei der Bearbeitung zahlreicher mathematischer
Probleme eine Veranschaulichung zur Verfügung, die bei der Lösung derer hilfreich sein kann.
Des Weiteren kann GeoGebra zur Entdeckung neuer Lösungsmöglichkeiten den entscheidenden
Impuls liefern und dabei helfen ein stärkeres mathematisches Verständnis bei Schülern zu
entwickeln. Außerdem soll die Software dazu anregen, Mathematik zu reflektieren (Kaenders &
Schmidt, 2014). Somit werden die Schüler dazu befähigt händisch erstellte Lösungen zu
kontrollieren aber auch darüber hinaus zu hinterfragen, ob der Einsatz der Technik im Sinne des
mathematischen Verständnisses adäquat ist. Außer der Bedienung der kostenlosen dynamischen
Geometrie-Software GeoGebra Classic werden über die Homepage https://www.geogebra.org
7
GeoGebra® wurde von Dr. Markus Hohenwarter, Professor an der JOHANNES KEPLER Universität Linz, im Rahmen
seiner Diplomarbeit an der Universität Salzburg im Jahr 2002 für Schulanwendungen entwickelt. Ein
flächendeckender Einsatz in Schulen war zunächst nicht angedacht. Durch Veröffentlichung des Quellcodes im
Jahr 2005 innerhalb der Projektarbeit wurde aufgrund zahlreicher Anfragen von Lehrkräften ein Nutzerforum zum
persönlichen Austausch und zum Austausch von Lehr-Lern-Materialien etabliert. Durch das stetige Wachstum der
Community ist GeoGebra® als Open-Source-Programm (https://www.geogebra.org) inzwischen weltweit zu einer
mehrfach preisgekrönten mathematischen Standardsoftware in Klassenzimmern gereift. An mehreren
Universitäten in Deutschland gibt es inzwischen GeoGebra-Institute.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 62
weitere Möglichkeiten mit oder ohne Account angeboten. So finden sich inzwischen über 1
Million kostenlose Unterrichtsmaterialien, die von der Community erstellt wurden. Eine
komplette Unterrichtseinheit kann als sog. GeoGebra-Buch in einem virtuellen Klassenzimmer
(GeoGebra Classroom) über einen Link bearbeitet werden. Nützliche Apps wie Rechner Suite, 3D
Rechner, CAS Rechner und Geometrie ergänzen das Angebot.
3.2.1 Die Struktur von GeoGebra
GeoGebra Classic (kurz: GeoGebra) vereint Algebra, CAS, 2D- und 3D-Grafik, Tabelle und
Wahrscheinlichkeitsrechner in einer Multirepräsentationssoftware. Beim Start der Software wird
nachfolgender Bildschirm (Abb. 33) angezeigt.
Abb. 33: Startbildschirm von GeoGebra
In der ersten Ansicht von GeoGebra ist eine Standard-Werkzeugleiste, ein Eingabefeld (Algebra-
Spalte, Algebra-Feld, Algebra-Fenster) und eine Zeichenfläche (Grafik-Fenster) zu sehen. Je nach
Einsatzgebiet können weitere Implikationen wie bspw. 3D-Grafik, Tabellenkalkulationsrechner
oder Statistik (Wahrscheinlichkeitsrechner) ein- oder ausgeblendet werden. Die Werkzeugleiste
wird in mehr oder weniger logische Werkzeuggruppen unterteilt (vgl. Luckner, 2020), die in
Tabelle 5 grob erläutert werden.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 63
Tab. 5: Werkzeugleiste GeoGebra
Werkzeuggruppe
Beschreibung
Auswahl,
Freihandwerkzeuge
In dieser Gruppe befindet sich der Auswahlpfeil und zwei
Freihandwerkzeuge (Freihandskizze, Stift).
Besondere Punkte
In diesem Bereich können besondere Punkte (u.a.
Schnittpunkt, Mittelpunkt, Extremum, Nullstelle) durch
eine gezielte Objektauswahl adressiert werden.
Linien und Vektoren
Hier finden sich u.a. Werkzeuge für Strecken, Strahlen,
und Geraden sowie Vektoren.
Spezielle
Geraden
In dieser Gruppe können u.a. senkrechte und parallele
Geraden sowie Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende,
Tangenten und Ortslinien konstruiert werden.
Vielecke
Durch sukzessives Anklicken von festgelegten Punkten
werden Vielecke konstruiert. Wird der Startpunkt
wiederholt angeklickt, wird die Figur geschlossen.
Kreisartige Objekte
In diesem Bereich können u.a. Kreise, Halbkreise,
Kreisbögen und Kreissektoren adressiert werden.
Ellipsen, Hyperbeln
Hier finden sich Werkzeuge zum Erstellen von Ellipsen,
Hyperbeln, Parabeln und Kegelschnitten.
Messen (Winkel,
Abstand, Fläche)
Hier finden sich u.a. Messwerkzeuge für Winkel,
Abstände und Flächen. Die Steigung einer Geraden kann
ebenso adressiert werden.
Geometrische
Abbildungen
In dieser Werkzeuggruppe können Achsen- und
Punktspiegelungen, Drehungen, Verschiebungen und
zentrische Streckungen durchgeführt werden.
Schieberegler, Text,
Bild
Hier finden sich u.a. Werkzeuge zum Erstellen von
Schiebereglern, zur Eingabe von Texten und zum
Einfügen von Bildern.
Ansichten,
Objektanzeige
In diesem Bereich können Grafik-Ansichten verschoben,
vergrößert oder verkleinert werden sowie Objekte und
Beschriftungen ein-/ausgeblendet werden.
Quelle: Luckner (2020)
3.2.2 Ausgewählte Einsatzmöglichkeiten von GeoGebra
Neben den unzähligen Möglichkeiten, die GeoGebra für die Teilgebiete der Mathematik
bereithält, sollen zwei Beispiele stellvertretend erwähnt werden, die die didaktischen
Möglichkeiten der Software unterstreichen. Eine prägnante Anwendungsmöglichkeit ist die
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 64
Simulation von geometrischen 2D-Standardkonstruktionen, die nachträglich verändert werden
können. Mit dem Zugmodus können bereits erstellte Konstruktionen dynamisch variiert werden
(Dilling & Pielsticker, 2020; Weigand et al., 2014). So kann bspw. der Eckpunkt eines Dreiecks
, der auf einem Kreis mit dem Durchmesser
liegt, bewegt werden, um Vermutungen
zur Art des Dreiecks zu überprüfen (Satz des Thales). Eine zweite Anwendung ist die Erstellung
einer Ortslinie durch das Variieren von Punkten. Beispielsweise ist es möglich die Ortskurve der
Hochpunkte einer Funktionsschar unter Verwendung der Einstellung Spur anzeigen dynamisch
zu generieren.
3.3 Tabellenkalkulationsprogramme
1979 wurde von Dan Bricklin mit VisiCalc das erste Tabellenkalkulationsprogramm (TKP)
erfunden (Hischer, 2005). Bis zur heutigen Zeit, in der MS-Excel aufgrund der Marktanteile der
Firma Microsoft als proprietäre Büro-Software im Bereich Tabellenkalkulation angesehen
werden kann, wurden verschiedene TKP (auch Tabellenkalkulationssoftware oder
Tabellenkalkulationssystem) wie bspw. Calc des Office-Paketes OpenOffice (2011), LibreOffice
Calc (2011) oder Numbers der Fa. Apple für Tisch- und Personal-Computer entwickelt. „Eine
Tabellenkalkulation ist sehr vielseitig und kann in vielen Bereichen Hilfestellung geben.“ (Metzger
et al., 2007a, S.11) Große Datenmengen können in Tabellenform erfasst und interaktiv
verarbeitet werden (vgl. Vollrath & Roth, 2012). Vor allem bei Büro- und Verwaltungstätigkeiten
oder im betriebswirtschaftlichen Umfeld (z.B. Wirtschaftswesen, Finanzmathematik,
Buchhaltung, Steuern oder Betriebsabrechnungen) ist ein TKP im Rahmen jedes Office-Paketes
zum Standard geworden (Hischer, 2016). Zur Messdatenauswertung in naturwissenschaftlichen
Kontexten wird die Software ebenso verwendet. Im Mathematikunterricht kann dieses Werkzeug
in allen inhaltlichen Kompetenzbereichen auf vielfältige Art und Weise eingesetzt werden.
„Im Mathematikunterricht haben Tabellenkalkulationsprogramme (TKP) in den letzten Jahren
zunehmend an Bedeutung gewonnen. Sie werden mittlerweile in allen Lehrplänen der
Bundesländer im Fach Mathematik erwähnt, meist empfohlen oder sind in großen Teilen
sogar vorgeschrieben.“ (Weigand & v. Hofe 2006, S. 3).
Hier sind u.a. iterative Prozesse wie das HERON-Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel
oder das NEWTON-Verfahren zu Bestimmung von Nullstellen (vgl. Rieß, 2018) zu nennen. Digitale
Kalkulationsblätter bieten den Lernenden eine Entlastung von routinemäßigen Rechen- und
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 65
Grafikprozeduren (vgl. Krauthausen, 2012). Gieding (2003) vertritt die Auffassung, dass das
Erstellen von Kalkulationsblättern sogar mit einer Programmiertätigkeit vergleichbar sei.
3.3.1 Die Struktur von Tabellenkalkulationsprogrammen
Die Benutzeroberfläche eines TKP, bei dem sich nach dem Start des Programms eine leere
Arbeitsmappe zeigt, ist vergleichbar mit einem unbegrenzt ausgebreiteten zweidimensionalen
digitalen Rechenblatt, einem sog. spreadsheet (Hischer, 2005). Ähnlich wie bei einem
Schachbrett werden die Spalten waagerecht mit großen Buchstaben von A bis Z, anschließend
mit AA, AB, AC, etc. fortgesetzt. Die Zeilen werden senkrecht mit den Zahlen 1 bis 65536
nummeriert (Metzger et al., 2007a).
Aus mathematischer Sicht ist ein
digitales Rechenblatt eine Matrix aus
Zeilen und Spalten. Auf diese
Weise wird ein System von Zellen
(auch Felder) mit Koordinaten
generiert. Zuerst wird die Spalte,
dann die Zeile genannt (z.B. R15). Der
am Bildschirm sichtbare
Arbeitsbereich (vgl. Abb. 34) ist nur
ein Ausschnitt des wesentlich
größeren Tabellenblattes. In einer
Arbeitsmappe lassen sich beliebig
viele Tabellenblätter unterbringen.
Die enorme Bandbreite an Anwendungen, die eine Tabellenkalkulation bietet, kann an dieser
Stelle nur ansatzweise dargestellt werden. Daher wird anschließend lediglich die Auswahl an
Möglichkeiten skizziert, die für die Konzeption des Kompetenztestes im Bereich TKP (vgl.
Abschnitt 9.2) bezogen auf elementare Funktionen von Relevanz ist.
3.3.2 Ausgewählte Einsatzmöglichkeiten einer Tabellenkalkulation
Zur Lösung mathematischer Probleme mit einer Tabellenkalkulation sollte man mit den
Möglichkeiten dieser Software vertraut sein. Die folgende Auswahl basiert auf den
Abb. 34: Tabellenblatt in MS-Excel
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 66
Überlegungen, die zur Konzeption zweier Aufgaben geführt hat, die Teil des Kompetenztestes
sind (vgl. Abschnitt 9.1).
Eingabe/Zellbezüge
Es können Zahlen, Texte, Terme oder Berechnungsformeln (vgl. Dopfer & Reimer, 1999; Vollrath
& Roth, 2012) in diese Zellen über die Eingabezeile im Menü eingegeben werden. Die Terme
können als Variablen die Zellenbezeichnungen enthalten. Das Ergebnis 71 in Zelle B7 (vgl. Abb.
34) entsteht, indem die dort eingetragene Formel =SUMME(B3;B4) die Inhalte der Zellen B3 und
B4 addiert. In der sog. Bearbeitungszeile werden die Zelleinträge angezeigt. Die Einträge in den
Zellen sind interaktiv miteinander verbunden. Wird bspw. der Eintrag in den Zellen B3 und/oder
B4 geändert, wird der Wert der Summe in Zelle B7 angepasst.
Funktionsassistent (Formeln und Funktionen)
Ein TKP stellt eine Vielzahl an Formeln und Funktionen aus den Teilbereichen der Mathematik
zur Verfügung, was einer der größten Vorzüge des Programms ist (Metzger et al., 2007a). So
können u.a. Summen, Produkte, trigonometrische Berechnungen aber auch statistische
Kennwerte, kombinatorische Formeln und logische Verknüpfungen hergestellt werden. Es
können Regressionskurven berechnet oder auch statistische Tests durchgeführt werden, um nur
einen Bruchteil der Möglichkeiten des Funktionsassistenten zu nennen. Neben den
implementierten Funktionen können aber auch beliebige Formeln je nach Anwendungsbezug in
die Bearbeitungsleiste eingegeben werden. Zellen, die Formeln enthalten, beginnen mit einem
Gleichheitszeichen. Sie enthalten neben Termen und Rechenzeichen auch Konstanten oder
Verweise auf Inhalte von anderen Zellen. Mit der Eingabe des Radius, bspw. in die Zelle A4, wird
der Flächeninhalt eines Kreises mit der Formel =PI()*A4^2 in einer anderen Zelle berechnet.
Zellverknüpfungen
Wird ein Wert in einer Zelle verändert, so werden alle Zellen, die mit diesem Eintrag verknüpft
sind, automatisch geändert. In Abb. 34 steht B7 für die Summe der Zellen B3 und B4. Werden die
Werte in den Zellen B3 und /oder B4 geändert, so ändert sich automatisch der Summenwert in
B7.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 67
Kopieren von Zellinhalten und Formeln (Zellbezüge)
Die Spaltennummern werden beim Kopieren nach rechts in eine benachbarte Zelle automatisch
(Grundeinstellung von MS-Excel) um eins erhöht (relativer Zellbezug oder relative Adressierung).
Wird z.B. in die Zelle C3 die Formel =A3*B3^2 eingetragen, so wird beim Kopieren des Inhaltes
der Zelle C3 in die Zelle C4 (copy & paste) automatisch die Formel =A4*B4^2 generiert. Möchte
man einen absoluten Zellbezug bzw. eine absolute Adressierung für den Inhalt der Zelle B3
herstellen, muss die Formel in Zelle C3 vor dem Kopieren mit Dollarzeichen vor der Spalten- und
Zeilenbezeichnung versehen werden und lautet daher =A3*$B$3^2 .
Gestaltung einer Tabelle
Die Gestaltungsmöglichkeiten sind mit denen eines Textverarbeitungsprogramms vergleichbar
(Metzger et al., 2007b). So lassen sich bspw. Rahmen um die Tabelle erstellen und Zellen können
farblich gestaltet werden. Schriftarten und -größen, Textausrichtungen (links, zentriert, rechts),
Layout-Einstellungen (fett, unterstrichen, kursiv) können verändert werden. Die Höhe und Breite
der Zellen kann eingestellt werden, und beliebig viele Zellen können zu einer Zelle verbunden
werden.
Diagrammerstellung
Eine weitere Anwendung eines TKP ist die anschauliche Darstellung einer eingegebenen Tabelle
als Diagramm. „Eine moderne TK beinhaltet immer eine Visualisierungsmöglichkeit von Daten in
Form verschiedener Diagrammarten. Diese Eigenschaft ermöglicht es, […] außer der Darstellung
von statistischen Daten, die TK als Funktionenplotter zu nutzen, falls vorher eine ausreichend
feine Wertetabelle erstellt wurde.“ (Rieß, 2018, S. 127). Über den Diagramm-Assistenten lässt
sich eine adäquate Darstellung (Säulendiagramm, Balkendiagramm, Liniendiagramm,
Flächendiagramm, Punktdiagramm oder Kreisdiagramm) in nur wenigen Schritten realisieren
(Metzger et al., 2007a). Am Beispiel einer linearen Funktion mit der Gleichung für
den ganzzahligen Definitionsbereich soll dies im Weiteren für ein Punkt (X,Y)-
Diagramm illustriert werden (vgl. Abb. 35).
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 68
Abb. 35: Tabellenblatt mit Wertetabelle und Graph
Zunächst müssen Daten (Punkte, Wertepaare) in eine Wertetabelle eingegeben werden. Als
erstes werden die Werte -6 und -5 in die Zellen B5 und B6 eingegeben. Mit der Auto-Fill-Funktion
können nun die -Werte (hier: von -4 bis 6) in die Zellen B7 bis B17 geschrieben werden. Für die
Zelle C5 wird mit dem Eintrag in der Bearbeitungszeile (=2*B5-3) der Funktionswert
für den -Wert berechnet. Durch Kopieren der Formel in Zelle C5 in die Zellen C6 bis C17
werden die übrigen Funktionswerte automatisch berechnet. Nach Auswahl des Datenbereichs
durch Markierung der betreffenden Zellen (B5 bis B17 und C5 bis C17) kann die funktionale
Zuordnung über den Diagramm-Assistenten in einem Diagramm des Typs Punkt (X,Y) – Punkte
mit geraden Linien dargestellt werden. Mit weiteren Formatierungsoptionen kann das Diagramm
(z.B. Titel, Achsentitel, Diagrammfläche, Gitternetzlinien, Legenden) auf die jeweiligen
Bedürfnisse angepasst werden (Metzger et al., 2007b). Mit der Einstellungsoption Formel im
Diagramm anzeigen lässt sich die Funktionsgleichung an den Graphen der Funktion
schreiben.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 69
3.4 GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich Funktionen
Für das Lehren und Lernen des Funktionsbegriffs und das damit verbundene funktionale Denken
können digitale Mathematikwerkzeuge eine signifikante Unterstützung bieten. Bereits in den
Unterabschnitten 2.3.2 und 2.3.3 wurde die herausragende Bedeutung der
Repräsentationsformen und deren Interdependenz beim Verständnisaufbau erläutert. Die
Darstellungen Wertetabelle, Funktionsgraph und Funktionsgleichung/Funktionsterm können mit
entsprechenden DMW realisiert werden. Durch die Vernetzung untereinander können die
Auswirkungen einer Darstellungsänderung unmittelbar bei den beiden anderen
Repräsentationen abgelesen werden (vgl. Barzel et al., 2021a). Für die beiden Werkzeuge
GeoGebra und Tabellenkalkulation sollen die Möglichkeiten, die für Lehren und Lernen des
Funktionsbegriffs zuträglich sind, nachfolgend skizziert werden.
3.4.1 GeoGebra und Funktionskonzept
Obwohl GeoGebra als DGS vornehmlich bei geometrischen Konstruktionen zum Einsatz kommt,
ist in dieser Software auch ein Funktionenplotter (Grafik-Fenster) und eine Tabellenfunktion
integriert.
Durch diese digitalen Unterstützungen ist es für Lernende möglich Funktionen zu analysieren.
Lichti und Roth (2019) sprechen in diesem Zusammenhang von Computer-Simulationen, die zur
Förderung des funktionalen Denkens eingesetzt werden können. Mit GeoGebra können
Abb. 36: Parallele Anzeige der Repräsentationen Term, Graph und Wertetabelle
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 70
Funktionsgleichungen im Algebra-Fenster eingegeben werden, während deren Graphen
automatisch parallel im Grafik-Fenster angezeigt werden (vgl. Abb. 36). Zusätzlich kann eine
Wertetabelle angezeigt werden, so dass die Repräsentationsformen Term, Graph und
Wertetabelle parallel auf dem Bildschirm zu sehen sind. Anhand der Daten im Fenster Tabelle
kann eine Wertetabelle im Grafik-Fenster erstellt werden, so dass das Fenster Tabelle optional
ausgeblendet werden könnte. Die Schieberegler m und b sind mit allen Repräsentationsfenstern
verknüpft, so dass sich durch deren Betätigung sowohl die Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster, die Punkte A bis K und der Graph selbst, als auch die beiden Tabellen dynamisch
verändern. Diese Window-Shuttle-Technik (Heugl et al., 1996) oder auch von Kaput (1992) als
Hot-Link bezeichnet, bietet Lernenden die Möglichkeit – wie im Beispiel gezeigt - die Bedeutung
der Steigung und des y-Achsenabschnitts selbst zu entdecken. Die Playfunktion (Play-Button)
bei einem definierten Schieberegler ermöglicht es in einem vordefinierten Intervall (Grenzen und
Zahlenraum sind beliebig veränderbar) den Einfluss der Parameter automatisch und dynamisch
zu verfolgen. In Anlehnung an das Konzept Edutainment (vgl. Reinhardt, 2005) werden somit die
Aspekte Bildung (Education) und Unterhaltung (Entertainment) miteinander verbunden. Dieses
Konzept sieht vor, spielerische und unterhaltsame Methoden zu verknüpfen, um ein
erfolgreiches Lernen über eine Steigerung von Interesse, Motivation und Freude bei den
Lernenden hervorzurufen. Beim Einsatz mehrerer Schieberegler, wie z.B. bei der Untersuchung
der Wirkung der Parameter bei der allgemeinen Sinusfunktion auf
den Verlauf des Graphen, ist es ratsam genau einen der vier Schieberegler zu verändern, da sonst
die Veränderungen nicht sinnvoll erfasst werden können.
Die Möglichkeit der Dynamisierung eines
Funktionsgraphen mit Schiebereglern ist ein
elementarer Baustein „[…] für das Erkunden von
Eigenschaften bestimmter Funktionen […]“ (Storz
et al., 2022, S.238). In Abbildung 37 wird
exemplarisch gezeigt wie man den Graphen der
Funktion mit einem Schieberegler für
die Basis manipulieren kann, um den Verlauf des
Graphen und dessen Eigenschaften in
Abhängigkeit der Basis zu entdecken.
Abb. 37: Einfluss des Parameters b auf den
Graphen von f
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 71
3.4.2 Tabellenkalkulationsprogramme und Funktionskonzept
Tabellenkalkulationsprogramme haben das Potential das Begriffsverständnis im
Mathematikunterricht nachhaltig zu begünstigen. Dies gilt u.a. für den Zuordnungs- und
Funktionsbegriff. Die Grundideen des funktionalen Denkens (z.B. Vollrath, 1989; Malle, 2000)
lassen sich durch konkrete Umsetzungen mit der Software realisieren. Exemplarisch sollen an
dieser Stelle die konkreten Handlungen von der Wertetabelle zum Graphen dargestellt werden
(vgl. Abb. 38).
Abb. 38: Wertetabelle, Term und Graph einer quadratischen Funktion
Zunächst wird eine Wertetabelle zur Funktion
mit Zellverknüpfungen (z.B.
Eintrag in Zelle C3: =0,25*B3^2+2*B3-3) und relativen Zellbezügen (C3 bis C23) erstellt. Bereits
das Erstellen einer Wertetabelle kann dabei helfen den Zuordnungs- und den Paarmengenaspekt
(z.B. Greefrath et al., 2016) besser zu verstehen. Die Tatsache, dass der Eintrag in Zelle C3
(abhängige Variable) vom Eintrag in Zelle B3 (unabhängige Variable) abhängt, verstärkt diese
Annahme noch. Das Berechnen der Funktionswerte wird von der Software übernommen. Mit
dem Diagramm-Assistenten (vgl. 2.2.4 Diagrammerstellung) lässt sich nun der zugehörige Graph
in das Tabellenblatt einfügen. Die parallele Verfügbarkeit der symbolischen, numerischen und
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 72
graphischen Darstellung kann den Transfer zwischen eben diesen erleichtern (Weigand & vom
Hofe, 2006). Diese dynamische und interaktive Verfügbarkeit der Repräsentationsformen in
einem Tabellenblatt bietet weitere Möglichkeiten das funktionale Denken zu unterstützen. So
kann in einem bestehenden Tabellenblatt (vgl. Abb. 38) der Funktionsterm ausgetauscht werden,
so dass sich Wertetabelle und Graph dynamisch anpassen. Innerhalb einer Funktionsklasse
können über das numerische und graphische Experimentieren Eigenschaften und Erkenntnisse
über die Funktion als Objekt (z.B. Greefrath et al., 2016) gewonnen werden. Ebenso kann der
Kovariationsvorstellung Rechnung getragen werden. Veränderte Zelleinträge der unabhängigen
Variablen, die eine spontane Veränderung der abhängigen Größe nach sich zieht, führen zu
Erkenntnissen zum Änderungsverhalten von Funktionen.
Die Relevanz der dynamischen Verfügbarkeit von Daten innerhalb eines Tabellenblattes zeigt das
Beispiel Tilgungsplan (vgl. Anhang 13.10 – Aufgabe ExpoFu3). Dabei wird ein Tabellenblatt
erstellt, welches mehrere Arbeitsschritte zusammenfasst. Dieses modulare Arbeiten (Weigand &
vom Hofe, 2006) entlastet Lernende vom mechanischen Wiederholen gleicher und aufwändiger
Berechnungen. Durch Eingabe der individuell veränderbaren Parameter Darlehen, Monatsrate
und Zinssatz können die relevanten Größen Annuität, Zinsen, Tilgung und Restschuld zum
Jahresende bei gleichzeitiger Flexibilität der Laufzeit berechnet werden. Da die Zellen mit
Fachwissen von Lernenden selbständig befüllt werden, kann davon ausgegangen werden, dass
der Lerneffekt höher ist als im Vergleich zu einer Software, bei der man durch eine vorgegebene
Reihenfolge von Klicks und Eingaben zum Ergebnis gelangt.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 73
3.5 Möglichkeiten und Grenzen von Digitalen Mathematikwerkzeugen
Wie in Abschnitt 3.1 bereits erläutert, sind bis heute zahlreiche Programme und Produkte für den
technologieunterstützenden Mathematikunterricht hinzugekommen. Es ist davon auszugehen,
dass das Angebot auch zukünftig weiter steigen wird. Mit diesem reichhaltigen Angebot an
digitalen Mathematikwerkzeugen und den Auswirkungen und Anforderungen der Corona-
Pandemie (Homeschooling) als Katalysator ist in den Schulen mehr und mehr eine positive
Entwicklung der entsprechenden Voraussetzungen im Bereich digitaler Infrastruktur zu
verzeichnen. „Der Einsatz digitaler Medien und Werkzeuge findet im Mathematikunterricht seit
vielen Jahren verstärkt statt (Dilling & Pielsticker, 2020, S. 7)“, nicht zuletzt aufgrund der
voranschreitenden digitalen Transformation vieler Lebensbereiche und den verbindlichen
Kompetenzerwartungen der KMK – speziell für den Bildungsbereich.
Mit den Möglichkeiten der digitalen Mathematikwerkzeuge ändern sich Unterrichtskonzepte
und Zugänge zu den Themen und Inhalten der curricularen Vorgaben, nicht aber die Ziele und
Inhalte des Mathematikunterrichts. Sie sollten daher nicht als Mittel zum Zweck (vgl. Vollrath &
Roth, 2012) genutzt werden, sondern sind ein Hilfsmittel, um „[…] die Mathematik besser zu
verstehen und angemessen zu erfahren.“ (Heintz et al., 2017, S. 12) Daraus entstehen neue
Chancen, aber auch Herausforderungen und Risiken für den Unterricht (Dilling et al., 2020, S. 8).
Weigand und Weth (2002, S. 27) sprechen in diesem Zusammenhang „[…] vom Beschreiten neuer
Wege, das zum besseren oder anderen Erreichen „alter“ Ziele und zum besseren Verständnis
„alter“ Inhalte führen soll.“ Digitale Mathematikwerkzeuge sollten laut Heintz et al. (2017) aber
nicht in einem Schwarz-Weiß-Muster gesehen werden. Weder machen Computer per se schlau
noch sind Taschenrechner schuld am Verlust von händischen Rechenfähigkeiten. Vielmehr sollte
überlegt werden, wie Werkzeuge im Mathematikunterricht von Lehrkräften und von Schülern
individuell eingesetzt werden können, um einen inhaltlichen und didaktischen Mehrwert zu
erzeugen. Vollrath und Roth (2012) unterscheiden dabei zwei Ansätze. Computerwerkzeuge in
der Hand der Lehrkraft und in der Hand der Schüler. Lehrkräfte sollten sich den Einsatz der
Werkzeuge beim Mathematiktreiben zu eigen machen, um ihren Unterrichtsstil – auch unter
Einsatz allgemeiner Medien – anzupassen. Dabei wird empfohlen, auch nach Absprache mit der
jeweiligen Fachkollegenkonferenz, eine überschaubare Anzahl von DMW im Unterricht so früh
wie möglich zu integrieren. Nur so kann ein systematischer Aufbau von Werkzeugkompetenzen
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 74
aufgebaut werden, so Vollrath und Roth. Bezogen auf die Schüler schrieben Vollrath und Roth
(2012) folgendes:
„Schülerinnen und Schüler sollen langfristig lernen, ihr Computerwerkzeug selbständig
wirklich als Werkzeug zu nutzen, indem sie es als Kontrollinstanz, als „Denkzeug“ und als
Kommunikationsmittel verwenden, den Einsatz selbständig planen, es durch geeignete
Interaktionen so umgestalten, dass es für den aktuellen Zweck zum Spezialwerkzeug wird und
vieles mehr. Dies ist ganz offensichtlich ein Fernziel, das manche Schülerin und mancher
Schüler nie erreichen werden.“ (Vollrath & Roth, 2012, S.170)
Um diesen langfristigen Weg erfolgreich zu bestreiten und die individuellen Ziele zu erreichen,
kommt der Lehrkraft eine besondere Verantwortung zu, wie u.a. John Hattie (2009) in seiner
richtungsweisenden Metastudie Visible Learning bereits herausfand. Unter über 100 möglichen
Einflussfaktoren für das Gelingen von Lernen ist die Rolle der Lehrkraft mit allen Facetten des
Lehrerprofessionswissens (vgl. Kapitel 4) von zentraler Bedeutung. Auch Pallack (2018) betont,
dass die Schul- und Unterrichtsentwicklung nur mit den Lehrkräften gemeinsam gelingen kann.
Für die Facette Integration digitaler Mathematikwerkzeuge in den Unterricht herrscht nach
Drijvers et al. (2016) im Bereich mathematik-didaktischer Forschung allgemeiner Konsens
darüber, dass Lehrkräfte über spezielle Kompetenzen und Fähigkeiten verfügen müssen. In den
nachfolgenden Unterabschnitten wird in 3.5.1 der didaktische Mehrwert durch Einsatz von
digitalen Mathematikwerkzeugen beleuchtet, während anschließend die Vorteile von digitalen
Mathematikwerkzeugen (3.5.2) und die Nachteile derer (3.5.3) unter besonderer
Berücksichtigung des Funktionsaspekts dargelegt werden.
3.5.1 Didaktischer Mehrwert von digitalen Mathematikwerkzeugen
Mit der Verfügbarkeit von digitalen Mathematikwerkzeugen ist unweigerlich die Frage
verbunden inwiefern sich der Mathematikunterricht verändern wird oder sogar muss, um die
Möglichkeiten der digitalen Mathematikwerkzeuge zu nutzen. Baumgartner und Herber (2013)
setzten sich kritisch mit den Begriffen didaktisches Potential und didaktischer Mehrwert im
Rahmen der Nutzung interaktiver Medien im Allgemeinen auseinander. Nach deren Einschätzung
entfaltet sich ein didaktischer Mehrwert erst, wenn das didaktische Potential von digitalen
Medien genutzt wird, um einen Lerneffekt zu erzielen. Bestimmte Voraussetzungen und
Gelingensbedingungen unter Berücksichtigung der Rolle von Pädagogen bei der Erzielung des
didaktischen Mehrwerts werden von den Autoren wie folgt beschrieben:
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 75
Der didaktische Mehrwert entsteht aber erst dann, wenn sich aus der Interaktion mit dem
Medium ein Lerneffekt bei den Lernenden ergibt, der dem gegenüber einer Situation ohne
Nutzung dieser Medien überlegen ist. Dabei muss u.a. auch berücksichtigt werden, dass der
Einsatz neuer Technologien generell das Unterrichtsgeschehen komplexer und damit
fehleranfälliger und weniger transparent macht. Es treten zusätzliche Komponenten in den
Lernprozess ein, die gelernt, beherrscht und orchestriert bzw. integriert werden müssen. Dem
Medium selbst kommt bei der Generierung des didaktischen Mehrwerts nur eine vermittelnde
Rolle zu: Das Medium besitzt Funktionen, die von den Lernenden genutzt werden können, um
den didaktischen Mehrwert zu generieren. Diese Funktionen besitzen nicht von sich aus eine
didaktische Qualität [...], sie können sich allerdings zu einer Funktion mit didaktischen
Qualitäten entwickeln, indem sie in einem didaktischen Setting Anwendung finden und den
Lernerfolg fördern. [...]PädagogInnen kommen bei der Erzielung des didaktischen Mehrwerts
zwei wesentliche Rollen zu:1. In der Vorbereitung (didaktischen Planung) entwickeln sie eine
Konzeption, die bestimmte technische Potenziale der interaktiven Medien in ein didaktisches
Setting integrieren. Sie achten dabei insbesondere auf Mglichkeiten, die Qualität des
Lernprozesses zu erhhen, wie es ohne interaktive Medien nicht, oder nicht in der gleichen
effektiven Weise, realisiert werden hätte knnen. 2. In der Durchführung (didaktischen
Gestaltung) setzen sie ihre Konzeption [...] um. Sie brauchen dazu nicht nur entsprechend gute
IKT-Kenntnisse im Umgang mit den interaktiven Medien, sondern auch ein hohes Maß an
personaler Kompetenz, um die komplexen Situationen in ihrem Sinne gestalten und steuern
zu können (Baumgartner & Herber, 2013, S. 5-6)
Ein didaktischer Mehrwert wird im Sinne Baumgartners und Herbers erst generiert, wenn eine
Situation mit Medium einer Situation ohne überlegen ist. Dem Medium selbst kommt dabei
lediglich eine vermittelnde Rolle zu, muss aber von Lernenden und Pädagogen in der Bedienung
beherrscht werden. Den Pädagogen wird eine zentrale Verantwortung zugeschrieben, da erst,
wenn die Nutzung eines Mediums in einem didaktisch sinnvoll geplanten und durchgeführten
Setting mit Kenntnissen der Informations- und Kommunikationstechnologie (IKT) stattfindet,
wird es zu einem Lerneffekt und folglich zu einem didaktischen Mehrwert führen. Das Modell
nach Baumgartner & Herber (2013) lässt sich auf den Mathematikunterricht übertragen, mit dem
speziellen Fokus auf den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen an Stelle eines
interaktiven Mediums (vgl. Abb. 39).
Um den Lerneffekt Mathematik besser verstehen zu erzielen bzw. einen didaktischen Mehrwert
zu erzeugen, ist eine methodisch-didaktisch sinnvolle Planung und Durchführung entsprechender
Unterrichtsformen durch die Lehrkraft zwingend notwendig. Das didaktische Potential eines
DMW kann erst entfaltet werden, wenn die Interdependenz zwischen Schülern/Lernenden,
DMW und Didaktik/Methodik gewährleistet ist. Dazu müssen Lernende wie Lehrkräfte
kompetent mit den entsprechenden Werkzeugen umgehen können. Eine ausführliche
Erläuterung des Begriffs Werkzeugkompetenzen erfolgt in Abschnitt 4.6.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 76
Abb. 39: Didaktisches Potential digitaler Mathematikwerkzeuge
Quelle: Eigene Darstellung
In zahlreichen theoretischen und empirischen Studien wurde untersucht, welchen didaktischen
Mehrwert der Einsatz eines Computers oder eines digitalen Endgerätes mit entsprechender
Software (z.B. DGS, Tabellenkalkulation, CAS) in einem adäquaten methodisch-didaktischen
Setting leisten kann (z.B. Barzel, 2006; Drijvers, 2004; Heugl et al., 1996; Weigand, 1999). Ohne
Anspruch auf Vollständigkeit sollen einige Belege nachfolgend im Unterabschnitt 3.5.2
dargestellt werden. Unweigerlich verbunden mit den Vorzügen der DMW sind auch deren
Nachteile, die es beim Einsatz von DMW im MU zu berücksichtigen gilt. Diese werden
anschließend in Unterabschnitt 3.5.3 erläutert.
3.5.2 Vorteile von digitalen Mathematikwerkzeugen
Visualisierungsfunktion
Der amerikanische Kognitions- und Entwicklungspsychologe JÉRÔME BRUNER hat bereits 1974 in
seinem E-I-S-Modell (enaktiv-ikonisch-symbolisch) auf die Wichtigkeit von verschiedenen und
interdependenten Darstellungsweisen bzw. Repräsentationsmodi im Zusammenhang mit Wissen
und Können hingewiesen. Neben der enaktiven und der symbolischen Ebene ist die ikonische
Form von großer Bedeutung, da abstrakte mathematische Objekte und Denkweisen visualisiert
werden können. Hole hat 1998 das Prinzip von BRUNER mit dem Computer als Hilfsmittel zum C-
E-I-S-Modell (Hole, 1998) erweitert. Dabei ist der Computer jedoch keine originäre
Repräsentationsform im Sinne BRUNERS, sondern ein Medium oder ein Werkzeug, dass neue
Möglichkeiten eröffnet. Mit Hilfe von Darstellungen lassen sich Lösungsideen und -wege finden.
Weigand und Weth (2002) sprechen vom Prinzip der adäquaten Visualisierung, indem sie
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 77
betonen, dass „[…] Darstellungen von den Lernenden problemadäquat einzusetzen […]“
(Weigand & Weth, 2002, S.36) sind.
„Die Möglichkeit der grafischen Repräsentation abstrakter Objekte ist für die
Kompetenzentwicklung im Allgemeinen […] von großer Bedeutung“, argumentiert Heugl (2014,
S.10).
Parallele und dynamische Anzeige von Repräsentationen
Neben der schnellen Verfügbarkeit von Funktionsgraphen oder Wertetabellen ist die parallele
und dynamische Anzeige von Darstellungsformen auf dem Bildschirm ebenso in einfacher Weise
möglich. Der Lernende kann somit zwischen Darstellungsmöglichkeiten wählen und
Wechselbeziehungen zwischen Graph, Wertetabelle und Funktionsgleichung interaktiv
untersuchen. Heugl und Kollegen (1996) bezeichnen diesen flexiblen Wechsel von
Repräsentationen innerhalb eines DMW als Window-Shuttle-Prinzip (Heugl et al., 1996, S.196).
Vergleichbar mit einem Shuttle zwischen zwei Orten kann hier zwischen zwei Fenstern mit
angezeigten Repräsentationen gependelt werden. Kaput (1992) beschreibt mit dem Begriff Hot-
Link (Kaput, 1992, S. 530) das gleiche Phänomen. In einer Studie von Rolfes (2018) konnte gezeigt
werden, dass dynamische Repräsentationen, die auf der Grundlage digitaler
Mathematikwerkzeuge erzeugt wurden, für das Lernen funktionalen Denkens im Sinne Vollraths
(1989) effizienter sind als statische Repräsentationen. Die Software reagiert unmittelbar auf die
Nutzereingaben, so dass Veränderungen der einen Repräsentationsform automatisch
Veränderungen einer oder sogar beider anderen Formen nach sich ziehen. Wird bspw. ein
Funktionsterm modifiziert, so ändert sich die graphische Darstellung der Funktion und eine zuvor
verknüpfte Wertetabelle mit. „Die Auswirkungen des eigenen Handelns können so direkt erlebt
werden, funktionales Denken wird durchgehend gestärkt, erkundendes Arbeiten unterstützt.“
(Barzel, Hußmann & Leuders, 2005, S.39)
Reduktion der Arbeitsgedächtnisbelastung
Das Potential der schnellen Verfügbarkeit von statischen und dynamischen Repräsentationen mit
digitalen Mathematikwerkzeugen zieht einen weiteren Vorteil nach sich. Die Belastung des
Arbeitsgedächtnis wird reduziert (vgl. Thurm, 2020). Aus der Cognitive-Load-Theorie, die von
John Sweller in den 1980er Jahren entwickelt wurde, ist bekannt, dass das Arbeitsgedächtnis eine
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 78
natürlich begrenzte Kapazität hat und dass der Lernprozess effektiver ist, wenn die kognitive
Belastung z.B. bei Problemlöseprozessen im Mathematikunterricht berücksichtigt wird. Wenn
das zeitintensive und ggfs. ungenaue Zeichnen von Graphen oder das Erstellen einer
Wertetabelle nicht mehr händisch durchgeführt werden müssen, „[…] werden kognitive
Ressourcen für die Beobachtung der Zusammenhänge zwischen den Repräsentationsformen
frei.“ (Thurm, 2020, S. 21)
Mit Zunahme der Komplexität von Problemstellungen können digitale Mathematikwerkzeuge
das Denken durch die freiwerdenden Ressourcen unterstützen. Dörfler (1991) bezeichnet den
Computer als Denkzeug, der kognitiv unterstützt und das Gedächtnis entlastet. Durch das
Delegieren gewisser Prozesse wie bspw. systematisches Probieren, Fallunterscheidungen,
Parametervariationen bei funktionalen Zusammenhängen kann der Fokus beim Problemlösen
auf die Aspekte Planung, Interpretation, Analyse und Argumentation gelegt werden (Vollrath &
Roth, 2012). Die Bedienung der entsprechenden Werkzeuge vorausgesetzt, kann der Lernende
mit dem digitalen Mathematikwerkzeug interagieren, so dass es zu einem verteilten Denken
kommen kann (Vollrath & Roth, 2012).
Förderung von Reflexions- und Transferprozessen
Durch das Erstellen von eigenen digitalen Lernprodukten, wie bspw. GeoGebra-Applets oder
Tabellenblättern, können Lernende oder Lehramtsstudierende mathematische Begriffe
vertiefen, Sachverhalte und Verfahren schriftlich oder graphisch darstellen (vgl. Pinkernell et al.,
2022). „Dabei werden vielfaltige Denk- und Reflexionsprozesse initiiert, Wissen vertieft und der
Fachsprachengebrauch wird geschult.“ (Pinkernell et al., 2022, S. 392) Durch den Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge erlangen Lernende vielfältige Zugänge zu mathematischen Inhalten, die
auf andere Lernprozesse transferiert werden können. Bezogen auf das funktionale Denken
konnten bspw. Ruchniewicz und Göbel (2019) in ihren Studien mit Sekundarstufenschülern
entsprechende Effekte nachweisen, dass digitale Medien und Werkzeuge Reflexionsprozesse
fördern. So konnte in einer Studie zum formativen Selbst-Assessment nachgewiesen werden,
dass multiple und interaktive Darstellungen die Schüler zur Reflexion von deren Lösungen
anregen, so dass die Kovariationsvorstellung unterstützt wurde. Ebenso konnte in einer zweiten
Studie zum Einfluss der Parameter von quadratischen Funktionen gezeigt werden, dass
dynamische funktionale Repräsentationen im Vergleich zu statischen einen Mehrwert in der Art
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 79
generieren, dass Verständnis- und Denkprozesse im Bereich des funktionalen Denkens gefördert
wurden (vgl. Ruchniewicz & Göbel, 2019).
Zeitersparnis durch schnelle Verfügbarkeit von Darstellungen
Der Einsatz von Technologie kann bestimmte Rechenverfahren, Algorithmen und „[…]
wiederkehrende Mechanismen abkürzen […]“ (Thurm, 2017, S. 5), so dass Unterrichtszeit
eingespart werden kann. Die händische Erstellung von Repräsentationen wie bspw.
Funktionsgraphen oder Wertetabellen ist sehr zeitaufwändig. „Die Vorteile digitaler Werkzeuge
entfalten sich zunächst vor allem aufgrund der Möglichkeit, einfach und schnell verschiedene
Repräsentationsformen erstellen und bearbeiten zu können.“ (Thurm, 2020, S.13) Mit GeoGebra
lässt sich mit ein paar wenigen Klicks und Eingaben schnell ein Graph erstellen bei gleichzeitig
höherer Genauigkeit als bei händischer Ausführung. Ebenso kann mit einer Tabellenkalkulation
relativ schnell eine Wertetabelle zu einem gegebenen funktionalen Zusammenhang erzeugt
werden. Hierzu ist es allerdings erforderlich, dass Schüler so früh wie möglich an die Verwendung
von digitalen Mathematikwerkzeugen herangeführt werden. Dieser Vorteil kann sich in erster
Linie nur ergeben, wenn Lehrkräfte regelmäßig digitale Mathematikwerkzeuge in ihren
Unterricht integrieren. Dazu ist zunächst eine Einführungsphase mit Erläuterungen der neuen
Technologie notwendig (vgl. Thurm, 2017). Je früher mit der Einführung eines Werkzeugs mit sich
anschließenden, regelmäßigen Lerngelegenheiten begonnen wird, desto eher wird die effektive
Bedienung eines Werkzeugs zur Gewohnheit. Tendenziell stellt sich dieser mögliche Vorteil erst
im Lauf einer Bildungskarriere ein, so dass eher in den höheren Klassenstufen vom Einsatz
digitaler Mathematikwerkzeuge profitiert werden kann. Dieser mögliche Vorteil der Zeiterparnis
steht in direkter Korrelation zum Zeitaufwand (vgl. Unterabschnitt 3.5.3), wenn die zuvor
beschriebenen Notwendigkeiten nicht stringent verfolgt werden.
Entdeckendes Lernen/Experimentierfunktion
Mit Technologieeinsatz entsteht die Möglichkeit, dass Schüler sich mathematische Sachverhalte
und Begriffe selbst erarbeiten können. Das eigenständige Forschen in einer
Experimentierumgebung (vgl. Vollrath & Roth, 2012) steht im Mittelpunkt. Vermutungen können
sofort kontrolliert bzw. auch korrigiert werden. Diesen didaktischen Ansatz findet man in der
Literatur unter verschiedenen Begriffen. Barzel et al. (2005) sprechen von einem
Beispielgenerator, der es erlaubt aufgrund der Vielzahl an Beispielen Vermutungen aufzustellen,
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 80
Begründungen zu liefern oder Probleme experimentell oder explorierend zu lösen bzw. Muster
und Strukturen zu erkennen. Für Heugl (2014, S.11) ist der Vorgang des entdeckenden Lernens
ein Prozess, der in drei Phasen untergliedert ist:
(1) Die experimentelle, heuristische Phase: Vermutungen werden durch
Experimentieren gefunden.
(2) Die exaktifizierende Phase: Erkenntnisse aus der heuristischen Phase werden auf
eine gesicherte mathematische Basis gestellt.
(3) Die Anwendungsphase: Gesicherte Vermutungen werden zum Lösen von
Problemen genutzt.
Im Bereich elementarer Funktionen ist das entdeckende Lernen prädestiniert dafür eine
Vorstellung vom Wesen einer Funktion als Objekt zu erlangen. Durch die stetige bzw. quasistetige
Veränderung der Parameter (vgl. Vollrath & Roth, 2012) einer allgemeinen Funktionsgleichung
mittels Schieberegler mit GeoGebra können funktionale Zusammenhänge unmittelbar erfahrbar
gemacht werden. Charakteristische Eigenschaften (u.a. Lage des Graphen, besondere Punkte,
Monotonieverhalten, Symmetrie, Periodizität) der verschiedenen Funktionstypen können
ergründet und systematisiert werden (Barzel et al., 2005).
Kontrollfunktion
Die Kontrolle eines Ergebnisses nach einer durchgeführten Rechnung ist eine bedeutsame
Tätigkeit im Unterricht. Digitale Mathematikwerkzeuge können dabei unterstützend helfen,
indem beispielsweise die numerische Berechnung von Schnittpunkten zweier Funktionsgraphen
durch eine grafische Darstellung verifiziert wird. Diese Möglichkeit der Kontrolle eines händisch
erreichten Ergebnisses setzt allerdings ein adäquates Maß an Kompetenz im Umgang mit den
entsprechenden DMW voraus, so dass sogar von Kontrollkompetenz (Heugl, 2014) gesprochen
werden kann.
Auslagerungsprinzip/Entlastung von Kalkül
Komplexe, langwierige oder sich wiederholende Rechnungen und Algorithmen (z.B. das Lösen
eines (5X5)-Gleichungssystems) erfordern viel Zeit und sind fehleranfällig in ihrer Ausführung.
Auf dem Hintergrund des Einsatzes von digitalen Medien und digitalen Mathematikwerkzeugen
scheint das zeitintensive formale Üben von händischen Rechenverfahren wenig effektiv zu sein
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 81
(Weigand & Weth, 2002). DMW können hier vor allem zu einer Entlastung des Rechnens,
besonders mit größeren Zahlen führen (Reiss, 2020).
Ebenso können mathematische Probleme mit vielfältigen Realdaten mit weniger Aufwand
modelliert werden, als wenn dies händisch passierte. Die Entlastung von händischem,
routinemäßigem Kalkül (vgl. Ruchniewicz & Göbel, 2019) durch ein DMW bietet somit den
Freiraum für tiefergreifende Aufgabenstellungen.
Dies soll nicht heißen, dass das händische Rechnen komplett aus dem Unterrichtsraum verbannt
werden soll; es ist vielmehr Aufgabe der Lehrkraft und auch der Schüler, kompetent zu
entscheiden, welche Vorgehensweise (händisch oder computerunterstützt) adäquat ist. Diese
Kalkülkompetenz wird nach Hischer (2005) folgendermaßen definiert: „Kalkülkompetenz ist die
(noch zu bewertende) Fähigkeit eines Individuums, einen gegebenen Kalkül in konkreten
Situationen zielgerichtet anwenden zu können.“ (Hischer, 2005, S.161)
Diese Definition zeigt, dass Kalkülkompetenz über die Fähigkeit des händischen Rechnens
hinausgeht. Sie impliziert, dass jemand kompetent ist - Grundkompetenzen im händischen
Rechnen vorausgesetzt – wenn erkannt wird, dass komplexere Rechnungen, „[…] die händisch
nicht oder nur schwer machbar sind […] (Heintz et al., 2017, S.30) auf ein geeignetes DMW
ausgelagert werden sollten. Bestimmte Prozeduren oder Kalküle im Mathematikunterricht
müssen dann eben nicht mehr händisch durchgeführt werden (Heugl, 2014). Beim Einsatz der
Technologie werden somit Freiräume im Mathematikunterricht für andere Handlungen wie
Planung von Rechenabläufen, Argumentieren, Problemlösen, Interpretieren oder Modellieren
geschaffen (z.B. Barzel et al., 2005; Fey, 1989) und das Verständnis für Prozeduren und die
Auswahl des richtigen Verfahrens geschärft. „Der Schüler löst sich von seiner bisherigen Rolle als
Rechner und erfährt die Beförderung zum Anweiser und Planer von Rechnungen“ (Weth, 1993,
S. 108), formuliert es Weth treffenderweise.
Modellierungsfunktion
Mit den digitalen Mathematikwerkzeugen wächst auch die Vielfalt der mathematischen
Funktionen und Modelle, die mit ihnen realisiert und berechnet werden können (z.B. Borromeo
Ferri et al., 2013; Heugl, 2014). Dies sind einerseits Anwendungen, die aus den curricular
bestimmten mathematischen Gebieten heraus entstehen, aber auch andererseits solche wie
bspw. rekursive Berechnungsmodelle oder komplexe Differentialgleichungssysteme aus anderen
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 82
naturwissenschaftlichen Teilgebieten, die händisch nur sehr aufwändig zu leisten sind. Durch die
digitalen Mathematikwerkzeuge werden komplexe und praxisnahe Modellierungsaktivitäten mit
der Verarbeitung realistischer Daten für Schüler erst umsetzbar (Vollrath & Roth, 2012;
Borromeo Ferri et al., 2013). Die Übersetzung realer Modelle in mathematische Modelle können
auf diese Weise erprobt, optimiert oder verworfen werden. Bei der Bearbeitung von komplexen
Modellierungsproblemen können die bereits erwähnten sinnvollen Einsatzmöglichkeiten wie
Experimentieren und Simulieren, Berechnung von kalküllastigen Ergebnissen, Visualisieren und
Unterstützung bei Kontrollprozessen angewendet werden (vgl. Borromeo Ferri et al., 2013). Bei
der aufwändigen Berechnung bspw. von diskreten dynamischen oder rekursiven Prozessen bzw.
bei Wachstumsprozessen eignet sich in erster Linie eine Tabellenkalkulation als didaktisches
Werkzeug (vgl. Ableitinger, 2010). Besonders bei rekursiven Berechnungen hat die
Kommunikation der Zellen untereinander einen enormen Vorteil.
3.5.3 Nachteile von digitalen Mathematikwerkzeugen
Außer den zuvor in Unterabschnitt 3.5.2 beschriebenen Vorteilen beim Einsatz von digitalen
Mathematikwerkzeugen zum Lernen und zum Anwenden von Mathematik im Unterricht, gibt es
auch offensichtliche Nachteile und Gefahren, die es bei Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen zu
berücksichtigen gilt. Pinkernell und Kollegen (2022) betonen aber, dass man diesen Risiken und
Hürden, wie sie es nennen, bewusst begegnen sollte, um sie vermeiden zu können. Nachfolgend
wird eine Auswahl einiger negativer Aspekte des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen
erläutert:
Gefahr für händische Rechenverfahren
Durch den Einsatz von DMW im Mathematikunterricht können viele operative Rechenverfahren
wie beispielsweise das Lösen von Gleichungssystemen mit dem GAUß-Algorithmus an eine
Software delegiert werden. Auch händische Grundfertigkeiten wie das Zeichnen von Graphen
können problemlos an einen Funktionenplotter delegiert werden. Hieraus resultiert jedoch die
Sorge, dass typische mathematische Routinen „[…] durch einen übermäßigen Einsatz digitaler
Werkzeuge verloren gehen […]“ (Ruchniewicz & Göbel, 2019, S. 252), oder weniger häufig von
den Schülern ausgeführt werden. Greefrath und Kollegen (2024) bezeichnen diesen Umstand als
„Verlust hilfsmittelfreier Fertigkeiten“ (Greefrath et al., 2024, S. 16), und sehen darüber hinaus
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 83
zusätzlich die Gefahr, dass die mathematische Begriffsbildung verloren gehen könnte. Ein
übermäßiger Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen könnte daher zu einem
schleichenden, sukzessiven Prozess führen, bei dem die analogen Grundfertigkeiten und
Rechenkompetenzen von Schülern immer unsicherer, weniger souverän oder sogar überhaupt
nicht mehr beherrscht werden.
Hoher Zeitaufwand ohne Vorkenntnisse von DMW
Die Einführung einer neuen Technologie, wie bspw. GeoGebra, Tabellenkalkulation, ein
grafikfähiger Taschenrechner oder eine App, stellt für Schüler neben den Anforderungen des
Mathematikunterrichtes im Allgemeinen eine zusätzliche Herausforderung dar (vgl. Thurm et al.,
2017). Erläuterungen zur Bedienung durch die Lehrkraft in der Einführungsphase, eine gewisse
Eingewöhnungsphase und regelmäßige wiederholende Anwendungen werden nötig sein, bis ein
zielführender und ökonomischer Einsatz erreicht wird. Dadurch entsteht die Gefahr, dass
übermäßiger, ggfs. unproduktiver Zeitaufwand zu Lasten der zur Verfügung stehenden
Unterrichtszeit geht. Damit steht der Nachteil Zeitaufwand in einem direkten Zusammenhang
zum Vorteil der Zeitersparnis, der durch einen kompetenten Werkzeugeinsatz erzielt werden
kann.
Gefahr für Denken und Verstehen durch Auslagerung an DMW
Wurde die schnelle Verfügbarkeit von den verschiedensten Repräsentationen noch als Vorteil
der digitalen Mathematikwerkzeuge ausgewiesen, so birgt diese gleichsam die Gefahr, dass die
DMW den Schülern kognitive Denkleistungen und -prozesse abnehmen könnten. Die Aktivitäten
(vgl. Unterabschnitt 2.3.2 am Beispiel einer Exponentialfunktion dargestellt), die für die
jeweiligen Darstellungswechsel notwendig sind, könnten verloren gehen. Verschiedene „[…]
Repräsentationen und ihre Verknüpfungen […]“ können „[…] nicht gleichzeitig oder nicht schnell
genug […]“ (Pinkernell et al., 2022, S. 99) verarbeitet werden. Eine Gefahr besteht daher darin,
dass durch eine kognitive Überlast (cognitive overload) durch die schnellen Bild- und
Repräsentationswechsel eine intensive thematische Auseinandersetzung nicht mehr
gewährleistet ist (Weigand, 1999).
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 84
Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
Die Darstellungsvielfalt und die damit verbundene Geschwindigkeit bei der Anwendung von
digitalen Mathematikwerkzeugen können unreflektiertes Handeln hervorrufen (Barzel et al.,
2005). Ähnlich wie beim Taschenrechner, wo das Ergebnis auf dem Display ungeprüft als wahr
angenommen wird, kann die Anzeige auf dem Bildschirm eines digitalen Endgerätes unreflektiert
bleiben. Cavanagh und Mitchelmore (2000, S. 117) haben in einer GTR-Studie zu linearen und
quadratischen Funktionen bei Zehnt- und Elftklässlern die Tendenz erkannt „to accept whatever
was displayed in the initial window without question“. In diesem Bewusstsein könnten Schüler
dazu neigen zu glauben, dass gewisse Leistungen nicht mehr technologiefrei erbracht werden
müssen. Das eigenständige Denken, Verstehen und Hinterfragen könnte dadurch verlernt
werden und das Bedienen eines Gerätes oder die Beherrschung einer Software an dessen Stelle
treten. In einer Langzeitstudie zu den mathematischen Fähigkeiten zu Studienbeginn wird von
Schwenk-Schellschmidt (2013, S.27) folgende Erkenntnis konstatiert: Ein mathematisches
Konzept „[…] verkümmert zu einer von vielen Tasten auf dem Taschenrechner, die eigentliche
Bedeutung tritt in den Hintergrund.”
Mackey (1999) sieht ebenfalls die Gefahr, dass die Benutzung von digitalen
Mathematikwerkzeugen zu einem bedeutungslosen und unverstandenen Knöpfedrücken
(blackbox paradise of mindless button pushing) verkümmern könnte, und dass damit das digitale
Mathematikwerkzeug zu einem Denkersatz (substitute for thinking) und nicht als Denkzeug im
Sinne Vollraths und Roths (2012) degradiert wird.
3.6 Zusammenfassung
Die Digitalisierung von Lehr-Lern-Prozessen im Mathematikunterricht mit einer inzwischen gut
50-jährigen Tradition seit dem Einzug des electronic calculators (Pinkernell et al., 2022) zeichnet
sich in erster Linie durch die Verwendung von digitalen Rechengeräten, spezifischen Medien und
Programmen (Apps) aus. Die Liste dieser sog. digitalen Mathematikwerkzeuge (DMW) wächst
unaufhaltsam. Im schulischen Bereich haben sich nach Barzel et al. (2005) drei Typen
herauskristallisiert: eine Tabellenkalkulation zur numerisch-tabellarischen Darstellung, ein
Computer-Algebra-System zur algebraisch-symbolischen Darstellung und eine dynamische
Geometrie-Software zur graphisch-visuellen Darstellung. Die DMW haben das Potential –
eingebettet in ein didaktisch fundiertes Konzept - einen Mehrwert beim Erlernen von
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 85
mathematischen Inhalten zu erzeugen. Dieser didaktische Mehrwert kann sich beim Visualisieren
mathematischer Inhalte sowie beim schnellen Generieren von verschiedenen Darstellungen
entfalten. Der praktikable Wechsel zwischen Repräsentationen, bspw. bei Funktionen (Graph –
Term – Wertetabelle), unterstützt das Verständnis der Aspekte und Grundvorstellungen. Mit
Technologieeinsatz kann ebenso das entdeckende Lernen gefördert werden. Hier ist als
prägnantes Beispiel die Veränderung der Gestalt von Funktionsgraphen zu nennen, die durch das
Manipulieren der Funktions-Parameter (Koeffizienten) über entsprechende Schieberegler in
GeoGebra ideal realisiert werden kann. Aufwändige Rechnungen können an ein entsprechendes
System delegiert werden, so dass kalküllastige und damit häufig fehleranfällige Rechenprozesse
nicht mehr händisch ausgeführt werden müssen. Das Delegieren aufwändiger und komplexer
Berechnungen eignet sich außerdem beim Einsatz von praxisnahen und komplexen
Modellierungsaktivitäten, bei denen eine Fülle von Realdaten verarbeitet werden. DMW eignen
sich ebenso dazu, insbesondere aus der Sicht der Lernenden, Rechnungen und
Problemlöseprozesse zu kontrollieren. Die bildungspolitische Forderung vorausgesetzt, bereits
ab der Klasse 7 (oder besser noch früher) DMW systematisch und regelmäßig einzusetzen, könnte
zu einer Zeitersparnis in den Unterrichtsabläufen führen. Zu bedenken gilt es gleichwohl, dass
bei allen Vorzügen und Chancen der DMW, auch Nachteile oder Gefahren beim Einsatz der
Werkzeuge auftreten können. So kann der Faktor Zeit auch nachteilig sein, wenn durch
Organisationsaufwand bez. digitaler Infrastruktur oder mangelnde Bedienkompetenzen der
Lernenden zu viel Unterrichtszeit verloren geht. In zahlreichen Studien wurde offensichtlich, dass
das Risiko gesehen wird, dass händische Grundfertigkeiten verloren gehen könnten, wenn DMW
eingesetzt werden. Ebenso können Denk- und Verstehensprozesse limitiert werden, wenn sich
das Mathematiktreiben auf eine Abfolge von Klicks und Knöpfdrücken reduziert.
Grundsätzlich sind die beschriebenen Potentiale von digitalen Mathematikwerkzeugen Chancen
das Verständnis für Mathematik zu verbessern, aber keine zwangsläufige Konsequenz, dass sich
durch deren Einsatz ein automatischer Unterrichtserfolg einstellt (Vollrath & Roth, 2012). Es
braucht vielmehr geeignete Unterrichtskonzepte, die die digitalen Mathematikwerkzeuge
sinnvoll integrieren, die Aufgeschlossenheit und die Überzeugung der Lehrkräfte digitale
Unterstützungen in Lehr-Lern-Prozessen einzusetzen und Werkzeugkompetenzen bei
Lehrkräften und Lernenden.
3 Digitale Mathematikwerkzeuge 86
Die Rolle der Lehrkraft, idealerweise ausgestattet mit den notwendigen berufsbezogenen
Kompetenzen, ist bei der Integration der digitalen Mathematikwerkzeuge in den Unterricht
folglich von zentraler Bedeutung. Das Spektrum an berufsbezogenen Kompetenzen ist sehr
vielschichtig. Ausgewählte Grundlagen zu Begriffen und Modellen zu den professionellen
Kompetenzen von Lehrkräften werden im anschließenden Kapitel 4 dargestellt.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 87
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften
Seit den 1980er Jahren werden zahlreiche Versuche unternommen den Kompetenzbegriff
einheitlich zu definieren. Grundlegende Elemente dieser Erklärungsansätze sind die jeweilige
Situation und das zur Verfügung stehende Potential, welche eine daraus abgeleitete Handlung
innerhalb eines Lernprozesses nach sich ziehen (vgl. Eikmeier, 2021). Häufige Merkmale der
Vielzahl an Herangehensweisen die Begriffe Kompetenz und Kompetenzentwicklung zu
definieren, sind die Begriffe Wissen, Können oder Wissen und Können, die als Synonyme für
Kompetenz verwendet werden. Für viele Autoren ist Wissen einerseits objektives deklaratives
Wissen bzw. Faktenwissen (Buchwissen) und anderseits subjektives Wissen (Theorien, Denkstile
und Überzeugungen) sowie affektiv-motivationales Wissen. Unter dem Begriff Können wird
prozedurales Wissen, Routinen und Fertigkeiten umschrieben. In diesem Kapitel sollen daher
zunächst die weitreichend beachteten fächerübergreifenden und fachbezogenen theoretischen
Ansätze der 1980er und 1990er Jahre nach SHULMAN und BROMME (vgl. Abschnitt 4.1) und WEINERT
(vgl. Abschnitt 4.2) beleuchtet werden.
Das COACTIV-Modell in Abschnitt 4.3 zur Beschreibung von Lehrer-Professionswissen ist aus der
gleichnamigen Studie aus den Jahren 2003/2004 entstanden. Hier wurden Mathematiklehrkräfte
und Schüler der Klassenstufen 9 und 10, die an der PISA-Studie teilnahmen, untersucht. Die
Ergebnisse der PISA-Studie, die seinerzeit politisch und öffentlich auch als PISA-Schock
bezeichnet wurden, nahm die KMK der Länder zum Anlass Bildungsstandards u.a. für das Fach
Mathematik verbindlich zu erlassen. Das Modell der KMK, naturgemäß auf den
Kompetenzerwerb von Schülern bezogen, ist jedoch gleichermaßen ein Baustein professioneller
Kompetenzen von Lehrkräften, da diese maßgeblich für den Erwerb und Aufbau der
Kompetenzen bei Schülern verantwortlich sind. Mit der Darlegung der bildungspolitischen
Strategien und Empfehlungen der KMK (vgl. Abschnitt 4.4) seit dem Jahr 2003 bis in die heutige
Zeit, in der Schüler auf eine zunehmend digitalisierte Lebenswelt vorbereitet werden sollen, wird
eine Brücke zu den Abschnitten 4.5 und 4.6 geschlagen, in denen digitale Kompetenzen
beleuchtet werden. In Abschnitt 4.5 werden vier Modelle dargelegt, die die Kompetenzen von
Lehrenden beim Unterrichten mit digitalen Medien prägnant beschreiben. In Unterabschnitt
4.5.1 wird einleitend der europäische Rahmen für die digitale Kompetenz Lehrender
(DigCompEdu) vorgestellt, der mit 22 Teilkompetenzen einen Überblick über die Bereiche
Berufliches Engagement, pädagogische und didaktische Kompetenzen und Förderung der
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 88
digitalen Kompetenz der Lernenden gibt. Das international etablierte TPACK-Modell nach MISHRA
& KOEHLER (2006), welches eine Erweiterung von SHULMANs PCK-Modell um die Facette des
technologischen Wissens (TK) und deren Schnittmengen TCK und TPK bzw. TPACK darstellt, wird
in Unterabschnitt 4.5.2 erläutert. Das didaktische Tetraeder, aufbauend auf dem bereits seit dem
19. Jahrhundert existierenden didaktischen Dreieck nach JOHANN FRIEDRICH HERBART und das
vierstufige SAMR-Modell nach PUENTEDURA (2006) komplettieren die Modelle in den
Unterabschnitten 4.5.3 und 4.5.4. Mit Abschnitt 4.6 wird das Grundlagen-Kapitel zu
professionellen Kompetenzen von Lehrkräften geschlossen. Hier wird der Begriff
Werkzeugkompetenzen erläutert, der sich explizit auf die Verwendung von digitalen
Mathematikwerkzeugen bezieht. Eine Zusammenfassung in Abschnitt 4.7 wirft einen Blick zurück
auf die Kernelemente dieses Kapitels.
4.1 Die Modelle nach SHULMAN und BROMME
Ein Pionier bei der Modellentwicklung professionellen Wissens von Lehrkräften ist der
amerikanische Erziehungswissenschaftler und Bildungspsychologe LEE S. SHULMAN von der
Universität Stanford. In seiner Publikation Knowledge and Teaching: Foundations of the New
Reform aus dem Jahr 1987 listet er Minimalanforderungen an Lehrkräfte auf, die zum
professionellen Wissen gehören. Diese sieben Kategorien sind im Einzelnen:
(1) general pedagogical knowledge (PK)
(2) content knowledge (CK)
(3) pedagogical content knowledge (PCK)
(4) curriculum knowledge
(5) knowledge of learners and their
characteristics
(6) knowledge of educational
contexts
(7) knowledge of educational ends,
purposes and values
Abb. 40: PCK-Modell nach SHULMAN (1986)
Quelle: https://www.sciencetonic.de/200_dm_010_tpack.html
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 89
SHULMAN unterscheidet dabei allgemeines pädagogisches Wissen (PK), Fachwissen (CK) und
fachdidaktisches Wissen (PCK) ergänzt mit dem Wissen über den Lehrplan. Mit den Einstellungen
der Schüler (5) wird eine psychologische Komponente hinzugefügt. Organisationswissen (6) und
bildungstheoretisches Wissen (7) schließen den Kanon der Wissenstypologie. International
etabliert haben sich in erster Linie die Kategorien PK, CK und deren Schnittmenge PCK. In
Abbildung 40 wird es aus der Sicht einer Mathematiklehrkraft illustriert. Diese Kategorien werden
wie folgt beschrieben (vgl. Koehler et al., 2013; Shulman, 1986):
General pedagogical knowledge (PK)
PK beschreibt das allgemeine pädagogische Wissen, das grundlegend für das Lehren ist. Es
handelt sich um die Kompetenzen, die Lehrkräfte entwickeln müssen, um Lehren und Lernen und
die damit verknüpften Aktivitäten für angestrebte Lernergebnisse zu organisieren. Dieses Wissen
ist aber nicht auf ein Verständnis von Unterrichtsplanung, Lern- und Leistungsbeurteilung,
Klassenmanagement oder Wissen über Schülermotivation beschränkt. PK beinhaltet auch
Kenntnisse über verschiedene Lehrmethoden, die für den konstruktiven Wissensaufbau von
Schülern förderlich sind.
Content knowledge (CK)
CK bezieht sich auf das Wissen oder das spezifische Wesen eines Faches oder Disziplin. Das
Fachwissen variiert offensichtlich zwischen verschiedenen Bildungskontexten, da sich bspw.
Inhalte der Grundschule von denen der Sekundarstufen I und II unterscheiden. Von Lehrkräften
wird erwartet, dass sie die Unterrichtsinhalte, die sie lehren, mit den disziplinspezifischen
Denkweisen beherrschen.
Pedagogical Content knowledge (PCK)
PCK spiegelt die Behauptung von SHULMAN wider, dass effektiver Unterricht von Lehrkräften mehr
erfordert als ein isoliertes Verständnis von pädagogischem Wissen („I teach children“) und bspw.
mathematisches Fachwissen („I teach mathematics“). Die vielfältigen Methoden müssen auf die
unterschiedlichen Inhalte für einen adäquaten Unterricht bestmöglich angewendet werden. In
diesem Sinne ist es notwendig, dass eine Lehrkraft mehr ist als ein Experte in einem Fachgebiet,
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 90
sondern auch mit allgemeinen pädagogischen Richtlinien vertraut ist, damit schließlich gesagt
werden kann: „I teach children mathematics“.
In Anlehnung an SHULMANS Ausführungen hat BROMME (1997) ein weiteres
Kategorisierungsmodell zum Lehrkräfteprofessionswissen entworfen. Im Gegensatz zu SHULMANS
fächerübergreifenden Wissensbereichen bezieht sich BROMME auf das Fach Mathematik. Die von
SHULMAN konstatierten Bereiche allgemeines, fachunabhängiges pädagogisches Wissen (PK),
fachliches Wissen (CK), fachspezifisch-pädagogisches Wissen (PCK) und das Wissen über den
Lehrplan (curriculares Wissen) sind für BROMME gleichermaßen bedeutsam. Das
bildungstheoretische Wissen (knowledge of educational ends, purposes and values) wird bei
Bromme noch weiter spezifiziert als ”[…] Auffassungen darüber, wofür der Fachinhalt nützlich ist
und in welcher Beziehung er zu anderen Bereichen menschlichen Lebens und Wissens steht.”
(Bromme, 1997, S.196)
Im Gegensatz zu SHULMAN sind für BROMME die Handlungs- und Diagnosekompetenz wichtige
Bereiche des Professionswissens von Mathematiklehrkräften. Ebenso wird von ihm das Erzeugen
von Lerngelegenheiten explizit hervorgehoben, wenngleich die Einstellung der Schüler zum Fach
Mathematik unerwähnt bleibt (vgl. Eikmeier, 2021).
4.2 Das Kompetenzmodell nach WEINERT
Während SHULMAN einen klaren Fokus auf das Wissen aus verschiedenen Kontexten legt, ist für
WEINERT zusätzlich das Können ein elementarer Baustein für das Professionswissen von
Lehrkräften. FRANZ EMANUEL WEINERT (1930-2001), ein deutscher Entwicklungspsychologe,
definiert den Kompetenzbegriff in der Bildung wie folgt:
Unter Kompetenzen versteht man die bei Individuen verfügbaren oder durch sie erlernbaren
kognitiven Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit
verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten, um
die Problemlösungen in variablen Situationen erfolgreich und verantwortungsvoll nutzen zu
können. (Weinert, 2014, S.27)
Ausgehend von dieser häufig verwendeten Definition entwarf Weinert 2001 ein vielbeachtetes
Modell, welches die professionelle Kompetenz von Lehrkräften in die beiden Säulen kognitive
Fähigkeiten und motivationale, volitionale und soziale Fähigkeiten untergliedert. Kognitive
Fähigkeiten werden von WEINERT analog zum bereits dargelegten Begriff Wissen noch detaillierter
umschrieben. Kognitive Fähigkeiten bestehen seiner Meinung nach aus vier zusammen-
hängenden Kompetenzbereichen (vgl. Eikmeier, 2021):
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 91
(1) Sachkompetenzen: Beherrschung der Lehrinhalte und Lehrmethoden
(2) Diagnostische Kompetenzen: Beurteilung von Leistungen und Schwierigkeiten
(3) Didaktische Kompetenzen: Einsatz verschiedener Unterrichtsmethoden
(4) Klassenführungskompetenz: Motivierende und störungsarme Unterrichtsgestaltung
Motivationale, volitionale und soziale Fähigkeiten lassen sich näher mit Überzeugungen,
Selbstwirksamkeit und Motivation umschreiben. Die Begriffe Überzeugungen und
Selbstwirksamkeit werden in Kapitel 5 näher erläutert.
Weinerts Modell legt sehr deutlich den Fokus auf verschiedene Kompetenzkomponenten, die
miteinander verzahnt sind, so dass ein mehrdimensionales Konstrukt mit Interdependenzen der
jeweiligen Komponenten entsteht.
4.3 Das Kompetenzmodell von COACTIV
8
Abb. 41: Das Kompetenzmodell von COACTIV mit Spezifikationen für das Professionswissen
Quelle: Kunter et al. (2011, S.32)
8
Das Forschungsprogramm COACTIV (Cognitive Activation in the classroom): Professionswissen von Lehrkräften,
kognitiv aktivierender Mathematikunterricht und die Entwicklung mathematischer Kompetenz ist eine
Ergänzungsstudie zur deutschen PISA-Untersuchung 2003/2004 und wurde von Jürgen Baumert (Max-Planck-
Institut für Bildungsforschung, Berlin), Werner Blum (Universität Kassel) und Michael Neubrand (Universität
Oldenburg) durchgeführt.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 92
Die COACTIV-Studie wurde in den Jahren 2003/2004 als Begleitstudie zur damaligen PISA-Studie
durchgeführt. Als Large-Scale-Studie angelegt, wurden Mathematiklehrkräfte und Schüler der
Klassen, die an der PISA-Studie teilnahmen, jeweils am Ende der Klassenstufen 9 und 10 zum
fachlichen und zum fachdidaktischen Wissen getestet und befragt wie auch
Unterrichtsmaterialien ausgewertet. Dabei konstatieren die Autoren aufgrund ihrer
Untersuchungen, dass die Kompetenzen der Lehrkräfte einen Einfluss auf die Unterrichtsqualität
und die Lernerfolge der Schüler haben. Diese Kompetenzen werden im Kompetenzmodell von
COACTIV (vgl. Abb. 41, S. 91) als Professionswissen, Überzeugungen/ Werthaltungen/Ziele,
Motivationale Orientierungen und Selbstregulation ausgewiesen.
Beim Professionswissen wird zwischen den Kompetenzbereichen Fachwissen, Fachdidaktisches
Wissen, Pädagogisch-psychologisches Wissen, Organisationswissen und Beratungswissen
unterschieden. Dabei sind im Modell die Kompetenzbereiche Fachwissen und Fachdidaktisches
Wissen an die Wissensdimensionen CK und PK nach SHULMAN (1986) angelehnt (vgl.
Unterabschnitt 4.1). Fachwissen (Content Knowledge) bedeutet nach Kunter et al. (2011) ein
tiefes Verständnis der Schulmathematik. Das fachdidaktische Wissen (Pedagogical Knowledge)
wird nach deren Modell noch weiter in die Kompetenzfacetten Erklärungswissen, Wissen über
das mathematische Denken von Schülern und Wissen über mathematische Aufgaben
differenziert. Ein weiterer Bereich des Professionswissens ist das pädagogisch-psychologische
Wissen, welches durch die Facetten Wissen um Leistungsbeurteilung, Wissen über Lernprozesse
und Wissen über effektive Klassenführung aufgegliedert wird. Das Organisationswissen nimmt im
Vergleich zu den bisher genannten – fachspezifischen – Bereichen eine Sonderstellung innerhalb
des COACTIV-Kompetenzmodells ein, da es „[…] sich auf die Funktionslogik und die
Funktionsfähigkeit des Bildungssystems und der einzelnen Bildungseinrichtungen bezieht […]“
(Kunter et al., 2011, S.40). Dabei wird von Lehrkräften u.a. erwartet, dass sie mit dem
Bildungssystem und seinen Rahmenbedingungen, der Schulorganisation, der Schulverfassung,
mit dem Rechtssystem von Schülern, Eltern und Lehrkräften oder auch mit den Aufgaben der
Schulleitung vertraut sind.
Ebenso wie das Organisations- nimmt das Beratungswissen eine Sonderposition ein, da es sich
„[…] in der Regel um sozial verteiltes und weitgehend fachunabhängiges Wissen handelt […]
(Kunter et al., 2011, S.40). Lehrkräfte müssen in der Lage sein eine fundierte Beratung – auch in
Absprache mit Eltern und institutionellen Partnern - während der Kommunikation mit Laien
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 93
(Schülern, Eltern) zu kommunizieren. Hierzu zählen z.B. die Diagnose von Lernschwierigkeiten,
Benennen von Verhaltensproblemen oder Schullaufbahnempfehlungen.
Unter dem Aspekt Überzeugungen/Werthaltungen/Ziele fokussiert die Studie auf
epistemologische Überzeugungen, auf die Überzeugungen zum Lehren und Lernen von
Mathematik (subjektive Theorien) und auf selbstbezogene Überzeugungen (Selbstwirksamkeit).
Laut Voss et al. (2011, S. 238) „[…] orientieren sich die beschriebenen Dimensionen […] entweder
stärker an konstruktivistischen Lerntheorien oder stärker an transmissiv/behavioristischen
Lerntheorien.“ Konstruktivistisch überzeugte Lehrkräfte vertreten die Auffassung, dass sich
Schüler aktiv mit dem Lerngegenstand auseinandersetzen sollten, da sie diesem mit individuellen
Vorstellungen und Voraussetzungen entgegentreten. Die Generierung von Wissen wird hier als
Ergebnis subjektiver Konstruktionsprozesse verstanden. Bei transmissiv überzeugten Lehrkräften
wird Lernen als Weitergabe von objektiv feststehendem Wissen (Sammlung von Fakten und
Prozeduren) verstanden, welches lediglich passiv von Lernenden rezipiert werden muss (Voss et
al., 2011, S. 238–239). Eine ausführliche Darlegung des Aspektes Überzeugung erfolgt im
anschließenden Kapitel 5.
Motivationale Orientierungen und Selbstregulation bilden die beiden verbliebenen Aspekte
professioneller Kompetenz innerhalb des beschriebenen Modells. Kunter und Kollegen
bezeichnen diese als „zentrale Merkmale der psychologischen Funktionsfähigkeit von
handelnden Personen.“ (Kunter et al., 2011, S.42) Aufgrund des Forschungsinteresses mit
Schwerpunktsetzung auf den Aspekten Überzeugungen/Werthaltungen/Ziele und
Professionswissen wird auf eine ausführliche Darstellung an dieser Stelle verzichtet.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 94
4.4 KMK: Bildungsstandards und Kompetenzen für das Fach Mathematik
Mit der Verabschiedung der Bildungsstandards im Jahr 2004 für den mittleren Schulabschluss
wurden verbindliche Standards für die Fächer Deutsch, Mathematik und erste Fremdsprache
(Englisch/Französisch) verabschiedet (KMK, 2004). Die gemeinsame Vereinbarung der Länder sah
u.a. vor, dass die Standards in die Lehrplanarbeit, in die Schulentwicklung und in die Lehreraus-
und -fortbildung implementiert werden. Lehrplaninhalte und Aspekte der Lehrkräftebildung
sollten demnach über Regelstandards verknüpft werden. Der Kompetenzerwerb von Schülern für
das Fach Mathematik ist somit untrennbar verbunden mit den dafür notwendigen
professionellen Kompetenzen von Lehrkräften. Im ersten Unterabschnitt (4.4.1) wird daher
zunächst der normative Anspruch durch die KMK-Bildungsstandards bzw. des rheinland-
pfälzischen Rahmenlehrplans zum Kompetenzerwerb der Schüler für das Fach Mathematik
dargelegt. Besondere Beachtung finden hierbei die Leitidee Strukturen und funktionaler
Zusammenhang (KMK, 2022) und Hinweise auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge.
Darauf aufbauend werden die Kompetenzen von Lehrkräften in Unterabschnitt 4.4.2 beleuchtet.
Durch verschiedene Strategiepapiere der KMK der Länder, vor allem durch die fortschreitende
Digitalisierung, sind die Anforderungen an Lehrkräfte einem stetigen Wandel unterworfen. Die
sich verändernden Kompetenzprofile wurden vor allem durch die Strategie Bildung in der
digitalen Welt (2016) mit der ergänzenden Empfehlung Lehren und Lernen in der digitalen Welt
(2021) neu ausgerichtet.
4.4.1 Kompetenzerwerb von Schülern
Der kontinuierliche Kompetenzerwerb von Schülern auf fachlichen und überfachlichen Ebenen
soll durch den Schulbesuch von der ersten Klasse bis zum individuellen Abschluss gewährleistet
werden. Aus Sicht der Kultusministerkonferenz (KMK) wird „u[U]nter einer Kompetenz […] die
Fähigkeit verstanden, Wissen und Können in den jeweiligen Fächern zur Lösung von Problemen
anzuwenden.“ (KMK, 2022, S.2) Lehrkräfte haben daher die besondere Verantwortung und
Verpflichtung den Kompetenzerwerb zu ermöglichen. Bevor das dafür notwendige
Professionswissen aus Sicht der KMK im nachfolgenden Abschnitt dargelegt wird, soll zunächst
auf die normativen Referenzpunkte (vgl. KMK, 2022) für den Mathematikunterricht bis zum
mittleren Schulabschluss eingegangen werden.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 95
Die 2004 von der KMK herausgegebenen Bildungsstandards im Fach Mathematik für den
Mittleren Schulabschluss (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003) führen
allgemeine, inhaltsbezogene und kognitive mathematische Kompetenzen auf, die „[…] Schüler in
aktiver Auseinandersetzung mit vielfältigen mathematischen Inhalten im Mathematikunterricht
erwerben sollen.“ (KMK, 2004, S.6) Zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen zählen:
(K1) Mathematisch Argumentieren
(K2) Probleme mathematisch lösen
(K3) Mathematisch modellieren
(K4) Mathematische Darstellungen verwenden
(K5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
(K6) Kommunizieren
Diese Kompetenzen sollen in unterrichtlicher Praxis immer im Verbund erworben bzw.
angewendet werden (vgl. KMK, 2004). Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen (K4)
Mathematische Darstellungen verwenden und (K5) Mit symbolischen, formalen und technischen
Elementen der Mathematik umgehen sollen an dieser Stelle jedoch - in Abgrenzung zu den vier
anderen - aufgrund der dominierenden Relevanz für das Forschungsinteresse bezogen auf
elementare Funktionen hervorgehoben werden. Stellt man eine Analogie von (K4) zu den
elementaren Funktionen her (vgl. Tab. 6), ist das mathematische Objekt die Funktion bzw. sind
die Darstellungsformen Graph, Wertetabelle und Funktionsgleichung. Diese Darstellungsformen
(Repräsentationen) sollen angewendet, interpretiert und unterschieden werden. Beziehungen
der Repräsentationen untereinander sollen erkannt werden, und unterschiedliche
Repräsentationen je nach Situation ausgewählt bzw. zwischen ihnen gewechselt werden.
Tab. 6: Allgemeine mathematische Kompetenz (K4)
(K4) Mathematische Darstellungen verwenden
Dazu gehört:
– verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen
anwenden, interpretieren und unterscheiden,
– Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen,
– unterschiedliche Darstellungsformen je nach Situation und Zweck auswählen und
zwischen ihnen wechseln.
Quelle: KMK (2004, S. 8)
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 96
Wie Tabelle 7 zu entnehmen ist, wird bereits mit (K5) neben dem domänenspezifischen Umgang
mit symbolischen und formalen Elementen (Fachsprache, Variablen, Terme, Gleichungen,
Funktionen, Diagrammen und Tabellen) und Ausführung von Lösungs- und Kontrollverfahren der
sinnvolle und verständige Einsatz von mathematischen Werkzeugen als technische Elemente
gefordert. Dabei sind Taschenrechner und Software in Abgrenzung zu einer Formelsammlung
(i.d.R. in Papierform bzw. als pdf) genauer gesagt als digitale mathematische Werkzeuge zu
bezeichnen.
Tab. 7: Allgemeine mathematische Kompetenz (K5)
(K5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
Dazu gehört:
– mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten,
– symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt,
– Lösungs- und Kontrollverfahren ausführen,
– mathematische Werkzeuge (wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software)
sinnvoll und verständig einsetzen.
Quelle: KMK (2004, S.8/9)
Neben den allgemeinen mathematischen Kompetenzen (K1) bis (K6) wurden folgende
inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen (Leitideen) von der KMK (2004) zu Grunde gelegt:
(L1) Leitidee Zahl
(L2) Leitidee Messen
(L3) Leitidee Raum und Form
(L4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang
(L5) Leitidee Daten und Zufall
Wie bereits bei den allgemeinen mathematischen Kompetenzen eine Fokussierung auf (K4) und
(K5) gelegt wurde, wird an dieser Stelle die Leitidee (L4) Funktionaler Zusammenhang explizit
erläutert (vgl. Tab. 8).
Tab. 8: Leitidee Funktionaler Zusammenhang
(L4) Leitidee Funktionaler Zusammenhang
Die Schülerinnen und Schüler
– nutzen Funktionen als Mittel zur Beschreibung quantitativer Zusammenhänge,
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 97
– erkennen und beschreiben funktionale Zusammenhänge und stellen diese in
sprachlicher, tabellarischer oder graphischer Form sowie gegebenenfalls als Term dar,
– analysieren, interpretieren und vergleichen unterschiedliche Darstellungen funktionaler
Zusammenhänge (wie lineare, proportionale und antiproportionale),
– lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen, proportionalen und
antiproportionalen Zuordnungen,
– interpretieren lineare Gleichungssysteme graphisch,
– lösen Gleichungen, und lineare Gleichungssysteme kalkülmäßig bzw. algorithmisch,
auch unter Einsatz geeigneter Software, und vergleichen ggf. die Effektivität ihres
Vorgehens mit anderen Lösungsverfahren (wie mit inhaltlichem Lösen oder Lösen
durch systematisches Probieren
– untersuchen Fragen der Lösbarkeit und Lösungsvielfalt von linearen und quadratischen
Gleichungen sowie linearen Gleichungssystemen und formulieren diesbezüglich
Aussagen,
– bestimmen kennzeichnende Merkmale von Funktionen und stellen Beziehungen
zwischen Funktionsterm und Graph her,
– wenden insbesondere lineare und quadratische Funktionen sowie
Exponentialfunktionen bei der Beschreibung und Bearbeitung von Problemen an,
– verwenden die Sinusfunktion zur Beschreibung von periodischen Vorgängen,
– beschreiben Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch unter Verwendung
eines Tabellenkalkulationsprogramms,
– geben zu vorgegebenen Funktionen Sachsituationen an, die mit Hilfe dieser Funktion
beschrieben werden können.
Quelle: KMK (2004, S.11/12)
Bei der Beschreibung von (L4) sind zwei Aspekte besonders hervorzuheben, die bereits auf
digitale Kompetenzen hinweisen. Zum einen ist es vorgesehen, dass Schüler in der Lage sind
kalkülmäßig und algorithmisch bspw. Gleichungen zu lösen, dabei aber auch geeignete Software
zur Lösung einsetzen, auf dem Hintergrund die Effektivität von Lösungsverfahren zu vergleichen
und zu reflektieren. Zum anderen sollen Veränderungen von Größen mittels Funktionen, auch
unter Verwendung eines Tabellenkalkulationsprogramms, kompetent beschrieben und
berechnet werden. Die allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen werden im
Mathematikunterricht einerseits nicht getrennt voneinander erworben und andererseits sollte
der Kompetenzerwerb auf einem bestimmten kognitiven Niveau stattfinden (Storz et al., 2022).
Diese kognitiven Niveaus werden durch die Anforderungsbereiche Reproduzieren (I),
Zusammenhänge herstellen (II) und Verallgemeinern und Reflektieren (III) beschrieben, wobei
Anspruch und Komplexität von Bereich (I) bis (III) zunehmen (KMK, 2004a). Die
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 98
prozessbezogenen Kompetenzen, die inhaltsbezogenen Kompetenzen und die
Anforderungsbereiche bilden zusammen ein dreidimensionales, interdependentes
Kompetenzmodell (vgl. Abb. 42).
Abb. 42: Kompetenzmodell der Bildungsstandards im Fach Mathematik
Quelle: KMK (2022, S.8)
„Man wird erst dann vom hinreichenden Erwerb einer prozessbezogenen Kompetenz sprechen,
wenn diese an ganz unterschiedlichen Leitideen in allen drei Anforderungsbereichen erfolgreich
eingesetzt werden kann.“ (KMK, 2022, S.7)
Ausgehend von einer Analyse der KMK im Jahr 2019 wurde ein Überarbeitungsbedarf der
Bildungsstandards im Fach Mathematik festgestellt. „Es ist erkannt worden, dass der digitale
Aspekt in den Schulen weitgehend vernachlässigt worden war. Die Notwendigkeit, ihn ernst zu
nehmen und in das pädagogische Konzept einzubinden, wurde zu einer konsensfähigen
Erkenntnis.“ (Storz et al., 2022, S.68) Im Jahr 2022 wurden die novellierten Bildungsstandards für
das Fach Mathematik Erster Schulabschluss (ESA) und Mittlerer Schulabschluss (MSA) vorgelegt.
Es wird konstatiert, dass „die Entwicklung mathematischer Kompetenzen […] durch den
sinnvollen und dem Primat des Pädagogischen folgenden Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
und weiterer digitaler Medien unterstützt“ (KMK, 2022, S.8) wird. „So bietet sich beispielsweise
an, sie beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, für die Reduktion schematischer
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 99
Abläufe und die Verarbeitung auch größerer Datenmengen sowie beim selbstgesteuerten Lernen
und Anwenden zu nutzen.“ (KMK, 2022, S.8)
In Anlehnung an das bereits bestehende dreidimensionale Kompetenzmodell (KMK, 2004a) und
den bereits etablierten Begrifflichkeiten der Bildungsstandards für das Fach Mathematik
Primarstufe (KMK, 2004b) wurde das Kompetenzmodell der Bildungsstandards für den Ersten
Schulabschluss und den Mittleren Schulabschluss veröffentlicht (siehe Abb. 41)
Im Zusammenspiel mit den drei Anforderungsbereichen Reproduzieren, Zusammenhänge
herstellen und Verallgemeinern und Reflektieren (kognitive Dimension) werden die allgemeinen
mathematischen Kompetenzen (K1 bis K6) fortan als Prozessbezogene Kompetenzen bezeichnet,
und um eine Kompetenz erweitert. Diese neue Kompetenz Mit Medien mathematisch arbeiten
sieht vor, dass das Fach Mathematik einen Beitrag zur Entwicklung individueller digitaler
Kompetenzen der Schüler leisten solle:
Mathematische Bildung in der digitalen Welt umfasst: Fachliche Kompetenzen digital zu
fördern und digitale Kompetenzen fachlich zu fördern. Darüber hinaus sollte ein Beitrag
geleistet werden zur digitalen personalen Bildung, um Mathematik für die kritische Rezeption
von Alltagsmedien zu nutzen. Dazu gehört der Umgang analoger Medien (Schulbuch, Lineal,
Körpermodell, Formelsammlung, Spielwürfel, ...) im Verbund mit digitalen Medien. Digitale
Medien, die für das Lernen und Lehren von Mathematik relevant sind, umfassen
mathematikspezifische sowie allgemeine Medien. Mathematikspezifisch sind insbesondere
digitale Mathematikwerkzeuge als themenübergreifende Medien, aber auch
themenspezifische mathematikhaltige Medien (z. B. Apps, interaktive Lernangebote).
Allgemeine Medien (z. B. Videos, Textverarbeitung, Präsentationsmedien) spielen eine Rolle,
da sie erfordern, mathematikhaltige Informationen zu bündeln, zu präsentieren und nach
mathematischen Kriterien zu beurteilen. Das Spektrum der Kompetenzen reicht von der
Nutzung analoger Medien, der kritischen Prüfung von Informationen der digitalen Welt unter
mathematischen Gesichtspunkten, der Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge (z. B.
Tabellenkalkulation oder Geometriesoftware) und Lernumgebungen über die Erstellung und
Gestaltung eigener allgemeiner Medien wie Videos und Präsentationen bis hin zur bewussten
Verwendung, Entwicklung und Reflexion von Algorithmen mit Hilfe digitaler Medien. (KMK,
2022, S.13)
Die Beschreibung dieser prozessbezogenen Kompetenz verdeutlicht die enge Verzahnung der
Digitalisierung mit dem Fach Mathematik. So sollen fachliche Kompetenzen digital und digitale
Kompetenzen fachlich gefördert werden. Neben dem klassischen Umgang mit analogen Medien
werden digitale Medien – allgemein und fachspezifisch – besonders hervorgehoben. So fordert
die KMK die kritische Prüfung digitaler Informationen in der digitalen Welt ebenso wie die
Verwendung digitaler Medien und Mathematikwerkzeuge bis hin zur Erstellung und Gestaltung
eigener Medien.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 100
Die inhaltlichen mathematischen Kompetenzen (Leitideen L1 bis L5) werden seit 2022 als
Inhaltsbezogene Kompetenzen ausgewiesen. Die Leitidee (L4) wird nun als Leitidee Strukturen
und funktionaler Zusammenhang
9
bezeichnet. Vergleicht man die KMK-Beschreibung der
Leitidee (L4) aus dem Jahr 2004 (vgl. Tab. 8, S.95) mit der aus dem Jahr 2022, so ist die
Überarbeitung der einzelnen Beschreibungen hin zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
deutlich erkennbar. Im einleitenden Text dieser Leitidee wird explizit auf die Nutzung geeigneter
digitaler Mathematikwerkzeuge hingewiesen, die beim Kompetenzerwerb der funktionalen
Beziehungen zwischen Zahlen, Daten und Größen sowie deren Darstellungen und Eigenschaften
sinnvoll sind. Bei acht der weiteren 14 Beschreibungen zu funktionalen Aspekten wird abermals
auf die Nutzung der digitalen Mathematikwerkzeuge hingewiesen. Exemplarisch soll dies an
folgendem Aspekt verdeutlicht werden: „Die Schülerinnen und Schüler erkennen und verwenden
funktionale Zusammenhänge und stellen diese in verschiedenen Repräsentationen dar
(sprachlich, tabellarisch, grafisch, algebraisch) und können zwischen diesen Darstellungsformen
wechseln, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge,[…]“ (KMK, 2022, S. 18).
Die Bundesländer haben sich verpflichtet, die bundesweit geltenden Bildungsstandards u.a. in
ihren Lehrplänen zu implementieren. Aufgrund der Verortung des QLB-Projektes in Rheinland-
Pfalz, soll nun ein Blick in den Rahmenlehrplan Mathematik Klassenstufen 5-9/10 (RLP Sek I) des
MBWJK Rheinland-Pfalz aus dem Jahr 2007 geworfen werden, der zeitlich zwischen den
Veröffentlichungen der Bildungsstandards von 2004 und 2022 liegt. Im RLP Sek I wird die
Strukturierung in allgemeine und inhaltsbezogene Kompetenzen der KMK-Bildungsstandards
aufgegriffen. Werden die allgemeinen mathematischen Kompetenzen (K1) bis (K6) wortwörtlich
übernommen, werden die mathematischen Leitideen der inhaltsbezogenen Kompetenzen
teilweise abgeändert. (L1) Zahl wird zu Zahl und Zahlbereiche deklariert, (L2) Messen wird zu
Messen und Größen, während die Bezeichnungen für die Leitideen (L3) bis (L5) übernommen
werden. Im Bereich Elektronische Medien wird der Gesamtkonferenz einer Schule laut RLP Sek I
die wichtige Aufgabe aufgetragen ein fächerübergreifendes Konzept zur Medienbildung zu
erarbeiten. Bezogen auf den Mathematikunterricht sollen elektronische Medien zur Gewinnung
9
Vgl. hierzu: Bildungsstandards für das Fach Mathematik Erster Schulabschluss (ESA) und Mittlerer Schulabschluss
(MSA). (Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 15.10.2004 und vom 04.12..2003 i.d.F. vom 23.06.2022).
https://www.kmk.org/ fileadmin/Dateien/veroeffentlichungen_beschluesse/2022/2022_06_23-Bista-ESA-MSA-
Mathe.pdf (Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang auf den Seiten 18/19)
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 101
von mathematischen Erkenntnissen, zum Lösen von Problemen, zur Modellbildung, zur
Informationsbeschaffung, zur Ergebnispräsentation und zum individuellen und kooperativen
Lernen in virtuellen Arbeitsräumen eingesetzt werden (MBWJK, 2007). Ein regelmäßiger Einsatz
elektronischer Medien unterstützt den Aufbau allgemeiner und fachlicher Kompetenzen und
bietet folgende Vorzüge (MBWJK, 2007, S. 10):
o Realitätsnahe Aufgaben werden mit authentischem Zahlenmaterial bearbeitet.
o Durch gezieltes Variieren werden Gesetzmäßigkeiten und Abhängigkeiten entdeckt.
o Sachverhalte und Daten werden schnell und einfach visualisiert.
o Das Begreifen und Mathematisieren von Zusammenhängen sowie das Interpretieren
mathematischer Ergebnisse werden wichtiger als das mechanische Ausführen von
Berechnungen.
o Lösungsideen können unmittelbar ausgeführt und auf ihre Brauchbarkeit überprüft werden.
o Entwickelte Algorithmen können ausgeführt und auf ihre Funktionstüchtigkeit überprüft
werden.
o Selbständiges Arbeiten und Teamfähigkeit werden gefördert.
o Das individuelle Lernen kann durch elektronische Arbeitsblätter unterstützt werden.
o Das Beschaffen von Informationen sowie das Präsentieren und Bewerten von Lösungswegen
wird geschult.
Bezugnehmend auf die zahlreichen Vorzüge der elektronischen Medien (z.B. Entdeckendes
Lernen oder die schnelle und einfache Visualisierung von Sachverhalten) werden speziell die
Vorzüge einer dynamischen Geometriesoftware und einer Tabellenkalkulationssoftware
hervorgehoben (vgl. Kapitel 3). Ergänzende Software (Funktionenplotter, Computeralgebra-
Systeme, dynamische Modellbildungssysteme und Lern- und Übungsprogramme) kann zusätzlich
in den höheren Klassenstufen eingesetzt werden. Die Einführung eines wissenschaftlichen
Taschenrechners ist laut RLP Sek I ab Klassenstufe 7 verbindlich, wobei der konkrete
Leistungsumfang des Gerätes (grafikfähig, programmierbar, mit/ohne CAS) von der
Fachkonferenz entschieden wird. Ebenso wird das Arbeiten mit einer DGS und einer
Tabellenkalkulation verpflichtend festgelegt. Hierzu ist im RLP Sek I zu entnehmen:
Ab Klassenstufe 7 müssen Schülerinnen und Schüler mindestens einmal im Schuljahr innerhalb
einer Lernsequenz mit dynamischer Geometriesoftware oder einer Tabellenkalkulation
selbstständig arbeiten. Die Einführung dieser Software empfiehlt sich schon in der
Orientierungsstufe.“ (MBWJK, 2007, S.12)
Die Empfehlung, mit der Einführung entsprechender Software bereits in der Orientierungsstufe
zu beginnen, unterstreicht den kumulativen Charakter in der Aneignung von Bedienkompetenzen
(vgl. Abschnitt 4.4). Je früher mit dem Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen begonnen
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 102
wird, desto wahrscheinlicher ist es, dass Schüler sukzessive in den höheren Jahrgängen bis zum
Erreichen des jeweiligen Schulabschlusses davon profitieren. Die Einführung der KMK-
Bildungsstandards mit den Empfehlungen diese in den Curricula der Bundesländer umzusetzen
richtet einen klaren Fokus auf den Kompetenzerwerb der Schüler auf den vielfältigen Ebenen
fachlicher und überfachlicher Natur. Aufgrund der fortschreitenden Digitalisierung treten „[…]
digitale Medien und digitale Werkzeuge zunehmend an die Stelle analoger Verfahren […]“. (KMK,
2016, S. 3) Mit der Verabschiedung der Strategie Bildung in der digitalen Welt im Jahr 2016 hat
die KMK der Länder den Bildungsauftrag erweitert (vgl. KMK, 2016). Für den Kompetenzrahmen
wurde u.a. das europäische Kompetenzmodell DigComp (Ferrari, A. (2013). DigComp: A
Framework for Developing and Understanding Digital Competence in Europe. Sevilla. JRC-IPTS)
als Grundlage genommen. „Ziel ist es, dass jedes einzelne Fach mit seinen spezifischen Zugängen
zur digitalen Welt seinen Beitrag für die Entwicklung der in dem nachfolgenden
Kompetenzrahmen formulierten Anforderungen leistet.“ (KMK, 2016, S. 10) Die Kompetenzen in
der digitalen Welt (vgl. KMK, 2016) umfassen folgende Kompetenzbereiche:
(1) Suchen, Verarbeiten und Aufbewahren
(2) Kommunizieren und Kooperieren
(3) Produzieren und Präsentieren
(4) Schützen und sicher Agieren
(5) Problemlösen und Handeln
(6) Analysieren und Reflektieren
Haben die Kompetenzbereiche (1) bis (4) und (6) einen fächerübergreifenden Charakter, so lässt
sich für Bereich (5) Problemlösen und Handeln einen Bezug zu digitalen Mathematikwerkzeugen
herstellen. Unter Punkt 5.2 Werkzeuge bedarfsgerecht einsetzen heißt es weiter (KMK, 2022, S.
12):
5.2.1. Eine Vielzahl von digitalen Werkzeugen kennen und kreativ anwenden
5.2.2. Anforderungen an digitale Werkzeuge formulieren
5.2.3. Passende Werkzeuge zur Lösung identifizieren
5.2.4. Digitale Umgebungen und Werkzeuge zum persönlichen Gebrauch anpassen
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 103
4.4.2 Kompetenzen von Lehrkräften
Lehrkräfte haben eine Verantwortung und eine Verpflichtung Schüler während der Schulzeit
beim Prozess des Kompetenzerwerbs zu begleiten und zu fördern. Die dafür notwendigen
Kompetenzfacetten des Lehrer-Professionswissens (u.a. Fachwissen, Fachdidaktisches Wissen,
pädagogisch-psychologisches Wissen, diagnostische Kompetenzen, Beratungskompetenzen oder
Organisationswissen) wurden in den Abschnitten 4.1 bis 4.3 bereits dargelegt. Der
Kompetenzerwerb der Schüler auf überfachlicher und fachlicher Ebene wurde im Unterabschnitt
4.4.1 ausführlich erläutert. Es ist offensichtlich, dass mindestens die dort beschriebenen
Kompetenzen auch von Lehrkräften beherrscht werden sollten.
Mit der Forderung, entsprechende elektronische Medien im Unterricht zu integrieren, ist
unweigerlich auch die Notwendigkeit verbunden, dass (angehende) Lehrkräfte ebenso über
entsprechende Qualifikationen, sprich digitale Kompetenzen, verfügen müssen (KMK, 2016;
Eickelmann et al., 2019). Die Bedeutung der Medien für Schule und Bildung wurde in der KMK-
Erklärung Medienpädagogik in der Schule bereits 1995 zu Zeiten von Printmedien und
audiovisuellen Medien konstatiert (vgl. KMK, 2012). Die Medienwelt hat bis heute bspw. durch
das Internet und die flächendeckende Verfügbarkeit mobiler Endgeräte einen rasanten Wandel
erfahren, der für die Schulen veränderte Aufgaben mit sich bringt. Die KMK-Erklärung
Medienbildung in der Schule (2012) und die KMK-Strategie Bildung in der digitalen Welt (2016)
geben den Schulen und Lehrkräften eine Orientierung die Anforderungen der digitalen Welt zu
bewältigen. Als Qualifizierungsanspruch wird von der KMK folgendes formuliert: „Alle Lehrkräfte
müssen selbst über allgemeine Medienkompetenz verfügen und in ihren fachlichen
Zuständigkeiten zugleich „Medienexperten“ werden.“ (KMK, 2016, S.19) Die KMK-Strategie aus
dem Jahr 2016 wurde in 2021 noch mit der Empfehlung Lehren und Lernen in der digitalen Welt
ergänzt. Auf den Empfehlungen der ständigen wissenschaftlichen Kommission der KMK
beruhend, wird die sich stetig verändernde digitale Realität beim Lernen und Lehren mit digitalen
Medien und Werkzeugen thematisiert (vgl. KMK, 2021). Auf dem Weg zum Medienexperten
(nach KMK (2021) auch: Experte für das „Lernen in einer Kultur der Digitalität“) sind
Ausbildungsangebote während der ersten und zweiten Phase der Lehrerbildung als auch Fort-
und Weiterbildungsangebote für Lehrkräfte in der dritten Phase von herausragender Bedeutung.
Mit den aktualisierten Standards für die Lehrerbildung: Bildungswissenschaften (KMK, 2019)
sowie dem aktualisierten Beschluss Ländergemeinsame inhaltliche Anforderungen für die
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 104
Fachwissenschaften und Fachdidaktiken in der Lehrerbildung (2019) wurden
bildungswissenschaftliche, fachliche und fachdidaktische Aspekte vor dem Hintergrund aktueller
Entwicklungen als Standards für die Lehrerbildung etabliert (vgl. KMK, 2021). Der Europäische
Rahmen für die digitale Kompetenz Lehrender (DigCompEdu) diente als Orientierung der zuvor
genannten KMK-Standards für die Lehrerbildung, Fachwissenschaften und Fachdidaktiken.
Dieses fachunspezifische Modell wird u.a. im nachfolgenden Abschnitt näher erläutert, um die
spezifischen Kompetenzen von Lehrenden im Allgemeinen zu beschreiben.
4.5 Kompetenzmodelle beim Unterrichten mit digitalen Medien
Zur Beschreibung von professionellen Kompetenzen beim Unterrichten gibt es inzwischen
zahlreiche Modelle. Im folgenden Abschnitt sollen drei exemplarisch dargestellt werden.
Zunächst in Unterabschnitt 4.5.1 der Europäische Rahmen für die digitale Kompetenz Lehrender
(DigCompEdu). Dieser gibt einen allgemeinen Überblick zu beruflichen, pädagogischen und
didaktischen Kompetenzen von Lehrenden und Kompetenzen von Lernenden aus europäischer
Perspektive und war die Grundlage für die KMK-Standards in Deutschland. Ergänzend zum
allgemeinen Blick auf die digitalen Kompetenzen Lehrender wird außerdem das international
anerkannte TPACK-Modell vorgestellt (vgl. Abschnitt 4.5.2). Beide Modelle sind durch ihre klar
beschriebenen Kompetenzbereiche und Kompetenzen geeignet diese auf das Unterrichten des
Faches Mathematik zu übertragen. Abschnitt 4.5.3 beleuchtet das didaktische Tetraeder,
welches die Wirkebenen zwischen Lehrer, Schüler, Unterrichtsinhalt und Technologie beschreibt.
Dabei wird die Komponente Technologie konkret auf digitale Mathematikwerkzeuge bezogen,
um das Modell auf den Mathematikunterricht zu beziehen. Abschließend wird in Unterabschnitt
4.5.4 noch das SAMR-Modell als weitere Möglichkeit vorgestellt, mit dem digitale
Unterrichtsprozesse beschrieben werden können. Obwohl dieses Modell einen allgemeinen
Zugang für alle Unterrichtsfächer der Primar- und Sekundarstufe bietet, werden die einzelnen
Stufen anhand mathematischer Beispiele illustriert.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 105
4.5.1 Europäischer Rahmen für die digitale Kompetenz Lehrender (DigCompEdu)
Der KMK-Strategie (vgl. Abschnitt 4.4) sind bereits Kompetenzen von Lehrkräften zu entnehmen,
mit deren Anwendung Schüler „[…] erfolgreich auf das Leben in einer von Digitalisierung […]
geprägten Lebens- und Arbeitswelt […]“ (KMK, 2021, S.23) vorbereitet werden können. Der
Europäische Rahmen für die digitale Kompetenz Lehrender (DigCompEdu) (Erstveröffentlichung
2017: European Framework for the Digital Competence of Educators: DigCompEdu) der
gemeinsamen Forschungsstelle der Europäischen Kommission (Punie & Redecker, 2017) bietet
sich als Orientierung und notwendige Weiterentwicklung für die Lehreraus- und -fortbildung an
(KMK, 2021).
Im Zusammenspiel mit den beiden Bereichen (1) Berufliches Engagement und (6) Förderung der
digitalen Kompetenz der Lernenden stellt der DigCompEdu-Kompetenzrahmen die erforderlichen
pädagogischen und didaktischen Kompetenzen der Lehrenden (vgl. Abb. 43) in den vier
Kompetenzbereichen (2) Digitale Ressourcen, (3) Lehren und Lernen, (4) Evaluation und (5)
Lernerorientierung dar (KMK, 2021).
Die sechs Kompetenzbereiche werden dabei in 22 Kompetenzen unterteilt. Der
Kompetenzbereich (1) Berufliches Engagement bezieht sich dabei auf das berufliche Umfeld der
Lehrenden, im Besonderen die berufliche Kommunikation, berufliche Zusammenarbeit,
reflektierte Praxis und digitale Weiterbildung. In Bereich (2) Digitale Ressourcen liegen die
Schwerpunkte auf dem Auswählen, Erstellen und Anpassen als auch auf dem Organisieren,
Schützen und Teilen digitaler Ressourcen. Lehren, Lernbegleitung, kollaboratives und
selbstgesteuertes Lernen bilden die Aspekte des dritten Bereichs (Lehren und Lernen). Mit
Evaluation (4) sind im Detail Lernstand erheben, Lern-Evidenzen analysieren, Feedback und
Planung gemeint. Der Bereich (5) Lernerorientierung kann mit den Aspekten digitale Teilhabe,
Differenzierung und Individualisierung sowie aktive Einbindung der Lernenden weiter spezifiziert
werden. Die Kompetenzen der Lernenden werden in Teilbereich (6) Förderung der digitalen
Kompetenz der Lernenden verankert. Hier sollten die Lehrenden besonders die Aspekte
Informations- und Medienkompetenz, digitale Kommunikation und Zusammenarbeit, Erstellung
digitaler Inhalte und verantwortungsvoller Umgang mit digitalen Medien beachten (vgl. Punie &
Redecker, 2017).
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 106
Abb. 43: Bereiche und Kompetenzen des DigCompEdu-Kompetenzrahmens
Quelle: Punie & Redecker (2017, S. 13)
Der Kompetenzrahmen sieht vor, dass die 22 Kompetenzen auf sechs verschiedenen Stufen in
Anlehnung an den gemeinsamen europäischen Referenzrahmen für Sprachen (GER) beschrieben
werden können. Mit den Stufen A1 (Einsteiger), A2 (Entdecker), B1 (Insider), B2 (Experte), C1
(Leader) und C2 (Vorreiter) und entsprechenden Definitionen (vgl. Punie & Redecker, 2017, S.
24/25) sind Lehrende in der Lage ihren Kompetenzstand zu ermitteln. Ein Experte (B2) wird z.B.
folgendermaßen beschrieben:
„Expertinnen und Experten nutzen zur Verbesserung ihrer beruflichen Aktivitäten eine Vielzahl
an digitalen Technologien kompetent, kreativ und kritisch. Sie wählen gezielt digitale Medien
für bestimmte Situationen aus und erfassen die Vor- und Nachteile der verschiedenen
digitalen Strategien. Sie sind neugierig, für neue Ideen offen und wissen, dass sie Vieles noch
nicht ausprobiert haben. Sie experimentieren, um ihr Repertoire an Strategien zu erweitern,
zu strukturieren und zu konsolidieren. Expertinnen und Experten sind das Rückgrat jeder
Bildungsorganisation, wenn es darum geht, Praktiken zu erneuern. (Punie & Redecker, 2017,
S. 24)
Bezieht man diese allgemeine Definition auf eine Mathematiklehrkraft, so sollte diese eine
Vielzahl von digitalen Medien und Mathematikwerkzeugen kompetent, kreativ und kritisch
einsetzen. In Abwägung der Vor- und Nachteile des Einsatzes von digitalen Technologien wählen
sie diese aus, um die Lehr- und Lernaktivitäten zu verbessern und können durch ihre Expertise
Strategien für die Nutzung und Förderung der digitalen Kompetenzen der Lernenden entwickeln.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 107
4.5.2 Das TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER
Bei der Frage inwieweit sich der bildungspolitisch formulierte Anspruch (vgl. Abschnitt 4.4) einer
kompetenten Lehrkraft mit digitalen Fähigkeiten mit der Wirklichkeit deckt, hat sich u.a. das
TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER (2006) als Orientierungsrahmen international etabliert. Das
in Abbildung 44 dargestellte TPACK-Modell (Technological, Pedagogical And Content Knowledge)
ist ein didaktischer Rahmen, der Lehrkräften eine Orientierung bietet, Unterrichtsinhalte mit
digitalen Medien zu vermitteln (Koehler et al., 2013).
Abb. 44: TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER
Quelle: Harris & Hofer (2011, S. 3)
Das Modell ist eine Erweiterung des PCK-Modells von SHULMAN (vgl. Abschnitt 4.1), in dem bereits
das pädagogische Wissen (PK) und das Fachwissen (CK) als wichtige Kategorien professionellen
Wissens dargestellt wurden. Wie bereits erwähnt, sind diese aber nicht isoliert zu betrachten.
Nach SHULMAN müssen Lehrkräfte die Interaktion zwischen Pädagogik und Fachwissen
beherrschen (PCK), um den Unterricht mit methodischen und didaktischen Überlegungen sowie
Strategien sinnvoll zu gestalten. Damit wird ermöglicht an die Lebenswelt und Erfahrungen der
Schüler anzuknüpfen. Auch wenn das technologische Wissen von Lehrkräften in diesem Modell
nicht explizit erwähnt wurde, ist aber davon auszugehen, dass dieses aufgrund der Verfügbarkeit
von Büchern, Kreidetafeln, Overhead-Projektoren oder Periodensystemen bereits Beachtung
fand (vgl. Mishra & Koehler, 2006).
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 108
Durch die konkrete Erweiterung um die Komponente Technological Knowledge (TK) sind nun PK,
CK und TK die drei tragenden Säulen des Modells nach Mishra und Koehler. Mit den jeweiligen
Interaktionsmöglichkeiten ergeben sich zusätzlich die Übergangsbereiche Technological
Pedagogical Knowledge (TPK), Technological Content Knowledge (TCK) und Technological
Pedagogical Content Knowledge (TPACK), wie es Koehler und Kollegen beschreiben: „The TPACK
framework describes the kinds of knowledge that teachers need in order to teach with
technology, and the complex ways in which these bodies of knowledge interact with one
another.“ (Koehler et al., 2013, S.2)
Die Kategorien TK, TPK, TCK und TPACK (vgl. Koehler et al., 2013) werden nun näher beschrieben:
Technological Knowledge (TK)
TK bezeichnet ein Verständnis für den Umgang mit den vielfältigen Technologien, die in
pädagogischen Kontexten verwendet werden. Ausgehend von Standardtechnologien wie Bücher
und Kreidetafeln sind darüber hinaus digitale Technologien gemeint (vgl. Mishra & Koehler,
2006). Hierzu sind in erster Linie Hardware (Computer, Tablets, Notebooks, Smartphones etc.)
und Software wie z.B. Apps, Office-Programme, Präsentations-Software oder digitale Werkzeuge
(vgl. Kapitel 2) zu nennen. Neben der Bedienung von Standardsoftware ist ebenso die Installation
und das Entfernen selbiger ein Bestandteil technologischen Wissens. Moderne
Computersysteme (Hard- und Software), die für vielfältige pädagogische Themenfelder (z.B.
Unterricht, Kommunikation und Medienkonsum) eingesetzt werden, veralten relativ schnell.
Daher ist es wichtig, dass das technologische Wissen ebenso die Fähigkeit abdeckt, sich an neue
Technologien anzupassen und diese zu erlernen, da sie sich in einem stetigen, schnell
voranschreitenden Wandel befinden.
Technological Pedagogical Knowledge (TPK)
TPK charakterisiert die wechselseitige Beziehung zwischen technologischem (TK) und
pädagogischem Wissen (PK). Dieses Wissen ist notwendig, um zu verstehen, was technologische
Unterstützung didaktisch-pädagogisch leisten kann zur Erreichung bestimmter Lernziele.
Lehrkräfte werden somit befähigt ein geeignetes Werkzeug in einem bestimmten Kontext
auszuwählen, um diese Lernziele innerhalb einer Unterrichtsmethode zu adressieren.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 109
Auch der umgekehrte Weg ist innerhalb von TPK von Bedeutung. Ausgehend von der zur
Verfügung stehenden Technologie entwickeln sich neue Möglichkeiten, die über die klassischen
präsentischen Aktivitäten in Klassenräumen hinausgehen. Hier sind exemplarisch der Online-
bzw. Distanzunterricht, WebQuest-Aufgaben oder das kollaborative Arbeiten an einem
Dokument zu nennen. Von Lehrkräften wird daher verlangt, neue didaktisch-methodische
Ansätze zu entwickeln, die für die zur Verfügung stehenden Werkzeuge geeignet sind.
Technological Content Knowledge (TCK)
TCK beschreibt das Wissen über die wechselseitige Beziehung zwischen technologischem Wissen
(TK) und Fachwissen (CK). Die technologischen Voraussetzungen führen zu neuen – bisher nicht
möglichen – methodischen Konzepten wie Lehrkräfte bestimmte Inhalte darstellen können.
Beispielsweise können Lernende mehr über die Eigenschaften und Beziehungen von
geometrischen Formen erfahren durch Einsatz entsprechender dynamischer Geometrie-
Software oder mit verfügbaren Handheld-Geräten. Darüber hinaus ermöglicht die Technologie
die Entdeckung neuer Inhalte und Darstellungen von Inhalten wie z. B. die charakteristischen
Eigenschaften von Funktionen. Lehrkräfte müssen daher nicht nur über das entsprechende
Fachwissen verfügen, sondern auch wie sich Unterrichtsthemen durch den Einsatz von
Technologie verändern lassen (vgl. Mishra & Koehler, 2006).
Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK)
TPACK beschreibt die Synthese aus den einzelnen Wissensbereichen TK, CK und PK. Der Fokus
liegt dabei darauf, wie mit technologischer Unterstützung, bestimmte fachliche Inhalte in einem
didaktisch gestalteten Setting vermittelt werden können, das den pädagogischen Bedürfnissen
der Lernenden gerecht wird. Alle Bereiche, die TPACK umfasst, stellen somit für Lehrkräfte
notwendige und wichtige Aspekte des Unterrichtens dar, die beherrscht werden sollten. Das
TPACK-Framework ist ein Beweis für die Komplexität des Lehrens. Innerhalb dieses Rahmens wird
der Anspruch erhoben, dass effektiver Unterricht mit Technologie nur dann gelingt, wenn alle
Wissensbereiche des Modells miteinander im Einklang stehen und von der Lehrkraft beherrscht
werden. Lehrkräfte sollten in der Lage sein, Technologie zu nutzen, um auf vorhandenes
Schülerwissen aufzubauen und neue epistemologische Überzeugungen zu entwickeln oder alte
zu stärken (vgl. Mishra & Koehler, 2006). In der fachdidaktischen Forschung wird dieses Modell
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 110
angewendet, um das für eine sinnvolle Unterrichtsgestaltung technologische Wissen - auch in
Verbindung mit dem Fachwissen und dem pädagogischen Wissen - (angehender) Lehrkräfte zu
untersuchen. „The TPACK framework also functions as a theoretical and a conceptual lens for
researchers and educators to measure pre-service and in-service teachers’ readiness to teach
effectively with technology.“ (Koehler et al., 2013, S. 4) Zu diesem Zweck haben Forschende eine
Reihe quantitativer und qualitativer Instrumente entwickelt, um TPACK zu messen (z.B. Koehler,
Shin & Mishra, 2011; Schmidt et al., 2009).
4.5.3 Das didaktische Tetraeder
Das didaktische Dreieck - begründet durch JOHANN FRIEDRICH HERBART (1776-1841) - beschreibt das
Zusammenwirken zwischen Lehrer, Schüler und Unterrichtsinhalt. Bis heute findet dieses Modell
in seiner Grundstruktur mit zahlreichen Überarbeitungen und Weiterentwicklungen in der
Lehrerbildung der ersten und zweiten Ausbildungsphase fächerübergreifend Anwendung.
Bezogen auf den Unterricht können mit dem didaktischen Dreieck Methoden, Lehr-Lern-Prozesse
und Lernziele beschrieben werden. Mit der Möglichkeit technologiebezogene Werkzeuge und
Medien in den Unterricht zu integrieren, ist eine weitere Komponente zu den bestehenden
Eckpunkten Lehrer, Schüler und (mathematischer) Inhalt hinzugekommen, so dass von einem
didaktischen Tetraeder (vgl. Abb. 45) gesprochen werden kann (vgl. Tall, 1986; Trgalová, Clark-
Wilson & Weigand, 2018).
Abb. 45: Didaktisches Tetraeder
Quelle: Veränderte Darstellung nach Trgalová et al. (2018, S. 2)
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 111
Lehr-Lern- und Problemlöseprozesse sollten in der Regel im Zusammenspiel von allen vier
Komponenten des didaktischen Tetraeders (A (learner), B (knowledge), C (teacher) und D
(technology, resource)) ablaufen (vgl. Roth, 2019). Darüber hinaus lohnt sich ein Blick auf die
Interdependenz von jeweils drei Komponenten. Auf das didaktische Dreieck () im Sinne
Herbarts wird an dieser Stelle verzichtet, um die Bedeutung der Technologie in diesem Modell
darzustellen. Nachfolgend werden daher die gleichseitigen Dreiecke , und
näher erläutert, da dort die Komponente D beteiligt ist. Der allgemeine Terminus Technologie
wird dabei durch digitale Mathematikwerkzeuge ersetzt, um das Modell konkret auf den
Mathematikunterricht zu übertragen.
Dieses Dreieck (vgl. Abb. 45) bezieht sich auf die Lernprozesse der Schüler, die von digitalen
Mathematikwerkzeugen unterstützt werden können. Mit Hilfe der DMW können mathematische
Inhalte besser verstanden werden bzw. können dazu beitragen mathematische Probleme zu
lösen (vgl. Roth, 2019). Im Sinne der Instrumental Genesis (z.B. Kieran & Drijvers, 2006; Müller,
2023; Rabardel, 2002) entwickelt sich das digitale Mathematikwerkzeug (Gerät bzw. Artefakt) im
besten Falle zu einem persönlichen Instrument (Werkzeug). Die Bereitschaft der Schüler
vorausgesetzt, sich mit digitalen Mathematikwerkzeugen auseinanderzusetzen, führt zu einem
wechselseitigen Beeinflussungsprozess zwischen Schüler und Werkzeug. Dabei sind die
Kenntnisse und technischen Fähigkeiten (vgl. Werkzeugkompetenzen nach Heintz et al., 2017)
des Lernenden (Subjekt) von entscheidender Bedeutung. Die Möglichkeiten und Grenzen des
digitalen Werkzeugs im jeweiligen mathematischen Kontext wiederum beeinflussen Denk- und
Handlungsmuster des Subjektes.
Das Dreieck umfasst das Zusammenwirken von Schüler, Lehrkraft und digitalen
Mathematikwerkzeugen. Die Lehrkraft unterstützt im Sinne der instrumentalen Genese (z.B.
Müller, 2023) Schüler dabei, dass digitale Mathematikwerkzeuge zu persönlichen Instrumenten
werden können. Das explizite Thematisieren der Kompetenzen für die eingesetzten Werkzeuge
(vgl. Heintz et al., 2017) und das Anhalten der Schüler zur Beachtung der Nutzungs-, Problemlöse-
und Reflexionsstrategien für das Arbeiten mit digitalen Mathematikwerkzeugen (vgl. Barzel &
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 112
Roth, 2018) kann u.a. dazu beitragen, dass ein digitales Mathematikwerkzeug zu einem
individuellen Instrument wird. Die Kommunikation zwischen A (learner) und C (teacher) wird mit
einem DMW als Medium gewährleistet (vgl. Roth, 2019).
Nach Roth (2019) kann das Dreieck des didaktischen Tetraeders auf zwei Arten
interpretiert werden: einerseits können sich Lehrkräfte selbst mit Hilfe digitaler
Mathematikwerkzeuge mit mathematischen Inhalten und Problemen auseinandersetzen, um
diese zu erarbeiten bzw. zu lösen. Andererseits können Lehrkräfte Lernumgebungen konzipieren,
in denen mathematische Inhalte unter Verwendung adäquater digitaler Mathematikwerkzeuge
von Lernenden erfasst werden können.
4.5.4 Das SAMR-Modell nach PUENTEDURA
Das SAMR-Modell veranschaulicht in vier Stufen, vergleichbar mit einer Leiter (vgl. Puentedura,
2006) wie Lehr-Lern-Prozesse digital kompetent verbessert (Enhancement) bzw. verändert
(Transformation) werden können. Die vier Buchstaben des Akronyms SAMR stehen dabei für
Substitution, Augmentation, Modification und Redefinition (vgl. Abb. 46).
Abb. 46: Das SAMR-Modell
Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an PUENTEDURA (2006)
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 113
Das SAMR-Modell wurde für den US-amerikanischen Primar- und Sekundarstufenbereich (K-12
education) entwickelt, um Lehrkräfte beim Umstieg von analogen auf digitale Medien zu
unterstützen. Mit thematischem Bezug zu dieser Arbeit werden diese vier Stufen nun an
ausgewählten Themen innerhalb einer Unterrichtseinheit zu quadratischen Funktionen und
Gleichungen erläutert.
Substitution (Ersetzen)
In der ersten Stufe der Verbesserung werden digitale Medien ohne eine wesentliche Änderung
des Lehr-Lern-Prozesses als direkter Lernwerkzeugersatz verwendet. „Es findet eine Eins-zu-Eins-
Übersetzung […] statt“ (Greefrath et al., 2024, S.14), wenn die Einführung der Normalparabel
nicht über die traditionelle Kreidetafel, sondern über ein digitales Whiteboard geschieht. Ebenso
entsteht kein inhaltlicher Mehrwert, wenn Arbeitsaufträge zum Lösen quadratischer
Gleichungen als pdf-Datei im LMS hochgeladen werden, statt diese auszudrucken. Auch wenn
analoge Medien durch technische Pendants zu keiner inhaltlichen Veränderung der Funktion
führen, so ist der Umgang mit digitalen Medien bereits ein erster Schritt zur Digitalisierung von
Lehr-Lern-Prozessen (vgl. Greefrath et al., 2024).
Augmentation (Erweitern)
Die zweite Stufe der Verbesserung sieht eine Erweiterung von Lehr-Lern-Prozessen vor. Durch
den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge kann der funktionale Aspekt dieser Prozesse in den
Vordergrund gerückt werden. Die Graphen quadratischer Funktionen können im Vergleich zum
händischen Zeichnen mit Papier und Bleistift mit GeoGebra schneller und genauer geplottet
werden. Bei Problemlöseprozessen können die Daten einer Wertetabelle mit einem
Tabellenkalkulationsprogramm bearbeitet werden. In dieser Stufe können bereits Potentiale des
Einsatzes von DMW (vgl. Abschnitt 3.5.2), die einen inhaltlichen und didaktischen Mehrwert
erzeugen können, ausgeschöpft werden.
Modification (Umgestalten)
Im dritten Modell-Schritt (erste Stufe der Transformation) können Aufgabenstellungen so
technisch umgestaltet werden, dass die spezifischen Vorzüge von digitalen Mathematik-
werkzeugen für die Bearbeitung notwendig sind (vgl. Greefrath et al., 2024). Der Mehrwert der
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 114
Verwendung von DMW soll deutlich werden und von den Lernenden genutzt werden. Das
folgende Beispiel zeigt, wie das Entdeckende Lernen bei gleichzeitigem Einsparen wertvoller
Unterrichtszeit gefördert werden kann. Es ist ein langwieriger Prozess, wenn die Bedeutung der
Koeffizienten , und für Lage und Form einer Parabel (vgl. Abschnitt 2.4.2) mit der
allgemeinen Funktionsgleichung mit und mit
zahlreichen händisch erstellten Koordinatensystemen und Graphen erarbeitet wird. Durch den
Einsatz von Schiebereglern in GeoGebra und der damit verbundenen Dynamik durch die
Playfunktion entsteht ein beachtlicher Mehrwert im Vergleich zur analogen Vorgehensweise.
Gibt man bspw. für den Parameter ein Intervall mit für den Schieberegler vor,
können - bei angemessener Play-Geschwindigkeit des Schiebereglers - die Übergänge zu den
Aspekten Streckung/Stauchung und Öffnung der Parabel an den markanten Werten für
entdeckt werden.
Redefinition (Neugestalten)
In der höchsten Stufe des SAMR-Modells bzw. der zweiten Stufe der Transformation können
durch den Einsatz digitaler Medien neuartige Aufgaben konstruiert werden, die bisher undenkbar
gewesen sind. Mit einem Beispiel aus dem Bereich mathematische Modellierung kann dies
illustriert werden. Die Aufgabe besteht darin die Funktionsgleichung der Flugbahn zu bestimmen,
die ein Basketball beim Freiwurf vom Verlassen der Hand bis in den Korb beschreibt. Mit einer
Videoaufzeichnung und anschließender Analyse der Flugbahn können die notwendigen Daten
gewonnen werden, um die Funktionsgleichung zu bestimmen. Mit entsprechenden technischen
Kenntnissen können Standbilder einzelner Ballpositionen in einem entsprechenden
Koordinatensystem mit GeoGebra verknüpft werden, aus denen eine Wertetabelle (:Weite,
:Höhe) erstellt werden kann.
An den aufgeführten Beispielen für das vierstufige SAMR-Modell wurde deutlich, wie digitale
Medien und im speziellen digitale Mathematikwerkzeuge bei der Gestaltung von Lehr-Lern-
Prozessen von Lehrkräften berücksichtigt werden können. Parallelen zu den
Kompetenzerwartungen der KMK (vgl. Abschnitt 4.4) und zu den bereits dargestellten digital
geprägten Modellen (vgl. Abschnitt 4.5) sind erkennbar. Auch für dieses Modell gilt: allgemeine
und fachspezifische digitale Kompetenzen als wichtige Facetten des Lehrerprofessionswissens
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 115
sind vonnöten, um Lernende bei einem sinnvollen, zielführenden und flexiblen Umgang mit den
entsprechenden Medien und Werkzeugen zu unterstützen und den Kompetenzerwerb zu
ermöglichen.
Kritiker dieses Modells wie Hamilton und Kollegen (2016) bemängeln hingegen, dass der Fokus
zu stark auf einem kontextfreien Lernprodukt liegt, und dass es dadurch zu einer
Vernachlässigung des Lernprozesses führen könnte (vgl. Hamilton et al., 2016). Des Weiteren
fügen die Autoren an, dass die Verfügbarkeit von entsprechenden Werkzeugen nicht der Motor
für die Konzeption von Lehr-Lern-Prozessen sein dürfe, sondern der Kontext der spezifischen
Unterrichtssituation. Ein weiterer Kritikpunkt ist die Einordnung in eine hierarchische Stufenfolge
(Taxonomie). Es könne der Eindruck entstehen, dass eine stärkere und komplexer werdende
Nutzung digitaler Technologien unter allen Umständen erstrebenswert ist, so Hamilton und
Kollegen (2016): “As a taxonomy, the SAMR model represents the idea that teachers more
effectively use technology when they enact modification or redefinition, rather than substitution
or augmentation.“ (Hamilton et al., 2016, S. 437) Die Autoren plädieren dafür, dass sich
Lehrkräfte bewusst machen sollten, wie Lehren, Lernen und Technologie in einem dynamischen
Lehr-Lern-Prozess zusammenhängen, um auf die Bedürfnisse der Lernenden angemessen
reagieren zu können (vgl. Hamilton et al., 2016).
4.6 Werkzeugkompetenzen
In Anlehnung an den Kompetenzbegriff nach Weinert (vgl. Abschnitt 4.2) charakterisieren Heintz
et al. (2017, S. 21) den Begriff der Werkzeugkompetenz folgendermaßen: „Werkzeugkompetenz
bedeutet, mit Werkzeugen kompetent Mathematik zu betreiben.“ Dabei werden die
Werkzeugkompetenzen in die vier Subkompetenzen Bedienung, Auswahl, Reflexion und
Dokumentation untergliedert (Abb. 47). Heintz et al. (2014, 2016, 2017) richten ihren Blick in
erster Linie auf die Schüler beim kompetenten Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen.
Da jedoch die Integration von DMW in den Mathematikunterricht maßgeblich von der Lehrkraft
abhängt (z.B. Vollrath & Roth, 2012; Thomas & Palmer, 2014), sind die Werkzeugkompetenzen
gleichsam von (angehenden) Lehrkräften zu erwerben.
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 116
Abb. 47: Werkzeugkompetenzen
Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Heintz et al., 2017, S. 23 ff.
Die Subkompetenzen werden folgendermaßen beschrieben (vgl. Heintz et al., 2017):
Bedienung
„Unter Bedienkompetenz werden im Folgenden all diejenigen Fähigkeiten und Fertigkeiten
verstanden, die zur Bedienung des jeweiligen digitalen Werkzeugs benötigt werden.“ (Heintz et
al., 2017, S.23) Damit ist nicht der unrealistische Anspruch gemeint, dass ein Nutzer eine
Software vollumfänglich beherrscht, sondern dass die situativ notwendigen Schritte zur Lösung
eines Problems angewendet werden. Beispielsweise sollten bei geometrischen Konstruktionen
mit GeoGebra die grundlegenden Funktionen, die über die Werkzeugleiste auswählbar sind,
bedient werden können. Zum Aufstellen eines Tilgungsplans ist es ausreichend über die dafür
notwendigen Elemente einer Tabellenkalkulation zu verfügen. Daher ist es für den Unterricht
zielführend, dass diese Bedienkompetenzen kumulativ innerhalb der thematischen Leitideen
aufgebaut werden.
Auswahl
Der kompetente Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen bedeutet weitaus mehr als das
technologische Wissen darüber diese zu bedienen. Die Wahl eines DMW – ein gewisses
Spektrum an Möglichkeiten der Auswahl vorausgesetzt – ist ebenso Teil eines kompetenten
Umgangs mit Werkzeugen. „Es ist wichtig beim Umgang mit digitalen Werkzeugen, dass
Schülerinnen und Schüler ein passendes Werkzeug eigenständig und situationsangemessen
auswählen können“, konstatieren Heintz et al. (2017, S.13). Dabei ist die Wahl eines Werkzeugs
offensichtlich mit der Bedienkompetenz verbunden. Wenn die notwendigen Bedienelemente
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 117
eines Werkzeugs nicht bekannt sind, werden Lernende dieses auch nicht zur Problemlösung
auswählen, obwohl es der Situation angemessen wäre.
Reflexion
Bedienung und Auswahl sind wichtige Kompetenzen im Umgang mit digitalen
Mathematikwerkzeugen, und damit auch Voraussetzung deren Einsatz zu reflektieren. Es kommt
darauf an, sie bedacht zur spezifischen Unterstützung einzusetzen, so dass ihr jeweiliger Nutzen
(Heintz et al., 2017) entfaltet werden kann, um einen didaktischen Mehrwert (vgl. Unterabschnitt
3.5.1) zu erzielen. In den verschiedenen Themenbereichen können punktuell unterschiedliche
Programme erforderlich sein. Der Lehrkraft steht somit eine Vielfalt von didaktischen und
methodischen Möglichkeiten zur Verfügung DMW einzusetzen (Heintz et al., 2014). Sie hat eine
führende Rolle bei der Frage welche Werkzeuge von Lernenden verwendet werden. Es ist zu
vermuten, dass Lernende größtenteils diejenigen Werkzeuge verwenden, die von der Lehrkraft
im Unterricht eingeführt werden. Vollrath und Roth (2012) weisen in diesem Zusammenhang
darauf hin, dass Mathematikkollegien an Schulen sich auf „[…] (möglichst wenige) und möglichst
durchgängig in allen Jahrgangsstufen […] einsetzbare Computerwerkzeuge […]“ (Vollrath & Roth,
2012, S.169) verständigen sollten, um den Umgang mit diesen systematisch im Unterricht zu
üben. Idealerweise wird ein Multirepräsentationswerkzeug wie bspw. GeoGebra verwendet, da
dieses DMW mit den Implementationen Algebra, CAS, 2D- und 3D-Grafik, Funktionenplotter,
Tabellenkalkulation und Wahrscheinlichkeitsrechner die verschiedenen mathematischen
Themenbereiche adressiert. Die Kompetenz, den vorteilhaften Einsatz von DMW zu reflektieren,
beinhaltet gleichzeitig auch, sich die Grenzen eines Werkzeugs bewusst zu machen (Heintz et al.,
2017). Ein digitales Mathematikwerkzeug kann nicht alle relevanten inhalts- und
prozessbezogenen Kompetenzen ersetzen. Mathematische Zusammenhänge, Strukturen oder
Begriffsbildung erfordern weiterhin die kognitive Leistung von Lernenden. Auf die Nachteile bzw.
Grenzen und Risiken des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen wurde bereits in
Unterabschnitt 3.5.3 ausführlich eingegangen.
Dokumentation
Die Dokumentation von Rechenwegen, die zu den Ergebnissen von Problemstellungen führen,
ist mindestens genauso wichtig wie das Ergebnis selbst. Eine übersichtlich strukturierte
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 118
Dokumentation ist – vor allem in Prüfungssituationen – wichtig, um die eigenen Schritte
nachvollziehen und kontrollieren zu können. Darüber hinaus werden die allgemeinen
mathematischen Kompetenzen (vgl. KMK, 2004), vor allem Kommunizieren und Argumentieren
geschult. War es ohne Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen ein üblicherweise händisch
notierter Lösungsweg, muss die Dokumentation des Bearbeitungsweges mit Nutzung von DMW
angepasst sein. So werden bspw. die Begründung der Auswahl des Werkzeugs, eine Skizze oder
Screenshot des mit GeoGebra erstellten Graphs und Zusammenhänge zwischen Lösung und
Daten des Rechners (z.B. das Ablesen von Nullstellen statt diese zu berechnen) bei dem
kompetenten Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen notwendig sein (vgl. Heintz et al.,
2017).
4.7 Zusammenfassung
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass das Professionswissen von Lehrkräften ein
komplexes System aus verschiedenen Anforderungen und Kompetenzen bildet. Der Begriff
Kompetenz ist ein vielschichtiger Begriff, der je nach Sichtweise und Modell mit Wissen, Können,
Fähigkeiten oder Fertigkeiten beschrieben wird. Noch vor der digital geprägten Zeit war
fundiertes Fachwissen, fachdidaktisches Wissen und pädagogisch-psychologisches Wissen
ebenso zielführend für einen gelingenden Unterricht wie Organisations- und Beratungswissen
oder Diagnosekompetenzen. Bedingt durch die fortschreitende Digitalisierung rücken digitale
Kompetenzen als weitere Facette in den Fokus. Sie gehören zum Anforderungsprofil einer
Lehrkraft im 21. Jahrhundert. Die Verabschiedung der Bildungsstandards (2004) durch die KMK
bildete einen Meilenstein als Orientierungshilfe für einen vergleichbaren, kompetenzorientierten
Unterricht. Mit den medien- und digitalisierungsbezogenen Strategiepapieren (u.a.
Medienbildung in der Schule (2012), Bildung in der digitalen Welt (2016) oder Lehren und Lernen
in der digitalen Welt (2021)) wurden seitens der KMK verbindliche Rahmen formuliert, die für die
erste und zweite Ausbildungsphase von Lehrkräften und die dritte Phase der Schulpraxis mit
begleitenden Aspekten für Fort- und Weiterbildung umgesetzt werden sollten.
Der Umstand, dass die KMK der Länder die bislang gültigen prozessbezogenen mathematischen
Kompetenzen (K1) bis (K6) im Jahr 2022 um die Kompetenz Mit Medien mathematisch arbeiten
erweitert hat, ist nicht zuletzt Ausdruck dessen, dass der Mathematikunterricht immer mehr mit
DMW geprägt werden soll. Hier wird das Zusammenspiel zwischen mathematischer Bildung und
4 Grundlagen zu professionellen Kompetenzen von Lehrkräften 119
digitaler Welt explizit gefordert. Greefrath et al. (2024) sprechen in diesem Zusammenhang von
einem Leitsatz der KMK. „Mathematische Bildung in der digitalen Welt umfasst: Fachliche
Kompetenzen digital zu fördern und digitale Kompetenzen fachlich zu fördern.“ (KMK, 2022, S.13)
Allgemeine und fachspezifische digitale Medien und Werkzeuge sollen einerseits mathematische
Fähigkeiten fördern, ebenso wie digitale Kompetenzen fachlich unterstützt werden sollen.
Die Beschreibung der für den ersten und mittleren Schulabschluss novellierten inhaltsbezogenen
Kompetenz Strukturen und Funktionaler Zusammenhang (KMK, 2022) unterstreicht exemplarisch
den Bildungsauftrag des Faches Mathematik in einer zunehmend digitalisierten Lebenswelt.
Darstellungen, Eigenschaften und funktionale Zusammenhänge sollen unter Verwendung
geeigneter digitaler Mathematikwerkzeuge erfasst, analysiert und interpretiert werden.
In Kapitel 4 wurde anhand von verschiedenen Kompetenzmodellen beim Unterrichten mit
digitalen Medien (u.a. TPACK, DigCompEdu, SAMR) und den bildungspolitischen Strategien und
Empfehlungen der KMK der sich verändernde Anspruch an eine Lehrkraft des 21. Jahrhunderts
deutlich: Von einer Lehrkraft wird erwartet, Unterricht (auch) unter Einsatz von digitalen Medien
und Werkzeugen zu gestalten. Dabei sollten die relevanten Aspekte Schüler, Lehrkraft,
Unterrichtsgegenstand und digitale Technologie sinnvoll miteinander verknüpft werden. Digitale
Technologien wie bspw. digitale Mathematikwerkzeuge müssen dafür jedoch von Schülern und
Lehrkräften in Lehr-Lern-Prozessen kompetent eingesetzt werden. Dabei geht der kompetente
Umgang mit Werkzeugen über die Bedienung hinaus. Auswahl und Reflexion derer sind ebenso
wichtig, um Mathematik mit Werkzeugen sinnvoll zu betreiben (vgl. Heintz et al., 2017).
„Kompetenzen für die digital geprägte Welt, darunter auch informatische Grundkompetenzen,
müssen über alle Phasen der Lehrerbildung hinweg als wichtiger Baustein zeitgemäßer Bildung
erworben bzw. weiterentwickelt werden können.“ (KMK, 2021, S.24)
Die vorliegende Studie richtet den Fokus auf die erste Phase der Lehrerbildung, als ein wichtiger
Baustein des kontinuierlichen Kompetenzerwerbs. Der Erwerb digitaler Kompetenzen – und im
Besonderen Werkzeugkompetenzen - ist ein essentieller Teilbereich des Lehrer-
professionswissens. In Zusammenhang dazu stehen aber auch die Überzeugungen und
Werthaltungen (vgl. COACTIV-Modell) diese im Unterricht einzusetzen. Die Bedeutung der
(technologiebezogenen) Überzeugungen soll daher Gegenstand des nächsten Kapitels sein.
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 120
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften
Ein zentraler Aspekt professioneller Kompetenz ist laut Kompetenzmodell von COACTIV (Baumert
et al., 2011) neben Professionswissen, Selbstregulation und motivationaler Orientierungen der
Bereich Überzeugungen/Werthaltungen/Ziele. Dabei wird angenommen, „[…] dass
Überzeugungen die Art der Begegnung mit der Welt, d.h. in der Schule vor allem die Begegnung
mit Schülerinnen und Schülern im Unterricht, vorstrukturieren und somit die Wahrnehmung, die
Zielvorstellungen und die damit verbundenen Handlungspläne beeinflussen.“ (Baumert et al.,
2011, S. 235)
Im Gegensatz zum vergleichsweise eindeutigen Aspekt Professionswissen bilden die
berufsbezogenen Überzeugungen ein vielschichtiges System aus verschiedenen Begriffen,
Merkmalen und Funktionen, was die Schwierigkeit einer eindeutigen Definition des Terminus
Überzeugungen nach sich zieht. Daher erfolgt zunächst eine nähere begriffliche Eingrenzung aus
Sicht verschiedener Forschungsdomänen und aus internationaler Perspektive (vgl. Abschnitt 5.1),
ehe in Abschnitt 5.2 die epistemologischen Überzeugungen und in Abschnitt 5.3 Überzeugungen
zum Lehren und Lernen von Mathematik dargelegt werden.
Anschließend wird ein besonderer Fokus auf die in dieser Studie untersuchten
technologiebezogenen Überzeugungen gelegt (vgl. Abschnitt 5.4). Diese Überzeugungen sind eng
verbunden mit den in Abschnitt 3.5 dargestellten Vor- und Nachteilen, die eine
Unterrichtsgestaltung mit digitalen Mathematikwerkzeugen mit sich bringen könnte. Vor allem
die Vorteile und der damit angestrebte didaktische Mehrwert entfaltet sich jedoch nur, wenn die
Lehrkraft die Potentiale erkennt und das Unterrichtsgeschehen danach ausrichtet. Der letzte
Abschnitt beschäftigt sich mit den Selbstwirksamkeitserwartungen bzw. -überzeugungen (vgl.
Abschnitt 5.5). Im abschließenden Abschnitt 5.6 erfolgt eine Zusammenfassung der
theoretischen Grundlagen bezogen auf die berufsbezogenen Überzeugungen (angehender)
Lehrkräfte mit daraus abgeleiteten Positionen, die für die Studie von Relevanz sind.
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 121
5.1 Der Begriff Überzeugungen
Die Literatur zum Forschungsfeld Überzeugungen oder speziell zu Überzeugungen von
Lehrkräften bietet ein weitreichendes Spektrum unterschiedlicher Zugänge. Die Bezeichnungen
differieren, je nachdem ob man sich in der Hochschulforschung, Unterrichtsforschung, Didaktik
oder Schulpädagogik bewegt (Dohrmann, 2021). Zum Gegenstand der Überzeugungen von
Lehrkräften hat sich Eikmeyer (2021) die Mühe gemacht, wenigstens auszugsweise einen
Überblick über die reichhaltige Begriffsvielfalt für einen Zeitraum von nahezu 30 Jahren
darzustellen (vgl. Tab. 9).
Tab. 9: Terminologie berufsbezogener Überzeugungen (Auswahl)
Begriff
Autor*in(nen)
conceptual metaphors
LAKOFF UND JOHNSON (1980)
world views
SCHOENFELD (1985)
beliefs
PETERSON et al. (1989); AGUIERRE & SPEER (2000)
conceptions
MARTIN & BALLA (1991); KEMBER (1997); BOULTON-
LEWIS et al. (2001); CHENG et al. (2009)
fachdidaktische Überzeugungen
STAUB & STERN (2002)
teaching strategies and intentions
TRIGWELL & PROSSER (2004)
actions, intentions and beliefs
PRATT (2005)
beliefs and intentions
NORTON et al. (2005)
personal theories
LEVIN & HE (2008)
view of learning and teaching
DAHLGREN & CHIRIAC (2009)
Quelle: Eikmeyer (2021, S. 130)
Anhand dieser Übersicht lassen sich prägnante Schlagwörter gut ablesen, die sich auch in
Forschungsarbeiten anderer Autoren wiederfinden. Konzeptionen (Trautwein, 2013) werden in
der Hochschulforschung verwendet, während sich pedagogical beliefs (König, 2012) in der
Unterrichtsforschung finden lassen. In der Didaktik sind Begriffe wie Sichtweisen (Seifried, 2009),
angelehnt an den Begriff world views (Schoenfeld, 1985) oder Vorstellungen zu lesen. Die
Lehrkräfteforschung verwendet Bezeichnungen wie subjektive Theorien oder educational beliefs
(Pajares, 1992). Bereits in den 1990er Jahren stellte der amerikanische Erziehungswissenschaftler
M. Frank Pajares fest, dass Überzeugungen und Überzeugungssysteme aufgrund der
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 122
Verwendung in verschiedenen Teilbereichen der Bildungswissenschaften einem messy construct
gleichen. In seinem Artikel über Teachers‘ beliefs (Pajares, 1992, S.307) ist folgendes zu lesen:
„The difficulty in studying teachers’ beliefs has been caused by definitional problems, poor
conceptualizations, and differing understandings of beliefs and belief structures.“ In
einschlägiger englischsprachiger Literatur zur Bildungsforschung (Calderhead, 1996; Kagan,
1992; Pajares, 1992; Philipp, 2007; Richardson, 1996; Woolfolk Hoy, Davis & Pape, 2006) ist
teachers‘ beliefs der meistbenutzte Begriff, da dieser sowohl in Arbeiten zur Lehrkräfteforschung,
in der Fachdidaktik als auch in der Schuleffektivitätsforschung Verwendung findet (Dohrmann,
2021). Philipp hat 2007 eine inzwischen weit verbreitete Definition konstatiert. In dieser heißt
es:
„Psychologically held understandings, premises, or propositions about the world that are
thought to be true. Beliefs are more cognitive, are felt less intensely, and are harder to change
than attitudes. Beliefs might be thought of as lenses that affect one’s view of some aspect of
the world or as dispositions toward action. Beliefs, unlike knowledge, may be held with
varying degrees of conviction and are not consensual. Beliefs are more cognitive than
emotions and attitudes.“ (Philipp, 2007, S. 259)
Überzeugungen sind demnach individuelle Auffassungen über die Welt, die als wahr gehalten
werden und nur schwer veränderbar sind, da sie weniger intensiv empfunden werden. Im
Vergleich zu Haltungen und Emotionen steht der kognitive Aspekt deutlich im Vordergrund. In
Abgrenzung zum Wissen kann der Grad der Überzeugung variieren.
Im deutschsprachigen Raum hat sich der Begriff Überzeugung etabliert (Terhart, Bennewitz &
Rothland, 2014). Dazu beigetragen hat die zunehmende empirische Lehrkräfte- und
Unterrichtsforschung als auch die Bedeutung der berufsbezogenen Überzeugungen in Modellen
zur professionellen Kompetenz von Lehrkräften (z.B. Kompetenzmodell COACTIV nach Baumert
& Kunter, 2006).
5.2 Epistemologische Überzeugungen
Nachdem im vorangegangenen Abschnitt der Begriff Überzeugung für den englisch- und
deutschsprachigen Raum erläutert wurde, werden in diesem Abschnitt die epistemologischen
Überzeugungen betrachtet. Allgemein beziehen sich epistemologische Überzeugungen auf die
Struktur, Genese und Validierung von Wissensbeständen (Kunter et al., 2011). Nach Reusser &
Pauli (2014, S. 650) beziehen sich allgemeine und domänenspezifische Überzeugungen „[…] auf
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 123
die Inhalte und Prozesse des Wissens, Erkennens, Lehrens und Lernens in einem disziplinär-
fachlichen oder fachübergreifenden Sinne.“
Hofer & Pintrich (1997) unterscheiden in ihrer umfangreichen Übersicht über verschiedene
psychologische Forschungsprogramme zu epistemologischen Überzeugungen und Denken von
Lernenden zwischen zwei Konzepten: die Natur des Wissens (nature of knowledge) und die Natur
der Wissensgenese (nature of knowing). Überzeugungen über die Natur des Wissens beinhalten
weitere Untergliederungen. Die Struktur des Wissens, wobei zum einen Wissen als Ansammlung
isolierter Fakten und zum anderen Wissen als hoch vernetzte Konzepte gesehen werden. Die
Verlässlichkeit des Wissens beinhaltet den Ansatz, dass Wissen eine überdauernde Wahrheit ist,
aber auch die Sichtweise, dass Wissen eine veränderbare und kontextabhängige relativistische
Konstruktion ist. Bei der Natur der Wissensgenese differenzieren Hofer & Pintrich die
Überzeugungen nach der Entstehung von Wissen (Wissensgenese als Übernahme von
Wahrheiten oder als soziale Konstruktionsleistung) und der Rechtfertigung und Validierung des
Wissens (Kenntnis durch objektive Verfahren oder Koexistent multipler Verfahren).
Schommer (1990) beschreibt die epistemologischen Überzeugungen anhand von
Studierendenbefragungen in einer vierdimensionalen Struktur:
(1) die Fähigkeit zu lernen ist angeboren und fix (innate ability)
(2) Wissen als Ansammlung isolierter Fakten (simple knowledge)
(3) Lernerfolg stellt sich entweder schnell oder gar nicht ein (quick learning)
(4) Wissen steht fest und ist unveränderbar (certain knowledge)
Diese Überzeugungen korrelierten stark mit dem Lernerfolg der Studierenden. Die Leistungen
waren umso höher, je weniger sie davon überzeugt waren, dass Wissen eine pure Ansammlung
von isolierten Fakten sei.
Neben dem Interesse an Überzeugungen aus psychologischer Sicht (z.B. Perry, 1970; Schommer,
1990) beschäftigen sich auch die Fachdidaktiken mit dieser Thematik. Besonders hervorzuheben
sind für die Mathematik die Arbeiten von Alan H. Schoenfeld von der Universität Berkeley in
Kalifornien. Ausgehend von einer wissenschaftstheoretischen Konzeption ist Mathematik für ihn
eine explorative, dynamische und sich verändernde Disziplin, bei der mathematische Weltbilder
(Vorstellungen über das Wesen der Mathematik) erzeugt werden. So haben mathematische
Aufgaben seiner Ansicht nach nur genau eine Lösung bzw. genau einen richtigen Lösungsweg.
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 124
Außerdem ist Mathematik für ihn ein formales System, dass nichts mit der wirklichen Welt zu tun
habe (Schoenfeld, 1989).
An der Universität Duisburg-Essen entwickelten Törner und Grigutsch – wie Schoenfeld - ein
Messinstrument zur Erfassung mathematischer Weltbilder (Törner & Grigutsch, 1994). Die
verwendeten Skalen lassen sich zwei Leitvorstellungen zuordnen. Mathematik ist demnach
entweder ein statisches System oder ein dynamischer Prozess, die sich aber nicht
notwendigerweise ausschließen müssen. Die statische Sichtweise besteht aus schematischen
und formalen Elementen wie Axiome, Regeln und Prozeduren. Beim dynamischen Prozess wird
Mathematik kreativ betrieben und hat einen lebensnahen, praktischen Nutzen (Grigutsch et al.,
1998).
Köller, Baumert und Neubrand (2000) kombinierten den psychologischen und fachdidaktischen
Forschungsansatz. Sie entwickelten ein Messinstrument zur Erfassung der mathematischen und
naturwissenschaftlichen Weltbilder, welches in der international vergleichenden TIMS-Studie
(TIMSS – Trends in International Mathematics and Science Study) zum Einsatz gekommen ist. Die
Kombination der psychologischen und fachdidaktischen Blickwinkel brachte vier Skalen hervor:
(1) Mathematik als kreative Sprache
(2) Schematische Konzeption von Mathematik
(3) Mathematik als Leistung des Entdeckens
(4) Instrumentelle Relevanz von Mathematik
Die überwiegende Mehrheit der befragten Schüler stimmte der Skala Schematische Konzeption
von Mathematik (2) zu, während nur wenige Probanden Mathematik als kreative Sprache (1)
ansahen. Schüler mit einer schematischen Konzeption von Mathematik waren tendenziell
weniger an Mathematik interessiert und erreichten vergleichsweise niedrigere Leistungsniveaus.
Die Erkenntnisse zu epistemologischen Überzeugungen aus den TIMS-Studien von Schülern
bildeten die Grundlage für das Forschungsprogramm COACTIV (vgl. Unterabschnitt 4.2.4),
welches die epistemologischen Überzeugungen von Lehrkräften untersucht.
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 125
5.3 Überzeugungen zum Lehren und Lernen von Mathematik
Neben epistemologischen Überzeugungen haben Lehrkräfte individuelle Überzeugungen
darüber, wie Schüler unterrichtet werden sollen (Handal, 2003). Diese sind ein Produkt aus
persönlichen und emotional geprägten Erfahrungen aus verschiedenen Lebenssituationen und
sozialen Kontexten wie bspw. Familie oder Schule. Ambrose und Kollegen (2003) konstatieren,
dass der Intellekt einer Lehrperson die individuellen Überzeugungen zusätzlich determiniert.
Nach Oser und Blömeke (2012) entwickeln sich Überzeugungen über die Art und Weise „[…] wie
etwas beschaffen ist oder wie etwas funktioniert […]“ (Oser & Blömeke, 2012, S. 415). Diese
individuellen Überzeugungen spielen auch eine Rolle, welche Unterrichtsformen von Lehrkräften
angewendet werden. Nach Kuhs und Ball (1986) lassen sich drei Sichtweisen diesbezüglich
beschreiben:
(1) learner-focused
(2) content-focused with an emphasis on conceptual understanding
(3) content-focused with an emphasis on performance
Lehrkräfte des Lerner-orientierten Zugangs (Kindentwicklung-Orientierung) sind der
Überzeugung, dass das mathematische Lernen ein aktiver Konstruktionsprozess in
Lerngemeinschaften ist (Renne, 1992). Beim unterrichtlichen Handeln der Lehrkraft werden
individuelle Bedürfnisse der Schüler berücksichtigt und das konzeptionelle Verständnis von
mathematischen Themen steht im Vordergrund. Diese konstruktivistische Orientierung
(constructivist view) knüpft an den Vorerfahrungen der Schüler an und versteht sich als
sukzessiver Vorgang des Verstehens, der durch eine aktive Auseinandersetzung mit
mathematischen Inhalten initiiert wird (vgl. Kunter et al., 2011). Mit dem Fokus auf den
mathematischen Inhalt kann zwischen der Betonung des konzeptionellen Verständnisses und der
Betonung des regelhaften Abarbeitens von Rechenverfahren und Prozeduren unterschieden
werden. Daher legen Lehrkräfte mit der inhaltlich-orientierten Überzeugung (Schulwissen-
Orientierung) Wert auf die Vorgaben der Lehrpläne. Das Unterrichten besteht nach dieser
Ausrichtung darin, reproduzierbares Wissen an Schüler als passive Rezipienten transmissiv
weiterzugeben (vgl. Kunter et al., 2011). Lehrkräfte mit transmissiven Orientierungen
(transmission view) sind demnach davon überzeugt, dass es ihre Aufgabe ist, mathematisches
Wissen über fertige Konzepte durch Wiederholung und Automatisierung auf die Schüler zu
übertragen (vgl. Kunter et al., 2011).
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 126
5.4 Technologiebezogene Überzeugungen
Nachdem in den vorangegangenen Abschnitten allgemein auf die berufsbezogenen
Überzeugungen von Lehrkräften als Teilbereich professionellen Handelns eingegangen wurde,
werden nun folgend Überzeugungen bezogen auf digitale Mathematikwerkzeuge thematisiert.
Beim Lehren und Lernen von Mathematik mit digitalen Mathematikwerkzeugen spielen
Überzeugungen von (angehenden) Lehrkräften zum Technologieeinsatz eine entscheidende
Rolle (Barzel & Klinger, 2022). Zahlreiche Studien (z.B. Barzel, 2012; Drijvers et al., 2016; Li & Ma,
2010) der letzten Jahrzehnte haben gezeigt, dass der Einsatz von technologischen Hilfsmitteln
eine sinnvolle Unterstützung beim Lehren und Lernen mathematischer Inhalte sein kann. Goldin
und Kollegen (2009) sind der Auffassung, dass sich Überzeugungen stets auch auf ein bestimmtes
Objekt beziehen. Für die vorliegende Studie sind die digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra
und TKP diese Objekte, an die sich die Überzeugungen der angehenden Lehrkräfte knüpfen.
In einer Studie von Erens & Eichler (2015) mit 30 Probanden (Studierende, Referendare und
Lehrkräfte) haben sich zwei typische Überzeugungssysteme herauskristallisiert, die sehr stark
emotionale Aspekte berücksichtigen und vom Unterrichtsgegenstand unabhängig sind: the old
school und technology supporters. Vertreter des erstgenannten Systems zeigten sich eher
zurückhaltend gegenüber Technologie und äußerten dabei erhebliche Zweifel zum Einsatz von
digitalen Mathematikwerkzeugen im Unterricht. Bevor Technologie eingesetzt werde, sei es
zwingend notwendig, dass die jeweiligen zugrunde liegenden mathematischen Konzepte von den
Schülern verstanden sind (Misfeldt et al., 2016). Auf der anderen Seite ist nach Erens & Eichler
(2015) die Gruppe der technology supporters der Ansicht, dass durch Technologieeinsatz der
problemorientierte Unterricht gefördert werden kann. Technologie kann nach deren Auffassung
durchaus zur Einführung oder Erarbeitung einer Unterrichtseinheit verwendet werden. Sie
erkennen verschiedene Vorteile wie bspw. eine Motivationssteigerung gegenüber klassischem,
analogem Kreidetafel-Unterricht und favorisieren die Visualisierungs- als auch die vielfältigen
Repräsentationsmöglichkeiten bei mathematischen Konzepten.
In zahlreichen qualitativen Studien, die sich mit technologiebezogenen Überzeugungen von
Lehrkräften beschäftigt haben, werden häufig die Überzeugungen im Kontext des eigenen
Handelns im Unterricht erhoben. So wird die einfache Umsetzung von Darstellungswechseln
durch digitale Werkzeuge (z.B. Patterson & Norwood, 2004; Duncan, 2010), das entdeckende
Lernen bzw. Experimentieren mit DMW (z.B. Doerr & Zangor, 1999) oder die Möglichkeit der
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 127
Auslagerung von aufwändigen Rechenoperationen (z.B. Hennessy et al., 2001) von den
Lehrkräften als vorteilhaft beschrieben.
Die Studien zeigten gleichsam auf, dass Lehrkräfte auch ein Bewusstsein für die Nachteile bzw.
Risiken haben. So wurde belegt (z.B. Simonsen & Dick, 1997; Thomas & Hong, 2005), dass
Lehrkräfte einen zu großen Zeitaufwand bei der Integration digitaler Mathematikwerkzeuge
befürchten. Die Studie von Erens und Eichler (2015) hat aufgezeigt, dass Lehrkräfte aufgrund des
Einsatzes digitaler Mathematikwerkzeuge die Gefahr sehen, dass händische Grundfertigkeiten
verloren gingen. Die Studien von Pierce et al. (2009) und Handal et al. (2011) brachten hervor,
dass Lehrkräfte das Risiko sehen, dass Denken und Verstehen durch den Einsatz von DMW nicht
mehr adäquat gefördert würden.
Anhand der exemplarischen Auswahl der Studien lässt sich erkennen, dass die
technologiebezogenen Überzeugungen eng mit den Vor- und Nachteilen des Einsatzes von DMW
verknüpft sind, die in den Unterabschnitten 3.5.2 Vorteile von digitalen Mathematikwerkzeugen
und 3.5.3 Nachteile von digitalen Mathematikwerkzeugen bereits skizziert wurden.
5.5 Selbstwirksamkeitsüberzeugungen
Zuvor wurden bereits die epistemologischen Überzeugungen, Überzeugungen zum Lehren und
Lernen von Mathematik sowie die technologiebezogenen Überzeugungen dargestellt. Im
vorliegenden Abschnitt wird auf die Bedeutung der Selbstwirksamkeitsüberzeugung oder
Selbstwirksamkeitserwartung bei der Integration von digitalen Mathematikwerkzeugen im
Unterricht näher eingegangen. Der kanadische Psychologe ALBERT BANDURA (1925-2021)
begründete den Begriff self-efficacy (Selbstwirksamkeitserwartung) oder auch self-efficacy
beliefs (Bandura, 1977, 1997). In seiner sozial-kognitiven Theorie haben
Selbstwirksamkeitserwartungen eine zentrale Stellung. Selbstwirksamkeit meint die
zuversichtliche Erwartung, künftige Probleme - trotz auftretender Schwierigkeiten - durch
geeignete Handlungsmöglichkeiten gezielt bewältigen zu können (Bandura, 1977). Im
deutschsprachigen Raum werden die Begriffe Selbstwirksamkeitserwartung,
Selbstwirksamkeitsüberzeugung oder Selbstwirksamkeit größtenteils synonym verwendet. Diese
beziehen sich auf eine subjektive Einschätzung bzw. auf die Wahrnehmung der eigenen Fähigkeit
und nicht auf die objektiv wirkliche Fähigkeit (vgl. Schulte, 2008). Obwohl diese subjektiven
Empfindungen durch Über- oder Unterschätzung nicht zwangsläufig der Wahrheit entsprechen
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 128
müssen, haben die daraus resultierenden Handlungen Auswirkungen auf den Handlungserfolg
(Bandura, 1997). Menschen, die davon überzeugt sind Herausforderungen zu meistern, werden
sich tendenziell mehr anstrengen und werden auf lange Sicht einen höheren Handlungserfolg
haben.
Bandura konnte Zusammenhänge aus den verschiedensten Lebensbereichen (z.B. berufliches
Umfeld, Sport oder Gesundheitsbewusstsein) mit Selbstwirksamkeitserwartungen belegen
(Bandura, 1997). Höhere Selbstwirksamkeitserwartungen ziehen eine höhere Motivation,
größere akademische Erfolge und eine gesteigerte intrinsische Motivation für Schulfächer nach
sich (Schulte, 2008). Bei der Frage welche Einflussfaktoren für die
Selbstwirksamkeitserwartungen (Erwerb von Kompetenzerwartungen) verantwortlich sind,
konnte Bandura vier Quellen aufzeigen, die nachfolgend nach der Stärke ihres Einflusses
angeordnet sind (Bandura, 1997):
(1) Direkte und persönliche Erfahrungen
(2) Stellvertretende Erfahrungen
(3) Verbale Überzeugungen
(4) Psychologische und emotionale Reaktionen
Den stärksten Einfluss haben direkte und persönliche Erfahrungen (vgl. Schwarzer & Jerusalem,
2002) mit den damit verbundenen Konsequenzen. Wird eine Situation erfolgreich gestaltet, ist
die Wahrscheinlichkeit groß, dass eine vergleichbare Situation auch in der Zukunft bewältigt
wird. Sind Handlungen von Misserfolgen gekennzeichnet, wird die Selbstwirksamkeitserwartung
geschwächt (Schwarzer & Jerusalem, 2002). Die nächste Stufe bildet die stellvertretende
Erfahrung (Modelllernen, Beobachtungslernen), bei der eine Person, die eine Tätigkeit ausübt,
beobachtet wird. Wird die Situation von dieser Person erfolgreich bewältigt, wird die
beobachtende Person die relevanten Handlungen, Fähigkeiten und Kompetenzen für
vergleichbare Situationen zukünftig nutzen. Schwarzer und Jerusalem (2002) sprechen in diesem
Zusammenhang von einem Verhaltensmodell, dass zur Nachahmung empfohlen wir. Zwei
weitere Einflussfaktoren sind die verbalen Überzeugungen und die psychologischen und
emotionalen Reaktionen, die jedoch an dieser Stelle nicht weiter ausgeführt werden.
Für die Gestaltung eines innovativen Unterrichts, unter besonderer Berücksichtigung des
Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen, haben Selbstwirksamkeitserwartungen eine
gewichtige Rolle. Schwarzer und Jerusalem (2002) schreiben hierzu:
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 129
Wenig selbstwirksame Lehrer beispielsweise neigen dazu, einfache aber sichere
Unterrichtsaktivitäten zu bevorzugen, da sie sich durch innovative oder komplexe Planungen
leicht überfordert fühlen, sie kümmern sich kaum um lernschwache Schüler und sind
insgesamt wenig motiviert, guten und verständlichen Unterricht zu halten, da sie sich auch
wenig zutrauen. Lehrer mit hoher Selbstwirksamkeit gestalten einen insgesamt
herausfordernden Unterricht, sie unterstützen Schüler bei der Erzielung von Lernfortschritten
und haben mehr Geduld sowie Zuwendung für lernschwache Schüler, weil sie sich selbst mehr
zutrauen, stärker motiviert sind und eine hohe Verantwortung für einen erfolgreichen und
verständlichen Unterricht empfinden. (Schwarzer & Jerusalem, 2002, S. 40)
Die Aussagen von Schwarzer und Jerusalem (2002) lassen sich auf die Selbstwirksamkeit bezogen
auf den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen übertragen. Es ist demnach davon
auszugehen, dass (angehende) Lehrkräfte, die nicht über die notwendigen digitalen
Kompetenzen (vgl. DigCompEdu in Unterabschnitt 4.5.1) oder mathematikbezogenen
Werkzeugkompetenzen nach Heintz und Kollegen verfügen (vgl. Abschnitt 4.6) oder mit den
DMW überfordert sind, auch keinen zukunftsorientierten, digitalgestützten Unterricht gestalten.
Das geringe Zutrauen in die eigenen Fähigkeiten und eine potentielle Überforderung mindert die
Motivation digitale Medien oder digitale Mathematikwerkzeuge im Unterricht einzusetzen.
Lehrkräfte, die jedoch über die relevanten digitalen Kompetenzen verfügen – daher auch eine
hohe Selbstwirksamkeit dahingehend haben – werden eher einen verantwortungsvollen,
herausfordernden Unterricht mit innovativen Konzepten durchführen.
5.6 Zusammenfassung
In Kapitel 5 konnte dargelegt werden, dass berufsbezogene Überzeugungen von Lehrkräften ein
komplexes Gefüge aus Begriffen, Funktionen, Merkmalen und Werten bilden. Komplexe
epistemologische Überzeugungen über die Struktur und Genese von mathematischem Wissen
oder das individuelle Bildungsniveau fließen in die Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen ein, wie
auch die unterschiedliche Auffassung von Lehrkräften bei der Wissensvermittlung zwischen einer
konstruktivistischen oder transmissiven Anschauung. Beim Einsatz von Technologie im Unterricht
kann man (angehende) Lehrkräfte in die Fraktionen old school oder technology supporters
einteilen. Unabhängig von Alter und Unterrichtserfahrung ist die eigene
Selbstwirksamkeitserwartung von zentraler Bedeutung. Wird eine direkte Erfahrung wie bspw.
die kompetente Bedienung von digitalen Mathematikwerkzeugen gemacht, wirkt sich dieses
positive Erlebnis unmittelbar auf die Motivation aus, DMW auch im Unterricht einzusetzen. Der
Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen korreliert darüber hinaus mit den Vor- und
5 Überzeugungen von Mathematiklehrkräften 130
Nachteilen, die bei der Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen einhergehen. Trotz – oder gerade
wegen – ihrer Vielschichtigkeit bilden diese Überzeugungssysteme und Selbstwirksam-
keitserwartungen eine tragende Säule für das Handeln im Mathematikunterricht.
Überzeugungen von Lehrkräften sind aber nicht nur das Zusammenspiel aus eigener
Bildungsbiographie und Forschungsergebnissen zu professionstheoretischen Überlegungen. Die
häufig zitierte Lehrerpersönlichkeit, die von der eigenen Identität oder vom Berufsethos geprägt
wird, ist essentiell für pädagogische und fachliche Expertise (Reusser & Pauli, 2011). Für die
vorliegende Studie lassen sich daher nachfolgende Positionen ableiten:
o Überzeugungen sind eng verbunden mit den biographischen Erfahrungen, die eine
Person mit dem Überzeugungsobjekt (hier: digitale Mathematikwerkzeuge) gemacht
hat (Pajares, 1992; Philipp, 2007).
o Überzeugungen sind prinzipiell aufgrund der individuellen Schul- und
Berufsbiographie sehr stabil, können sich aber im Verlauf des Lehramtsstudiums oder
durch Fortbildungen verändern (Philipp, 2007; Reusser & Pauli, 2011).
o Lehrkräfte mit hoher Selbstwirksamkeit und konstruktivistischen Lehr-Lern-
Überzeugungen sind dem Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge gegenüber positiv
eingestellt (Schwarzer & Jerusalem, 2002).
o Berufsbezogene Reflexion und Input von neuem Wissen muss mit videobasierten,
situierten, problem- und handlungsorientierten Formaten ergänzt werden, um eine
nachhaltige Veränderung von Handlungsroutinen zu provozieren (Reusser & Pauli,
2011).
6 Fragestellungen und Hypothesen 131
6 Fragestellungen und Hypothesen
Aus den bildungspolitischen Strategien, Empfehlungen oder sogar Forderungen der KMK geht die
Notwendigkeit hervor, dass eine Lehrkraft in Zeiten der digitalen Transformation über digitale
Kompetenzen verfügen muss, um einen zeitgemäßen Unterricht zu gestalten. Dieses
weitreichende Feld der digitalen Kompetenzen wird für die angelegte Studie auf digitale
Mathematikwerkzeuge im Bereich elementarer Funktionen eingegrenzt. In den
vorangegangenen Kapiteln 2 bis 5 wurden vielfältige theoretische Grundlagen und Aspekte zum
Unterrichten von elementaren Funktionen mit den digitalen Mathematikwerkzeugen GeoGebra
und Tabellenkalkulation dargestellt. Mit den Ausführungen zu digitalen Kompetenzen von
Schülern und Lehrkräften, Vor- und Nachteilen des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen im Unterricht und (technologiebezogenen) Überzeugungen von
(angehenden) Lehrkräften wurde eine theoretisch fundierte Basis geschaffen. Eine Erhebung zu
Vorerfahrungen in Bezug auf digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht in der
Pilotierungsphase (SoSe 2020 & WiSe 2020/2021) unter 126 Studierenden der Universität
Koblenz (vgl. Böhm & Holzmann, 2024; Holzmann, im Druck) ergab ein heterogenes Bild.
Während alle Probanden angaben einen Taschenrechner benutzt zu haben, gaben deutlich
weniger Studierende an ein digitales Mathematikwerkzeug verwendet zu haben. Dabei entfielen
auf den grafikfähigen Taschenrechner 34, auf GeoGebra 85 und auf Tabellenkalkulation mit 63
lediglich die Hälfte aller Stimmen. Die nüchternen Zahlen liefern jedoch noch keine
hinreichenden Erkenntnisse über Qualität und Quantität der Nutzung von DMW, gerade auf dem
Hintergrund, dass der Begriff Vorerfahrungen weitreichenden Charakter hat. Exemplarische
Kommentare aus der Erhebung von angehenden Lehrkräften wie „Leider haben wir nur sehr
selten mit den Werkzeugen arbeiten dürfen.“ und „Ich habe nur an speziellen Beispielen das
"nachgemacht", was der Lehrer einmal gezeigt hat.“ untermauern die Notwendigkeit einer
genaueren Betrachtung.
Mit den theoretischen und empirischen Prämissen soll im Folgenden das Forschungsdesiderat
dargelegt werden. Hauptziel der Studie ist es die Wirksamkeit eines spezifischen
fachdidaktischen Seminars zu analysieren. Daraus ergibt sich zunächst eine übergreifende
Forschungsfrage:
6 Fragestellungen und Hypothesen 132
Welchen Einfluss hat der Besuch eines spezifischen fachdidaktischen Seminars auf
die Werkzeugkompetenzen von Mathematik-Lehramtsstudierenden bezogen auf
die beiden Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer
Funktionen und wie verändern sich digitale Kompetenzen, technologiebezogene
Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen zum geplanten Lehrer-
verhalten nach deren Einschätzungen?
Für den Bereich elementarer Funktionen der Sekundarstufe I werden hierzu zwei Teilbereiche in
den Fokus genommen:
(1) Die Entwicklung digitaler Werkzeugkompetenzen von Lehramtsstudierenden der
Schulformen Realschule plus, Gymnasium und Berufsschule für die beiden digitalen
Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation.
(2) Die Veränderungen in den Teilbereichen Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug
auf digitale Technologien (vgl. TPACK), technologiebezogene Überzeugungen und
Selbstwirksamkeitsüberzeugungen aufgrund der Selbsteinschätzung der
Mathematik-Lehramtsstudierenden.
Ausgehend von heterogenen Vorerfahrungen der Studierenden bezogen auf digitale
Mathematikwerkzeuge, welche die Lehramtsstudierenden aus Ihrer eigenen Schulzeit, teilweise
aus Praktika oder bereits gemachten Unterrichtserfahrungen mitbringen, können diverse
Forschungsfragen abgeleitet werden. Aufgrund der zuvor dargestellten Teilbereiche (1) und (2)
ergibt sich ein Forschungsinteresse zu den digitalen Mathematikwerkzeugen GeoGebra und
Tabellenkalkulation und digitalen Werkzeugkompetenzen und zu technologiebezogenen
Überzeugungen, Selbstwirksamkeit und geplantem Lehrerverhalten. Die Herleitung der
Forschungsfragen mit Hypothesen für die beiden Teilbereiche wird nachfolgend dargestellt.
(1) Digitale Mathematikwerkzeuge und digitale Werkzeugkompetenzen
Bisherige Studien zu digitalen Werkzeugkompetenzen von Lehrkräften oder
Lehramtsstudierenden beruhten auf der Selbsteinschätzung der Probanden unter Verwendung
eines entsprechenden Fragebogens. Die subjektiven Einschätzungen zu sozialwissenschaftlichen
Variablen alleine reichen jedoch nicht aus, um einer Testperson Kompetenz in einem spezifischen
Bereich zu attestieren. Aus fachdidaktischer Forschungsperspektive besteht der Wunsch die
Teilbereiche Bedienung, Auswahl und Reflexion der digitalen Werkzeugkompetenzen (vgl.
Abschnitt 4.6) auch objektiv erfassen zu können. Mit einem Kompetenztest soll ein Beitrag zu
dieser Forschungslücke geleistet werden. Daran knüpfen sich nachfolgende Forschungsfragen
6 Fragestellungen und Hypothesen 133
und Hypothesen an. Forschungsfrage [F1] bezieht sich auf die Bedienkompetenzen. Die
Hypothesen (H1.1) und (H1.2) basieren auf der Annahme, dass sich die Kompetenzen bei der
Bedienung der beiden Softwares durch die Seminarintervention verbessern. [F2] geht der Frage
nach, ob es bei der Auswahl zwischen GeoGebra und Tabellenkalkulation eine Präferenz gibt für
die Unterstützung von Aufgabenstellungen im Kontext funktionaler Zusammenhänge. Da
GeoGebra ein Multirepräsentationswerkzeug ist (z.B. Barzel et al., 2005) und die intuitive
Bedienung Arbeitsschritte transparenter macht, kann angenommen werden, dass GeoGebra im
Vergleich zu Tabellenkalkulation bevorzugt wird (H2).
Forschungsfrage [F3] bezieht sich auch auf die Auswahlkompetenz, allerdings bezogen auf
konkrete softwarespezifische digitale Unterstützungen. Abschließend zum Teilbereich (1)
Digitale Mathematikwerkzeuge und digitale Werkzeugkompetenzen soll mit [F4] die
Reflexionskompetenz der Mathematik-Lehramtsstudierenden erforscht werden, indem sie sich
zu Vor- und Nachteilen beim Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen äußern.
[F1] Inwieweit beherrschen Lehramtsstudierende basale Bedienkompetenzen im
Bereich elementarer Funktionen bezogen auf GeoGebra und Tabellenkalkulation
und welche Entwicklungen zeigen sich durch den Besuch eines spezifischen
fachdidaktischen Seminars?
(H1.1) Die basalen Bedienkompetenzen der Lehramtsstudierenden im Bereich elementarer
Funktionen bezogen auf GeoGebra können durch die Teilnahme eines spezifischen
fachdidaktischen Seminars gesteigert werden.
(H1.2) Die basalen Bedienkompetenzen der Lehramtsstudierenden im Bereich elementarer
Funktionen bezogen auf Tabellenkalkulation können durch die Teilnahme eines
spezifischen fachdidaktischen Seminars gesteigert werden.
[F2] Welches digitale Mathematikwerkzeug (GeoGebra oder Tabellenkalkulation) wird
von Lehramtsstudierenden bei Aufgaben, die von Schülern im Bereich elementarer
Funktionen prozedural bearbeitet werden, bevorzugt?
(H2) Das digitale Mathematikwerkzeug GeoGebra wird von Lehramtsstudierenden im
Bereich elementarer Funktionen im Vergleich zu Tabellenkalkulation bevorzugt.
[F3] Welche digitale Unterstützungen mit GeoGebra und Tabellenkalkulation nennen
Lehramtsstudierende vor und nach Besuch eines spezifischen fachdidaktischen
Seminars bei Aufgaben, die von Schülern im Bereich elementarer Funktionen
prozedural bearbeitet werden?
6 Fragestellungen und Hypothesen 134
[F4] Welche Vor- und Nachteile sehen Lehramtsstudierende beim Einsatz von GeoGebra
und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen?
(2) Einschätzungen der Lehramtsstudierenden zu digitalen Kompetenzen und Fähigkeiten,
technologiebezogene Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen.
Mit dem ersten Teilbereich sollen Antworten zu den Forschungsfragen mit objektiven und
quantifizerbaren Daten gefunden werden. Der zweite Teilbereich adressiert die Einschätzungen
der Lehramtsstudierenden vor und nach Besuch eines spezifischen fachdidaktischen Seminars.
Mit dem selbsteinschätzenden Fragebogen werden die Teilbereiche Kompetenzen und
Fähigkeiten in Bezug auf digitale Technologien, technologiebezogene Überzeugungen und
Selbstwirksamkeitsüberzeugungen in Bezug auf digitale Mathematikwerkzeuge erhoben. Die
Veränderungen in den Einschätzungen der Studierenden werden mit [F5] beantwortet.
[F5] Inwieweit verändern sich digitale Kompetenzen und Fähigkeiten,
technologiebezogene Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen durch
den Besuch eines spezifischen fachdidaktischen Seminars?
Die notwendige und flexible Gestaltung der Praxisphase innerhalb des Seminarkonzepts (vgl.
hierzu die Abschnitte 8.3 und 11.3) hat eine weitere Frage aufgeworfen, die an die
Forschungsfrage [F5] anknüpft. Mit den heterogenen Praxiserfahrungen kann die
Gesamtstichprobe in zwei Gruppen aufgeteilt werden. Eine Gruppe, die eigenverantwortlichen
Unterricht (EVU) an Kooperationsschulen durchgeführt hat und eine zweite Gruppe (Peer), bei
der das Konzept des Peer Teachings während des Seminars angewendet wurde. Mit dieser
Trennung der Gesamtstichprobe ergibt sich folgende Forschungsfrage:
[F6] Sind die Einschätzungen zu digitalen Kompetenzen und Fähigkeiten, zu
technologiebezogenen Überzeugungen und zu Selbstwirksamkeitserwartungen
abhängig von unterschiedlichen Praxiserfahrungen?
Die nachfolgenden Hauptteile II (Konzeptioneller Teil) und III (Methodischer Teil) dieser Arbeit
zeigen auf wie die Forschungsfragen [F1] bis [F6] bzw. die aufgestellten Hypothesen methodisch
untersucht wurden. Kernelemente sind dabei die Konzeption des begleitenden Lehr-Lern-Labor-
Seminars in Kapitel 8 sowie die Entwicklung der beiden Messinstrumente in Abschnitt 9.1
(Kompetenztest) und Abschnitt 9.2 (Fragebogen zur Selbsteinschätzung).
II Konzeptioneller Teil 135
II Konzeptioneller Teil
In den vorangegangenen Kapiteln der theoretischen Grundlagen wurde die Bedeutung von
digitalen Mathematikwerkzeugen und deren didaktischem Potential bei der Integration in einen
digital-unterstützten Unterricht beschrieben. Ebenso wurde deutlich, dass digitale Kompetenzen
von Lehrkräften eine zentrale Voraussetzung für die technologiebezogenen Überzeugungen sind,
diese in deren Unterricht zu integrieren. Hier schließt sich die Frage an, wo Lehrkräfte diese
Kompetenzen im Lauf der individuellen Bildungskarriere aufbauen können. Angefangen mit der
eigenen Schulzeit, können entsprechende Lerngelegenheiten auch während der ersten und
zweiten Phase der Lehramtsausbildung bzw. in der dritten Phase in Form von Fort- und
Weiterbildungsprogrammen geschaffen werden.
Im Rahmen dieser Dissertation wird die Aufmerksamkeit auf die erste Phase der
Lehramtsausbildung gerichtet. Zunächst wird die Bedeutung von Praxiselementen und deren
Verzahnung mit theoriebasierten Lehrformaten in Kapitel 7 herausgestellt. Eine bereits vielfach
durchgeführte Theorie-Praxis-Verzahnung an Universitäten sind Lehr-Lern-Labore. Im Jahr 2014
haben sechs Universitäten der MINT-Lehrpersonenbildung (Kiel, Koblenz-Landau, Münster,
Oldenburg, die Freie Universität Berlin und die Humboldt-Universität zu Berlin) im
Entwicklungsverbund Schülerlabore als Lehr-Lern-Labore: Forschungsorientierte Verknüpfung
von Theorie und Praxis in der MINT-Lehrerbildung begonnen bisherige Konzeptionen von Lehr-
Lern-Laboren zu erfassen und diese forschungsorientiert weiterzuentwickeln (vgl. Priemer &
Roth, 2020). Die wesentlichen Merkmale eines Lehr-Lern-Labors werden in Abschnitt 7.1
dargestellt. Auf diesen Konzeptionen und Merkmalen aufbauend, wurde für die
Wirksamkeitsstudie ein Lehr-Lehr-Labor-Konzept – zeitlich vor der Corona-Pandemie - an der
Universität Koblenz entwickelt, welches aber durch schulpolitische Einschränkungen nicht
realisiert werden konnte. Abschnitt 7.2 beleuchtet daher die anfängliche Konzeption und die
veränderte Variante, welche vom SoSe 2021 bis SoSe 2023 zur Anwendung kam. Ein wesentliches
Element eines LLL ist ein fachdidaktisches Begleitseminar. In Kapitel 8 wird nach einer
allgemeinen Darstellung des Studien- und Seminarprofils an der Universität Koblenz die
Konzeption eines spezifischen fachdidaktischen Seminars in den Abschnitten 8.1 bis 8.5
vorgestellt.
7 Theorie-Praxis-Verzahnung in der Lehrkräftebildung 136
7 Theorie-Praxis-Verzahnung in der Lehrkräftebildung
Der im Jahr 1999 in Bologna initiierte gleichnamige Prozess hatte zum Ziel einen europäischen
Hochschulraum zu schaffen, der durch Modularisierung und Internationalität eine
Vergleichbarkeit in den Bachelor- und Masterstudiengängen erzielen sollte. Mit der Employability
(Beschäftigungsfähigkeit) wurde 2007 ein weiteres Leitziel in der Londoner Erklärung erhoben.
Dieses besagt, dass man sich die für einen Beruf erforderlichen Kompetenzen während des
Studiums aneignen solle, „[…] um die zukünftige Erwerbsfähigkeit zu erlangen.“ (Eikmeyer, 2021,
S. 30). Die Wichtigkeit und Effektivität einer Theorie-Praxis-Verknüpfung wurde bereits in
zahlreichen nationalen und internationalen Studien für die professionelle
Kompetenzentwicklung (angehender Lehrkräfte) herausgestellt (z.B. Ball & Cohen, 1999; Hascher
& Zordo, 2015; Levine, 2006; Neuweg, 2016). An vielen lehrkräftebildenden Hochschulen in
Deutschland wurde auf die Forderungen aus dem Bologna-Prozess bereits reagiert. So gibt es
neben den länderspezifischen Vorgaben (z.B. Praxissemester oder orientierende und vertiefende
studienbegleitende Schulpraktika) bereits zahlreiche Ansätze und Umsetzungen die oftmals
theoriegeleiteten Lehrformate mit Praxiselementen anzureichern. Dies sind bspw. Lehr-Lern-
Labore (z.B. Priemer & Roth, 2020; Brüning, 2018), Lernwerkstätten, Schülerlabore oder
außerschulische Lernorte in den verschiedensten Formen. In diesen Settings, die bereits das
zukünftige Berufsfeld angehender Lehrkräfte adressieren, können erforderliche berufsbezogene
Kompetenzen für die sogenannte Beschäftigungsfähigkeit erworben werden (z.B. Hascher,
2006). Im Rahmen des QLB-Projektes wurde ein Lehr-Lehr-Labor als Theorie-Praxis-Verknüpfung
gewählt. Daher werden die strukturellen Merkmale eines Lehr-Lern-Labors in Abschnitt 7.1
dargestellt, ehe die spezifische Gestaltung des Lehr-Lern-Labors im Rahmen dieser
Forschungsarbeit in Abschnitt 7.2 detailliert beschrieben wird.
7.1 Lehr-Lern-Labore
Ein Lehr-Lern-Labor (LLL) ist kein Synonym für die bereits bekannten Formate Schülerlabor,
Lernwerkstatt oder Microteaching (vgl. Brüning, 2018). Strukturelemente und Potentiale derer
lassen sich jedoch auf diese universitäre Organisationsform übertragen. Die drei
Begriffsbausteine Lehr, Lern und Labor geben bereits einen ersten Hinweis auf die Aktivitäten aus
Sicht der beteiligten Personengruppen. Lehr bzw. Lehren adressiert dabei einerseits die
Dozierenden und andererseits die Studierenden, die sich in entsprechenden Settings als
7 Theorie-Praxis-Verzahnung in der Lehrkräftebildung 137
Lehrperson ausprobieren können. Der Baustein Lern bezieht sich auf die Gruppe der Schüler und
der Studierenden. Durch die aktive Teilnahme werden Schüler innerhalb eines mathematischen
Teilgebietes gefördert und können ihre Kompetenzen erweitern. Die an der Lehrveranstaltung
teilnehmenden Studierenden lernen theoretische Grundlagen des Unterrichtens, erwerben
Handlungskompetenzen und erweitern ihr Professionswissen. Mit Labor im Sinne eines
Unterrichtssettings werden Studierende angesprochen, die in einem Klassenraum oder in einer
Laborumgebung mit entsprechendem Zubehör oder Werkzeugen wissenschaftliche
Untersuchungen durchführen, um neue Erkenntnisse zum eigenen Handeln und zum
Lernverhalten von Schülern zu erlangen. Ebenso nehmen Schüler die Perspektive des
forschenden Lernens im Sinne einer Lernwerkstatt ein und können so durch die aktive Teilnahme
gefördert werden. Diese „[…] temporär herbeigeführten Situationen […]“ verfolgen den Zweck,
„[…] Lernen zu ermöglichen und zu untersuchen.“ (Komorek, 2011, S.7) Daher sind
gleichermaßen die Dozierenden als Wissenschaftler angesprochen, die durch die
Begleitforschung fachdidaktische und hochschuldidaktische Erkenntnisse generieren können. In
LLL wird die fachwissenschaftliche und fachdidaktische Ausbildung angehender Lehrkräfte mit
interaktiven und komplexitätsreduzierten Praxissituationen zwischen Schülern und Studierenden
verknüpft. Das LLL ist somit ein spezifisch gestalteter – aber authentischer – schulischer oder
außerschulischer Lernort, der sich im Wesentlichen durch zwei Merkmale von den eingangs
erwähnten Konzeptionen Schülerlabor, Lernwerkstatt und Microteaching unterscheidet (vgl.
Priemer & Roth, 2020). Zum einen wird die Ausbildung der angehenden Lehrkräfte, wie bspw.
beim Microteaching, mit der Förderung von Schülern, wie man sie von Schülerlaboren oder
Lernwerkstätten kennt, durch die Interaktion beider Gruppen verknüpft. Zum anderen nehmen
die Studierenden einen forschenden Habitus ein (vgl. Priemer & Roth, 2020), so dass das eigene
Handeln theoriebasiert reflektiert werden kann. Im Unterschied zu den üblichen Vorlesungen,
Übungen und Seminaren wird den Studierenden somit die Möglichkeit gegeben,
Handlungskompetenzen und Professionswissen zu erwerben. Aus hochschuldidaktischer
Perspektive besteht die Möglichkeit für Dozierende zu fachdidaktischer Begleitforschung (vgl.
Priemer & Roth, 2020), um neue Impulse für Praxiselemente zu bekommen.
7 Theorie-Praxis-Verzahnung in der Lehrkräftebildung 138
7.2 Lehr-Lern-Labor an der Universität Koblenz
In der zweiten Förderphase des QLB-Projektes MoSAiK werden neben der Theorie-Praxis-
Verzahnung (oder: Theorie-Praxis-Verknüpfung) die Zielbereiche Digitalisierung und Reflexion
verfolgt. Diesen Zielbereichen wurde, wie in der ersten Projektphase, mit der Konzeption eines
LLL Rechnung getragen. Im Herbst 2020 wurde dieses Konzept auf der COVID-bedingten GDM-
Online-Tagung der Julius-Maximilians-Universität Würzburg vorgestellt (vgl. Holzmann et al.,
2020). Die Digitale Forschungswerkstatt „Multiple Repräsentationen im Mathematikunterricht“
im Sinne eines Schülerlabors an der Universität ist dabei eine der drei tragenden Säulen eines
LLL, welche den Fokus auf die Entwicklung und Evaluation von differenzierenden Lehr-Lern-
Materialien (LLM) zum Themenkomplex Elementare Funktionen richtet. Die analogen und
digitalen LLM, die die vielfältigen Repräsentationsformen elementarer Funktionen
berücksichtigen, werden unter Mitwirkung von Lehramtsstudierenden in einem curricular
verankerten Lehr-Lern-Labor-Begleitseminar (2. Säule) entwickelt und berücksichtigen
theoriebasierte Überlegungen sowie empirische Ergebnisse. Während sich die Schüler mit den
LLM auseinandersetzen, sammeln angehende Lehrkräfte schulpraxisnahe Erfahrungen in einer
komplexitätsreduzierten Lernumgebung, was ihre Lehrerprofessionalisierung voranbringen soll.
Die Bearbeitungsprozesse der Schüler werden audio-visuell aufgezeichnet, so dass diese
Prozesse und das eigene Handeln von den Studierenden anhand der Videovignetten reflektiert
werden kann. Die dritte Säule bietet Potentiale für fachdidaktische Forschungsaktivitäten. LLM
können erprobt, evaluiert und weiterentwickelt werden. Die hier generierten Erkenntnisse
dienen einerseits der Verbreiterung der Grundlagenforschung zu kognitiven Prozessen und
möglichen Schwierigkeiten der Schüler bei der Bearbeitung von LLM im Kontext elementarer
Funktionen und sind andererseits konkret für die Unterrichtsentwicklung nutzbar (vgl. Holzmann
et al., 2020).
Am 25. März 2020 wurde durch den deutschen Bundestag eine epidemische Lage von nationaler
Tragweite festgestellt, was mit weitreichenden Einschränkungen für das öffentliche Leben bis
zum Frühjahr des Jahres 2023 einherging. In der Kommunikation mit Lehrkräften zur Akquise von
Schulklassen, die ein Schülerlabor an der Universität aufsuchen sollten, wurde klar, dass dies
während der Pandemie nicht möglich sein sollte. Jedoch war es möglich, dass die Studierenden
in die Kooperationsschulen kommen konnten, um die geplanten Lehr-Lern-Materialien zu
7 Theorie-Praxis-Verzahnung in der Lehrkräftebildung 139
erproben. So wurde der zuvor avisierte Lernort Schülerlabor an der Universität in den normalen
Klassenraum der jeweiligen Schule verlegt (vgl. Priemer & Roth, 2020).
„Hier besuchen die Studierenden an einem oder mehreren Terminen die Schülerinnen und
Schüler in deren gewohnten Räumen in der Schule. Bei diesen LLL kann fast von einem
Kurzpraktikum gesprochen werden. Die Studierenden lernen einen möglichen, authentischen
späteren Arbeitsplatz kennen, in dem die Lehrmaterialien und Medien der Schule, ergänzt
durch wenige eigene, genutzt werden. Für die Schülerinnen und Schüler entfällt hier die
Aufregung des außerschulischen Lernens […] und die Lehr-Lern-Situation ist sehr
realitätsnah.“ (Weusmann et al., 2020, S.36)
Durch den mehrmaligen Kontakt der Studierenden mit den Schülern einer Schulklasse haben
diese die Möglichkeit sich einander besser kennenzulernen und sich gegenseitig besser
aufeinander einzustellen. Bevor die Studierenden in Kontakt mit der Schulklasse der
Kooperationsschulen kommen, müssen diese in einem Lehr-Lern-Labor-Begleitseminar
vorbereitet werden. Im nachfolgenden Kapitel 8 werden die Konzeption und die Durchführung
dieses LLL-Seminars erläutert.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 140
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars
In den lehramtsbezogenen Studiengängen für die Schulformen Realschule plus und Gymnasium
(B.Ed.) ist im Rahmen von Modul 05a: Fachdidaktische Bereiche neben Vorlesungen zur Didaktik
der elementaren Algebra und der Zahlbereichserweiterung (5a.1) und zur Didaktik der Geometrie
(5a.2) ein fachdidaktisches Seminar (5a.3) von den Studierenden verpflichtend zu belegen. Das
gleiche Modul ist erst im Masterstudiengang (M. Ed.) für das Lehramt an Berufsbildenden
Schulen vorgesehen. Nach dem exemplarischen Verlaufsplan, der die Regelstudienzeit für das
BA-Studium vorsieht, wird empfohlen das Modul im vierten Fachsemester zu belegen. Die
Modulprüfung ist eine 90-minütige Klausur über die Inhalte der beiden Vorlesungen 5a.1 und
5a.2.
Der Workload für das Seminar beträgt insgesamt 90 Std (Kontaktzeit: 2 SWS/30 Std.;
Selbststudium: 60 Std.). Die geplante Gruppengröße umfasst maximal 15 Studierende. Das
Seminar ist erfolgreich abgeschlossen, wenn die geforderte Studienleistung (3 LP = ECTS)
erbracht wurde. Teilnahmevoraussetzungen sind Kenntnisse aus Modul 01a:
Fachwissenschaftliche und fachdidaktische Voraussetzungen, im Speziellen das Teilmodul 1a.3:
Fachdidaktische Grundlagen, eine Vorlesung mit integrierten Übungen. Folgende Inhalte
(didaktische und methodische Grundlagen des Mathematikunterrichts) sind in Teilmodul 1a.3
vorgesehen (vgl. Modulhandbuch, 2019):
o Ziele des Mathematikunterrichts
o Beitrag des Faches zur Allgemeinbildung
o Fachdidaktische und fachmethodische Grundprinzipien
o Unterrichtskonzeptionen aus Sicht der Fachdidaktik
o Mathematiklernen im Unterricht und seine spezifischen lerntheoretischen
Grundlagen (z.B. Begriffs- und Regellernen, Begründen von Beweisen, Üben und
Modellieren, Differenzierungsmöglichkeiten)
o Bedeutung des Medieneinsatzes für den Mathematikunterricht
o Differenzierung im Mathematikunterricht
Folgende Vorlesungsinhalte sind in Teilmodul 5a.1 vorgesehen (vgl. Modulhandbuch, 2019):
o Didaktik der elementaren Algebra:
• Terme und Funktionen, funktionales Denken innerhalb und außerhalb der
Mathematik, Umkehrbarkeit
• Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme, Ungleichungssysteme,
Äquivalenzumformungen, Näherungsverfahren zur Lösung von Gleichungen
höheren Grades (auch unter Verwendung der Rechenhilfsmittel)
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 141
o Didaktik der Zahlbereichserweiterungen:
• Schülergerechte Begriffsbildung von Zahlen, Größen, Skalenwerte
• Methoden zur Einführung der Bruchzahlen, Rechnen mit Bruchzahlen,
Rechengesetze, Anwendungen der Bruchrechnung
• Methoden zur Einführung ganzer und rationaler Zahlen, Rechnen mit
rationalen Zahlen
• Hinführung zu den reellen Zahlen, Intervallschachtelungen
Folgende Vorlesungsinhalte sind in Teilmodul 5a.2 vorgesehen (vgl. Modulhandbuch, 2019):
o Didaktik der Geometrie:
• Ziele des Geometrieunterrichts, die Bedeutung der Geometrie innerhalb und
außerhalb der Mathematik
• geometrische Propädeutik
• euklidische Geometrie der Ebene, Kongruenzabbildungen, Symmetrien,
Ähnlichkeitsabbildungen, affine Abbildungen, wichtige geometrische Sätze,
Längen- und Winkelbeleg
• Begriff des lokalen Ordnens
• Konstruktionshilfsmittel und deren didaktischer Stellenwert
• dynamische Geometriesysteme
• Raumgeometrie, Körpernetze, Körperdarstellungen, Symmetrien von Körpern
• schulgerechte Herleitung der Flächeninhalts- und Rauminhaltsformeln,
Herleitungen für die Zahl , Näherungsverfahren
Dieses fachdidaktische Seminar dient als Begleitseminar zum Konzept des Lehr-Lern-Labors,
welches in Abschnitt 7.2 beschrieben wurde. Aufgrund der projektseitigen Rahmenbedingungen
und festgelegten Zielbereiche der QLB-Maßnahme (Theorie-Praxis-Verknüpfung, Digitalisierung
und Reflexion) des Teilprojektes Digitale Forschungswerkstatt Multiple Repräsentationen im
Mathematikunterricht wurde das fachdidaktische Seminar folgendermaßen angepasst. Der
Kernbereich des Seminarkonzeptes sieht im Wesentlichen drei Arbeitsphasen vor, die in den
Abschnitten 8.1 bis 8.3 noch näher erläutert werden. In Tabelle 10 ist eine Übersicht der
Seminartermine (1) bis (11) mit deren Inhalten zu sehen. Die schulpraktische Arbeitsphase 3
findet zwischen den Seminarsitzungen (9) und (10) statt. Die ersten neun Sitzungen (1) – (9) bzw.
die beiden letzten (10) & (11) wurden stets als Präsenztermine durchgeführt. Der zeitliche
Korridor der Arbeitsphase 3 zur Hospitation und Durchführung von zwei Unterrichtsstunden
wurde anhand der vorgegebenen Vorlesungszeit der jeweiligen Semester angepasst. Bei 14
Semesterwochen sind es drei Wochen, bei 15 Semesterwochen vier Wochen zur Durchführung
der Arbeitsphase 3. Die geforderte Studienleistung wird in Form eines ePortfolios erbracht.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 142
Tab. 10: Übersicht Seminartermine
Sitzung
(Nr)
Inhalte der Seminarsitzungen
(1)
• Einführung/Allgemeines/Organisatorisches
• Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Messzeitpunkt 1)
(2)
• Briefing Kompetenztest
• Durchführung Kompetenztest (Prä-Test)
(3)
• Theoretische Grundlagen 1:
o KMK: Bildung/Kompetenzen in der digitalen Welt; Medienbildung in der Schule;
Lehrkräftebildung
o Rahmenlehrplan Mathematik (5-9/10): Elektronische Medien, Einsatz der DMW
GeoGebra und TKP
o PCK- und TPACK-Modell
o DigCompEdu
• Arbeitsaufträge für Studierende: Rollen von Technologie; Vor-/Nachteile von DMW mit
anschließendem Kurzvortrag und Diskussion im Plenum
• Vorstellung der Software GeoGebra mit Praxisbeispiel (Studierenden-Übung)
• Vorstellung der Software MS-Excel mit Praxisbeispiel (Studierenden-Übung)
AP1
(4) (5) (6)
• Individuelle Bearbeitung des Aufgabenkatalogs
o Pflichtaufgaben
o Freiwillige Aufgaben
• Vorstellung ausgewählter GeoGebra-Applets/Tabellenblätter durch Studierende, SHK und
Dozenten in jeder der Sitzungen (4) bis (6)
• Schriftliche Reflexion zu AP1
AP2
(7) (8) (9)
• Theoretische Grundlagen 2:
o Zuordnungen/Funktionen
o Aspekte und Grundvorstellungen von Funktionen
o Typische Lernschwierigkeiten im Kontext elementarer Funktionen
o Unterrichtsentwurf
o Kompetenzmodell COACTIV
• Planung von Unterricht (Elementare Funktionen) in Gruppen
• Schriftliche Reflexion zu AP2
AP3
(Schul-
praxis)
• Studentische Hospitation (inkl. Hospitationsprotokoll) einer Unterrichtsstunde in der
Klasse der Fachlehrkraft
• Durchführung von zwei Unterrichtsstunden mit Videographie
• Feedback zu den Unterrichtsstunden (Selbstreflexion, Dozent, ggfs. Studierende und SHK)
• Analyse der individuellen Videovignetten durch Studierende
• Schriftliche Reflexion zu AP3
(10)
• Briefing Kompetenztest
• Durchführung Kompetenztest (Post-Test)
(11)
• Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Messzeitpunkt 2)
• Organisatorisches zur Studienleistung (ePortfolio)
• Lehrveranstaltungsevaluation (LVE)
• Schlussreflexion
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 143
Sitzung (1)
Nach einer Vorstellungsrunde des Dozenten, der studentischen Hilfskraft und der
Seminarteilnehmer wurden organisatorische Informationen, die Seminarmodalitäten
(OpenOLAT-Kurs, ePortfolio) geklärt. Nach der Darstellung der organisatorischen Elemente
wurde der Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Erhebung der Daten zum ersten Messzeitpunkt)
über das Online-Umfrage-Tool LimeSurvey von den Studierenden ausgefüllt. Am Ende der
Sitzung wurde darauf hingewiesen, dass die Studierenden die Installation der beiden Softwares
GeoGebra und Tabellenkalkulation auf einem digitalen Endgerät (z.B. Laptop oder Tablet) mit
Beginn der zweiten Sitzung sicherstellen. Auf den bevorstehenden Kompetenztest wurde vom
Dozenten bewusst nicht hingewiesen, so dass die Seminarteilnehmer binnen einer Woche nicht
die Möglichkeit hatten sich auf den Test vorzubereiten
Sitzung (2) und (10)
In der zweiten Sitzung (Prä-Test) und in der zehnten Sitzung (Post-Test) wurde der Kompetenztest
über das LMS OpenOLAT jeweils für den betreffenden Testtag im Zeitraum von 10.20 – 12.00 Uhr
freigeschaltet. Durch die Einstellungen der Zugriffsrechte wurde jedem Seminarteilnehmer nur
der individuelle Kompetenztest (vgl. Abschnitt 9.2, Tab. 32) angezeigt. In einem Briefing vor
Testbeginn wurde den Studierenden wesentliche Testparameter und Besonderheiten bei der
Durchführung erläutert. Die Testparameter waren für die Probanden während der Durchführung
des Testes als Orientierung ständig sichtbar. Diese sind u.a.:
o Länge der Testbausteine: TKP (20 min.), GeoGebra (25 min.), Didaktik (15 min)
o Bearbeitungsreihenfolge der drei Aufgaben beliebig wählbar
o TKP- und GeoGebra-Aufgabe (Anleitung als Tischvorlage) erst auf Heimnetzwerk
speichern, dann in OpenOLAT hochladen
o Bearbeitungszeit (Countdown) der Aufgaben beachten
o Nach Start eines Testbausteins muss dieser auch beendet werden
Sitzung (3)
In dieser Seminareinheit wurde neben der Vermittlung der theoretischen Grundlagen 1 (vgl. Tab.
10) die wissenschaftliche Diskussion über Rollen von Technologie bzw. deren Vor- und Nachteile
beim Einsatz im Mathematikunterricht geführt. Dazu wurden ausgewählte Aspekte wie
Visualisierungsfunktion, Experimentierfunktion/Entdeckendes Lernen, Modellierungsfunktion
oder Rechenfunktion/Auslagerungsprinzip (vgl. Heugl, 2014) anhand von Gruppen-
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 144
arbeitsaufträgen mit anschl. Kurzvortrag und Diskussion in der Seminargruppe angesprochen.
Abschließend wurden die Grundzüge der beiden Softwares GeoGebra und TKP erläutert, ehe die
Studierenden anhand zweier Praxisbeispiele die Bedienung der DMW üben konnten.
8.1 Arbeitsphase 1: Schulung von Werkzeugkompetenzen
Die Arbeitsphase 1 (AP1) hatte in erster Linie zum Ziel, anhand eines Aufgabenpools mit
Pflichtaufgaben, die Bedienkompetenzen (vgl. Heintz et al. 2017) der LA-Studierenden im Bereich
elementarer Funktionen (vgl. Abschnitt 2.4) zu fördern und somit das technologische Wissen (vgl.
KMK (2016); DigCompEdu; TPACK-Modell) anzureichern. Der Aufgabenpool ist in die folgenden
sechs Teilbereiche elementarer Funktionen gegliedert:
o Grundlagen Zuordnungen/Funktionen
o Besondere Zuordnungen und Funktionen
o Quadratische Funktionen
o Potenzfunktionen
o Exponentialfunktionen/Logarithmusfunktionen
o Trigonometrische Funktionen
26 Aufgaben bilden den Aufgabenkatalog, der von den Studierenden zu bewältigen ist. Bei 15
Aufgaben ist die Erstellung von Applets mit GeoGebra vorgesehen und bei 11 Aufgaben die
Erstellung von Tabellenblättern mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (siehe Anhang 17.5).
Bei der Erstellung der Pflichtaufgaben wurde u.a. die Schulbuchreihe MATHEMATIK NEUE WEGE
des Verlags Westermann als Grundlage verwendet. Diese Reihe ist vom Ministerium für Bildung
Rheinland-Pfalz als Lernmittel für Gymnasien zugelassen. Konkret wurden die folgenden Werke
verwendet:
o MATHEMATIK NEUE WEGE 7. Arbeitsbuch für Gymnasien Rheinland-Pfalz
(Westermann, Erscheinungsjahr: 2016, ISBN: 978-3-507-85777-3)
o MATHEMATIK NEUE WEGE 8. Arbeitsbuch für Gymnasien Rheinland-Pfalz
(Westermann, Erscheinungsjahr: 2016, ISBN: 978-3-507-85778-0)
o MATHEMATIK NEUE WEGE 9. Arbeitsbuch für Gymnasien Rheinland-Pfalz
(Westermann, Erscheinungsjahr: 2016, ISBN: 978-3-507-85779-7)
o MATHEMATIK NEUE WEGE 10. Arbeitsbuch für Gymnasien Rheinland-Pfalz
(Westermann, Erscheinungsjahr: 2016, ISBN: 978-3-507-85780-3)
Die Wahl fiel auf diese Schulbuchreihe, da explizit auf die Nutzung von digitalen
Mathematikwerkzeugen hingewiesen wird: „Die Nutzung von elektronischen Werkzeugen, wie
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 145
Grafischer Taschenrechner (GTR), Tabellenkalkulation (TK) und Dynamische Geometriesoftware
(DGS), wird in Werkzeugkästen dargestellt.“ (Körner et al., 2016a, S. 6) Zusätzlich wird bei
ausgewählten Aufgaben der Arbeitsbücher für die Klassenstufen 7 bis 10 am Seitenrand auf die
Benutzung eines DMW (Funktionenplotter, GTR, DGS oder Tabellenkalkulation) hingewiesen. Die
relevanten Schulbuchseiten zu den elementaren Funktionen (vgl. Abschnitt 2.4) standen den
Studierenden während des gesamten Semesters digital über das LMS OpenOLAT zur Verfügung.
Zusätzlich wurden die analogen Schulbücher mit den Schüler-Arbeitsheften in den
Präsenzsitzungen (4) bis (6) des fachdidaktischen Seminars zur freien Verfügung ausgelegt.
Um den thematischen Anforderungen an das Seminar, die aus dem Modulhandbuch des
lehramtsbezogenen Bachelor-Studiengangs hervorgehen (vgl. Kapitel 7), Rechnung zu tragen,
wurde den Studierenden ebenso ein Katalog mit freiwilligen Aufgaben angeboten. Dieser besteht
aus insgesamt 15 Aufgaben, wobei zehn Aufgaben mit einem Tabellenkalkulationsprogramm und
fünf Aufgaben mit GeoGebra zu bearbeiten sind. Dabei entfallen auf die Leitidee L1 zwei
Aufgaben, auf L2 zwei, auf L3 fünf, auf L4 zwei und auf die Leitidee L5 vier Aufgaben. Da die
Pflichtaufgaben die elementaren Funktionen der Sekundarstufe I abdecken, wurden die beiden
Aufgaben zu L4 Funktionaler Zusammenhang aus dem Bereich der Sekundarstufe II gewählt.
Somit konnte hier durch ein differenziertes Angebot aus Pflicht- und freiwilligen Aufgaben die
individuelle Arbeitsgeschwindigkeit der Studierenden berücksichtigt werden. In den Sitzungen
(4) bis (6) wurden nach dem Zufallsprinzip parallel zur kollaborativen Arbeitsphase der
Seminarteilnehmer unter Begleitung des Dozenten und einer studentischen Hilfskraft (SHK)
verschiedene GeoGebra-Applets bzw. Tabellenblätter (digitale Unterstützung) im Plenum mit
detaillierter Schrittfolge der Bedienelemente vorgestellt. Die Präsentation der Aufgaben aus dem
Pool wurden vom Dozenten, von der SHK oder von den Seminarteilnehmern übernommen. In
Anlehnung an die Einflussfaktoren nach Bandura (1997), die die Selbstwirksamkeit erhöhen (vgl.
Unterabschnitt 5.5), konnten die Studierenden bei der Präsentation durch den Dozenten und der
SHK somit Erfahrungen in Form von Modelllernen und Beobachtungslernen sammeln. Die
direkten und persönlichen Erfahrungen, die den stärksten Einfluss nach Bandura haben, wurde
durch die Präsentation von digitalen Unterstützungen während der Seminarsitzungen gestärkt.
Die Lehreffektivität wurde durch den Dozenten und durch die Studierenden, die als Peer-
Educators (vgl. Schwarzer & Jerusalem, 2002) fungierten, erhöht. Durch die Beobachtung und
Imitation der Bedienungsschritte der beiden Softwares konnte der Aufgabenkatalog bewältigt
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 146
und somit das gesetzte Nahziel (vgl. Schwarzer & Jerusalem, 2002) erreicht werden. Nach der
jeweiligen Präsentation der digitalen Unterstützung wurden das didaktische Potential und die
Vor- und Nachteile des Einsatzes von DMW in der Seminargruppe unter Anleitung des Dozenten
diskutiert.
8.1.1 Bedienkompetenzen (GeoGebra und Tabellenkalkulation)
Bei der Entwicklung und Zusammenstellung der Pflichtaufgaben wurden die Vorgaben und
Empfehlungen des Rahmenlehrplans Mathematik (Klassenstufen 5-9/10) mit dem Fokus auf die
Klassenstufen 7 bis 10 berücksichtigt (MBWJK, 2007). Für die Doppeljahrgänge 7/8 (MBWJK,
2007, S. 55-62) und 9/10 (MBWJK, 2007, S. 99-108) wurde daher die Leitidee L4: FUNKTIONALER
ZUSAMMENHANG (ZUORDNUNGEN UND FUNKTIONEN, NICHT-LINEARE FUNKTIONEN, TERME UND GLEICHUNGEN)
anhand der drei Kategorien Kompetenzen, Inhalte und Hinweise und Vernetzung systematisch
untersucht, um basale Bedienkompetenzen
10
im Bereich elementarer Funktionen der beiden
Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation (vgl. Abschnitt 3.4) zu identifizieren. Besonderes
Augenmerk galt hier den inhaltsbezogenen Kompetenzen K4 und K5 sowie den Hinweisen
Funktionenplotter, dynamische Geometriesoftware und Tabellenkalkulation in Bezug zu den
mathematischen Inhalten. Im Bereich linearer Funktionen kann diese Untersuchung am
folgenden Beispiel verdeutlicht werden. Inhaltlich sollten Lernende „[c]harakteristische
Eigenschaften linearer Funktionen kennen und sachgerecht nutzen“ und „Parameteränderungen
bei linearen Funktionen und deren Auswirkungen auf den Graphen erläutern und in Kontexten
interpretieren“ (MBWJK, 2007, S. 58). Funktionsplotter und Tabellenkalkulation werden
empfohlen und auch darauf hingewiesen, dass Geradenscharen propädeutisch untersucht
werden sollten. Die Kompetenz K4: Beziehungen zwischen Darstellungsformen erkennen wird in
diesem Zusammenhang adressiert. Die Auswirkungen der Parameteränderungen (Steigung
und -Achsenabschnitt ) der Funktionsgleichung auf den Funktionsgraphen und die
Wertetabelle lassen sich in GeoGebra mit Schiebereglern für die Parameter und oder in einer
Tabellenkalkulation über relative Zellbezüge realisieren. Die drei Darstellungsformen
10
Der Begriff basale Bedienkompetenzen soll keineswegs den Eindruck vermitteln, dass die Bedienkompetenzen zu
GeoGebra und TKP, die in den Pflichtaufgaben adressiert wurden, einen absoluten und vollumfänglichen
Charakter haben, jegliche Lehr-Lern-Settings, Aufgabenstellungen und Problemlösungen für die elementaren
Funktionen der Sekundarstufe I abzudecken.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 147
Funktionsgleichung, Graph und Wertetabelle lassen sich in beiden DMW dynamisch und parallel
anzeigen (vgl. Window-Shuttle-Prinzip, Heugl et al., 1996).
Die nachfolgende Tabelle 11 zeigt eine Übersicht der Bedienkompetenzen, die für die einzelnen
Aufgaben charakteristisch sind:
Tab. 11: Pflichtaufgaben
Aufgabe
Bedienkompetenzen
Bezug zum RLP Sek 1 (MBWJK, 2007)
Inhalte, Hinweise und Vernetzung
Grundlagen Zuordnungen/Funktionen
Grund1
(TKP)
o Zellbezüge herstellen
o Rahmenlinien einfügen
o Text anpassen
o Diagramme erstellen
o Diagramme anpassen
o Alltagssituationen mit Hilfe von Zuordnungen
analysieren und interpretieren (S. 56)
o Eindeutigkeit am Graphen … verdeutlichen (S. 56)
o Beschreibung des graphischen Verlaufs (S. 56)
o Tabellenkalkulation (S.56)
Grund2
(TKP)
o Mit verschiedenen
Tabellenblättern arbeiten
o Diagramme erstellen
o Diagramme anpassen
o Funktionsgleichung im Diagramm
erstellen
o Eindeutigkeit am Graphen … verdeutlichen (S. 56)
o als Schreibweise für die Funktion
(S. 56)
Grund3
(GeoGebra)
o Fenster für Tabellenkalk. öffnen
o Analyse zweier Variablen
o Streudiagramm erstellen
o Regressionsmodell erstellen
o Berechne symbolisch
o Graphen in Grafik-Ansicht kopieren
o Funktion erkennen, beschreiben und darstellen
(S. 56)
o als Schreibweise für die Funktion
(S. 56)
o Tabellenkalkulation (S.56)
Grund4
(GeoGebra)
o Kreis erstellen
o Funktionsgleichungen im Algebra-
Fenster eingeben
o Graph der Funktion spiegeln
o Schieberegler erstellen
o Gerade durch 2 Punkte zeichnen
o Eindeutigkeit am Graphen … verdeutlichen (S. 56)
o als Schreibweise für die Funktion
(S. 56)
Besondere Zuordnungen und Funktionen
PropZu
(TKP)
o Werte in Zellen eintragen
o Zellbezüge herstellen
o Ausfüllkästchen verwenden
o Diagramm erstellen
o Diagramm anpassen
o Zuordnungen im Alltag erkennen, beschreiben
und darstellen (S. 55)
o Lösungsverfahren über Zuordnungstabelle
veranschaulichen (Dreisatz) (S. 57)
o Tabellenkalkulation (S. 57)
AntiZu
(GeoGebra)
o Punkte erstellen
o Schieberegler erstellen
o Spur anzeigen lassen
o Die Graphen linearer bzw. antiproportionaler
Funktionen beschreiben (S. 58)
o Funktionsplotter, Tabellenkalkulation (S. 58)
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 148
LinFu (S1)
(GeoGebra)
o Koordinatensystem anpassen
o Punkte und Gerade erstellen
o Algebra Einstellungen anpassen
o Parallele Gerade konstruieren
o Dynamisch Punkt verschieben
o Schieberegler erstellen
o Eigenschaften des Schiebereglers
o Playfunktion des Schiebereglers
o Schieberegler manuell verwenden
o Spur anzeigen lassen
o Farbe verändern
o Steigung anzeigen lassen
o Steigungsdreieck anzeigen lassen
o Schnittpunkt erstellen
o Die Graphen linearer bzw. antiproportionaler
Funktionen beschreiben (S. 58)
o Funktionsplotter, Tabellenkalkulation (S. 58)
o Charakteristische Eigenschaften linearer
Funktionen kennen und sachgerecht nutzen
(Steigung, -Achsenabschnitt,
Achsenschnittpunkte) (S. 58)
o Propädeutisch werden Geradenscharen
untersucht (S. 58)
o Parameteränderungen bei linearen Funktionen
und deren Auswirkungen auf den Graphen
erläutern und in Kontexten interpretieren (S. 58)
LinFu (S2)
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Eigenschaften Schieberegler
ändern
o Playfunktion des Schiebereglers
o Charakteristische Eigenschaften linearer
Funktionen kennen und sachgerecht nutzen
(Steigung, -Achsenabschnitt,
Achsenschnittpunkte) (S. 58)
o Propädeutisch werden Geradenscharen
untersucht (S. 58)
o Parameteränderungen bei linearen Funktionen
und deren Auswirkungen auf den Graphen
erläutern und in Kontexten interpretieren (S. 58)
LinFu (S3)
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Schieberegler erstellen
o Eigenschaften Schieberegler
ändern
o Punkt in Abhängigkeit des
Schiebereglers erstellen
o Spur anzeigen lassen
o Playfunktion des Schiebereglers
o Parameteränderungen bei linearen Funktionen
und deren Auswirkungen auf den Graphen
erläutern und in Kontexten interpretieren (S. 58)
LinFu (S4)
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Punkte eingeben im Algebra-
Fenster
o Punkte durch Klicken in das
Koordinatensystem festlegen
o Gerade durch zwei Punkte
konstruieren
o Darstellungsform einer Funktion
ändern
o Farbe verändern
o Steigung einer Geraden anzeigen
lassen
o Größe des Steigungsdreiecks
verändern
o Schnittpunkt zweier Geraden
ermitteln
o Schnittwinkel bestimmen
o Charakteristische Eigenschaften linearer
Funktionen kennen und sachgerecht nutzen
(Steigung, y-Achsenabschnitt,
Achsenschnittpunkte) (S. 58)
o Propädeutisch werden Geradenscharen
untersucht (S. 58)
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 149
Quadratische Funktionen
QuadFu1
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Eigenschaften Schieberegler
ändern
o Schieberegler manuell verwenden
o Playfunktion des Schiebereglers
o Kennzeichnende Eigenschaften von Graphen
quadratischer Funktionen (Parabeln) kennen und
in Sachsituationen nutzen (S. 100)
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter,
dynamische Geometriesoftware, … (S. 100)
QuadFu2
(TKP)
o Versch. Tabellenblätter verwenden
o Zellbezüge herstellen
o Ausfüllkästchen verwenden
o Diagramm erstellen
o Diagramm anpassen
o In Sachsituationen nicht-lineare Funktionen
erkennen, von anderen funktionalen Zusam-
menhängen unterscheiden und nutzen (S. 77)
o Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph
einer quadratischen Funktion herstellen (S. 100)
QuadFu3
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Schieberegler erstellen und
Eigenschaften anpassen
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Schieberegler manuell verwenden
o Playfunktion des Schiebereglers
o In Sachsituationen nicht-lineare Funktionen
erkennen, von anderen funktionalen Zusam-
menhängen unterscheiden und nutzen (S. 77)
o Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph
einer quadratischen Funktion herstellen (S. 100)
QuadFu4
(TKP)
o Ausfüllkästchen verwenden
o Nachkommastellen anpassen
o Diagramm erstellen
o Diagramm anpassen
o In Sachsituationen quadratische Funktionen
erkennen, von anderen funktionalen
Zusammenhängen unterscheiden und nutzen
(Tabelle, Graph Funktionsterm) (S. 99)
QuadFu5
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Schieberegler erstellen
o Eigenschaften Schieberegler
anpassen
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Extremum anzeigen lassen
o Beschriftung Punkt ändern
o Spur anzeigen
o Playfunktion des Schiebereglers
o Kennzeichnende Eigenschaften von Graphen
quadratischer Funktionen (Parabeln) kennen und
in Sachsituationen nutzen (S. 100)
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter,
dynamische Geometriesoftware, … (S. 100)
Potenzfunktionen
PoFu1
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Schieberegler erstellen
o Eigenschaften Schieberegler
anpassen
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Schneide-Befehl anwenden
o Schieberegler manuell verwenden
o Playfunktion des Schiebereglers
o Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von
Potenzfunktionen und Zusammenhänge mit den
Funktionstermen beschreiben (S. 101)
o Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
(Symmetrie, Definitions- und Wertemenge,
Monotonie, Asymptote) (S. 101)
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter, … zur
Untersuchung des Einflusses der Parameter auf
den Funktionsverlauf (S. 101)
PoFu2
(TKP)
o Schriftzug anpassen
o Rahmenlinien erstellen
o Zellbezüge herstellen
o Ausfüllkästchen verwenden
o Gitternetzlinien ausblenden
o Diagramm erstellen
o Diagramm anpassen
o Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von
Potenzfunktionen und Zusammenhänge mit den
Funktionstermen beschreiben (S. 101)
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 150
PoFu3
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Schieberegler manuell verwenden
o Playfunktion des Schiebereglers
o Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
(Symmetrie, Definitions- und Wertemenge,
Monotonie, Asymptote) (S. 101)
o Beziehungen zwischen Funktionsterm und Graph
einer Potenzfunktion der Form
herstellen (S. 101)
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter, … zur
Untersuchung des Einflusses der Parameter auf
den Funktionsverlauf (S. 101)
Exponentialfunktionen/Logarithmusfunktion
ExpoFu1
(TKP)
o Rahmenlinien einfügen
o Füllfarbe einer Zelle ändern
o Ausfüllkästchen verwenden
o Aktualisierung der Zellbezüge
o Zellbezüge herstellen
o Diagramm erstellen
o Diagramm anpassen
o Tabellenkalkulation (S. 102)
o Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von
Exponentialfunktionen und Zusammenhänge mit
dem Funktionsterm beschreiben (S. 102)
ExpoFu2
(TKP)
o Ausfüllkästchen verwenden
o Zellbezüge herstellen
o Aktualisierung der Zellbezüge
o Diagramm erstellen
o Diagramm anpassen
o Z.B. Abbau von Wirkstoffen (S. 102)
o In Sachsituationen Exponentialfunktionen
erkennen, von anderen funktionalen
Zusammenhängen unterscheiden, durch
Funktionsterme beschreiben und nutzen (S. 102)
o Tabellenkalkulation (S. 102)
ExpoFu3
(TKP)
o Zellbezüge herstellen
o Füllfarbe ändern
o Ausfüllkästchen verwenden
o Aktualisierung der Zellbezüge
o Z.B. Kapital (S. 102)
o In Sachsituationen Exponentialfunktionen
erkennen, von anderen funktionalen
Zusammenhängen unterscheiden, durch
Funktionsterme beschreiben und nutzen (S. 102)
o Tabellenkalkulation (S. 102)
ExpoFu4
(GeoGebra)
o Koordinatenachsen beschriften
o Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster eingeben
o Eigenschaften Schieberegler
anpassen
o Schnittpunkt erstellen
o Eingabe von Punkten im Algebra-
Fenster
o Gerade konstruieren
o Beschriftung ändern
o In Sachsituationen einfache
Exponentialgleichungen lösen, durch
systematisches Probieren, durch grafisches
Lösen, durch Logarithmieren (S. 103)
o Einfache Exponentialfunktionen umkehren
(Logarithmusfunktion) (S. 103)
o Grafisch und rechnerisch (S. 103)
Trigonometrische Funktionen
TrigoFu1
(S1)
(GeoGebra)
o Kreis um Mittelpunkt erstellen
o Punkt erstellen
o Schieberegler erstellen
o Eigenschaften Schieberegler
anpassen
o Schnittpunkt erstellen
o Gerade konstruieren
o Text im Grafik-Fenster anzeigen
lassen
o Kreisbewegungen als besondere periodische
Vorgänge erkennen und mithilfe trigonometri-
scher Funktionen beschreiben (Sinus- und Kosi-
nusfunktion, Deutung am Einheitskreis) (S. 104)
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter,
dynamische Geometriesoftware, …; unter-
schiedliche Winkeleingaben besprechen (S. 104)
o Kennzeichnende Eigenschaften der Graphen von
Sinus- bzw. Kosinusfunktion und
Zusammenhänge mit dem Funktionsterm
beschreiben (S. 104)
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 151
TrigoFu1
(S2)
(TKP)
o Ausfüllkästchen verwenden
o Zellbezüge herstellen
o Nachkommastellen anpassen
o Aktualisierung der Zellbezüge
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter,
dynamische Geometriesoftware, …; unter-
schiedliche Winkeleingaben besprechen (S. 104)
o Trigonometrische Funktionen im Bogenmaß
darstellen (S. 104)
o Problem der Umkehrbarkeit thematisieren
(S. 104)
TrigoFu1
(S3)
(TKP)
o Zellbezüge herstellen
o Nachkommastellen anpassen
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter,
dynamische Geometriesoftware, …; unter-
schiedliche Winkeleingaben besprechen (S. 104)
o Funktionswerte für besondere Winkel kennen
(S. 104)
TrigoFu2
(GeoGebra)
o Fenster für Tabellenkalkulation
öffnen
o Analyse zweier Variablen
o Streudiagramm erstellen
o Regressionsmodell erstellen
o Berechne symbolisch
o Graphen in Grafik-Ansicht kopieren
o Z. B. Riesenrad (S. 104)
o Kreisbewegungen als besondere periodische
Vorgänge erkennen und mithilfe trigonometri-
scher Funktionen beschreiben (Sinus- und Kosi-
nusfunktion, Deutung am Einheitskreis) (S. 104)
o Tabellenkalkulation, Funktionsplotter,
dynamische Geometriesoftware, …; unter-
schiedliche Winkeleingaben besprechen (S.104)
8.1.2 Reflexionskompetenzen (GeoGebra und Tabellenkalkulation)
Alle GeoGebra-Applets und Tabellenblätter, die anhand der vorgestellten Pflichtaufgaben (vgl.
Unterabschnitt 8.1.1) erheben neben der Schulung von basalen Kompetenzen in der Bedienung
von GeoGebra und einer Tabellenkalkulation den Anspruch, dass sie das Potential haben
Mathematik besser verstehen zu können (vgl. Unterabschnitt 3.5.1). Von den 26 Aufgaben des
Pflichtaufgabenpools zu den elementaren Funktionen wurden acht ausgewählt (vgl. Tab. 12), die
eine Auswahl an didaktischen Potentialen und Vorteilen (Visualisierung, Entdeckendes Lernen,
Experimentieren, Zeitersparnis, Auslagerungsprinzip und Modellierung, vgl. Unterabschnitt
3.5.2) des Einsatzes der digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation
abdecken. Bei der Auswahl wurde darauf geachtet, dass jeder der sechs Teilbereiche elementarer
Funktionen (Grundlagen Zuordnungen/Funktionen, Besondere Zuordnungen und Funktionen,
Quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, Exponential-funktionen/Logarithmusfunktion und
Trigonometrische Funktionen) abgedeckt wurde.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 152
Tab. 12: Didaktische Potentiale
Aufgabe
Didaktische Potentiale
Grund4
(GeoGebra)
o Visualisierung der eindeutigen Zuordnung bei Funktionen mit dynamischer Verschiebung
der senkrechten Geraden
AntiZu
(GeoGebra)
o Entdeckendes Lernen (selbständiges Erarbeiten)
o Zeitersparnis im Vergleich zum händischen Lösen der Aufgabe
QuadFu3
(GeoGebra)
o Entdeckendes Lernen
o Experimentieren mit linearen Funktionen
QuadFu4
(TKP)
o Zeitersparnis
o Auslagerungsprinzip (Berechnen von großen Datenmengen)
PoFu1
(GeoGebra)
o Entdeckendes Lernen
o Visualisierung der Lösungsmenge von Potenzgleichungen
PoFu3
(GeoGebra)
o Dynamische Visualisierung der veränderten Funktionsgraphen durch Parameter mit
Schiebereglern
o Zeitersparnis gegenüber analoger Vorgehensweise
ExpoFu3
(TKP)
o Auslagerungsprinzip (große Datenmengen, wiederkehrende Rechnungen)
o Durch wenige Eingaben können viele Rechnungen durchgeführt werden
o Reduzierung der Fehleranfälligkeit beim Rechnen
TrigoFu2
(GeoGebra)
o Modellierung
o Viele Repräsentationen gleichzeitig
o Selbstgesteuertes Lernen
Die Studierenden sollten aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert, der sich durch den Einsatz
der verwendeten digitalen Unterstützung ergibt, kommentieren. Die Antworten dieser acht
Fragen wurden dem ePortfolio (Studienleistung) beigefügt.
8.2 Arbeitsphase 2: Unterrichtsplanung mit GeoGebra und Tabellenkalkulation
Unter Anleitung des Dozenten wurden (digitale) Lehr-Lern-Materialien zu ausgewählten
Unterrichtsreihen (vgl. Rahmenlehrplan Mathematik Rheinland-Pfalz (Klassenstufen 5-9/10),
2007, Leitidee 4: Funktionaler Zusammenhang: Zuordnungen und Funktionen) entwickelt. Die
theoretischen Grundlagen für die Arbeitsphase 2 (AP2) wurden in Sitzung (7) vermittelt. Zunächst
erfolgte eine fachwissenschaftliche und fachdidaktische Einführung zu den Bereichen
Zuordnungen/Funktionen, Aspekte und Grundvorstellungen von Funktionen unter
Berücksichtigung von typischen Lernschwierigkeiten im Kontext elementarer Funktionen (vgl.
Sproesser et al., 2020) bei Repräsentationswechseln (vgl. Unterabschnitte 2.3.2 & 2.3.3). Ebenso
wurde das Kompetenzmodell von COACTIV (Kunter et al., 2011) vorgestellt. Der Rahmenlehrplan
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 153
Mathematik Klassen 5-9/10 (2007), die Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren
Schulabschluss (2003 & 2022) sowie einschlägige Fachliteratur zur Unterrichtsplanung (u.a.:
Krauthausen & Scherer, 2001; Leuders 2003; Vollrath & Roth, 2012) wurde den Studierenden
über das LMS OLAT zur Verfügung gestellt. Zusätzlich wurden die Vorgaben des Studienseminars
für Realschulen plus
11
zum Aufbau eines Unterrichtsentwurfs berücksichtigt.
Innerhalb der Seminargruppe sind Teilgruppen (2er- oder 3er-Teams je nach Seminargröße)
gebildet worden, die wiederum einer Klasse der kooperierenden Schulen und damit einem
bestimmten Thema innerhalb der elementaren Funktionen zugeordnet wurden.
In den Sitzungen (7) bis (9) wurden die Unterrichtsplanungen unter Anleitung des Dozenten
durchgeführt. In enger Absprache zwischen den Lehrkräften der Schulen und dem Dozenten
wurde die thematische Eingrenzung und der zeitliche Korridor der Unterrichtserprobungen
festgelegt. Die Planung von zwei Unterrichtsstunden wurde unter Berücksichtigung des
Technologie-Einsatzes vorgenommen. Dabei war in einer Unterrichtsstunde die
Implementierung eines Tabellenkalkulationsprogramms und in der anderen die Verwendung von
GeoGebra für jeden Studierenden verpflichtend vorgesehen. Die heterogenen
Lernausgangsbedingungen der Lerngruppen bez. DMW konnten dabei nicht berücksichtigt
werden. In den Vorgesprächen mit den betreffenden Lehrkräften der Schulklassen wurde
deutlich, dass die Schüler bisher wenig bis keine Erfahrungen im Umgang mit digitalen
Mathematikwerkzeugen vorzuweisen hatten. Daher wurde als Ausgangspunkt für die
Unterrichtsplanungen festgelegt, dass die Lernenden über keine Kompetenzen im Umgang mit
GeoGebra und Tabellenkalkulation verfügen. Bei der Methodik sollen u.a. folgende Aspekte
eingeplant werden:
• Sinnvoller Einsatz (didaktischer Mehrwert) von eigens erstellten GeoGebra-Applets und
Tabellenblättern
• Aufgaben, die mit Unterstützung der beiden digitalen Mathematikwerkzeuge von
Schülern gelöst werden
• Anbahnen von Lehr-Lern-Situationen (z.B. entdeckendes Lernen) mit Hilfe von GeoGebra
und einer Tabellenkalkulation
11
Den Studierenden konnte mit freundlicher Genehmigung des Studienseminars für Realschulen plus in Koblenz
über das LMS OpenOLAT Orientierungshilfen (Hinweise und Informationen zum Unterrichtentwurf) und ein Best-
Practice-Beispiel zur Verfügung gestellt werden.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 154
8.3 Arbeitsphase 3: Unterrichtserprobung
Für die Arbeitsphase 3 war folgende Vorgehensweise geplant. Die in Arbeitsphase 2 entwickelten
Unterrichtsentwürfe der Studierenden sollten an Realschulen plus und Gymnasien in den
Schuljahren 2020/2021, 2021/2022 und 2022/2023 erprobt und reflektiert werden. Durch
persönliche Kontakte des Dozenten und über das Netzwerk Campus-Schulen
12
der Universität
Koblenz wurden Lehrkräfte gewonnen, die ihre Klassen für die Theorie-Praxis-Verknüpfung zur
Verfügung stellten. Zum Kennenlernen der Klasse und der betreffenden Lehrkraft wurde den
Studierenden die Möglichkeit gegeben in einer Unterrichtsstunde zu hospitieren. Das
Hospitations-Protokoll (vgl. Barzel et al., 2021b) der Unterrichtsstunde mit einem selbst
gewählten Beobachtungsschwerpunkt wurde in das ePortfolio aufgenommen. Vor bzw. nach der
Hospitationsstunde konnten sich die Studierenden zusätzlich mit den (technischen)
Rahmenbedingungen des Klassenraums vertraut machen, bevor sie selbst den geplanten
Unterricht erprobten. Bei den Unterrichtserprobungen hospitierten mindestens die betreffende
Lehrkraft und der Dozent. Auf freiwilliger Basis hospitierten die studentische Hilfskraft und die
Studierenden des jeweiligen Klassenteams. Der Dozent videographierte die einzelnen
Unterrichtstunden für die anschließende Reflexion durch die Studierenden. Bei terminlichen
Überschneidungen unterstützte die SHK den Dozenten bei der Videographie.
Im Anschluss an die jeweiligen Unterrichtsstunden fand eine mündliche Reflexion (ca. 15
Minuten) statt. An dieser Reflexionsrunde nahm mindestens die/der Studierende und der Dozent
teil. Je nach Verfügbarkeit nahm ebenso die betr. Lehrkraft oder die SHK und die hospitierenden
Kommilitonen teil. Falls die Lehrkraft nicht teilnehmen konnte, wurde den Studierenden über
den Dozenten ein schriftliches Feedback der Lehrkräfte übermittelt. Das Reflexionsgespräch
wurde (in Anlehnung an einen Unterrichtsbesuch im Referendariat) simuliert. Zwischen der
ersten und zweiten Unterrichtstunde wurden zwischen Dozent und Studierenden
Handlungsvereinbarungen (z.B.: Fokus auf Fachsprache, Kommunikation zwischen Lehrkraft und
12
Das Netzwerk Campus-Schulen wurde vom Zentrum für Lehrkräftebildung (ZfL) als institutioneller Rahmen
gegründet, um die Zusammenarbeit mit den Schulen (Lehrende aus der Schulpraxis) und Studienseminaren der
Stadt und Region Koblenz weiter zu stärken. Dadurch soll die Qualität der Lehramtsstudiengänge verbessert
werden. Mit dem Netzwerk Campus-Schulen hält das ZfL darüber hinaus eine Möglichkeit bereit, mit der
Forschung und Lehre an der Universität Koblenz durch eine Theorie-Praxis-Verzahnung im Rahmen der
Lehrkräfteausbildung verbessert werden können.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 155
Schülern, Zeitmanagement, etc.) getroffen, die in der zweiten Stunde umgesetzt werden sollten,
um zwischen der ersten und zweiten Unterrichtsstunde eine Entwicklung zu initiieren.
Während der Arbeitsphase 3 wurden keine Seminarsitzungen in Präsenz durchgeführt, da der
gesamte Arbeitsaufwand von 90 Std., der mit dem Seminar verbunden war, für die Studierenden
relativ hoch war. Die Reflexion der Videovignetten wurde zeitlich zwischen die letzte
Seminarsitzung und das Semesterende gelegt. In einem Zeitraum von ca. sechs bis acht Wochen,
je nach Zeitspanne der Vorlesungszeit, wurde den Studierenden ausreichend Zeit gegeben – auch
unter Berücksichtigung des individuellen Prüfungsaufkommens – die selbst gehaltenen
Unterrichtsstunden zu reflektieren. Für die Reflexion wurde den Studierenden folgende
vierschrittige Vorgehensweise angetragen:
(1) Literaturstudium: Barzel, B.; Holzäpfel, L.; Leuders, T. & Streit, C. (2021):
Mathematik unterrichten: Planen, durchführen, reflektieren (S.163-178). Cornelsen.
(2) Videovignetten (mehrfach) anschauen
(3) Reflexionsbogen für jede Unterrichtsstunde ausfüllen (Barzel et al., 2021b, S.178)
(4) Analyse der beiden Unterrichtstunden unter Berücksichtigung spezifischer
Beobachtungsschwerpunkte (vgl. Barzel et al., 2021b)
• Vergleich von Planung und Durchführung des Unterrichts (Einstieg,
Erarbeitungs- und Sicherungsphase)
• Kompetenz(entwicklung)en bei Schülern (GeoGebra, Tabellkalkulation)
• Lehrerpersönlichkeit (Authentizität, Fachkompetenz, Sprache, Gestik, Mimik,
Offenheit, Eigenarten)
• Verwendung der korrekten mathematischen Fachsprache bei S und L
(Fehleranalyse)
• Tafelbild/Anschrieb Whiteboard
• Unterrichtsklima/Unterrichtsmanagement/Organisation
• S/L-Dialoge
• Arbeitsphasen der Schüler/Hilfestellungen durch Lehrkraft
• Kommunikation zwischen den Schülern
Für den Reflexionsschritt (4) mussten nicht alle Beobachtungsschwerpunkte berücksichtigt
werden. Die Studierenden konnten selbst entscheiden welche und wie viele Schwerpunkte bei
der Reflexion gesetzt werden. Äußere Umstände während der Projektzeit machten es jedoch
teilweise notwendig vom ursprünglich geplanten Ablauf der Arbeitsphase 3 abzuweichen.
Aufgrund der Corona-Pandemie wurde das Lehr-Lern-Labor-Begleitseminar im SoSe 2021 über
das Webkonferenzsystem BigBlueButton (BBB) realisiert. Die Unterrichtserprobungen der
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 156
Seminargruppe konnten nicht durchgeführt werden, da während dieses Zeitraums keine
externen Personen an Schulen zugelassen wurden. Die geplante Arbeitsphase 3 musste
dementsprechend angepasst werden. Verteilt auf fünf Seminarsitzungen in 30-min-Slots konnten
die 14 Studierenden eine ihrer geplanten Unterrichtstunden vorstellen und diese als Anlass für
ein gemeinsames Feedback durch die gesamte Seminargruppe inkl. Seminarleitung nehmen. In
diesen Slots wurde jede der elementaren Funktionen (vgl. Abschnitt 2.4, Tab. 3) mindestens
einmal thematisiert. Zusätzlich wurde von den Studierenden ein Essay zum Thema Mathematik
und Technologie verfasst. Den Studierenden wurde freigestellt welchen Schwerpunkt sie wählen
wollten. Als Anregung/Orientierung wurden folgende Aspekte vorgeschlagen:
• Vor- und Nachteile von digitalen Mathematikwerkzeugen
• Einsatz von GeoGebra in Lehr-Lern-Prozessen
• Einsatz einer Tabellenkalkulation in Lehr-Lern-Prozessen
• Didaktischer Mehrwert (analog vs. digital)
• Problembereiche der Digitalisierung:
o Schulische Ausstattung mit digitalen Medien/Werkzeugen
o SARS-CoV-2-Pandemie: Homeschooling, hybrider Unterricht
o Internetverfügbarkeit
o Digitale Kompetenzen von Schülern und Lehrkräften
Im WiSe 2021/2022 war es möglich, unter Einhaltung der entsprechenden Vorsorgemaßnahmen
(AHA-Regeln), dass externe Personen wieder an Schulen kommen konnten. Vier der 12
Studierenden hatten aus individuellen Gründen jedoch Bedenken sich der großen
Menschenansammlung an einer Schule auszusetzen. Die Kompromisslösung bestand darin, dass
diese vier Studierenden in zwei Seminarsitzungen jeweils eine Einzelstunde à 45 Minuten nach
der Methode des Peer Teachings (vgl. Fricke et al., 2019) innerhalb der Seminargruppe halten
sollten, welche auch videographiert wurden. Ebenso konnten die Studierenden des WiSe
2022/2023 aufgrund einer langfristigen Mobilitätseinschränkung des Dozenten ihre
Unterrichtsentwürfe nicht in einer realen Klasse erproben, so dass auch hier (vgl. WiSe
2021/2022) jeweils eine der geplanten Stunden im Peer-Teaching-Format innerhalb der
Seminargruppe gehalten und videographiert wurde.
Aus den fünf Seminargruppen mit insgesamt 55 Studierenden wurden letztendlich 60
Unterrichtstunden von 30 Studierenden an Kooperationsschulen gehalten und videographiert.
Insgesamt 351 Schüler konnten auf diesem Weg Unterricht von angehenden Lehrkräften mit
Einsatz der digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulkation erleben. Von elf
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 157
Studierenden wurde je eine Unterrichtstunde (vgl. Peer Teaching) in den Seminargruppen
gehalten und videographiert. 14 Studierende des SoSe 2021 konnten einen ihrer
Unterrichtsentwürfe lediglich theoriebasiert während des Online-Semesters, ebenfalls im Peer-
Teaching-Format vorstellen. Die nachfolgenden Tabellen 13 bis 16 zeigen detailliert die Struktur
der Arbeitsphase 3 vom WiSe 2021/2022 bis zum SoSe 2023 bezogen auf Schulform,
Klassenstufe, Anzahl Schüler, Anzahl Studierende, Anzahl Unterrichtsstunden und Funktionstyp.
Im WiSe 2021/2022 haben von den zwölf Seminarteilnehmern acht ihre Unterrichtsstunden in
den jeweiligen Klassen gehalten (vgl. Tab. 13). In Klasse 8-GYM (i-Pad-Klasse) wurden lineare
Funktionen thematisiert, während in den beiden neunten Klassen die Wahl auf quadratische
Funktionen fiel. Die beiden Unterrichtstunden zu Exponential- und Potenzfunktionen wurden
von einem Studenten realisiert, der im Rahmen einer PES-Stelle diese Klasse unterrichtete.
Insgesamt wurden 111 Schüler von acht Studierenden in 16 Stunden unterrichtet. Wie bereits
zuvor erwähnt, wurden von vier Seminarteilnehmern wegen der Corona-Pandemie Bedenken
geäußert den geplanten Unterricht an der vorgesehenen Schule durchzuführen. Jeder der vier
Seminarteilnehmer hat eine Unterrichtsstunde innerhalb der Peer-Group zu den Funktionstypen
proportionale Zuordnungen, antiproportionale Zuordnungen, Potenzfunktionen und
Exponentialfunktionen gehalten, wobei die verbleibende Seminargruppe versuchte die
entsprechende Schulklasse zu simulieren.
Tab. 13: Unterrichtserprobung WiSe 2021/2022
WiSe 2021/2022
Klasse
Anzahl
Schüler
Anzahl
Studierende
Anzahl
U-Stunden
stunden
Elementare
Funktion
8-GYM
28
3
6
Lineare Funktionen
9-GYM
29
2
4
Quadratische Funktionen
9-GYM
28
2
4
Quadratische Funktionen
10-RS+
26
1
2
Exponentialfunktionen,
Potenzfunktionen
Gesamt
111
8
16
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 158
Peer Teaching in Seminargruppe
7
1
1
Proportionale Zuordnungen
7
1
1
Antiproportionale Zuordnungen
10
1
1
Potenzfunktionen
10
1
1
Exponentialfunktionen
Gesamt
4
4
Wie Tabelle 14 zu entnehmen ist, wurden im SoSe 2022 von den zehn Seminarteilnehmern 20
Unterrichtsstunden in vier Schulklassen mit insgesamt 102 Schülern gehalten und videographiert.
Bis auf die Klasse 8 (Berufsreife) einer Realschule plus, waren die Klassen 7, 9 und 10
Gymnasialklassen. Neben proportionalen Zuordnungen in den Klassen 7 und 8 wurden
quadratische Funktionen und trigonometrische Funktionen in den Klassen 9 bzw. 10 thematisiert.
Tab. 14: Unterrichtserprobung SoSe 2022
SoSe 2022
Klasse
Anzahl
Schüler
Anzahl
Studierende
Anzahl
U-Stunden
Elementare
Funktion
7-GYM
27
2
4
Proportionale Zuordnungen
8-RS+
22
3
6
Proportionale Zuordnungen
9-GYM
24
3
6
Quadratische Funktionen
10-GYM
29
2
4
Trigonometrische Funktionen
Gesamt
102
10
20
Im WiSe 2022/2023 sollten die Unterrichtserprobungen in drei Gymnasialklassen durchgeführt
werden. Der geplante Ablauf für die Jahrgänge 8 bis 10 ist in Tabelle 15 dargestellt. Es war
angedacht, dass ein 3er-Team in Klasse 8 sechs Unterrichtstunden zu linearen Funktionen hält.
Jeweils zwei Studierende mit vier Unterrichtsstunden waren für die Klasse 9 (Quadratische
Funktionen) und Klasse 10 (Exponentialfunktionen) vorgesehen.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 159
Tab. 15: Unterrichtserprobung WiSe 2022/2023
WiSe 2022/2023 (Geplanter Ablauf)
Klasse
Anzahl
Schüler
Anzahl
Studierende
Anzahl
U-Stunden
Elementare
Funktion
8-GYM
30
3
6
Lineare Funktionen
9-GYM
27
2
4
Quadratische Funktionen
10-GYM
28
2
4
Exponentialfunktionen
Gesamt
85
7
14
Peer Teaching in Seminargruppe
8
3
3
Lineare Funktionen
9
2
2
Quadratische Funktionen
10
2
2
Exponentialfunktionen
Gesamt
7
7
Durch den unfallbedingten Ausfall des Seminarleiters konnte diese Planung nicht umgesetzt
werden
13
. Jeder der sieben Seminarteilnehmer hat eine Unterrichtsstunde innerhalb der Peer-
Group gehalten (vgl. Tab. 15). Dabei entfielen drei auf die linearen Funktionen, zwei auf
quadratische Funktionen und zwei auf Exponentialfunktionen. Die verbleibende Seminargruppe
versuchte die entsprechende Schulklasse zu simulieren.
Wie Tabelle 16 zu entnehmen ist, wurden im SoSe 2023 in fünf Gymnasialklassen 138 Schüler
von zwölf Studierenden unterrichtet. Insgesamt wurden 24 Unterrichtstunden erteilt und
videographiert. In zwei Klassen der Jahrgangsstufe 8 wurden antiproportionale Zuordnungen
thematisiert. Nachdem die quadratischen Funktionen in der Klasse 9-GYM bereits von der
Lehrkraft behandelt wurden, knüpften zwei Studierende mit dem Thema Quadratwurzelfunktion
daran an. Die beiden zehnten Klassen wurden in insgesamt zehn Stunden zu Themen aus dem
Bereich trigonometrische Funktionen unterrichtet.
13
Für die Unterrichtserprobungen wurden von der Seminarleitung Fahrgemeinschaften zu den Schulen mit
Transport des Equipments angeboten. Der Transport von 20 Convertibles und Videoausrüstung konnte den
Studierenden, die häufig nicht über ein eigenes Fahrzeug verfügen, nicht zugemutet werden. Trotz der
dauerhaften Unterstützung durch eine studentische Hilfskraft im Projekt, hätte auch die SHK den enormen
Aufwand nicht alleine stemmen können.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 160
Tab. 16: Unterrichtserprobung SoSe 2023
SoSe 2023
Klasse
Anzahl
Schüler
Anzahl
Studierende
Anzahl
U-Stunden
Elementare
Funktion
8-GYM
27
3
6
Antiproportionale Zuordnungen
8-GYM
29
2
4
Antiproportionale Zuordnungen
9-GYM
28
2
4
Quadratwurzelfunktionen
10-GYM
29
2
4
Trigonometrische Funktionen
10-GYM
25
3
6
Trigonometrische Funktionen
Gesamt
138
12
24
Sitzung (11)
Sitzung (11) bildet die abschließende Einheit des fachdidaktischen Seminars. Zunächst wurde der
Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Erhebung der Daten zum zweiten Messzeitpunkt) von den
Studierenden ausgefüllt. Anschließend wurden vom Dozenten organisatorische Hinweise für die
Erstellung und Abgabe der Studienleistung (ePortfolio) erläutert. Die freiwillige
Lehrveranstaltungsevaluation durch die Studierenden findet an der Universität Koblenz
standardmäßig ca. nach der Hälfte der besuchten Veranstaltungen statt. Auf Antrag des
Dozenten bei der Stabsstelle Evaluation (StEVA) wurde die Evaluation für die Woche der letzten
Sitzung beantragt, so dass den Studierenden die Gelegenheit gegeben werden konnte, diese
während der letzten Seminarsitzung durchzuführen. Zwischen dem zweiten Messzeitpunkt des
Kompetenztestes (Sitzung 10) und der letzten Seminarsitzung wurden vorläufige
Forschungserkenntnisse und -ergebnisse aufbereitet, um den Studierenden ein Feedback zum
Kompetenztest zu geben.
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 161
8.4 Reflexion der Arbeitsphasen 1-3
Nach Beendigung jeder Arbeitsphase reichten die Studierenden eine schriftliche Reflexion ein.
Die Frist hierfür betrug eine Woche. Die zeitliche Vorgabe begründet sich zum einen darin, dass
die Reflexion vor Beginn der nächsten Arbeitsphase abgeschlossen sein sollte und zum anderen,
dass die Erinnerung im Allgemeinen mit zunehmender Zeit nachlässt. Den Studierenden wurde
daher empfohlen nach jeder Seminarsitzung – vergleichbar mit einem Lerntagebuch - Notizen zu
machen. Folgende Aspekte sollten dabei verpflichtend berücksichtigt werden:
• Erwerb von technologischem, inhaltlichem und pädagogischem Professionswissen
(vgl. TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER, 2006):
o Technological Knowledge (Werkzeugkompetenzen der digitalen Mathematikwerk-
zeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen)
o Content Knowledge (Verständnis der Schulmathematik im Bereich der elementaren
Funktionen)
o Pedagogical Knowledge (Erklärungswissen, Wissen über das mathematische
Denken von Schülern, über mathematische Aufgaben und Lernprozesse)
• Vorbereitung/Relevanz der Arbeitsphase für die spätere Lehrtätigkeit
• Erfahrungen mit beiden digitalen Mathematikwerkzeugen:
o eigene Handlungen
o Beobachtungen bei Schülern
• Dokumentation des Lernfortschritts
• Hochschuldidaktische Methodik der Arbeitsphasen 1 bis 3
Zu den zuvor erwähnten verpflichtenden Aspekten konnten die Studierenden noch eigene
Aspekte in die Reflexion einbringen. Der Umfang der schriftlichen Reflexion in Textform (PDF)
sollte ca. ein bis zwei DIN-A4-Seiten betragen. Die Abgabe erfolgte via eMail an den Dozenten,
so dass der Absender bekannt war. Trotz der Gewährleistung des Datenschutzes durch den
Dozenten ist ein gewisser Effekt an sozialer Erwünschtheit (moralistic bias, social desirability) bei
der Reflexion der Studierenden aufgrund mangelnder Anonymisierung nicht in Gänze
auszuschließen (vgl. Diaz-Bone & Weischer, 2015). Es besteht die Möglichkeit, dass die Befragten
ihre Antworten situativ an den Erwartungen des Dozenten anpassten und dem sozialen Druck
des erfolgreichen Bestehens der Studienleistung unterordneten, so dass ein negativer Effekt auf
die Validität der Auskunft der Studierenden entstehen könnte. Die Reflexionen zu den einzelnen
Arbeitsphasen könnten daher übertrieben positiv dargestellt werden (Overreporting), um das
sozial erwünschte Verhalten zu dokumentieren (vgl. Diaz-Bone & Weischer, 2015).
8 Konzept des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars 162
8.5 Studienleistung
Das fachdidaktische Seminar war erfolgreich abgeschlossen, wenn die geforderte Studienleistung
(3 LP = ECTS) in Form eines ePortfolios als ZIP-komprimierter Ordner erbracht wurde. Das
Portfolio enthält Elemente eines Entwicklungs- und eines Reflexionsportfolios. In Absprache mit
den Seminarteilnehmern wurde vereinbart, dass die ePortfolios über das LMS OpenOLAT allen
Seminarteilnehmern zur Verfügung gestellt wurden. Zur Wahrung des Datenschutzes wurde den
Teilnehmern freigestellt, ob sie die Reflexionen der Arbeitsphasen 1 bis 3 mit den Kommilitonen
teilen mochten. Die Sammelmappe sollte die folgenden digitalen Medien der Arbeitsphasen 1 bis
3 enthalten, die im Verlauf der Lehrveranstaltung entstanden sind:
• Arbeitsphase 1:
o GeoGebra-Applets und TK-Blätter zu den Pflichtaufgaben
o Optional: GeoGebra-Applets und TK-Blätter zu den freiwilligen Aufgaben
o Didaktische Kommentare zu acht Aufgaben des Pflichtaufgabenkatalogs
(Grund4, AntiZu, QuadFu3, QuadFu4, PoFu1, PoFu3, ExpoFu3, TrigoFu2) in
einem Textdokument (PDF)
o Optional: Reflexion zur Arbeitsphase I (PDF)
• Arbeitsphase 2:
o Ein ausführlicher Unterrichtsentwurf mit Fokus GeoGebra (PDF)
o Ein ausführlicher Unterrichtsentwurf mit Fokus Tabellenkalkulation (PDF)
o GeoGebra-Applets und TK-Blätter zu den Unterrichtsentwürfen
o Optional: Reflexion zur Arbeitsphase II (PDF)
• Arbeitsphase 3:
o Hospitationsprotokoll (PDF)
o Analyse der Videovignette zu Unterrichtstunde 1 (PDF)
o Analyse der Videovignette zu Unterrichtstunde 2 (PDF)
o Optional: Reflexion zur Arbeitsphase III (PDF)
Nach dem Hochladen der ePortfolios im LMS OpenOLAT wurden diese vom Dozenten und der
studentischen Hilfskraft auf Vollständigkeit und Richtigkeit hin überprüft.
III Methodischer Teil 163
III Methodischer Teil
Die vorliegende Querschnittstudie (Panelstudie) nimmt Lehramtsstudierende für die
Schulformen Gymnasium, Realschule plus und Berufsbildende Schule der Universität Koblenz in
den Blick. Im nachfolgenden Teil der Arbeit wird die Vorgehensweise zur Beantwortung der
Forschungsfragen [F1] bis [F6] erläutert. Kapitel 9 beschäftigt sich mit der Entwicklung der beiden
Erhebungsinstrumente. Abschnitt 9.1 widmet sich dem Kompetenztest und in Abschnitt 9.2 wird
der Fragebogen zur Selbsteinschätzung vorgestellt. Daran anschließend wird im zehnten Kapitel
die Methodik der Datenauswertung erläutert. In Abschnitt 10.1 wird die Stichprobe der
Untersuchung beschrieben, ehe in den Abschnitten 10.2 und 10.3 die methodische
Vorgehensweise bei der Analyse der beiden Testinstrumente präsentiert wird.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente
Zur Beantwortung der Forschungsfragen und zur Überprüfung der Hypothesen (vgl. Kapitel 6)
wurden quantitative und qualitative Daten erhoben. Die beiden dazu entwickelten
Erhebungsinstrumente werden nachfolgend näher erläutert. In Abschnitt 9.1 wird das erste
Instrument vorgestellt. Dieses besteht aus einem dreiteiligen Kompetenztest (kurz:
Kompetenztest), bestehend aus zwei Testteilen zu Bedienkompetenzen der beiden digitalen
Mathematikwerkzeuge Tabellenkalkulation und GeoGebra und einem didaktischen Testteil, der
Auswahl- und Reflexionskompetenzen abdeckt. Anschließend wird in Abschnitt 9.2 das zweite
Erhebungsinstrument vorgestellt - ein Fragebogen, basierend auf Selbsteinschätzungen der
Probanden zu Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Mathematikwerkzeuge (vgl.
TPACK-Modell), zu Vor- und Nachteilen beim Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge, zu
Selbstwirksamkeitserwartungen und zum geplanten Verhalten im Kontext digitaler
Mathematikwerkzeuge.
9.1 Kompetenztest
Zur Messung von Werkzeugkompetenzen angehender Lehrkräfte wurde ein dreiteiliger
Kompetenztest in Zusammenarbeit mit dem MoSAiK-Teilprojekt Kool BBS entwickelt (vgl. Böhm
& Holzmann, 2024), der die Aufgabenteile TKP, GeoGebra und Didaktik enthält. Im Gegensatz zu
den sonst üblichen selbsteinschätzenden Fragebögen in Studien zur Kompetenzforschung
verfolgt dieser Test das Ziel Veränderungen im Bereich der Werkzeugkompetenzen angehender
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 164
Lehrkräfte aufgrund der Seminarintervention zu messen. Abbildung 48 ist zu entnehmen, dass
die Aufgabenteile TKP und GeoGebra die Bedienkompetenzen zu den beiden Softwares
Tabellenkalkulation und GeoGebra fokussieren, wohingegen der dritte Teil (Didaktik) die
Auswahl- und Reflexionskompetenzen im Bereich von digitalen Mathematikwerkzeugen
adressiert.
Abb. 48: Testaufbau zu Werkzeugkompetenzen
Quelle: Eigene Darstellung
Die Durchführung des Kompetenztests erfolgte digital und anonym im LMS OpenOLAT. Die
Anonymität wurde durch einen 8-stelligen Code sichergestellt, der zu Beginn des Didaktikteils
eingegeben werden sollte. Bei jedem Aufgabenteil konnte technisch eine maximale
Bearbeitungszeit festgelegt werden. Die Bearbeitungszeit für den Teil TKP beträgt 20 Minuten,
für GeoGebra 25 Minuten und für den Teil Didaktik 15 Minuten. Durch die Begrenzung der
Bearbeitungszeit sollte erreicht werden, dass der Fokus der Studierenden auf der Durchführung
der Arbeitsschritte lag. Eine mögliche Recherche nach Online-Hilfen zu den Softwares, die eine
gewisse Zeit beansprucht, sollte auf diese Weise erschwert werden. Zu jedem der drei
Aufgabenteile des Kompetenztestes wurden zwei verschiedene, aber inhaltlich vergleichbare
Aufgaben konzipiert. Dadurch wird gewährleistet, dass im Vortest und im Nachtest nicht die
gleichen Aufgaben bearbeitet wurden. Für TKP sind dies die Alternativen T1 (Der Anhalteweg
eines Autos) und T2 (Lineare Funktion), für den Teil GeoGebra G1 (Elementare Funktionen I) und
G2 (Elementare Funktionen II) bzw. D1 (Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen I) und D2
(Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen II) für den Testteil Didaktik
14
.
14
Die Aufgaben zu den drei Teilen des Kompetenztestes TKP (T1 & T2), GeoGebra (G1 & G2) und Didaktik (D1 & D2)
befinden sich im Anhang 17.3.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 165
Eine ausführliche Erläuterung zur Konzeption der Aufgaben T1, T2, G1, G2, D1 und D2 erfolgt in
den Unterabschnitten 9.1.1 bis 9.1.3.
In Tabelle 17 sind die möglichen Testkonfigurationen zu entnehmen, die für die Durchführung
des Kompetenztestes zur Verfügung stehen.
Tab. 17: Testkonfigurationen Kompetenztest
Kombination Prä-Test
Kombination Post-Test
K1 (T1/G1/D1)
K8 (T2/G2/D2)
K2 (T1/G1/D2)
K7 (T2/G2/D1)
K3 (T1/G2/D1)
K6 (T2/G1/D2)
K4 (T1/G2/D2)
K5 (T2/G1/D1)
K5 (T2/G1/D1)
K4 (T1/G2/D2)
K6 (T2/G1/D2)
K3 (T1/G2/D1)
K7 (T2/G2/D1)
K2 (T1/G1/D2)
K8 (T2/G2/D2)
K1 (T1/G1/D1)
Mit den Aufgaben T1, T2, G1, G2, D1 und D2 entstehen acht verschiedene Kombinationen (K1 bis
K8). Für den Post-Test ist dann die jeweils entgegengesetzte Kombination vorgesehen, die die
komplementären Aufgaben der drei Aufgabenteile TKP, GeoGebra und Didaktik beinhalten. So
wird beispielsweise ein Proband, der im Prä-Test die Kombination K5 hat, im Post-Test die
Aufgabenteile der Kombination K4 bearbeiten.
Die Testkonfigurationen K1/K8 bis K8/K1 werden fortlaufend jedem Probanden innerhalb jeder
Kohorte – beginnend mit dem SoSe 2021 - zugeordnet, aber auch übergreifend für alle fünf
Kohorten bis zum SoSe 2023, so dass die Kombinationsmöglichkeiten annähernd gleichmäßig
verteilt sind. Im Weiteren sollen nun zunächst die Teile TKP (Unterabschnitt 9.1.1) bzw. GeoGebra
(Unterabschnitt 9.1.2) näher erläutert werden, bevor schließlich in 9.1.3 der Teil Didaktik
ausführlich vorgestellt wird. Bei der Erstellung der Aufgaben zu Bedienkompetenzen wurden
fachwissenschaftliche Grundlagen zu den elementaren Funktionen (vgl. Abschnitt 1.3), die
Inhalte und Hinweise des rheinland-pfälzischen Rahmenlehrplans Mathematik für die
Klassenstufen 5-9/10 (MBWJK, 2007) und die werkzeugspezifischen Ausführungen der
Abschnitte 3.2 bis 3.4 berücksichtigt. Aus dieser Synthese sind Software-Funktionalitäten
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 166
entstanden, die für das technologieunterstützende Arbeiten mit Funktionen als basal
angenommen werden können.
9.1.1 Teil 1: Tabellenkalkulation
In Abschnitten 3.3.2 und 3.4.2 wurden bereits grundlegende und funktionsspezifische
Bedienelemente (Eingabe von Text und Zahlen, Herstellung von Zellbezügen, Funktionsassistent,
Gestaltungsmöglichkeiten von Tabellen und das Erstellen eines Diagramms) dargestellt. Diese
bildeten die Grundlage dafür, ein Kategoriensystem aus verschiedenen basalen
Bedienkompetenzen zu entwickeln. Wie Tab. 18 zu entnehmen ist, wurden neun
Funktionalitäten als grundlegend identifiziert, die in die vier Kategorien Layout, Eingaben,
Berechnungen und Graph eingeteilt wurden.
Tab. 18: Basale Bedienkompetenzen (Tabellenkalkulation)
Kategorie
Funktionalität
Layout
Zentrierung
Fettsatz
Rahmenlinien
Eingaben
Texteingabe
Zahleneingabe
Berechnungen
Zellbezüge (absolut, relativ)
Diagramm (Graph)
Diagramm (Graph) vorhanden
Titel eingefügt
Achsenbeschriftung
Beim Layout wurde zwischen Zentrierung, Fettsatz und Rahmenlinien unterschieden. Für die
Eingabe in die Zellen sind Texte oder Zahlen vorgesehen. Berechnungen sollten automatisch über
absolute oder relative Zellbezüge realisiert werden. Beim Einfügen eines Diagramms wurde
getestet, ob das Diagramm vorhanden ist, ein Titel eingefügt wurde und ob die
Koordinatenachsen beschriftet wurden. Die Vorgaben durch die basalen Bedienkompetenzen
wurden in zwei verschiedenen Testaufgaben (T1 und T2) umgesetzt. Die Bearbeitung der
Aufgaben T1 und T2 erfolgte ausgehend von einem leeren Tabellenblatt. Die notwendigen
physikalischen und mathematischen Formeln wurden vorgegeben, so dass die Bedienung des
Tabellenkalkulationsprogramms nicht an fehlendem mathematischem Wissen scheitern konnte.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 167
Das Layout des Tabellenblattes wurde als Screenshot vorgegeben, so dass auch eine Orientierung
anhand der Zellbezeichnngen die Umsetzung der Arbeitsschritte erleichterte. Das Layout sollte
von den Studierenden selbstständig umgesetzt werden. Die Schriftgrößen wurden nicht explizit
angegeben, und sind auch nicht dem Screenshot des Layouts zu entnehmen. Der Screenshot der
Musterlösung zu Aufgabe T1 (vgl. Abb. 49) illustriert die Umsetzung der einzelnen
Bedienkompetenzen.
Abb. 49: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe T1
Quelle: Eigene Darstellung
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 168
Nach der Eingabe von Zahlenwerten [km/h] für die Geschwindigkeit in Spalte A erfolgte die
Berechnung von Reaktionsweg, Bremsweg und Anhalteweg in den Spalten B bis D mit
enstprechenden Zellbezügen. Nachdem die Tabelle erstellt wurde, sollte in einem zweiten Schritt
anhand der Daten in Spalte D ein Diagramm mit vorgegebenen Beschriftungen erstellt werden.
In Abbildung 50 ist die Musterlösung zu Aufgabe T2 zu sehen. Die Umsetzung der einzelnen
basalen Bedienkompetenzen sind aufgrund der Vergleichbarkeit zwischen Prä- und Posttest mit
denen der Aufgabe T1 vergleichbar. Ausgehend von zwei einzugebenden Punkten A und B sollte
die Geradengleichung der lineraen Funktion durch die Berechnung von Steigung und -
Achsenabschnitt mit Zellbezügen realisiert werden. Anhand der Geradengleichung wurde eine
Wertetabelle mit mit Inkrement 2, ebenfalls mit Zellbezügen, erstellt. Anhand der
Daten aus der Wertetabelle sollte abschließend ein Diagramm (Funktionsgraph) in das
Tabellenblatt eingefügt werden.
Abb. 50: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe T2
Quelle: Eigene Darstellung
In den Tabellen 65 und 66 (vgl. Anhang 17.7) ist das detaillierte Kategoriensystem zu den
Aufgaben T1 und T2 zu sehen. Die Kategorien sind dort mit den zu erwartenden
Bedienkompetenzen weiter aufgeschlüsselt. Auf die Punkteverteilung und die Erläuterungen zu
möglichen Punktabzügen, die für die Auswertung des Testes relevant sind, wird in Abschnitt
10.2.1 explizit eingegangen.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 169
9.1.2 Teil 2: GeoGebra
Für die GeoGebra-Aufgaben G1 und G2 wurde ebenso – wie für die Aufgaben des Testteils TKP –
ein System aus verschiedenen basalen Bedienkompetenzen entwickelt. Dabei wurden die
Ausführungen des Kapitels 3.2 und des Abschnittes 3.4.1 bei der Entwicklung berücksichtigt. Die
basalen Bedienkompetenzen lassen sich den drei Bereichen Einstellungen, Eingabe im Algebra-
Fenster und Werkzeugleiste zuordnen (vgl. Tab. 19).
Tab. 19: Basale Bedienkompetenzen GeoGebra
Kategorie
Funktionalität
Einstellungen
Beschriftung Koordinatensystem
Format Funktionsgleichung
Steigungsdreieck (Werte, Farbe)
Schieberegler
Beschriftung Funktionsgleichung
Farbe von Funktionsgraphen verändern
Eingabe im Algebra-
Fenster
Punkt
Funktionsgleichung
Werkzeugleiste
Gerade durch zwei Punkte konstruieren
Steigungsdreieck an Gerade anzeigen
Schnittpunkt(e) von Graph und x-Achse bestimmen
Parallele durch einen Punkt zu einer Geraden konstruieren
Extremum einer Parabel bestimmen
Bei den Einstellungen wurde weiter differenziert. So ist es u.a. wichtig, dass ein
Koordinatensystem oder ein gezeichneter Graph beschriftet wird oder auch ein systembedingtes
Format einer Funktionsgleichung bspw. von in verändert werden kann.
Des Weiteren ist es wichtig, dass Einstellungen an einem Steigungsdreieck, an einem
Schieberegler oder Farbveränderungen vorgenommen werden können. Grundlegende
Kompetenzen im Bereich Funktionen sind die Eingabe von Punkten und Funktionsgleichungen im
Algebra-Fenster, die die sofortige Darstellung im Grafik-Fenster nach sich ziehen. Die
Werkzeugleiste bietet über die Werkzeuggruppen (vgl. Abschnitt 3.2.1) eine Reihe von
Möglichkeiten. Im funktionalen Kontext wurde die Konstruktion einer Geraden anhand von zwei
Punkten als basal identifiziert. Ebenso ist es u.a. essentiell sich ein Steigungsdreieck einer
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 170
Geraden anzeigen zu lassen, Schnittpunkte von Graphen oder Nullstellen zu bestimmen, eine
parallele Gerade zu einer gegebenen Gerade zu konstruieren oder auch den Scheitelpunkt
(Extremum) einer Parbel zu bestimmen.
Die Screenshots der Musterlösungen zu den Aufgaben G1 (vgl. Abb. 51) und G2 (vgl. Abb. 52)
illustriert die Umsetzung der einzelnen Bedienkompetenzen. Jeweils im linken Teil der Abbildung
ist das Algebra-Fenster zu sehen, wo die Eingabe von Punkten und Funktionsgleichungen zu
sehen ist. Außerdem werden die ausgeführten Bedienelemente über die Werkzeugleiste
(Schieberegler, Geraden, Steigung, Schnittpunkte von Graphen und Nullstellen) dokumentiert.
Abb. 51: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe G1
Quelle: Eigene Darstellung
Im Gegensatz zu den Aufgaben des ersten Teils sollten hier die einzelnen Bedienkompetenzen
durch eine Abfolge von konkreten Arbeitsschritten umgesetzt werden. Die einzelnen
Arbeitsschritte können den Aufgaben G1 und G2 (vgl. Anhang 17.3) entnommen werden. Da die
Aufgaben G1 und G2 von jedem Probanden (je nach Testkonfiguration zum ersten oder zweiten
Messzeitpunmkt) bearbeitet wurden, ist die Abfolge der Arbeitsschritte größtenteils verändert
worden.
Analog zu den Aufgaben in Teil 1 (Tabellenkalkulation) ist in den Tabellen 67 und 68 (vgl. Anhang
17.7) das detaillierte Kategoriensystem zu den Aufgaben G1 und G2 zu sehen. Die Kategorien
sind auch dort mit der Punkteverteilung, den zu erwartenden Bedienkompetenzen und
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 171
Erläuterungen zu möglichen Punktabzügen weiter aufgeschlüsselt. Auch die
Auswertungsmethodik des GeoGebra-Teils wird in Abschnitt 10.2.1 explizit berichtet.
Abb. 52: Screenshot der Musterlösung zu Aufgabe G2
Quelle: Eigene Darstellung
Anmerkung
Die Musterlösungen der Aufgaben T1, T2, G1 und G2 basieren auf deduktiven Kategorien und
Bedienelementen. Die Testergebnisse der Studierenden hatten zur Folge, dass die zu
erwartenden Lösungen mit induktiven Kategorien ergänzt wurden. Eine detaillierte Beschreibung
zur Entstehung der Kategoriensysteme für die beiden Testteile TKP und GeoGebra ist bei Böhm
(2025) nachzulesen. Dort wird auch die Punktevergabe der einzelnen Bedienelemente sowie die
Begründungen für Teilpunkte oder Punktabzüge dargelegt. Für die vorliegende Arbeit werden die
vier Kategoriensysteme (vgl. Anhang 17.7) verwendet, um der Frage nachzugehen, inwieweit
Lehramtsstudierende basale Bedienkompetenzen im Bereich elementarer Funktionen bezogen
auf GeoGebra und Tabellenkalkulation beherrschen und welche Entwicklungen sich durch den
Besuch eines spezifischen fachdidaktischen Seminars zeigen (vgl. Forschungsfrage [F1]).
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 172
9.1.3 Teil 3: Didaktik
Das dritte Element des Kompetenztests umfasst die didaktische Kommentierung einer
Schulbuchaufgabe mit Schüler-Lösung und adressiert somit die Subkompetenzen Auswahl und
Reflexion innerhalb der Werkzeugkompetenzen (vgl. Abschnitt 4.4). Den Studierenden wurde
eine der Aufgaben D1 und D2 je nach Testkonfiguration (vgl. Abschnitt 9.2, Tab. 32) im Prä- und
im Post-Test über das LMS OpenOLAT gestellt. Die Aufgaben D1 und D2 bestehen je aus einer
Aufgabenstellung, wie sie in zahlreichen Schulbüchern der Klassenstufen 9 und 10 zu finden ist,
und einer Schüler-Lösung. Diese Schüler-Lösung orientiert sich an „[…] sinnvolle Schemata, die
auch in Klassenarbeiten von den Schülerinnen und Schülern erwartet werden.“ (Weigand, 2012,
S. 319) Die Schulbuchaufgaben sind dem Anforderungsbereich I (Reproduzieren) zuzuordnen, da
„[…] die Wiedergabe und direkte Anwendung von grundlegenden […] Sätzen und Verfahren in
einem abgegrenzten Gebiet und einem wiederholenden Zusammenhang“ (KMK, 2022, S.9)
ausreicht, diese Aufgaben zu bewältigen. Durch prozedurales, ggfs. auswendig gelerntes
Abarbeiten von Arbeitsschritten mit dem entsprechenden Kalkül und notwendigen
Umformungen können die Aufgaben ohne Verständnis für funktionale Zusammenhänge gelöst
werden. Daher ist es bei dieser Art von Schulbuchaufgaben möglich, dass Schüler „[…] nur
allmählich einen breiten Blick für das Funktionskonzept entwickeln […]“. (Barzel et al., 2021a,
S.63)
Abb. 53: Didaktikaufgabe D1 (Schulbuchaufgabe mit Schüler-Lösung)
Quelle: Eigene Darstellung
Die Schulbuchaufgabe zu D1 (vgl. Abb. 53) erfüllt dabei nachfolgende Aspekte im Bereich der
Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang. Anhand der Funktionsgleichungen einer
quadratischen und einer linearen Funktion sollen die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 173
bestimmt werden. Eine erwartbare, prozedural abgearbeitete Schüler-Lösung der Aufgabe sieht
folgende Arbeitsschritte vor:
o Notwendige Bedingung notieren:
o Gleichsetzen der Funktionsterme von und führt zu folgender Gleichung:
(I)
o Umformung der Gleichung (I) führt zu einer quadratischen Gleichung in Normalform:
(II)
o Anwendung der -Formel zur Bestimmung der Lösungen von Gleichung (II):
und
o Berechnung der Funktionswerte zu und mit : und
o Notation der Schnittpunkte und
Bei Aufgabe D2 (vgl. Abb. 54) ist mit eine Gleichung gegeben, die gelöst werden soll.
Abb. 54: Didaktikaufgabe D2 (Schulbuchaufgabe mit Schüler-Lösung)
Quelle: Eigene Darstellung
Eine erwartbare Schüler-Lösung zu D2 sieht folgende kalkülorientierte Arbeitsschritte vor:
o Beidseitiges Logarithmieren der Gleichung mit dem dekadischen Logarithmus
ergibt: (II)
o Termumformung der linken Seite der Gleichung (II) mit dem Logarithmengesetz
ergibt: (III)
o Beidseitiges Dividieren durch der Gleichung (III) führt zu:
(Anmerkung: Mit dem Logarithmengesetz
kann der Term
in den
Term umgeformt werden. Taschenrechner der neuesten Generationen verfügen
über die entsprechende Taste ( ) zur Berechnung von Logarithmen zu beliebigen
positiven Basen.
o Bestimmung der auf zwei Nachkommastellen gerundeten Lösung der Gleichung:
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 174
Die Aufgaben wurden so gewählt, dass durch das Fehlen der Darstellungsformen Graph und
Wertetabelle in der möglichen Schüler-Lösung didaktisches Potential für den Einsatz der DMW
Tabellenkalkulation und GeoGebra entsteht. Des Weiteren war die Intention mit der Aufgabe zu
D1 den Themenkreis Zuordnungen und Funktionen und mit der Aufgabe zu D2 den Themenkreis
Terme und Gleichungen innerhalb der Leitidee 4: Funktionaler Zusammenhang (MBWJK, 2007)
anzusprechen. Während bei D1 explizit zwei Funktionen und gegeben sind, ist es bei
Aufgabe D2 eine Gleichung. Eine Gleichung kann als Ausdruck eines Vergleichs von zwei Termen
verstanden werden, die als Funktionsterme und aufgefasst werden (Weigand et al.,
2022). Für diese funktionale Grundvorstellung wird die Variable der beiden Terme als
Veränderliche angesehen. Das Gleichheitszeichen wird hier ebenso wie bei der relationalen
Grundvorstellung von Gleichungen (vgl. Weigand et al., 2022) als Relationszeichen angesehen. Es
sind daher mögliche Werte für gesucht, die denselben Funktionswert haben: .
Werden die Terme und als Graphen dargestellt, entsprechen die möglichen
Schnittstellen den Lösungen der Gleichung (graphisches Lösen einer Gleichung). Die linke und
die rechte Seite der Gleichung können demnach als Funktionsterme der
Exponentialfunktion und der konstanten Funktion gesehen werden. In
Abbildung 55 sind die funktionalen Grundvorstellungen Graph und Wertetabelle zur Gleichung
dargestellt.
Abb. 55: 3x = 18 als funktionale Grundvorstellungen Graph und Wertetabelle
Quelle: Eigene Darstellung
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 175
Des Weiteren wurde berücksichtigt, dass die Lösungen der Aufgaben in verschiedenen
Zahlenmengen zu verorten sind, um eine Differenzierungsmöglichkeit, was die Auswahl der
möglichen digitalen Mathematikwerkzeuge angeht, zu evozieren. In der Schulbuchaufgabe zu D1
sind die Koordinaten der Schnittpunkte und in der Menge der ganzen Zahlen zu finden.
Dies erleichtert das Ablesen der Schnittpunkte im Koordinatensystem bei gleichzeitiger
Genauigkeit. Ebenso lassen sich die Schnittstellen und durch den Vergleich der
zugehörigen Wertetabellen der Funktionen und mit der Schrittweite 1 genau
bestimmen. Die Lösung für den Exponenten in der zu D2 gehörenden Aufgabe ist eine reelle
Zahl. Selbst bei zunehmender Genauigkeit der -Werte lässt sich Lösung für die
Exponentialgleichung mit einer Wertetabelle nur approximieren (vgl. Abb. 55) bzw. wird
die -Koordinate des Schnittpunktes mit 2.63 nur gerundet ausgegeben.
Mit den beiden nachfolgenden Items a) und b) wurden die Studierenden aufgefordert sich zu den
Didaktikaufgaben D1 bzw. D2 zu äußern:
a) Beschreiben Sie, wie man diese Aufgabe mit digitalen Mathematikwerkzeugen
(Tabellenkalkulation und/oder GeoGebra) unterstützen kann.
b) Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert bzw. Vor- und
Nachteile durch den Einsatz der beschriebenen digitalen Unterstützung.
Aus Teil a) wurden die beiden Forschungsfragen [F2] und [F3] generiert (vgl. Kapitel 6). Mit
Forschungsfrage [F2] wird die Auswahl als Teilbereich der Werkzeugkompetenzen angesprochen.
Nach Heintz et al. (2016a, S.20) ist damit die Möglichkeit gemeint, „[…] je nach gegebener
Problemsituation ein passendes digitales Werkzeug auszuwählen.“ Neben dem ausgewählten
digitalen Mathematikwerkzeug ist in Teil a) auch zu beantworten, wie die konkrete digitale
Unterstützung mit dem entsprechenden Werkzeug gelingen kann (vgl. [F3]). Mit Teil b) ist die
Forschungsfrage [F4] verknüpft (vgl. Kapitel 6), bei dem die Vor- und Nachteile des Einsatzes der
beschriebenen Unterstützung von den Probanden erläutert werden sollte (Reflexion). Der
entstandene Fließtext zu den Teilaufgaben a) und b) wurde mittels qualitativer Inhaltsanalyse
(vgl. Mayring, 2022) ausgewertet. Die Vorgehensweise bei der Auswertung des Datenmaterials
(vgl. Anhang 17.5) wird in nachfolgendem Unterabschnitt ausführlich erläutert.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 176
9.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung
Die Entwicklung des Fragebogens erfolgte übergreifend in den Teilprojekten TP11 Kool-BBS (vgl.
Böhm, 2025) und TP9 Digitale Forschungswerkstatt Multiple Repräsentationen im
Mathematikunterricht. Durch die thematische Nähe der beiden Projekte konnten
Synergieeffekte ausgenutzt werden, um das Messinstrument zu entwickeln.
Der eingesetzte Fragebogen (siehe Anhang 17.1) gliedert sich in die Teile A bis N. Da die Umfrage
zu unterschiedlichen Zeitpunkten durchgeführt wurde, wurden personenbezogene Daten aus
einer Prä- und einer Post-Erhebung zusammengeführt. Zur Wahrung des Datenschutzes wurde
von den Probanden ein 8-stelliger Code (Teil A) generiert. Die Fragen zur Erstellung des Codes
sind stark individualisiert, so dass eine Identifizierung der Probanden nur erschwert möglich
wäre. Im Rahmen dieser Dissertation bleiben die Studierenden daher anonym. Mit dem Code ist
einerseits die Zuordnung zwischen den beiden Messzeitpunkten möglich und andererseits
können die Daten der Selbsteinschätzung mit dem Kompetenztest für jeden Probanden
kombiniert werden, da dort der gleiche Code angegeben werden sollte.
Die Teile B bis E wurden nur jeweils beim ersten Messzeitpunkt (Prä-Fragebogen) erhoben, da
diese sich im Verlauf der Seminarintervention nicht verändern konnten.
Mit Teil B, der die Profile der Probanden charakterisiert, wird der Fragebogen eingeleitet. Da der
Begriff Digitale Mathematikwerkzeuge im Verlauf des Fragebogens häufig verwendet wird,
wurde eine prägnante Erläuterung mit Beispielen in Anlehnung an die Definition nach Heintz et
al. (2017) vorangestellt. Ebenso wurden allgemeine Medien und Werkzeuge (Soft- und
Hardware) genannt, um eine gemeinsame Basis bezogen auf Fachtermini zu schaffen. Es werden
zunächst geschlossene - einfach zu beantwortende - Fragen zur Person (Geschlecht, Alter,
Studiengang, Schulform des lehramtsbezogenen Studiengangs, Zweitfach neben Mathematik,
Anzahl Fachsemester Mathematik) und zum bisherigen Studienverlauf (belegte Module,
erfolgreich absolvierte Module) gestellt sowie die Entscheidungsfrage ob digitale
Mathematikwerkzeuge in universitären Lehrveranstaltungen thematisiert werden sollten.
In den Teilen C bis E werden praktische Erfahrungen mit digitalen Mathematikwerkzeugen
(DMW) während der eigenen Schulzeit (C), während schulbegleitender Praktika (D) und etwaiger
eigener Unterrichtserfahrung (E) abgefragt. Teil C differenziert dabei, ob DMW und allgemeine
Medien und Werkzeuge selbst genutzt wurden bzw. ob diese von der Lehrkraft eingesetzt
wurden (C1). In C2 wird mit einer dichotomen Entscheidungsfrage erhoben, ob der Studierende
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 177
während der eigenen Schulzeit gerne mehr mit digitalen Mathematikwerkzeugen gearbeitet
hätte. Bei einer Kurzaufsatzaufgabe ohne Begrenzung der Worte (vgl. Moosbrugger & Kelava,
2012) beschreiben die Probanden welche Wünsche sie bei der Arbeit mit DMW während der
eigenen Schulzeit gehabt hätten (C3). Im anschließenden Teil D wird zunächst erhoben welche
studienbegleitenden Praktika bereits absolviert wurden. Da die Praktika während der
vorlesungsfreien Zeit absolviert werden, ist gewährleistet, dass zwischen den Prä-Post-
Erhebungszeitpunkten nicht ein weiteres Praktikum abgeleistet werden konnte. Des Weiteren
wird auch hier abgefragt (vgl. C1), ob DMW und allgemeine Medien bzw. Werkzeuge während
eines Praktikums selbst genutzt wurden bzw. ob diese von der Lehrkraft eingesetzt wurden.
Informationen zu etwaigen Unterrichtserfahrungen z.B. im Rahmen einer Vertretungs- oder PES-
Stelle werden in Teil E angeschaut. Falls die Probanden über eigenverantwortliche
Unterrichtserfahrungen verfügen (E1), wird in E2 erhoben, welche DMW, allgemeine Medien und
Werkzeuge dabei eingesetzt wurden und in E3 an welchen Schulformen dieser Einsatz erfolgte.
Die Fragebogen-Teile F bis N bilden den Kern der quantitativen Erhebung. Tabelle 20 (S. 179) gibt
zunächst einen Überblick über die vier Themenbereiche mit den zugehörigen Skalen und die
Nummerierung der einzelnen Items. Alle Skalen werden im Prä- als auch im Post-Fragebogen
eingesetzt, um die Veränderungen der Selbsteinschätzungen der Probanden und die Effekte
hinsichtlich der Wirksamkeit des fachdidaktischen Seminars zu messen. In den Teilen F1 bis F3
(TK, TPK, und TCK) werden die Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Technologien
zusammengefasst. Die Blöcke G bis M2 adressieren acht Bereiche zu technologiebezogenen
Überzeugungen und messen allgemeine Einschätzungen zu DMW als auch Vor- und Nachteile des
Einsatzes der Werkzeuge. Die Skalen N1 Selbstwirksamkeitserwartungen mit Aufgaben und
Unterricht in Bezug zu DMW und N2 Geplantes Lehrerverhalten (Einstellungen,
Verhaltenskontrolle und Subjektive Normen) komplettieren den Fragebogen. Eine ausführliche
Erläuterung der Skalen erfolgt im Unterabschnitt 9.2.1.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 178
Tab. 20: Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Übersicht Variablen)
15
Teile F1-F3: Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Technologien
F1: Technological Knowledge (TK)
F1_1 … F1_6
F2: Technological Pedagogical Knowledge (TPK)
F2_1 … F2_8
F3: Technological Content Knowledge (TCK)
F3_1 … F3_5
Teile G1-M2: Technologiebezogene Überzeugungen
G1: Auslagerungsprinzip
G_1 … G_6
H1: Repräsentationswechsel
H_1 … H_5
I1: Entdeckendes Lernen
I_1 … I_6
J1: Gefahr für händisches Rechnen
J_1 … J_4
K1: Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
K_1 … K_5
L1: Einstellung zu Technologie
L_1 … L_5
M1: Zeitaufwand
M1_1 … M1_3
M2: Erst Mathematik, dann DMW
M2_1 … M2_4
Teil N1: Selbstwirksamkeitsüberzeugungen
N1: Aufgaben mit DMW
N1_1 … N1_3
N1: Unterricht mit DMW
N1_4 … N1_7
Teil N2: Geplantes Lehrerverhalten
N2: Einstellungen
N2_1 … N2_5
N2: Verhaltenskontrolle
N2_6 … N2_8
N2: Subjektive Normen
N2_9 … N2_12
9.2.1 Skalen des Fragebogens
Nach einem ersten Überblick über die Themenbereiche des Fragebogens werden nun die Skalen
der vier Themenbereiche detaillierter vorgestellt. Die drei Skalen F1, F2 und F3 des
Themenbereichs F: Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Technologien beziehen
sich auf das TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER (2006), welches in Unterabschnitt 4.5.2
15
Die Skalen- und Itembezeichnung wurde durch folgende Systematik festgelegt. Im Fragebogen werden die Skalen
mit F1 bis N2 bezeichnet. Innerhalb jeder Skala werden die Items fortlaufend nummeriert. Die Skala F1 besteht
bspw. aus sechs Items, so dass die Items mit F1_1 bis F1_6 bezeichnet werden.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 179
erläutert wurde. Seit der Veröffentlichung des Modells wurden zahlreiche nationale und
internationale Studien publiziert, die sich mit der Messung der sieben TPACK-Facetten
beschäftigten. Für den vorliegenden Fragebogen wurden die Skalen auf die drei Facetten, die die
Technologie betreffen (TK, TPK & TCK), eingegrenzt. Für die so entstandenen 19 Items der Skalen
F1 bis F3 wurden diverse Studien gesichtet (Chai et al., 2013; Cramer et al., 2017; Dinse de Salas,
2019; Gasteiger et al., 2019; Handal et al., 2013; Schmidt et al., 2009; Valtonen et al., 2015;
Valtonen et al., 2020). Hier wurden verschiedene Aspekte berücksichtigt, die letztendlich in die
Endfassung eingeflossen sind. So wurden bei den Studien angehende Lehrkräfte, Lehrkräfte der
frühkindlichen Bildung oder der Sekundarstufen befragt. Thematisch wurde in den Studien Bezug
zu den Fächern Mathematik, Biologie, Sozialwissenschaften und Techniklehre oder auch zu den
vier 21st century skills, die im deutschsprachigen Raum durch die OECD bekannt wurden,
genommen. In den Tabellen 21 bis 23 sind die kursiv gedruckten und ausgegrauten Original-Items
der Fragebögen von Schmidt und Kollegen (2009) sowie Chai und Kollegen (2013) zu entnehmen,
die für den Fragebogen übersetzt wurden.
Die Items der Skala F1 (F1_1 bis F1_6) basieren auf der Studie von Schmidt und Kollegen (2009),
in der angehende Lehrkräfte in den USA zu deren Wissen (Unterricht und Technologie) befragt
wurden (vgl. Tab. 21).
Tab. 21: Items der Skala F1: Technological Knowledge (TK)
Skala F1: Technological Knowledge (TK)
F1_1
Ich kann meine technischen Hard- und Softwareprobleme selbst lösen.
(I know how to solve my own technical problems.)
F1_2
Ich kann mich einfach in (neue) Hard- und Softwaretechnologien einarbeiten.
(I can learn technology easily.)
F1_3
Ich halte mich über neue Technologien auf dem Laufenden.
(I keep up with important new technologies.)
F1_4
Ich beschäftige mich regelmäßig mit (neuer) Technologie.
(I frequently play around the technology.)
F1_5
Ich kenne eine Vielzahl verschiedener Hardware- und Softwaresysteme.
(I know about a lot of different technologies.)
F1_6
Ich habe die technische Fähigkeit, um (neue) Technologie zu nutzen.
(I have the technical skills I need to use technology.)
Die Skala F2, welche in Tabelle 22 dargestellt ist, bezieht sich auf das technologische
pädagogische Wissen. Von den acht Items wurden F2_1, F2_2 und F2_6 von Schmidt und
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 180
Kollegen (2009) adaptiert, während die Items F2_3 bis F2_5 von Chai und Kollegen (2013)
übernommen wurden, die deren Fragebogen bei 550 angehenden Lehrkräften im asiatischen
Kulturraum eingesetzt und validiert haben. Die letzten beiden Items F2_7 und F2_8 wurden in
Anlehnung an Cramer und Kollegen (2017) zu diesem Item-Set hinzugefügt.
Tab. 22: Items der Skala F2: Technological Pedagogical Knowledge (TPK)
Skala F2: Technological Pedagogical Knowledge (TPK)
F2_1
Ich kann digitale Technologien einsetzen, um meine Unterrichtsmethodik zu
verbessern. (I can choose technologies that enhance the teaching approaches
for a lesson.)
F2_2
Ich kann digitale Technologien einsetzen, um Lernenden das Lernen zu
erleichtern. (I can choose technologies that enhance students’ learning for a
lesson.)
F2_3
Ich kann den Lernenden aufzeigen, welche digitalen Technologien sich eignen,
um unterschiedliche Repräsentationen von Wissen zu konstruieren. (I am able
to facilitate my students to use technology to construct different forms of
knowledge representation.)
F2_4
Ich kann Lernende anleiten, mithilfe digitaler Technologien zusammen zu
arbeiten. (I am able to facilitate my students to collaborate with each other
using technology.)
F2_5
Ich kann Lernenden dabei helfen, ihr eigenes Lernen mithilfe digitaler
Technologien zu planen und ihren Lernfortschritt zu überprüfen. (I am able to
facilitate my students to use technology to plan and monitor their own
learning.)
F2_6
Ich setze mich kritisch mit dem Einsatz digitaler Technologien im Unterricht
auseinander. (I am thinking critically about how to use technology in my
classroom.)
F2_7
Ich kann anderen Studierenden dabei helfen, den Einsatz digitaler
Technologien im Unterricht zu erlernen.
F2_8
Durch mein Lehramtsstudium beschäftige ich mich intensiver damit, wie
Technologie meine Unterrichtsgestaltung beeinflussen kann.
Das technologische inhaltliche Wissen wird über die Skala F3 anhand von fünf Items (F3_1 bis
F3_5) abgebildet (vgl. Tab. 23). Im Originalfragebogen (vgl. Chai et al., 2013) wurden die Items
F3_4 und F3_5 allgemein auf ein Unterrichtsfach bezogen. Die Begriffe technologies und software
wurden teilweise (F3_1, F3_2 und F3_4) mit dem Begriff digitale Mathematikwerkzeuge ersetzt.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 181
Tab. 23: Items der Skala F3: Technological Content Knowledge (TCK)
Skala F3: Technological Content Knowledge (TCK)
F3_1
Ich kenne digitale Mathematikwerkzeuge, die ich zum Verstehen und
Anwenden von Mathematik nutzen kann. (I know about technologies that I
can use for understanding and doing mathematics.)
F3_2
Ich kann digitale Mathematikwerkzeuge einsetzen, die speziell für den
Mathematikunterricht entworfen wurden (z.B. GeoGebra, Apps, interaktive
Whiteboard-Medien). (I can use the software that are created specifically for
my teaching subject. (e.g.: e-dictionary/corpus for language; Geometric
sketchpad for Maths; Data loggers for Science))
F3_3
Ich habe Erfahrung beim Einsatz von Software, die mir hilft, aktuelle fachliche
Informationen rund um die Mathematik zu recherchieren bzw. abzufragen
(z.B. Wikipedia). (I know about the technologies that I have to use for the
research of content of my teaching subject.)
F3_4
Ich kann geeignete digitale Mathematikwerkzeuge zur Verdeutlichung
mathematischer Inhalte einsetzen (z.B. Animationen, Simulationen,
interaktive 3D-Modelle). (I can use appropriate technologies (e.g. multimedia
resources, simulation) to represent the content of my teaching subject.)
F3_5
Ich kann spezielle Software einsetzen, um Nachforschungen über
mathematische Inhalte anzustellen. (I can use specialized software to perform
inquiry about may teaching subject.)
Die Selbsteinschätzungen, die in den Fragebogen-Teilen G bis M von den Studierenden
abgegeben werden, fokussieren auf technologiebezogene Überzeugungen zu digitalen
Mathematikwerkzeugen. Diese acht Skalen beziehen sich inhaltlich auf die theoretische
Fundierung in Abschnitt 3.4, wo die Möglichkeiten und Grenzen des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen erläutert wurden. Die Skalen wurden - basierend auf den Vorarbeiten
von Rögler, Barzel und Eichler (2013) und Rögler (2014) – übernommen. Anhand
halbstrukturierter Interviews mit neun Lehrkräften wurden zunächst 29 Kategorien zu
technologiebezogenen Überzeugungen gebildet und entsprechende Items formuliert. Das Item-
Set wurde einer qualitativen Validitätsprüfung mit Studierenden der weiterführenden
Schulformen unterzogen (Thurm et al., 2017) und anschließend in zwei Studien mit 246
Studierenden bzw. 199 Lehrkräften erprobt. In den Studien zeigte sich, „[…] dass Überzeugungen
von Lehrkräften differenzierter erfasst werden können als von Studierenden.“ (Thurm et al.,
2017, S.1) Der speziell für Lehrkräfte entwickelte Item-Set wurde von Thurm (2020) im Rahmen
einer Lehrkräftefortbildung zum graphikfähigen Taschenrechner adaptiert. Die Arbeitsgruppe um
Thurm, Klinger, Barzel und Rögler (2017) wirft in ihrem Artikel die Frage auf, ob sich das
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 182
vorliegende Item-Set auch für die Erhebung von technologiebezogenen Überzeugungen
Mathematik-Lehramtsstudierender eigne. In dieser Arbeit wird sich diesem Forschungsbedarf
angenommen. Im finalen Fragebogen nach Abschluss der Pilotierung (Thurm et al., 2017, S.17-
18) werden die zentralen Begriffe Technologie, Einsatz von Technologie, Technologieeinsatz
verwendet. Durch die Konzentration auf digitale Mathematikwerkzeuge in der vorliegenden
Arbeit wurde der Original-Itemtext entsprechend abgeändert, die Semantik der einzelnen Items
jedoch beibehalten. Die Veränderungen werden in Fettdruck dargestellt. Die Bausteine in
Kursivdruck (Itemname und Itemtext) verweisen auf den Original-Fragebogen. Die einzelnen
Items der Skalen (Kategorien) werden nun anhand der Tabellen 24 bis 31 vorgestellt.
Die Skala G1 (Auslagerungsprinzip) erfasst, welche Überzeugungen die Lehramtsstudierenden
mit dem vorteilhaften Delegieren von aufwändigen, händischen Rechenverfahren an ein digitales
Mathematikwerkzeug verbinden (vgl. Tab. 24).
Tab. 24: Items der Skala G1: Auslagerungsprinzip
Skala G1: Auslagerungsprinzip
G1_1
ausla1
Der Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) hat den
Vorteil, dass durch das Auslagern von Verfahren/Prozeduren an einen
Rechner im Mathematikunterricht mehr Zeit für Anderes bleibt.
G1_2
ausla2
Ich finde es gut, dass durch den Einsatz von digitalen Mathematik-
werkzeugen (Technologieeinsatz) Schülerinnen und Schüler von Rechnungen
befreit werden.
G1_3
ausla3
Der Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) im
Mathematikunterricht setzt Unterrichtszeit frei, weil weniger Zeit für
Berechnungen aufgewendet werden muss.
G1_4
ausla4
Durch den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (Technologieeinsatz) tritt
mehr und mehr das Verständnis, das Begründen und das Problemlösen an die
Stelle des stupiden Rechnens.
G1_5
ausla5
Digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie sollte) sollten dafür genutzt
werden, dass sich der Schwerpunkt vom Rechnen wegbewegt.
G1_6
ausla6
Digitale Mathematikwerkzeuge sollten (Technologie sollte) so eingesetzt
werden, dass Verfahren/Prozeduren im Unterricht weniger wichtig werden.
Diese Skala beinhaltet zwei Items mit Aussagen, die sich auf den Aspekt Zeitgewinn beziehen
(G1_1 und G1_3). Weitere vier Items beziehen sich auf die Möglichkeit, dass Schüler durch den
Einsatz von DMW von händischen Rechnungen befreit werden (G1_2), dass das stupide Rechnen
von Verständnis, Begründen und Problemlösen abgelöst wird (G1_4), dass sich der Schwerpunkt
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 183
vom Rechnen wegbewegt (G1_5) und dass händische Verfahren im Mathematikunterricht
weniger wichtig werden (G1_6).
Tab. 25: Items der Skala H1: Repräsentationswechsel
Skala H1: Repräsentationswechsel
H1_1
repre1
Ein entscheidender Vorteil von digitalen Mathematikwerkzeugen
(Technologie) ist die Möglichkeit, schnell zwischen den Darstellungen als
Term, Bild und Tabelle zu wechseln.
H1_2
repre2
Digitale Mathematikwerkzeuge helfen (Technologie hilft) beim Vernetzen der
verschiedenen Darstellungsformen (z.B. Bild, Tabelle, Term).
H1_3
repre3
Digitale Mathematikwerkzeuge unterstützen (Technologie unterstützt), dass
Schülerinnen und Schüler das Einbeziehen verschiedener Darstellungsarten
häufiger als Strategie nutzen.
H1_4
repre4
Durch digitale Mathematikwerkzeuge (Technologieeinsatz) können
Schülerinnen und Schüler unterschiedliche Darstellungsformen nutzen, um
Probleme oder Aufgaben zu lösen.
H1_5
repre5
Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (Technologieeinsatz) hilft, dass
Schülerinnen und Schüler den Zusammenhang zwischen Term, Tabelle und
Graph einer Funktion besser verstehen.
Mit der Skala H1 (Repräsentationswechsel) werden die Überzeugungen der
Lehramtsstudierenden zu mathematischen Darstellungen und deren Wechsel untereinander
gemessen (vgl. Tab. 25). Die beiden Items H1_1 und H1_2 nehmen dabei die schnelle
Verfügbarkeit von Repräsentationen als auch deren vernetzte/parallele Darstellung in den Blick.
Das Item H1_3 bezieht sich darauf, dass Schüler die Darstellungsmöglichkeiten als Strategie
verwenden, während H1_4 den Vorteil der unterschiedlichen Darstellungen zur Lösung von
Problemen und Aufgaben anspricht. Item H1_5 adressiert konkret den Bezug zu Funktionen. Hier
sollen die Probanden einschätzen, ob sich das Verständnis zwischen Term, Tabelle und Graph
durch DMW verbessert.
Die Überzeugungen zum Potential von digitalen Mathematikwerkzeugen beim entdeckenden
Lernen wird in Skala I1 durch sechs Aussagen erhoben (vgl. Tab. 26). Diese beziehen sich auf das
Erkennen von Zusammenhängen und Strukturen anhand von Beispielen (I1_1), das Entdecken
von neuen Inhalten (I1_2) und mathematischen Sachverhalten (I1_4), das Erarbeiten
mathematischer Sachverhalte (I1_3), das Aneignen einzelner Inhaltsaspekte (I1_5) und das
selbständige Erkunden offener Problemstellungen.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 184
Tab. 26: Items der Skala I1: Entdeckendes Lernen
Skala I1: Entdeckendes Lernen
I1_1
entde1
Durch digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie) können viele Beispiele
erzeugt werden, so dass Schülerinnen und Schüler selbständig Zusammen-
hänge und Strukturen (z.B. Symmetrien von Funktionsgraphen) erkennen.
I1_2
entde2
Digitale Mathematikwerkzeuge unterstützen (Technologie unterstützt)
Aufgabenformate, bei denen Schülerinnen und Schüler neue Inhalte selbst
entdecken können.
I1_3
entde3
Man sollte digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie) für einen
Mathematikunterricht nutzen, in dem sich Schülerinnen und Schüler
mathematische Sachverhalte selbst erarbeiten.
I1_4
entde4
Digitale Mathematikwerkzeuge ermöglichen (Technologie ermöglicht), dass
Schülerinnen und Schüler mathematische Sachverhalte (z.B. Bedeutung von
Parametern) selbst entdecken.
I1_5
entde5
Der Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) führt dazu,
dass sich Schülerinnen und Schüler aktiv einzelne Inhaltsaspekte selbst
aneignen.
I1_6
entde6
Der Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge (Technologieeinsatz) ermöglicht
in besonderer Weise, dass Schülerinnen und Schüler selbständig offene
Problemstellungen erkunden.
Die Skala J1 thematisiert, inwieweit die befragten angehenden Lehrkräfte eine Gefahr für
händisches Rechnen sehen, wenn digitale Mathematikwerkzeuge im Unterricht eingesetzt
werden.
Tab. 27: Items der Skala J1: Gefahr für händisches Rechnen
Skala J1: Gefahr für händisches Rechnen
J1_1
algo1
Mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) verlernen Schülerinnen
und Schüler Prozeduren und Algorithmen (oder lernen sie erst gar nicht).
J1_2
algo2
Der Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) führt dazu,
dass Rechenverfahren schlechter oder gar nicht mehr beherrscht werden.
J1_3
algo3
Schülerinnen und Schüler verlieren durch den Einsatz von digitalen
Mathematikwerkzeugen (Technologie) wesentliche Grundfertigkeiten (z.B.
Kopfrechnen, Verfahren der Bruchrechnung oder präzises Zeichnen).
J1_4
algo4
Wesentliche Fertigkeiten (z.B. Lösen von Gleichungssystemen, Berechnen von
Matrizen oder Ableiten von Funktionen) werden von Schülerinnen und
Schülern aufgrund des Einsatzes digitaler Werkzeuge (Technologie-einsatzes)
weniger beherrscht.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 185
Mit vier Aussagen (vgl. Tab. 27) wird erhoben, ob Schüler Prozeduren und Algorithmen verlernen
bzw. erst gar nicht lernen (J1_1), ob Rechenverfahren schlechter oder gar nicht mehr beherrscht
werden (J1_2), ob Schüler wesentliche Grundfertigkeiten verlieren (J1_3) und ob Schüler durch
DMW wesentliche Fertigkeiten weniger beherrschen. Mit der Skala K1 (Unreflektiertes Arbeiten
mit DMW), die aus fünf Items besteht, wird gemessen, ob durch digitale Mathematikwerkzeuge
das mathematische Arbeiten unreflektiert ausgeführt wird (vgl. Tab. 28). Dies beinhaltet zum
einen das blinde Verlassen auf das, was die technologische Unterstützung ausgibt (K1_1), zum
anderen, dass jede Aufgabe mit DMW bearbeitet wird. Des Weiteren besteht die Gefahr, dass
Schüler weniger nachdenken, wenn sie DMW zur Verfügung haben (K1_3). Das Item K1_4 bezieht
sich auf die Gefahr, dass nur noch unverstandene Befehlsfolgen von Schülern eingetippt oder
angeklickt werden. Bei K1_5 sollen die Studierenden ihre Einschätzung dazu abgeben, ob Schüler
die Ergebnisse, die DMW generieren, unkritisch als richtig ansehen.
Tab. 28: Items der Skala K1: Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
Skala K1: Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
K1_1
verst1
Wenn digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie) im Mathematik-
unterricht eingesetzt werden (wird), denken die Schülerinnen und Schüler
weniger nach und verlassen sich blind auf das, was die Technologie
(Technologie) ausgibt.
K1_2
verst2
Digitale Mathematikwerkzeuge verleiten (Technologie verleitet) Schülerinnen
und Schüler dazu, jede Aufgabe unreflektiert mit dem Rechner zu bearbeiten.
K1_3
verst3
Wenn Schülerinnen und Schüler digitale Mathematikwerkzeuge
(Technologie) zur Verfügung haben, denken sie weniger nach.
K1_4
verst4
Beim Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) im
Mathematikunterricht besteht die Gefahr, dass Schülerinnen und Schüler nur
unverstandene Befehlsfolgen eintippen.
K1_5
verst5
Ergebnisse der digitalen Werkzeuge (Technologie) werden von Schülerinnen
und Schülern unkritisch als richtig betrachtet.
Die allgemeine Einstellung zu Technologie wird in der Skala L1 mit fünf Items erfasst, wie Tabelle
29 zu entnehmen ist. Dabei drücken die Items L1_1 und L1_2 genau entgegengesetzte
Auffassungen aus, nämlich ob jemand Spaß bei der Arbeit mit DMW hat oder ob man es
überhaupt nicht mag diese einzusetzen. Die verbliebenen Items (L1_3 bis L1_5) erheben die
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 186
Nutzungshäufigkeit von DMW, die Freude bei der Arbeit mit DMW und die Zeit, die es braucht
sich mit DMW anzufreunden.
Tab. 29: Items der Skala L1: Einstellung zu Technologie
Skala L1: Einstellung zu Technologie
L1_1
tech1
Es macht mir Spaß, mit digitalen Werkzeugen (Technologie) zu arbeiten.
L1_2
tech2
Mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) kann man mich jagen.
L1_3
tech3
Ich persönlich nutze digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie) so oft wie
möglich.
L1_4
tech4
Die Arbeit mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) bereitet mir
Freude.
L1_5
tech5
Ich freunde mich schnell mit neuen digitalen Mathematikwerkzeugen
(Technologien) an.
Der notwendige Zeitaufwand bei der Verwendung von digitalen Mathematikwerkzeugen wird in
der Skala M1 gemessen (vgl. Tab. 30). Dabei geben die Studierenden ihre Einschätzung zum
möglichen Verlust von Unterrichtszeit (M1_1) durch den Einsatz von DMW und zu einem
generellen Verzicht auf DMW (M1_2) ab. Bei Item M1_3 wird davon ausgegangen, dass die
Einführung generell zu viel Zeit kostet und sich daher der Einsatz nicht lohnt.
Tab. 30: Items der Skala M1: Zeitaufwand
Skala M1: Zeitaufwand
M1_1
zeit1
Der Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) kostet
wertvolle Zeit, die dann im Mathematikunterricht fehlt.
M1_2
zeit2
Auf digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie) sollte im Mathematik-
unterricht verzichtet werden, weil sonst zu viel Zeit verloren geht.
M1_3
zeit3
Die Einführung von digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) kostet so
viel Zeit, dass sich der Einsatz nicht lohnt.
In der letzten Skala M2 zu technologiebezogenen Überzeugungen (vgl. Tab. 31) nehmen die
Studierenden Stellung dazu, zu welchem Zeitpunkt digitale Mathematikwerkzeuge verwendet
werden sollten. Dabei wird bei drei Items gemessen, ob diese erst eingesetzt werden, wenn die
Mathematik von Hand beherrscht wird (M2_1), wenn mathematische Verfahren richtig
verstanden wurden (M2_2) oder wenn die Mathematik hinreichend verstanden wurde (M2_3).
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 187
Item M2_4 bezieht sich auf die Aussage, dass DMW erst als Arbeitserleichterung genutzt werden,
wenn mathematische Verfahren von den Schülern verstanden wurden.
Tab. 31: Items der Skala M2: Erst Mathematik, dann DMW
Skala M2: Erst Mathematik, dann DMW
M2_1
erstmat1
Digitale Mathematikwerkzeuge dürfen (Technologie darf) erst eingesetzt
werden, wenn die Mathematik von Hand beherrscht wird.
M2_2
erstmat2
Schülerinnen und Schüler sollten die mathematischen Verfahren richtig
verstanden haben, bevor ihnen digitale Mathematikwerkzeuge (Technologie)
an die Hand gegeben wird.
M2_3
erstmat3
Schülerinnen und Schüler sollten innerhalb einer Unterrichtseinheit nicht zu
früh mit digitalen Mathematikwerkzeugen (Technologie) arbeiten, sondern
erst wenn sie die Mathematik hinreichend verstanden haben.
M2_4
erstmat4
Digitale Mathematikwerkzeuge dürfen (Technologie darf) erst als
Arbeitserleichterung für Verfahren eingesetzt werden, wenn die Verfahren
bereits ohne Technologie (Technologie) beherrscht werden.
Die Fragen zu der Kategorie Selbstwirksamkeitsüberzeugungen (Skala N1) sind aus der
Forschungsarbeit von Thurm (2020) adaptiert worden (vgl. Tab. 32). Im Rahmen einer
Fortbildung zum grafikfähigen Taschenrechner wurden u.a. die Selbsteinschätzungen von
Lehrkräften erhoben. Dabei ging es um Aussagen zu Situationen, in denen der GTR für den
Unterricht wichtig ist. Von den 16 Items des Original-Fragebogens wurden sieben Items
übernommen. Wie bereits bei den Skalen zu den technologiebezogenen Überzeugungen (G1 bis
M2) vergleichsweise erläutert, wurde nun der zentrale Begriff grafikfähiger Taschenrechner
(GTR) bei den Items von Thurm verwendet bzw. entsprechend mit dem Begriff digitale
Mathematikwerkzeugen ausgetauscht, die Semantik der einzelnen Items jedoch beibehalten. Die
Veränderungen werden in Fettdruck dargestellt. Die Bausteine in Kursivdruck (Itemname und
Itemtext) verweisen auf den Original-Fragebogen. Die einzelnen Items der Kategorie werden nun
in der Tabelle 32 vorgestellt.
Die Items N1_1, N1_2 und N1_3 beziehen sich auf die Umwandlung von analogen Aufgaben in
sinnvolle digitale Formate, auf die Unterscheidung zwischen geeigneten und weniger geeigneten
Aufgaben als auch auf die Entwicklung von Aufgaben für den Einsatz von DMW. Die Items N1_4
bis N1_7 adressieren die Gestaltung und Konzeption von Unterrichtsstunden, in denen durch die
Verwendung von DMW das entdeckende Lernen gefördert wird, die Zusammenhänge der
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 188
Repräsentationen Graph, Term und Tabelle und die Visualisierungsmöglichkeiten ausgenutzt
werden.
Tab. 32: Items der Skala N1: Selbstwirksamkeitsüberzeugungen
Skala N1: Selbstwirksamkeitsüberzeugungen
Ich fühle mich in der Lage …
N1_1
SW_A_1
… Aufgaben (z.B. aus Schulbüchern) so umzuwandeln, dass ein Einsatz
digitaler Mathematikwerkzeuge (des GTR) bei den Aufgaben sinnvoll ist.
N1_2
SW_A_2
… zwischen geeigneten und weniger geeigneten Aufgaben für den Einsatz von
digitalen Technologien (mit dem grafikfähigen Taschenrechner) zu
unterscheiden.
N1_3
SW_A_2
… selbst Aufgaben für den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen (mit
dem grafikfähigen Taschenrechner) zu entwickeln.
N1_4
SW_U_1
… Unterrichtsprozesse mit digitalen Mathematikwerkzeugen (dem
grafikfähigen Taschenrechner) so zu gestalten, dass entdeckendes Lernen
gefördert wird.
N1_5
SW_U_2
… Unterrichtsstunden zu konzipieren, in denen die Möglichkeiten von
digitalen Mathematikwerkzeugen (des GTR) zur Verdeutlichung der
Zusammenhänge zwischen Graph, Term und Tabelle ausgenutzt werden.
N1_6
SW_U_3
… Unterrichtsstunden zu konzipieren, in denen die graphischen Darstellungs-
möglichkeiten durch digitale Mathematikwerkzeuge (des GTR) ausgenutzt
werden.
N1_7
SW_U_4
… digitale Mathematikwerkzeuge (den GTR) vielseitig im Unterricht
einzusetzen.
Die Fragen zum geplanten Lehrerverhalten (Skala N2) sind von Valtonen et al. (2014) adaptiert
worden. In deren Studie wurde in einem 12-wöchigen Kurs für Lehramtsstudierende mit
kollaborativen und forschungsbasierten Lernpraktiken untersucht in wie weit authentische
Lernerfahrungen mit Informations- und Kommunikationstechnologie (IKT) einen Einfluss auf die
Absichten der Probanden haben, IKT zum Lehren und Lernen zu nutzen. Der Forschungsrahmen
basiert auf der Theorie des geplanten Verhaltens (Theory of Planned Behaviour) nach Ajzen
(1991). Diese Theorie beinhaltet die vier Bereiche Einstellungen (attitudes), Selbstwirksamkeit
(self-efficacy), Verhaltenskontrolle (behavioural intentions) und subjektive Normen (subjective
norms). Der Bereich Selbstwirksamkeit wurde bereits in der Skala N1:
Selbstwirksamkeitsüberzeugungen berücksichtigt.
In Tabelle 33 sind die 12 Items zu den drei übrigen Bereichen aufgelistet. Die Items N2_1 bis N2_5
beziehen sich auf die Einstellungen von angehenden Lehrkräften, während N2_6 bis N2_8 die
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 189
Verhaltenskontrolle adressiert. Mit den vier letzten Items (N2_9 bis N2_12) werden Daten zu
subjektiven Normen erhoben.
Tab. 33: Items der Skala N2: Geplantes Lehrerverhalten
Skala N2: Geplantes Lehrerverhalten
N2_1
Digitale Mathematikwerkzeuge bieten Möglichkeiten zur Verbesserung der
Qualität des Mathematiklernens. (ICT provides possibilities for enhancing the
quality of learning.)
N2_2
Für mich ist es wichtig, dass meine zukünftigen Schülerinnen und Schüler
digitale Mathematikwerkzeuge beim Mathematiklernen einsetzen. (For me, it
is important that my future students will use ICT in their learning.)
N2_3
Ich freue mich auf den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen als
Mathematiklehrkraft. (I look forward to the use of ICT in my work as a
teacher.)
N2_4
Die Nutzung von digitalen Technologien in der Bildung ist in der heutigen
Gesellschaft wesentlich. (The use of ICT in education is integral to today's
society.)
N2_5
Es ist wichtig, dass meine zukünftigen Schülerinnen und Schüler die
notwendigen Fähigkeiten zur Nutzung von digitalen Mathematikwerkzeugen
erwerben. (It is important that my future students will acquire the necessary
abilities to take advantage of ICT.)
N2_6
Wenn eine entsprechende IT-Infrastruktur gegeben ist, werde ich sie meinen
Schülerinnen und Schülern zum Lernen zur Verfügung stellen. (If there are
good ICT ressources available in my future work, I will make them available to
my students for use in their learning.)
N2_7
Wenn die technischen Voraussetzungen erfüllt sind, werde ich digitale
Mathematikwerkzeuge in meiner zukünftigen Arbeit als Mathematiklehrkraft
nutzen. (If there are sufficient ICT resources available, I will make use of them
in my future work as a teacher.)
N2_8
Ich werde digitale Mathematikwerkzeuge in meiner zukünftigen Arbeit als
Mathematiklehrkraft aktiv einsetzen. (I will actively use ICT in my future work
as a teacher.)
N2_9
Meine zukünftigen Kollegen erwarten von mir, dass ich digitale
Mathematikwerkzeuge für den Unterricht nutze. (My future colleagues will
expect me to use ICT for teaching.)
N2_10
Der Schulleiter meiner zukünftigen Schule erwartet von mir, dass ich digitale
Mathematikwerkzeuge für den Unterricht nutze. (The principal of my future
school will expect me to use ICT for teaching.)
N2_11
Die Eltern meiner zukünftigen Schülerinnen und Schüler erwarten von mir,
dass ich digitale Mathematikwerkzeuge im Unterricht nutze. (Parents of my
future students will expect me to use ICT for teaching.)
N2_12
Meine zukünftigen Schülerinnen und Schüler erwarten von mir, dass ich
digitale Mathematikwerkzeuge im Unterricht nutze. (My future students will
assume that I can use ICT for teaching.)
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 190
Die kursiv gedruckten und ausgegrauten Original-Items von Valtonen und Kollegen wurden für
den selbstentwickelten Fragebogen ins Deutsche übersetzt. Bei der Übersetzung wurde die
englische Abkürzung ICT (Information and Communication Technology) dabei bis auf die
Ausnahmen N2_4 (digitalen Technologien) und N2_6 (IT-Infrastruktur) mit dem Begriff digitale
Mathematikwerkzeuge ersetzt.
9.2.2 Testgütekriterien
Die primäre Frage bei der Entwicklung eines Fragebogens ist die Eignung dessen für den
Untersuchungsgegenstand. „Unter dem Begriff „Gütekriterien“ versteht man dabei eine Reihe
von Gesichtspunkten/Anforderungen, die bei der Test- und Fragebogenkonstruktion zur
Qualitätssicherung Berücksichtigung finden sollen.“ (Moosbrugger & Kelava, 2020, S. 17) Bei der
Evaluation der Testgüte kann und muss an dieser Stelle nicht auf alle Gesichtspunkte
eingegangen werden, da Nebengütekriterien wie Skalierung, Normierung, Testökonomie,
Nützlichkeit, Zumutbarkeit, Unverfälschbarkeit oder Fairness keine besonderen
testtheoretischen Kenntnisse erfordern. Zur Bestimmung der wissenschaftlichen Güte von
Testinstrumenten, wie im vorliegenden Beispiel mit geschlossenen und dichotomen Fragen,
Multiple-Choice-Fragen und Multi-Item-Skalen werden von Moosbrugger und Kelava (2020, S.
17) die drei traditionellen Hauptkriterien Objektivität, Reliabilität und Validität genannt.
Während die Objektivität ein allgemeines Gütekriterium ist, sind Reliabilität und Validität
spezielle testtheoriebasierte Gütekriterien, die testtheoretische Kenntnisse und weiterführende
Analysetechniken erfordern (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020). Diese drei Kriterien sind jedoch
nicht isoliert zu betrachten. Eine hohe Objektivität und eine hohe Reliabilität sind notwendige
Bedingungen für eine hohe Validität (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020, S.30). Die Überprüfung
dieser Kriterien für den verwendeten Fragebogen wird im Weiteren dargelegt.
Objektivität
Von allgemein-planerischer Natur ist das Kriterium der Objektivität, welche eine Vergleichbarkeit
der Ergebnisse von verschiedenen Testpersonen sicherstellt. Nach Moosbrugger und Kelava
(2022) wird Objektivität wie folgt definiert:
„Ein Test ist dann objektiv, wenn das ganze Verfahren, bestehend aus Testmaterialien,
Testdarbietung, Testauswertung und Interpretationsregeln, so genau festgelegt ist, dass der
Test unabhängig von Ort, Zeit, Testleiter und Auswerter durchgeführt werden könnte und für
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 191
eine bestimmte Testperson bezüglich des untersuchten Merkmals dennoch dasselbe Ergebnis
und dieselbe Ergebnisinterpretation liefert.“ (Moosbrugger & Kelava, 2022, S.18)
Ausgehend von dieser Definition ist es zielführend das Gütekriterium der Objektivität nach den
Gesichtspunkten Durchführungsobjektivität, Auswertungsobjektivität sowie Interpretations-
objektivität weiter zu differenzieren. Die Durchführungsobjektivität ist in dieser Studie durch
einen standardisierten Ablauf sichergestellt. Die Seminarsitzungen aller Kohorten wurden
konstant zwischen 10.00 und 12.00 Uhr durchgeführt. Der Messzeitpunkt 1 (Prä-Test) war stets
in der ersten Seminarsitzung, die Erhebung des Post-Testes fand in der letzten Seminarsitzung
statt. Nach einer einführenden Instruktion durch den Testleiter wurde der Test von allen
Probanden parallel gestartet. Einschränkend ist zu erwähnen, dass die Zeitdauer nicht begrenzt
wurde. Durch Zeitnahme bei allen Prä- und Post-Erhebungen der fünf Kohorten durch den
Testleiter kann konstatiert werden, dass die Zeitdauer bei allen Testungen zwischen 18 und 25
Minuten lag. Interaktionen zwischen den Probanden untereinander oder mit dem Testleiter
waren nicht zugelassen. Probanden, die bereits den Test abgeschlossen hatten, haben sich bis
zum Ende der Testphase ruhig verhalten. Die computerunterstützte Testdurchführung war für
den hohen Grad der Standardisierung zuträglich (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020, S. 18).
Die Auswertungsobjektivität ist vom Antwortformat der Items abhängig (vgl. Moosbrugger &
Kelava, 2020). Bis auf die Freitextaufgabe C3. Bitte erläutern Sie, was Sie sich in Bezug auf die
Arbeit mit digitalen Mathematikwerkzeugen im Unterricht gewünscht hätten bestehen die
Fragebogenteile B bis E aus geschlossenen Fragen oder aus Multiple-Choice-Fragen mit
Mehrfachwahlmöglichkeiten bei der Beantwortung der Fragen. An der Stelle sei auf das Kapitel
11 verwiesen, indem ein induktives Kategoriensystem für die Frage C3 aufgrund der Antworten
der Probanden vorgestellt und erläutert wird. Für die Fragebogenteile F bis M
(Lehrerprofessionalität und technologiebezogene Überzeugungen) wurde eine fünf-stufige
ordinale Likertskala vorgesehen mit der zusätzlichen Möglichkeit das jeweilige Item nicht
beantworten zu können. Die Einschätzungen der Studierenden zu den
Selbstwirksamkeitsüberzeugungen werden innerhalb einer bipolaren Skala von 0 (negativer Pol)
bis 100 (positiver Pol) in Zehnerschritten erfasst. Für die letzte Skala N2 wurde eine sechs-stufige
Likertskala vorgesehen mit der zusätzlichen Möglichkeit das jeweilige Item nicht beantworten zu
können. Die Auswertungsobjektivität konnte somit im Wesentlichen erreicht werden.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 192
Die Interpretationsobjektivität ist in dieser Studie gegeben, da sich die Interpretationen
ausschließlich auf das untersuchte Material und die einzelnen Merkmale der Skalen beziehen
(vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020). Beziehen sich die Testwerte bspw. auf das Entdeckende
Lernen (Skala I), so werden bei der Interpretation auch keine weiterführenden
Schlussfolgerungen vorgenommen.
Reliabilität
Wie bereits in Abschnitt 9.1 dargestellt, besteht der Fragebogen zur Selbsteinschätzung – außer
den Kovariaten B bis E - aus den 16 Skalen F bis N. Um eine Auskunft über die Messgenauigkeit
dieser Skalen zu bekommen, muss die Reliabilität überprüft werden, welche nach Moosbrugger
und Kelava (2020) folgendermaßen definiert wird: „Ein Test erfüllt das Gütekriterium der
Reliabilität/Zuverlässigkeit, wenn er das Merkmal, das er misst, exakt, d.h. ohne Messfehler,
misst.“ (Moosbrugger & Kelava, 2022, S. 27) Das Ausmaß der Zuverlässigkeit wird über den
Reliabilitätskoeffizienten () mit quantifiziert. Für einen guten Test sollte ein
Wert von .7 nicht unterschritten werden (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020, S. 28). Das am
häufigsten verwendete Reliabilitätsmaß ist der nach Lee J. Cronbach (1916-2001) benannte
Reliabilitätskoeffizient Cronbachs Alpha (), welcher mit nachfolgender Gleichung berechnet
wird (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2022, S. 314):
Die Bezeichnung steht für die Anzahl der Items, sind die Itemvariablen () und
die Summe der Varianzen. ist die Testwertvariable der aufsummierten
Itemantworten bzw. die Gesamtvarianz der Testvariablen.
Zur Interpretation der geschätzten Reliabilität wurden die Kategorien für Cronbachs Alpha ()
nach Blanz (2015) gewählt:
• exzellent
• gut/hoch
• akzeptabel
• fragwürdig
• schlecht/niedrig
• inakzeptabel
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 193
Ein hoher Wert für Cronbachs Alpha () wird i.d.R. mit einer hohen internen/inneren Konsistenz
verglichen und damit auch mit einer hohen Korrelation zwischen den Items gleichgesetzt (vgl.
Moosbrugger & Kelava, 2022, S. 319). Um eine hohe innere Konsistenz (Homogenität bzw.
Eindimensionalität eines Messverfahrens) der Skalen zu bekommen, werden alle Items einer
Skala miteinander korreliert (Konsistenzanalyse).
In Tabelle 34 sind für die 16 Skalen F1 bis N2 der Prä-/Post-Erhebung die Anzahl der Items, die -
Koeffizienten und deren Interpretation nach Blanz (2015) zu entnehmen. Zunächst soll auf die
sieben Skalen eingegangen werden, bei denen sich Cronbachs durch Weglassen eines Items
verbessern würde. Wenn Item F2_6 (Ich setze mich kritisch mit dem Einsatz digitaler
Technologien im Unterricht auseinander.) bei den Daten des Prä- und des Post-Testes der Skala
F2 (Technological Pedagogical Knowledge) weggelassen wird, erhöht sich Cronbachs von .888
auf .906 bzw. von .803 auf .825 . Obwohl sich die Interpretation nach Blanz (2015) von gut/hoch
auf exzellent anhand der Pre-Daten steigern würde und im Post-Test eine Erhöhung um .023
ergeben würde, ist es vertretbar Item F2_6 in der Skala F2 zu belassen. In der Skala L1 (Einstellung
zu Technologie) ist im Prä-Test , während beim Weglassen des Items L1_2 (Mit
digitalen Mathematikwerkzeugen kann man mich jagen.) ein Wert von errechnet
wurde. In der gleichen Skala ergibt sich im Post-Test ein Wert von für die unveränderte
Skala, und beim Weglassen des gleichen Items wie im Prä-Test. Da sich diese Skala auch
ohne Weglassen von L1_2 mindestens im akzeptablen Bereich befindet, kann das Item-Set dieser
Kategorie ebenfalls ursprünglich belassen werden. Die Skala N1
(Selbstwirksamkeitsüberzeugungen) ist thematisch aufgeteilt. N1_1 bis N1_3 decken die
Entwicklung von Aufgaben für den Einsatz von DMW ab, während N1_4 bis N1_7 die Gestaltung
und Konzeption von Unterrichtsstunden mit DMW fokussieren. Wenn man das Item N1_7 (Ich
fühle mich in der Lage digitale Mathematikwerkzeuge vielseitig im Unterricht einzusetzen.)
wegließe, würde sich im Prä- als auch im Post-Test nur eine geringfügige Verbesserung von
Cronbachs (Pre: .005 und Post: .008) ergeben, ohne dass sich die Kategorien nach Blanz (2015)
exzellent bzw. gut/hoch verändern würden. Bei der Teilskala Lehrerverhalten (Subjektive Norm)
würde beim Weglassen des Items N2_11 (Die Eltern meiner zukünftigen Schülerinnen und Schüler
erwarten von mir, dass ich digitale Mathematikwerkzeuge im Unterricht nutze.) von .887 auf
.899 steigen, was auch keine signifikante Änderung der Reliabilitätseinschätzung nach sich zieht.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 194
Tab. 34: Reliabilitäten
16
der Skalen F bis N
Skalen/(Anzahl Items)
Cronbachs
(Prä)
Inter-
pretation
nach Blanz
(2015)
Cronbachs
(Post)
Inter-
pretation
nach Blanz
(2015)
Technological Knowledge (TK)
F1_1 … F1_6 (6)
.879
Gut/hoch
.842
Gut/hoch
Technol. Pedagogical Knowledge (TPK)
F2_1 … F2_8 (8)
.888
(.906)
Gut/hoch
(exzellent)
.803
(.825)
Gut/hoch
Technol. Content Knowledge (TCK)
F3_1 … F3_5 (5)
.823
Gut/hoch
.712
Akzeptabel
Auslagerungsprinzip
G1_1 … G1_6 (6)
.691
Fragwürdig
.718
Akzeptabel
Repräsentationswechsel
H1_1 … H1_5 (5)
.742
Akzeptabel
.803
Gut/hoch
Entdeckendes Lernen
I1_1 … I1_6 (6)
.775
Akzeptabel
.861
Gut/hoch
Gefahr für händisches Rechnen
J1_1 … J1_4 (4)
.890
Gut/hoch
.904
Exzellent
Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
K1_1 … K1_5 (5)
.820
Gut/hoch
.798
Akzeptabel
Einstellung zu Technologie
L1_1 … L1_5 (5)
.858
(.891)
Gut/hoch
.766
(.769)
Akzeptabel
Zeitaufwand
M1_1 … M1_3 (3)
.798
Akzeptabel
.855
Gut/hoch
Erst Mathematik, dann DMW
M2_1 … M2_4 (4)
.908
Exzellent
.912
Exzellent
Selbstwirksamkeit (Aufgaben)
N1_1 … N1_3 (3)
.876
Gut/hoch
.825
Gut/hoch
Selbstwirksamkeit (Unterricht)
N1_4 … N1_7 (4)
.928
(.933)
Exzellent
.868
(.876)
Gut/hoch
Lehrerverhalten (Einstellung)
N2_1 … N2_5 (5)
.863
Gut/hoch
.890
Gut/hoch
Lehrerverhalten (Verhaltenskontrolle)
N2_6 … N2_8 (3)
.878
Gut/hoch
.906
Exzellent
Lehrerverhalten (Subjektive Norm)
N2_9 … N2_12 (4)
.887
(.899)
Gut/hoch
.870
Gut/hoch
16
Durch Weglassen eines Items innerhalb einer Skala kann sich der Reliabilitätskoeffizient Cronbachs ggfs.
erhöhen. Für diese Fälle sind in Tabelle 31 die Reliabilitätskoeffizienten in Klammern gesetzt worden.
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 195
In fünf Fällen sind die Koeffizienten als exzellent einzustufen ( ). Die meisten Skalen (19)
können mit als gut/hoch eingeschätzt werden, während sieben im akzeptablen Bereich
() und lediglich die Skala Auslagerungsprinzip ( ) im Prä-Test als fragwürdig
einzuschätzen ist. Im Post-Test erreicht diese jedoch ein akzeptables Niveau mit einem Wert von
. Insgesamt lässt sich feststellen, dass die Messgenauigkeit des Fragebogens, auch auf
dem Hintergrund, dass zwischen den Messzeitpunkten jeweils 13 bzw. 14 Wochen, je nach
Semester, lagen, zufriedenstellend ist und damit eine hohe Reliabilität konstatiert werden kann.
Validität
Ein hohes Maß für Objektivität bzw. Reliabilität ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend, um
ein Testinstrument als sehr valide einzuschätzen (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020). Bei „[…] der
Validität handelt es sich hinsichtlich der praktischen Anwendung von Tests und der theoretischen
Diskussion von Merkmalszusammenhängen um das wichtigste Gütekriterium überhaupt […]“, so
Moosbrugger und Kelava (2020, S. 30). Die Validität (Gültigkeit) wird häufig wie folgt definiert:
„Validität/Gültigkeit eines Tests liegt vor, wenn das Merkmal, das er messen soll, auch wirklich
misst und nicht irgendein anderes.“ (Moosbrugger & Kelava, 2020, S.30) Zur weiteren
Differenzierung werden die Validitätsaspekte Augenscheinvalidität, Inhaltsvalidität
(Kontentvalidität), Kriteriumsvalidität und Konstruktvalidität angeführt (vgl. Moosbrugger &
Kelava, 2020).
Augenscheinvalidität
Die Augenscheinvalidität (engl.: face validity) beschreibt, ob für die Probanden (Laien)
augenscheinlich, d.h. offensichtlich und logisch nachvollziehbar ist, welche Merkmale gemessen
werden sollen (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020). Im Gegensatz zu anderen Gütekriterien, wie
bspw. der Reliabilitätskoeffizeint Cronbachs Alpha (), wird für die Augenscheinvalidität kein
Kennwert berechnet. Für den eingesetzten Fragebogen kann diese aber bestätigt werden. Vor
jedem Prä-Messzeitpunkt wurden die Probanden über Sinn und Zweck des fachdidaktischen
Seminars innerhalb des QLB-Projekts kurz informiert. Zusätzlich beginnt der Fragebogen mit
einem einleitenden Text (vgl. Anhang 17.1), der das Ziel der Umfrage beschreibt. Da der Begriff
digitale Mathematikwerkzeuge für die Beantwortung des Fragebogens ein zentraler Begriff ist,
wurde dieser zu Beginn von Teil B definiert (vgl. Anhang 17.1). Alle Fragenbogenteile sind mit
9 Entwicklung der Erhebungsinstrumente 196
einer einleitenden Überschrift versehen. Mit Teil F beginnend sind zusätzlich noch Infotexte zu
lesen, die auf die jeweiligen Themenbereiche (Teil F: Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf
digitale Mathematikwerkzeuge, Teile G bis M: Vor- und Nachteile beim Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge und Teil N: Selbstwirksamkeitserwartung und geplantes Verhalten)
hinweisen.
Inhaltsvalidität
„Die Inhaltsvalidität liegt vor, wenn die Testitems im Zuge der Operationalisierung so konstruiert
und ausgewählt werden, dass sie das interessierende Merkmal repräsentativ abbilden.“
(Moosbrugger & Kelava, 2020, S.32) Fachexperten nehmen bei der Bewertung, ob Items die
interessierenden Merkmale messen bzw. für die Probanden relevant und verständlich sind, eine
wichtige Rolle ein. Ein Expertenfeedback kann dazu beitragen, eventuelle Schwachstellen im
Fragebogen aufzudecken und zu beheben, um somit zur Verbesserung des Instruments
beizutragen. Die Experten können dabei helfen, sicherzustellen, dass die Fragen sowohl
fachwissenschaftlich relevant als auch für die Probanden verständlich sind. Bevor der Fragebogen
mit Beginn des Sommersemesters 2021 zum ersten Mal eingesetzt wurde, wurden die
Fragebogenteile in umfangreichen Expertenmeetings konstruktiv besprochen und geprüft. Bei
dieser Prüfung wird die „[…] Passung zwischen Testinhalten und der Konstruktdefinition
untersucht […] (Moosbrugger & Kelava, 2020, S. 531). Besonderer Fokus lag hier auf den Teilen F
bis N mit den entsprechenden Items.
Kriteriumsvalidität und Konstruktvalidität
Die Validität der Skalen F bis N2 wurde in Unterabschnitt 9.2.1 durch die entsprechenden Studien
dargelegt. Die Skalen F1 bis F3, die aus den Studien von Chai und Kollegen (2013), Schmidt und
Kollegen (2009) und Cramer (2017) adaptiert wurden, weisen entsprechende interne
Konsistenzen auf. Wie dort bereits beschrieben, basieren die Itemsets zu den Skalen G bis M zu
den technologischen Überzeugungen auf den Vorarbeiten von Rögler, Barzel und Eichler (2013),
Rögler (2014), Thurm, Klinger, Barzel und Rögler (2017). Ebenso konnte die Validität der Skala N1
(Selbstwirksamkeitsüberzeugungen) in der Studie von Thurm (2020) zu grafikfähigen
Taschenrechnern gezeigt werden. Die Skala N2 zum geplanten Lehrerverhalten ist von Valtonen
und Kollegen (2015) adaptiert worden, so dass auch hier die Gültigkeit vorliegt.
10 Methodik der Datenauswertung 197
10 Methodik der Datenauswertung
Im folgenden Teil der Arbeit wird auf das methodische Vorgehen zur Beantwortung der
Forschungsfragen [F1] bis [F6] eingegangen. In Abschnitt 10.1 wird dazu zunächst ein Überblick
über die Stichprobe der Studie und das Forschungsdesign gegeben. Dabei werden
demographische Informationen über Geschlecht und Alter der Probanden als auch Merkmale zu
deren lehramtsbezogenem Studiengang wie Schulform, Fachsemesteranzahl Mathematik und
Zweitfach detailliert beschrieben. In Abschnitt 10.2 werden die methodischen Grundlagen der
Datenanalyse bezogen auf den Kompetenztest, der die Forschungsfragen [F1] bis [F4] adressiert,
erläutert. Die Forschungfragen [F5] und [F6] werden mit dem Fragebogen zur Selbsteinschätzung
beantwortet. Die entsprechende Vorgehensweise bei der Datenanalyse wird in Abschnitt 10.3
beschrieben.
10.1 Stichprobe, Design und Ablauf der Untersuchung
Die Untersuchung der vorliegenden Studie mit quantitativen und qualitativen Ansätzen umfasst
ein Eingruppen-Prätest-Posttest-Design (vgl. Döring, 2023) mit Studierenden der Universität
Koblenz. In der akademischen Forschungspraxis wird häufig auf Studierende zurückgegriffen, da
für diese eine günstige Gelegenheit vorliegt (vgl. Döring, 2023). Abbildung 56 gibt einen Überblick
über das angelegte Forschungsdesign.
Abb. 56: Forschungsdesign
Quelle: Eigene Darstellung
10 Methodik der Datenauswertung 198
Für diese Gelegenheitsstudie (convenience sample) wurden Studierende der Lehrämter
Realschule plus, Gymnasium und Berufsbildende Schule ausgewählt, die an einem
verpflichtenden fachdidaktischen Seminar mit einem wöchentlichen Zeitaufwand von 2 SWS für
die Lehrveranstaltung teilnahmen. Für die Erhebung der quantitativen und qualitativen Daten
wurden zwei Instrumente eingesetzt. Ein dreiteiliger Kompetenztest zur Überprüfung von
Werkzeugkompetenzen und ein Fragebogen zur Selbsteinschätzung. Nach der Prä-Test-Messung
mit beiden Instrumenten erfolgte die Seminarintervention, welche bereits in Kapitel 8 ausführlich
beschrieben wurde. Die Post-Test-Messung mit eben diesen Instrumenten wurde nach dem
Besuch des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars durchgeführt. „Ein Vergleich dieser beiden
Messungen liefert Hinweise über mögliche, zwischenzeitlich eingetretene Veränderungen.“
(Döring, 2023, S.204). Während des Erhebungszeitraums (SoSe 2021 - SoSe 2023) gab es zwar
eine parallele Seminargruppe, jedoch mit vergleichbarer thematischer Ausrichtung. Da das
Treatment für alle Studierenden der Lehrämter Realschule plus, Gymnasium und Berufsbildende
Schule vorgesehen ist, die das FDS durchlaufen sollten, muss „[…] auf die Bildung einer
Kontrollgruppe verzichtet werden […]“ (Döring, 2023, S. 721). Die Experimentalgruppe
(Interventionsgruppe) bestand ursprünglich aus 58 Studierenden, die über einen Zeitraum von
fünf Semestern (SoSe 2021 bis SoSe 2023) am fachdidaktischen Seminar teilgenommen haben.
Die Teilnahme an der Untersuchung erfolgte auf freiwilliger Basis. Für die Bearbeitung des
Fragebogens zur Selbsteinschätzung, der in der ersten Seminarsitzung (Prä-Test) und in der
letzten Seminarsitzung (Post-Test) durchgeführt wurde, wurde kein Zeitlimit gesetzt und damit
auch kein Zeitdruck erzeugt. Der Prä-Post-Kompetenztest (vgl. Abschnitt 9.2) wurde in der
zweiten bzw. in der vorletzten Sitzung durchgeführt. Da sich die Stichprobe aus fünf
Seminargruppen (Kohorten A bis E) generiert, werden die Tabellen 43 bis 45 neben Gesamtzahlen
zusätzlich nach diesen differenziert. In die Auswertung wurden nur die Fälle einbezogen, die
sowohl am Prä- als auch am Post-Test teilgenommen haben. Da drei Studierende das FDS nicht
komplett absolviert haben (Drop-out-Quote 5,2%), besteht die Stichprobe aus 55 kompletten
Datensätzen, bestehend aus Fragebogen zur Selbsteinschätzung und Kompetenztest.
Der Aufstellung in Tab. 35 kann man entnehmen, dass die Kohorte A (SoSe 2021) aus 14, die
Kohorte B (WiSe 2021/2022) aus 12, die Kohorte C (SoSe 2022) aus 10, die Kohorte D (WiSe
2022/2023) aus 7 und die Kohorte E (SoSe 2023) aus 12 Probanden bestand. Die Angaben, die
den Tabellen 35 bis 39 zu entnehmen sind, beziehen sich ausschließlich auf diese gültigen Fälle.
10 Methodik der Datenauswertung 199
Die Geschlechterverteilung (männlich 43,6%/weiblich 56,5%) ist im Erhebungszeitraum (vgl. Tab.
35) relativ ausgeglichen. Lediglich in der Seminargruppe des SoSe 2022 ist mit neun Studentinnen
und einem Studenten ein deutlicher Überhang weiblicher Seminarteilnehmer zu erkennen.
Tab. 35: Geschlechterverteilung der Stichprobe
Semester (Kohorte)
Männlich
Weiblich
Gesamt
SoSe 2021 (A)
6
8
14
WiSe 2021/2022 (B)
5
7
12
SoSe 2022 (C)
1
9
10
WiSe 2022/2023 (D)
5
2
7
SoSe 2023 (E)
7
5
12
Gesamt
24 (43,6%)
31 (56,4%)
55
Tabelle 36 ist zu entnehmen, dass die Altersstruktur von 19 bis 46 Jahren reicht. Die einzelnen
Kohorten sind bis auf die des WiSe 2021/22 mit Werten zwischen 21.2 und 21.9 Jahren nahezu
homogen, was durch die Standardabweichungen mit Werten zwischen SD=0.75 und SD=1.92
bekräftigt werden kann. Ein Ausreißer (46 Jahre) zieht das arithmetische Mittel mit M=25.8 für
diese Kohorte nach oben, so dass das Gesamtdurchschnittsalter bei M=22.4 Jahren liegt.
Tab. 36: Altersstruktur der Stichprobe
Semester (Kohorte)
Altersspanne
(Jahre)
Alter M
Alter SD
SoSe 2021 (A)
[20…25]
21.6
1.84
WiSe 2021/2022 (B)
[21…46]
25.8
6.72
SoSe 2022 (C)
[20…23]
21.2
0.75
WiSe 2022/2023 (D)
[20…24]
21.9
1.12
SoSe 2023 (E)
[19…25]
21.3
1.92
Gesamt
[19…46]
22.4
3.87
Die Fachsemesterzahl für das Fach Mathematik der 51 BA-Studierenden beträgt durchschnittlich
M=4.84 bei einer Standardabweichung von SD=2.48 (vgl. Tab. 37). Die Stichprobe wird mit vier
MA-Studierenden (M=2.75; SD=0.82) komplettiert. Hier ist zu erwähnen, dass zwei der
Probanden (SoSe 2021 & WiSe 2021/22) das Lehramt an Berufsbildenden Schulen (BBS)
10 Methodik der Datenauswertung 200
studieren. In diesem Studiengang ist es vorgesehen, dass das verpflichtende fachdidaktische
Seminar erst im MA-Studiengang absolviert wird. Zwei weitere Studierende (MA GYM) haben im
WiSe 2021/22 als auch im WiSe 2022/23 das Seminar freiwillig besucht.
Tab. 37: Verteilung Studiengang und Fachsemesteranzahl Mathematik
Semester (Kohorte)
Studiengang
Fachsemester
Mathematik (M)
Fachsemester
Mathematik (SD)
SoSe 2021 (A)
BA: 13
4.3
1.14
MA (BBS): 1
1
0.00
WiSe 2021/22 (B)
BA: 10
6.8
3.63
MA (GYM): 1
4
0.00
MA (BBS): 1
1
0.00
SoSe 2022 (C)
BA: 10
4.1
1.64
WiSe 2022/23 (D)
BA: 6
4.5
1.50
MA (GYM): 1
3
0.00
SoSe 2023 (E)
BA: 12
4.6
2.50
Gesamt (N=55)
BA: 51
4.84
2.48
MA: 4
2.75
0.82
Tabelle 38 ist für die Gesamtstichprobe aller fünf Kohorten (N=55) zu entnehmen, dass der
überwiegende Anteil der LA-Studierenden mit 83,6% die Schulform Gymnasium bildet, bei sieben
Studierenden (12,7%) für Realschule plus und zwei Personen (3,6%) für die Schulform
Berufsbildende Schule.
Tab. 38: Verteilung der lehramtsbezogenen Studiengänge
Schulform
Abs. Häufigkeit
Rel. Häufigkeit
Gymnasium (GYM)
46
83,6 %
Realschule Plus (RS plus)
7
12,7 %
Berufsbildende Schule (BBS)
2
3,6 %
Gesamt
N=55
100 %
Für die lehramtsbezogenen Studiengänge der Sekundarstufen 1 und 2 (RS plus, GYM und BBS)
liegt der Schwerpunkt auf zwei gewählten Unterrichtsfächern. Neben dem Fach Mathematik als
10 Methodik der Datenauswertung 201
Erstfach und den obligatorischen Bildungswissenschaften wurden 13 verschiedene Zweitfächer
von den Studierenden angegeben, die in Tabelle 39 alphabetisch aufgeführt sind. Geographie
wurde mit 18,2% am häufigsten angegeben. Biologie, Informatik und Sport sind mit jeweils
sieben Nennungen (12,7%) relativ häufig vertreten, gefolgt von den Fächern Chemie und Deutsch
mit jeweils fünf Probanden und Physik mit einem Anteil von 7,3%. Die restlichen Fächer
Elektrotechnik (1), Englisch (2), Ethik (3), Evangelische Religionslehre (1), Geschichte (2), und
Pflege (1) komplettieren mit einer maximalen Häufigkeit von 3 die Verteilung der gewählten
Zweitfächer. Die Fächer Elektrotechnik und Pflege können nur für das Lehramt an
Berufsbildenden Schulen gewählt werden.
Tab. 39: Verteilung Zweitfach
Zweitfach
Abs. Häufigkeit
Rel. Häufigkeit
Biologie
7
12,7 %
Chemie
5
9,1 %
Deutsch
5
9,1 %
Elektrotechnik (BBS)
1
1,8 %
Englisch
2
3,6 %
Ethik
3
5,5 %
Evangelische Religionslehre
1
1,8 %
Geographie
10
18,2 %
Geschichte
2
3,6 %
Informatik
7
12,7 %
Pflege (BBS)
1
1,8 %
Physik
4
7,3 %
Sport
7
12,7 %
Gesamt
N=55
100 %
Die potentiellen Zweitfächer Bautechnik, Bildende Kunst, Holztechnik, Katholische
Religionslehre, Metalltechnik, Musik bzw. Wirtschaft und Arbeit waren in der Stichprobe nicht
vertreten.
10 Methodik der Datenauswertung 202
10.2 Kompetenztest
Jeweils in der zweiten Sitzung (Prä-Test) und in der vorletzten Sitzung (Post-Test) des
fachdidaktischen Seminars wurde von den Studierenden ein Kompetenztest über das LMS
OpenOLAT durchgeführt. Die zugrunde liegende Methodik der Datenauswertung in Verbindung
mit den formulierten Forschungsfragen [F1] bis [F4] wird in den nachfolgenden Unterabschnitten
erläutert. Beginnend mit den beiden Teilen zu den Bedienkompetenzen (Abschnitt 10.2.1) erfolgt
in Abschnitt 10.2.2 die Ausführung zum didaktischen Testteil.
10.2.1 Datenauswertung Teil 1 (Tabellenkalkulation) und Teil 2 (GeoGebra)
Wie bereits in den Unterabschnitten 9.1.1 und 9.1.2 beschrieben, werden mit den
Testbausteinen TKP und GeoGebra basale Bedienkompetenzen der Studierenden erforscht.
Dabei ist es von Interesse über welches Kompetenzniveau die Probanden vor der Intervention
bezogen auf Tabellenkalkulation und GeoGebra im Bereich elementarer Funktionen verfügen
und wie sich dieses nach dem Seminarbesuch verändert hat. Verbunden mit der Forschungsfrage
[F1] Inwieweit beherrschen Lehramtsstudierende basale Bedienkompetenzen im
Bereich elementarer Funktionen bezogen auf GeoGebra und Tabellenkalkulation
und welche Entwicklungen zeigen sich durch den Besuch eines spezifischen
fachdidaktischen Seminars?
geschieht die Messung über einen quantitativen Prä-Post-Vergleich zweier Testaufgaben. Für die
Auswertung des Teils TKP sind dies die Aufgaben T1 und T2 und für den Teil GeoGebra die
Aufgaben G1 und G2. Für die geforderten Bedienkompetenzen wurden Teilpunkte
17
festgelegt,
die für jede der vier Aufgaben T1, T2, G1 und G2 zu einer Maximalpunktzahl (100%) addiert
wurden.
Die Maximalpunktzahl für Aufgabe T1 beträgt 21 Punkte. Dabei entfallen auf die Kategorie Layout
5 Punkte, Eingaben (2), Berechnungen (8) und Graph (6). Die Teilpunkte für Layout (7), Eingaben
(3), Berechnungen (7) und Graph (6) ergeben für die Aufgabe T2 eine Maximalpunktzahl von 23
Punkten. Die Schriftgrößen der Zelleinträge sind für die Auswertung irrelevant.
17
In den Tabellen 65 bis 68 (vgl. Anhang 17.7) kann die Verteilung der Punkte zu den erwarteten
Bedienkompetenzen entnommen werden. Ebenso sind dort detaillierte Erläuterungen und Begründungen für
einen eventuellen Punktabzug bei Abweichungen von der Musterlösung nachzulesen.
10 Methodik der Datenauswertung 203
Die Maximalpunktzahl beträgt 30 Punkte für Aufgabe G1. Dabei entfallen auf die Kategorie
Einstellungen 15 Punkte, Eingabe (5) und Werkzeugleiste (10). Die Teilpunkte für Einstellungen
(17), Eingabe (6) und Werkzeugleiste (12) ergeben für die Aufgabe G2 eine Maximalpunktzahl
von 35 Punkten.
In der Spalte Bedienkompetenzen (Erwartungshorizont) sind die gefordeten Bedienelemente für
jede Kategorie aufgelistet (vgl. Anhang 17.7). Die Zahl in Klammern gibt die Teilpunkte an. In der
Spalte Erläuterungen/Begründungen (Punktabzug) sind Hinweise zu entnehmen, die bei der
Kodierung und Punktvergabe als Orientierung dienen. Die negative Zahl in Klammern hinter einer
Begründung gibt den Punktabzug für den jeweiligen Arbeitsschritt im Vergleich zur maximal
erreichbaren Punktzahl an. Hier sind auch von der Musterlösung abweichende Bedienschritte der
Studierenden genannt, die für die Bewertung relevant sind. Bei der Ausführung eines
Arbeitsschrittes sind häufig mehrere Klicks oder Eingaben notwendig, um diesen zu erfüllen.
Diese Abfolge der Klicks und Eingaben werden in der Spalte Bedienkompetenzen
(Erwartungshorizont) nacheinander für jeden Arbeitsschritt aufgezählt und geben indirekt
Aufschluss über die vergebenen Teilpunkte des Arbeitsschrittes. An einem Arbeitsschritt der
Aufgabe G1 soll dies verdeutlicht werden. Der Arbeitsschritt c) lautet: Konstruieren Sie eine
Gerade durch die Punkte und . Hier muss man zuerst in der Werkzeugleiste das
entsprechende Piktogramm wählen, anschließend den Unterpunkt Gerade auswählen, und
schließlich nacheinander zwei Punkte im Koordinatensystem anklicken, um die Gerade zu
erstellen. Für jeden Teilschritt sind 0,5 Punkte vorgesehen, so dass eine Gesamtpunktzahl von 2
Punkten entstanden ist.
Anhand dieses Kategoriensystems mit Bewertungskriterien wurde für jeden Probanden ein Prä-
Post-Vergleich für die Testteile TKP und GeoGebra durchgeführt und evaluiert. Dazu wurden die
Tabellenblätter und GeoGebra-Applets gesichtet und die entsprechenden Punkte mit der
Software MS-Excel erfasst und statistisch ausgewertet. Nach Sichtung aller Tabellenblätter hat
sich herausgestellt, dass die Kategorie Layout von vielen Probanden nur unzureichend bedient
wurde. Da diese Kategorie keine mathematik-relevanten Kompetenzen erfordert, wurde
entschieden diese Kategorie aus der Bewertung auszuschließen. Dadurch beträgt die
Maximalpunktzahl der beiden Aufgaben T1 und T2 jeweils 16 Punkte. Schließlich wurde jeweils
eine Prozentangabe der maximal erreichbaren Punkte für den ersten und zweiten Messzeitpunkt
ermittelt. Um eine Aussage über die Gesamtstichprobe zu erhalten, wurden alle fünf Kohorten
10 Methodik der Datenauswertung 204
(SoSe 2021 bis SoSe 2023) zusammengefasst (N=55). Der Mittelwert der prozentual erreichten
Punkte aller Probanden der Prä-Messung wird mit dem der Post-Messung verglichen. Die
Messung des Kompetenzzuwachses erfolgt über zwei gepaarte t-Tests für abhängige Stichproben
auf einem Signifikanzniveau von . Neben den relevanten Testparametern wird auch der
Koeffizient Cohens für die Effektstärke (vgl. Cohen, 1992) berichtet. Wird die Nullhypothese
(Es gibt keinen Unterschied zwischen Prä- und Post-Erhebung) zugunsten der
Alternativhypothese (Es gibt einen Unterschied zwischen Prä- und Post-Erhebung) verworfen,
ist die Größe dieses Unterschiedes zu bemessen und anschließend einzuordnen. Dabei gibt die
nachfolgende Kategorisierung (vgl. Cohen, 1992) Aufschluss über die Stärke des Effekts:
• kein bzw. sehr geringer Effekt
• kleiner Effekt
• mittlerer Effekt
• starker Effekt
Eine angenommene Alternativhypothese vorausgesetzt, gibt Cohens für die Testteile TKP
und GeoGebra Aufschluss darüber, mit welchem Effekt sich die Bedienkompetenzen für die
beiden Werkzeuge Tabellenkalkulation und GeoGebra im Bereich elementarer Funktionen durch
den Besuch der Lehrveranstaltung entwickelt haben.
10.2.2 Datenauswertung Teil 3 (Didaktik)
Eine systematische und nachvollziehbare Auswertung der erhobenen Daten der
Didaktikaufgaben D1 und D2 des Kompetenztestes ist ein zentrales Anliegen der vorliegenden
empirischen Forschungsarbeit. Methodisch orientiert sich die Daten- und Inhaltsanalyse an den
Grundlagen zur empirischen Sozialforschung nach Mayring und Kuckartz (vgl. Kuckartz & Rädiker,
2022; Mayring, 2022; Mayring & Bruner, 2006; Mayring & Fenzl, 2019). Dabei wird die qualitative
Inhaltsanalyse mit quantitativen Analyseschritten wie Häufigkeitsanalysen bzw.
Frequenzanalysen (Mayring, 2022, S.13) kombiniert.
Im Rahmen des Kompetenztestes wurden Texte zu vorgegebenen Aufgaben von den
Studierenden schriftlich verfasst (siehe Anhang 17.4 – Didaktikaufgaben D1 und D2). Diese
Fragen wurden in einer Stichprobe von 55 Lehramtsstudierenden beantwortet, die am
fachdidaktischen Seminar teilgenommen hatten. Aufgrund des Prä-Post-Designs der Studie sind
somit 110 Datensätze entstanden. Zu jedem Probanden gibt es daher zwei Datensätze.
10 Methodik der Datenauswertung 205
28 Studierende hatten im Prä-Test die Aufgabe D1 und im Post-Test die Aufgabe D2 beantwortet.
Dementsprechend hatten 27 Studierende zunächst D2 und im Post-Test die Aufgabe D1
beantwortet.
Zur Beantwortung der Forschungsfrage
[F2] Welches digitale Mathematikwerkzeug (GeoGebra oder Tabellenkalkulation) wird
von Lehramtsstudierenden bei Aufgaben, die von Schülern im Bereich elementarer
Funktionen prozedural bearbeitet werden, bevorzugt?
wurde eine Häufigkeitsanalyse (vgl. Mayring, 2022) anhand der Materialstichprobe zum
Messzeitpunkt 1 (Prä) und zum Messzeitpunkt 2 (Post) durchgeführt. Bei der Frage a) der
Didaktikaufgabe (vgl. Unterabschnitt 9.2.3) wurden die Studierenden zunächst durch die
Auswahl „[…] Tabellenkalkulation und/oder GeoGebra […]“ gebeten sich zu entscheiden. Dadurch
ergeben sich die vier Kategorien Nur GeoGebra, Nur TKP, GeoGebra & TKP und Keine Angabe, die
Tabelle 40 zu entnehmen sind und nachfolgend erläutert werden.
Tab. 40: Auswahl der DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation
Kategorien
Erläuterung
A1
Nur GeoGebra
Im Datenmaterial wird beschrieben, wie man die
Schulbuchaufgaben D1 bzw. D2 ausschließlich mit dem DMW
GeoGebra unterstützen kann.
A2
Nur TKP
Im Datenmaterial wird beschrieben, wie man die
Schulbuchaufgaben D1 bzw. D2 ausschließlich mit dem DMW
Tabellenkalkulation unterstützen kann.
A3
GeoGebra & TKP
Im Datenmaterial wird beschrieben, wie man die
Schulbuchaufgaben D1 bzw. D2 mit den DMW GeoGebra und
Tabellenkalkulation unterstützen kann.
A4
Keine Angabe
Im Datenmaterial wird keine Angabe darüber gemacht, wie man die
Schulbuchaufgaben D1 bzw. D2 mit den DMW GeoGebra oder
Tabellenkalkulation sinnvoll unterstützen kann.
Bei der Sichtung und Kodierung des Datenmaterials werden „[…] bestimmte Elemente des
Materials [...]“ ausgezählt „[…] und in ihrer Häufigkeit mit dem Auftreten anderer Elemente […]“
(Mayring, 2022, S. 13) verglichen. Für die beiden digitalen Werkzeuge GeoGebra und
Tabellenkalkukation bzw. für die entsprechenden Kategorien Nur GeoGebra und Nur TKP werden
nur die in Tabelle 41 aufgeführten Wörter oder Abkürzungen (Textbestandteile) als
Auswertungseinheit bzw. als Kodierregel zugelassen, auch unter Berücksichtigung möglicher
10 Methodik der Datenauswertung 206
Rechtschreibfehler. Kodiereinheiten (minimale Textbestandteile) bzw. Kontexteinheiten
(maximale Textbestandteile) müssen daher nicht gesondert berücksichtigt werden (vgl. Mayring,
2022).
Tab. 41: Auswertungseinheiten (GeoGebra & Tabellenkalkulation)
Kategorien
Auswertungseinheiten/Kodierregeln
A1
Nur
GeoGebra
GeoGebra, Geogebra, Geo Gebra, graphische Software, DGS,
dynamische Geometriesoftware GeoGebra, GeogGebra, GG,
Geometriesoftware
A2
Nur TKP
Excel, Tabellenkalkulationsprogramm, Tabellen-kalkulation,
Tabellenkalkulator, TK-P, TK, Exel, Tabellenkalk.programm,
Tabellenkalkulations-programm MS-Excel,
Tabellenkalkulationssystem
A3
GeoGebra & TKP
Enthält ein Datensatz mindestens eine der Auswertungseinheiten
der Kategorie Nur GeoGebra und mindestens eine der
Auswertungseinheiten der Kategorie Nur TKP, wird dieser der
Kategorie GeoGebra & TKP zugeordnet
A4
Keine Angabe
• „Da ich mit beiden Systemen noch nicht intensiv gearbeitet
habe, muss ich nun Vermutungen anstellen. Man könnte die
zu lösende Gleichung in GeoGebra eingeben. Je nachdem
zeigt ein Funktionsgraph die Lösung, in diesem Fall gerundet
2,63, an. Zu Excel kann ich keine Auskunft geben.“ (#2)
• „Kein Kommentar, da ich persönlich nicht mit Excel oder
Geogebra gearbeitet habe.“ (#24)
• Leeres Schriftfeld (#31)
Mehrfachnennungen der Textbestandteile werden quantitativ nicht erfasst. Mindestens eine
Nennung eines DMW reicht aus, um den Datensatz den Kategorien Nur GeoGebra, Nur TKP oder
GeoGebra & TKP zuzuordnen. Die Kategorie Keine Angabe wurde nur dreimal im Prä-Test
ausgezählt. Daher sind diese drei Auswertungseinheiten, die gleichzeitig als Ankerbeispiele
dienen, in Tabelle 41 aufgeführt. Obwohl hier Auswertungseinheiten der Kategorien Nur
GeoGebra und Nur TKP genannt wurden (#2 und #24), können diese inhaltlich nicht einer der drei
anderen Kategorien zugeordnet werden. Bei der Kategorie GeoGebra & TKP wird eine mögliche
Präferenz (Gewichtung) eines Werkzeugs durch Mehrfachnennungen nicht berücksichtigt. Beim
Durcharbeiten des Materials anhand des Kategoriensystems (Kodierung) wird das Auftreten der
Kategorien festgestellt und die Häufigkeiten verglichen.
Die Darstellung, Interpretation und Diskussion der Ergebnisse erfolgt dementsprechend im Teil
IV Ergebnisse.
10 Methodik der Datenauswertung 207
Zur Beantwortung der Forschungsfrage
[F3] Welche digitale Unterstützungen mit GeoGebra und Tabellenkalkulation nennen
Lehramtsstudierende vor und nach Besuch eines spezifischen fachdidaktischen
Seminars bei Aufgaben, die von Schülern im Bereich elementarer Funktionen
prozedural bearbeitet werden?
wird ebenso eine Häufigkeitsanalyse durchgeführt (vgl. Mayring, 2022). Da die Didaktikaufgaben
D1 bzw. D2 jeweils mit einer Tabellenkalkulation und/oder mit GeoGebra unterstützt werden
könnten, ergeben sich vier verschiedene Kategoriensysteme, die im weiteren Verlauf skizziert
werden. Die digitalen Unterstützungen beziehen sich dabei auf die Repräsentationen
Funktionsgraph und Wertetabelle, verbunden mit basalen Bedienkompetenzen der jeweiligen
Software, diese Repräsentationen umzusetzen. Zunächst werden diese Unterstützungen für die
Didaktikaufgabe D1 aufgeführt. In Tabelle 42 sind die einzelnen Kategorien für das DMW
Tabellenkalkulation dargestellt.
Tab. 42: Digitale Unterstützungen zu D1 mit Tabellenkalkulation
Kategorien
Digitale Unterstützungen
Tab1
Wertetabelle
erstellen
Wertetabelle zu der quadratischen Funktion
erstellen
Wertetabelle zu der linearen Funktion erstellen
Tab2
Vergleich
Wertetabelle
Lösungen der Gleichung durch Vergleich der -Werte
in den Wertetabellen, um auf die beiden Lösungen von zu
schließen
Tab3
(X,Y)-Diagramm
erstellen
Diagramm (Graph) zu erstellen
Diagramm (Graph) zu erstellen
Tab4
Graphisches
Lösen
Lösungen der Gleichung durch Ablesen der
Schnittpunkte der Graphen (Diagramme) von und
Als grundlegende Unterstützungen mit einer Tabellenkalkulation können Wertetabellen erstellt
werden (Tab1) und diese dann verglichen werden (Tab2). Ebenso können (X,Y)- Diagramme bzw.
Graphen (Tab3) erstellt werden, wenn entsprechende Daten in einer Tabelle zuvor eingetragen
wurden. Falls die Diagramme zu den beiden Funktionen erstellt werden, könnten die
10 Methodik der Datenauswertung 208
Schnittpunkte der Graphen abgelesen werden (Tab4). Auch wenn dieses Verfahren ungenau sein
kann, ist es als Kontrolle der zuvor berechneten Lösung trotz möglicher Abweichungen geeignet.
Tabelle 43 sind die einzelnen Kategorien und digitalen Unterstützungen für das DMW GeoGebra
zur Didaktikaufgabe D1 zu entnehmen.
Tab. 43: Digitale Unterstützungen zu D1 mit GeoGebra
Kategorien
Digitale Unterstützungen
GG1
Graph erstellen
Graph zur quadratischen Funktion erstellen
durch Eingabe im Algebra-Fenster
Graph zur linearen Funktion erstellen durch Eingabe
im Algebra-Fenster
Mit ergibt sich die Differenzfunktion
. Graph zu erstellen durch Eingabe im
Algebra-Fenster
GG2
Graphisches
Lösen
Lösungen der Gleichung durch Ablesen der
Schnittpunkte von und im Koordinatensystem ermitteln
Lösungen der Gleichung durch Ablesen der Schnittstellen
von mit der -Achse (Nullstellen) im Koordinatensystem
ermitteln
GG3
Schnittpunkt mit
Werkzeugleiste
bestimmen
Nachdem die Graphen zu und erstellt wurden, werden
die Schnittpunkte mit der Werkzeugleiste (Schnittpunkt zweier
Objekte) bestimmt
Nachdem der Graph zu erstellt wurde, werden die Nullstellen
mit der Werkzeugleiste (Schnittpunkt zweier Objekte) bestimmt
GG4
Wertetabelle
erstellen
Wertetabelle zu der quadratischen Funktion
erstellen
Wertetabelle zu der linearen Funktion erstellen
Mit GeoGebra lassen sich über das Algebra-Fenster Graphen erstellen (GG1). Anhand der
Graphen lassen sich die Lösungen einer Gleichung durch Ablesen der Schnittpunkte ermitteln
(GG2). Ebenso kann die Werkzeugleiste eingesetzt werden, so dass die Koordinaten der
Schnittpunkte im Graphik-Fenster und im Algebra-Fenster angezeigt werden können (GG3). Mit
GeoGebra als Multirepräsentationswerkzeug oder als dynamisches Mathematiksystem (vgl.
Vollrath & Roth, 2012) lassen sich auch Wertetabellen erstellen (GG4). Die Möglichkeiten einer
Tabellenkalkulation in GeoGebra sind beim Einsatz schulrelevanter Themen vergleichbar mit
denen reiner Tabellenkalkulationssoftwares wie MS-Excel, wenn auch die Handhabung
10 Methodik der Datenauswertung 209
gegenüber der Spezialsoftware umständlicher ist (vgl. Dopfer & Reimer, 1999; Weigand & v.
Hofe, 2006).
Im Weiteren werden die digitalen Unterstützungen für die Didaktikaufgabe D2 erläutert. In
Tabelle 44 sind die einzelnen Kategorien für das digitale Mathematikwerkzeug Tabellenkal-
kulation dargestellt.
Tab. 44: Digitale Unterstützungen zu D2 mit Tabellenkalkulation
Kategorien
Digitale Unterstützungen
Tab1
Wertetabelle
erstellen
Wertetabelle zu erstellen
Tab2
Vergleich
Wertetabelle
Lösung der Gleichung durch Vergleich der -Werte der
Wertetabelle zu mit dem -Wert 18
Tab3
(X,Y)-Diagramm
erstellen
Graph (Diagramm) zu erstellen
Graph (Diagramm) zu erstellen
Tab4
Graphisches
Lösen
Lösung der Gleichung durch Ablesen des Schnittpunktes im
Diagramm
Tabelle 45 gibt einen Überblick über die digitalen Unterstützungen, die mit GeoGebra
vorgenommen werden können.
Tab. 45: Digitale Unterstützungen zu D2 mit GeoGebra
Kategorien
Digitale Unterstützungen
GG1
Graph erstellen
Graph zu
erstellen
Graph zu
erstellen
GG2
Graphisches
Lösen
Lösung der Gleichung durch Ablesen des Schnittpunktes
von und ermitteln
GG3
Schnittpunkt mit
Werkzeugleiste
bestimmen
Nachdem die Graphen zu und erstellt wurden, wird der
Schnittpunkt mit der Werkzeugleiste (Schnittpunkt zweier Objekte)
bestimmt
GG4
Wertetabelle
erstellen
Wertetabelle zu der Exponentialfunktion
erstellen
Wie aus den Tabellen 42 bis 45 zu entnehmen ist, werden für die spätere quantitaive Auswertung
die Kategorien Wertetabelle erstellen (Tab1), Vergleich Wertetabelle (Tab2), (X,Y)-Diagramm
erstellen (Tab3) und Graphisches Lösen (Tab4) für das digitale Mathematikwerkzeug
10 Methodik der Datenauswertung 210
Tabellenkalkulation verwendet und für das DMW GeoGebra die Kategorien Graph erstellen
(GG1), Graphisches Lösen (GG2), Schnittpunkt mit Werkzeugleiste bestimmen (GG3) und
Wertetabelle erstellen (GG4).
Zur Beantwortung der Forschungsfrage
[F4] Welche Vor- und Nachteile sehen Lehramtsstudierende beim Einsatz von GeoGebra
und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen?
wird die qualitative Inhaltsanalyse oder auch kategoriengeleitete Textanalyse (Mayring, 2022, S.
13) angewendet. In der vorliegenden Dissertation werden zunächst die beiden deduktiven
Hauptkategorien Vorteile von DMW und Nachteile von DMW mit den entsprechenden
Subkategorien „[…] theorie- und fragestellungsgeleitet aufgestellt […]“ (Mayring, 2022, S. 67),
ehe im zweiten Schritt die induktive Kategorienbildung erfolgt. Daher kann auch in Abgrenzung
zu anderen Textanalyseverfahren von einer deduktiv-induktiven Kategorienbildung als Mischung
aus deduktiver A-priori-Kategorienbildung und induktiver Kategorienbildung gesprochen werden
(vgl. Kuckartz & Rädiker, 2022, S. 102). Dies geschieht am Material nahezu ausschließlich in einer
Richtung. Es wird mit deduktiven Haupt- und Subkategorien begonnen und im zweiten Schritt
folgt die Bildung von induktiven Subkategorien am gleichen Material. Innerhalb induktiver
Kategorienbildungen wird aus dem Besonderen auf das Allgemeine geschlossen, so dass die
Subkategorien aus dem Datenmaterial generiert werden.
Als Grundform des Interpretierens wird die Strukturierung nach Mayring (2022) gewählt.
Innerhalb der Strukturierung sollen Aspekte aus den Materialien unter vorher festgelegten
Ordnungskriterien herausgefiltert werden, um das Material bezüglich bestimmter Kriterien
einzuschätzen (vgl. Mayring, 2022, S.66). Dies geschieht auf Grundlage von zuvor festgelegten
deduktiven Hauptkategorien.
10 Methodik der Datenauswertung 211
Die Grundform Strukturierung (deduktive Kategorienanwendung) der qualitativen Inhaltsanalyse
wird mit der Parallelform der Kategoriensystemerweiterung (vgl. Mayring, 2022, S. 107)
verknüpft. Nach Mayring (2022) wird diese Mischtechnik wie folgt beschrieben:
„Mit deduktiv abgeleiteten Kategorien wird entlang eines Kodierleitfadens das Material
bearbeitet. Wenn ein theoretisch wichtiger Aspekt im Text auftaucht, der nicht in den
deduktiven Kategorien abgebildet ist, wird auf induktivem Weg das Kategoriensystem um
diesen Aspekt erweitert. Notwendig dazu sind im Sinne induktiver Kategorienentwicklung
eine Kategoriendefinition und ein Abstraktionsniveau. Anschließend sind für die neue
Kategorie Definition, Ankerbeispiel und ggf. Kodierregel für den erweiterten Kodierleitfaden
nachzuliefern.“ Mayring (2022, S.107)
Die deduktiv abgeleiteten Subkategorien werden nach dem Ablaufmodell deduktiver
Kategorienanwendung (vgl. Abb. 57, S.212) nach Mayring (2022) strukturiert und analysiert.
Mayring (2022) betont, dass die Festlegung eines konkreten Ablaufmodells ein zentraler
Bestandteil der Inhaltsanalyse darstellt. Die Systematik der qualitativen Inhaltsanalyse besteht in
der Regel- und Theoriegeleitetheit sowie in der schrittweisen Zergliederung einzelner
Analyseeinheiten anhand eines Kategoriensystems, was entsprechende Orientierung schafft
(Mayring, 2022, S. 471). Das Kategoriensystem erfüllt darüber hinaus weitere Qualitätskriterien.
Das System ist eindimensional, was nach Schreier (2012) besagt, dass jede Subkategorie je einen
Aspekt der Hauptkategorie abdeckt. Den beiden Hauptkategorien Vorteile von DMW und
Nachteile von DMW wurden durch die theoriebasierte Beschreibung (vgl. Unterabschnitte 3.5.2
und 3.5.3) bzw. den Definitionen im Kodierleitfaden eindeutig ihre Subkategorien zugeordnet.
Die Kategoriensystemerweiterung durch induktive Subkategorien wird nach der Darlegung der
deduktiven Kategorienanwendung erläutert. Es wird empfohlen die inhaltsanalytischen
Einheiten offen zu halten. Bei der inhaltlich strukturierenden Analyse wird die Textanalyse-
Software MAXQDA
18
unterstützend eingesetzt. Wie bereits beschrieben wurde, ist der
Grundgedanke der qualitativen Inhaltsanalyse (QIA) die systematische Analyse des
Ausgangsmaterials. Diese wird durch die sukzessive theoriegeleitete Entwicklung eines
Kategoriensystems umgesetzt.
18
Auf dem Gebiet der qualitativen Inhaltsforschung haben sich durch die Möglichkeit diese am Computer
umzusetzen, in den vergangenen Jahrzehnten einige PC-Programme am Markt positioniert. Eines der
etabliertesten Programme ist MAXQDA, welches Anfang der 1990er Jahre an der FU Berlin von Udo Kuckartz
entwickelt wurde. Neben den vielfältigen Möglichkeiten ist hervorzuheben, dass auch quantifizierende
inhaltsanalytische Schritte durchgeführt werden können (Mayring, 2022).
10 Methodik der Datenauswertung 212
Abb. 57: Ablaufmodell deduktiver Kategorienanwendung (Strukturierung)
Quelle: (Mayring, 2022, S. 97)
10 Methodik der Datenauswertung 213
Gegenstand, Fragestellung, Theoriehintergrund
Digitale Mathematikwerkzeuge werden im Unterricht aufgrund der voranschreitenden digitalen
Transformation immer häufiger eingesetzt - nicht zuletzt durch die verbindlichen
Kompetenzerwartungen der KMK an Lehrkräfte und Schüler diese im Unterricht zu verwenden.
Wie bereits in Unterabschnitt 3.5.1 erläutert, haben digitale Mathematikwerkzeuge das Potential
den Unterricht auf vielfältiger Weise zu bereichern, um einen inhaltlichen und didaktischen
Mehrwert im Vergleich zu einer ausschließlich technologiefreien Unterrichtsgestaltung zu
generieren. Neben den Chancen existieren aber auch Herausforderungen, Bedenken und Risiken,
dass originäre mathematische Kompetenzen durch den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
zurückgedrängt oder vernachlässigt werden könnten bzw. sogar gänzlich an Bedeutung verlieren.
Für die vorliegende Untersuchung wurde dieses weitreichende Feld auf die verwendeten DMW
bezogen als auch thematisch eingegrenzt. Zum einen bezieht sich das Forschungsinteresse auf
die beiden DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation und zum anderen auf die elementaren
Funktionen der Sekundarstufe I.
Theoriegeleitete Festlegung der Kategorien
Ziel des Kodierens ist eine Systematisierung der aus den Texten der Lehramtsstudierenden
gewonnenen Informationen, um diese zur Beantwortung einer Forschungsfrage zu nutzen.
Mayring & Fenzl (2019, S. 634) definieren Kategorien folgendermaßen: „Kategorien stellen
Analyseaspekte als Kurzformulierungen dar, sind in der Formulierung mehr oder weniger am
Ausgangspunkt orientiert und können hierarchisch geordnet sein (Ober- und Unterkategorien)“.
Sie stellen außerdem Themenbereiche (z.B. Vor- und Nachteile des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen) dar, denen Informationen aus dem Datenmaterial zugeordnet werden.
Alle Hauptkategorien werden theoriegeleitet, und an den Forschungsfragen orientiert, deduktiv
gebildet, so dass vom Allgemeinen auf das Besondere geschlossen werden kann.
Es sind insgesamt 13 Kategorien, welche sich in Vorteile (V1_d bis V9_d) und Nachteile (N1_d bis
N4_d) aufgliedern (vgl. Tab. 46, S. 215). Grundlage für diese Kategorien sind die in den
Unterabschnitten 3.5.2 und 3.5.3 dargestellten Vor- und Nachteile des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen. Der dort erwähnte Vorteil der Modellierungsfunktion wird im
Kategorienset nicht berücksichtigt, da davon auszugehen ist, dass die Didaktikaufgaben D1 und
D2 dieses Potential nicht haben. Die Kategorien bilden eine Liste gleichrangiger Aspekte mit
10 Methodik der Datenauswertung 214
Nominalcharakter (vgl. Mayring, 2022, S.96). Durch die Kategorienbildung wird eine inhaltliche
Strukturierung ermöglicht.
Tab. 46: Deduktive Kategorien (Vor- und Nachteile)
Deduktive Kategorien
Vorteile des Einsatzes von DMW
V1_d
Visualisierungsfunktion
V2_d
Parallele Anzeige von Repräsentationen
V3_d
Dynamische Verknüpfung von Repräsentationen
V4_d
Reduktion der Arbeitsgedächtnisbelastung
V5_d
Förderung von Reflexions-/Transferprozessen
V6_d
Zeitersparnis durch schnelle Verfügbarkeit von Repräsentationen
V7_d
Entdeckendes Lernen/Experimentierfunktion
V8_d
Kontrollfunktion
V9_d
Auslagerungsprinzip/Entlastung von Kalkül
Nachteile des Einsatzes von DMW
N1_d
Gefahr für händische Rechenverfahren
N2_d
Hoher Zeitaufwand ohne Vorkenntnisse von DMW
N3_d
Gefahr für Denken und Verstehen durch Auslagerung an DMW
N4_d
Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
Theoriegeleitete Formulierung von Definitionen, Ankerbeispielen und Kodierregeln zu jeder
Kategorie, Zusammenstellung zu einem Kodierleitfaden
Das Lesen der Texte und das Markieren von besonders wichtig erscheinenden Textpassagen
leitete die Inhaltsanalyse ein. Die zuvor dargestellten 13 deduktiven Kategorien fungierten dabei
als Suchraster. Das Material wurde auf das Vorhandensein eines entsprechenden Inhalts
untersucht und in groben Zügen kategorisiert. Das erhobene Datenmaterial wurde in einer
übersichtlichen Darstellung visualisiert (vgl. Anhang 17.5). Die Probanden wurden von #1 bis #55
nummeriert. Zusätzlich wurde der Anonymisierungs-Code, der auch für den Fragebogen zur
Selbsteinschätzung verwendet wurde, aufgeführt. Jeder Datensatz besteht aus zwei Fließtexten,
die dem Messzeitpunkt 1 (Prä) und dem Messzeitpunkt 2 (Post) zugeordnet werden können.
10 Methodik der Datenauswertung 215
Schließlich ist in dieser Darstellung auch zu erkennen zu welchem Messzeitpunkt die
Didaktikaufgaben D1 und D2 bearbeitet wurden.
Alle Kategorien werden innerhalb eines Kategoriensystems/Kodierleitfadens (vgl. Anhang 17.5)
dargestellt. Jede Kategorie wird zunächst definiert. Die Definitionen stellen eine Art
Handlungsanweisung dar, die durch den Kodierleitfaden in verschriftlicher Form besteht
(Kuckartz & Rädiker, 2022). Die Definitionen der einzelnen Kategorien können sich durch das
wiederkehrende Durcharbeiten des Materials verfeinern. Ebenso wird jeder Kategorie ein oder
mehrere Ankerbeispiele aus den Materialien (Anhang 17.4) zugeordnet. Diese stellen Beispiele
für die jeweilige Kategorie dar und beschreiben die prototypische Funktion der Kategorie. Es hat
sich als hilfreich erwiesen, während des Kodierungsprozesses, Textstellen, die sich auf die
jeweilige Kategorie beziehen, durch Belege in Form von Zeilenangaben oder Codes in den
Kodierleitfaden zu integrieren (vgl. Mayring, 2022). Kategorien können somit im Laufe des
Analyseverfahrens ergänzt und verändert werden (vgl. Mayring & Fenzl, 2019). Die Definitionen
und Ankerbeispiele werden durch Kodierregeln ergänzt. Diese Regeln ermöglichen eine
eindeutige Zuordnung, besonders dort, wo Abgrenzungsprobleme zwischen Kategorien
bestehen. Ein weiterer Aspekt der Kodierregeln ist die Festlegung von Analyseeinheiten. Jeder
der 110 Datensätze entspricht dabei einer Auswertungseinheit. Die Kodiereinheit ist ein
einzelnes Wort (kleinster Textbestandteil). Außerdem können mehrere Wörter mit
Sinnzusammenhang, sogenannte bedeutungstragende Phrasen (vgl. Mayring & Fenzl, 2019) oder
einzelne Sätze einer Kategoriendefinition zugewiesen werden. Der größte Textbestandteil, der
einer Kategorie zugeordnet werden kann, besteht aus mehreren Sätzen (Kontexteinheit).
Mehrfachzuordnungen zu unterschiedlichen Kategorien von Textbestandteilen, welche
unterschiedliche Aspekte aufzeigen, waren zulässig. Mehrfachnennungen von Kategorien in
einem Datensatz wurden jedoch nicht berücksichtigt. Die Beantwortung der Didaktikaufgabe
geschah in zwei Teilaufgaben (vgl. Unterabschnitt 9.2.3). Nicht immer haben sich die Probanden
an die klare Trennung der Teilaufgaben a) und b) der Didaktikaufgabe gehalten (vgl. Abschnitt
9.1). Bei der Zuordnung der Textstellen zu den Kategorien wurde jedoch der gesamte Text
berücksichtigt. Durch die maximale Zeitvorgabe von 15 Minuten waren gelegentlich angefangene
Sätze am Ende des Textmaterials zu lesen. Wenn aus diesen Halbsätzen substanzielle
Informationen im Sinne des Kategoriensystems erkannt wurden, wurden diese dafür
berücksichtigt.
10 Methodik der Datenauswertung 216
Aus Definitionen, Ankerbeispielen und Kodierregeln und unter Berücksichtigung der zuvor
festgelegten Analyseeinheiten und Selektionskriterien konnte ein vorläufiger Kodierleitfaden für
die Vor- und Nachteile des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen im Bereich
elementarer Funktionen zusammengestellt werden.
Kodierung eines ersten Textteils; Überarbeitung der Kategorien und des Kodierleitfadens
Nach Abschluss des SoSe 2021 wurde der erste Kodierungsprozess mit den Datensätzen dieser
Kohorte mit dem vorläufigen Kategoriensystem kodiert. Mit zunehmender Anzahl der Datensätze
wurde der Kodierungsprozess bis zur letzten Kohorte im SoSe 2023 in einer
Überarbeitungsschleife (vgl. Mayring, 2022, S. 98) nach jedem Seminardurchgang wiederholt.
Zwischen den Durchgängen war somit ein zeitlicher Abstand von ca. einem halben Jahr gegeben,
um – entgegen der Gewöhnung – zu überprüfen, inwiefern die kodierten Textstellen des ersten
Durchgangs mit denen des zweiten Durchgangs, und die des zweiten mit dem dritten Durchgang
etc. übereinstimmten bzw. möglicherweise bei der wiederholten Kodierung anders verstanden
wurden. Die Kategorienzuordnung hat sich sukzessive durch weniger werdende
Abgrenzungsprobleme stabilisiert. Im SoSe 2023 war der letzte Durchgang, in dem Daten der
Studierenden erhoben wurden. Im Sinne Mayrings wird durch den sog. Intrakodercheck die
Reliabilität der qualitativen Inhaltsanalyse bestimmt, „[…] wenn der gleiche Inhaltsanalytiker am
Ende der Analyse nochmals Material (oder relevante Abschnitte) kodiert, ohne seine ersten
Kodierungen zu kennen (Intracoderreliabilität).“ (Mayring, 2022, S.119)
Endgültiger Materialdurchgang; Zuordnung der Kategorien zu Textpassagen
Beim endgültigen Durchgang wird das gesamte Material mit dem final revidierten
Kodierleitfaden, der die 13 definierten Hauptkategorien enthält, kodiert. Die Textpassagen
(Kodiereinheiten, bedeutungstragende Phrasen, einzelne Sätze oder Kontexteinheiten) werden
den Kategorien zugeordnet. Um die relevanten Informationen aus den großen Datenmengen der
Studierenden (vgl. Anhang 17.4) zu explorieren und zu kodieren, wird die Textanalyse-Software
MAXQDA Analytics Pro genutzt (vgl. Kuckartz et al., 2008; Mayring, 2022). Mit der Fenstertechnik
kann parallel das Kategoriensystem (Fenster links Codes) und der Text eines Probanden (Fenster
rechts ARFK1KBE_Did2_Pre) und angezeigt werden (vgl. Abb. 58)
10 Methodik der Datenauswertung 217
Abb. 58: Benutzeroberfläche MAXQDA Analytics Pro
Quelle: Eigene Darstellung
Das Datenmaterial wurde anhand des Kodierleitfadens für Vor- und Nachteile des Einsatzes von
digitalen Mathematikwerkzeugen mehrfach durchgearbeitet, um es den definierten
Hauptkategorien final zuzuordnen. Bei der Kodierung der Hauptkategorie Vorteile des Einsatzes
von DMW konnte der Kategorie Dynamische Verknüpfung von Repräsentationen (V3_d) und der
Kategorie Reduktion der Arbeitsgedächtnisbelastung (V4_d) keine Textstelle zugeordnet werden.
Intercoder-Übereinstimmungstest
Der Prozess des Kodierens mit entsprechender Beurteilung von Gütekriterien ist bei der
qualitativen Inhaltsanalyse von zentraler Bedeutung (vgl. Kuckartz & Rädiker, 2022). Bei der
Zuordnung von Kategorien zu qualitativem Datenmaterial sollten bestimmte Qualitätskriterien
angelegt werden, damit die Zuordnung nicht willkürlich passiert. In der qualitativen Forschung
kommt es daher darauf an, mögliche Differenzen bei der Kodierung zu identifizieren, um eine
praktische Verbesserung der Güte der Kodierungen zu erreichen, um mit „besser“ kodiertem
Material weiterarbeiten zu können.
10 Methodik der Datenauswertung 218
Ziel ist es, einen möglichst hohen Grad an Übereinstimmung zwischen Kodierenden (Ratern) zu
erreichen. Der Intercoder-Übereinstimmungstest (oder: Intercoder-Reliabilitätsprüfung)
ermöglicht es die Kodierungen von mindestens zwei unabhängig voneinander kodierenden
Personen (Inhaltsanalytiker und Gegenkodierer) miteinander zu vergleichen (vgl. Mayring, 2022).
Je mehr Rater zur Verfügung stehen, desto eher ist „[…] eine Bandbreite unterschiedlicher
Sichtweisen berücksichtigbar […]. Manche inhaltsanalytischen Projekte setzten eine ganze Reihe
an Kodierern ein und diskutieren diese Kodierungen in Kodierkonferenzen untereinander.“
(Mayring, 2022, S. 120) Für die vorliegende Reliabilitätsprüfung wurde ein Gegenkodierer
ausgewählt. In einem Briefing wurde die Inhaltsanalyse ausführlich beschrieben, so dass der
Gegenkodier die Analyse ähnlich wie der Inhaltsanalytiker durchführen konnte (vgl. Mayring,
2002, S.50). Dem Gegenkodierer wurden alle 110 Datensätze des Prä- und Posttestes der
Probanden sowie der Kodierleitfaden (vgl. Anhang 17.8) zur Verfügung gestellt. Bezugnehmend
auf die Kodierung des Inhaltsanalytikers konnte auch der Gegenkodierer die Kategorien
Dynamische Verknüpfung von Repräsentationen (V3_d) und Reduktion der
Arbeitsgedächtnisbelastung (V4_d) aus dem Datenmaterial nicht ermitteln. Da weder
Inhaltsanalytiker noch Gegenkodierer diese deduktiven Subkategorien der Hauptkategorie
Vorteile von DMW identifiziert haben, ist das Kategoriensystem nicht gesättigt. Das Kriterium der
Sättigung erfordert, dass jeder Kategorie mindestens eine Textstelle aus dem Material
zugeordnet werden kann (vgl. Schreier, 2012). Für den Intercoder-Übereinstimmungstest
werden die Kategorien V3_d und V4_d daher eliminiert (vgl. Tab. 48, S. 221). Die Tatsache, dass
ein Kategoriensystem nicht gesättigt ist, könnte ggfs. ein forschungsrelevantes Ergebnis sein (vgl.
Schreier, 2012). Im letzten Hauptteil (Fazit) wird dieser Umstand daher nochmals aufgegriffen.
Zur Messung der Übereinstimmung gibt der relative Anteil aus übereinstimmenden
Kodierungen und der Gesamtzahl der Kodierungen eine erste Auskunft (vgl. Tab. 47,
S.219):
Dieses einfache Maß der relativen Übereinstimmung berücksichtigt jedoch nicht eine zufällige
Übereinstimmung der Kodierenden. Für die abhängige kategoriale Stichprobe einer nominalen
Variablen wird der Reliabilitats-Koeffizient Cohens Kappa (Cohens ) benutzt. „Dieser basiert auf
der Überlegung, dass ein bestimmtes Maß an Übereinstimmungen auch dann zu erwarten wäre,
10 Methodik der Datenauswertung 219
wenn die Codierenden rein zufällig den Codiereinheiten Kategorien zuweisen würden.“ (Kuckartz
& Rädiker, 2022, S. 241). Der zu erwartenende Gesamtanteil an zufälligen Übereinstimmungen
lässt sich unter Berücksichtigung der Randwahrscheinlichkeiten (vgl. Tab 47) folgendermaßen
ermitteln:
Mit und lässt sich Cohens Kappa nun berechen:
Wie die meisten statistischen Korrelationskoeffizienten bewegen sich Werte für Cohens im
Intervall . Eine systematische Meinungsverschiedenheit unter den Kodierern liegt für
vor. bedeutet keine Zuverlässigkeit über den Zufall hinaus. Das Höchstmaß an
Zuverlässigkeit ist für erreicht. Mit der Interpretation nach Landis und Koch (1977) kann
die Reliabilität genauer beschrieben werden (Landis & Koch, 1977, S. 165):
• Poor
• Slight
• Fair
• Moderate
• Substantial
• Almost Perfect
Tab. 47: Übereinstimmungstabelle für eine Kategorie und zwei Rater
Rater 2
Kategorie
kodiert
nicht kodiert
Gesamt
Randwahr-
scheinlichkeit
Rater 1
kodiert
nicht kodiert
Gesamt
Randwahr-
scheinlichkeit
10 Methodik der Datenauswertung 220
In Tabelle 48 sind die Reliabilitäts-Koeffizienten des gesättigten deduktiven Kategoriensystems,
die die Vor- und Nachteile des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen beschreiben,
aufgelistet. Der niedrigste Wert mit wurde für die Kategorie V5_d (Förderung von
Reflexions-/Transferprozessen) ermittelt, während für die Kategorien V1_d (Visualisierungs-
funktion) und V8_d (Kontrollfunktion) mit der höchste Wert berechnet wurde. Nach
Landis und Koch (1977) können somit alle Kategorien mit der Einstufung Almost Perfect
interpretiert werden.
Tab. 48: Reliabilitäts-Koeffizienten (Vor- und Nachteile des Einsatzes von DMW)
Kategorie
2 Rater
(Cohens )
V1_d
Visualisierungsfunktion
1.00
V2_d
Parallele Anzeige von Repräsentationen
0.90
V3_d
Dynamische Verknüpfung von Repräsentationen
V4_d
Reduktion der Arbeitsgedächtnisbelastung
V5_d
Förderung von Reflexions-/Transferprozessen
0.84
V6_d
Zeitersparnis durch schnelle Verfügbarkeit von Repräsentationen
0.95
V7_d
Entdeckendes Lernen/Experimentierfunktion
0.98
V8_d
Kontrollfunktion
1.00
V9_d
Auslagerungsprinzip/Entlastung von Kalkül
0.93
N1_d
Gefahr für händische Rechenverfahren
0.93
N2_d
Hoher Zeitaufwand ohne Vorkenntnisse von DMW
0.98
N3_d
Gefahr für Denken und Verstehen durch Auslagerung an DMW
0.85
N4_d
Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
0.91
Auf eine segmentgenaue Berechnung (vgl. Kuckartz & Rädiker, 2022, S. 246) wird verzichtet, da
diese Vorgehensweise für diese Arbeit unangemessen und nachteilig wäre.
„Als Übereinstimmung der Segmentgrenzen beim qualitativen Codieren immer genau 100 %
zu verlangen, erscheint kaum sinnvoll, dann wäre es bereits als Nicht-Übereistimmung zu
werten, wenn eine Person das Satzzeichen oder ein Leerzeichen am Ende noch codiert hatte
und die andere aber nicht.“ (Kuckartz & Rädiker, 2022, S. 247)
Stattdessen erlauben die Kodierregeln mit den zugelassenen Textpassagen (Kodiereinheiten,
bedeutungstragende Phrasen, einzelne Sätze oder Kontexteinheiten) eine gewisse Toleranz, die
10 Methodik der Datenauswertung 221
dennoch eine eindeutige Rater-Übereinstimmung der jeweiligen Kategorie ermöglicht. Diesem
Problem könnte mit einer minimalsten anteiligen Überlappungstolerenz begegnet werden, was
aber keine entscheidende Verbesserung mit sich führte. So würden bspw. die Kodierungen
„Graphen mit Geogebra darstellen lassen“ (UGRH9HKE) und „die Funktion zur Aufgabe anzeigen
lassen“ (AVRS1BMS) zu keiner Übereinstimmung, in diesem Falle Visualisierungsfunktion, führen.
Auswertung, quantitative Analyse
Im letzten Schritt werden die Ergebnisse der qualitativen Inhaltsanalyse ausgewertet. Ein
Ergebnis ist dabei bereits die „[…] Zuordnung der deduktiv gebildeten Kategorien zum
Textmaterial […]“ (Mayring, 2022, S.98) Die gewonnenen Informationen werden mit
Häufigkeitsanalysen quantitativ näher analysiert, diskutiert sowie mit theoretischem
Hintergrundwissen verknüpft. Das relative Gewicht von Textbestandteilen/Aussagen wird per
Häufigkeit ermittelt (vgl. Mayring, 2022). Auf die Ergebnisse und deren Auswertung wird in
Abschnitt 11.2 des Ergebnisteils (Teil IV) näher eingegangen.
Kategoriensystemerweiterung
Neben den deduktiven Subkategorien, die theoriegeleitet entwickelt wurden, werden im
Rahmen der Kategoriensystemerweiterung induktive Subkategorien am Material
herausgearbeitet. Mayring (2022) betont, dass diese Kategorien ohne Einbezug des aktuellen
Forschungsstandes oder bereits entwickelten Theorien entstehen: „Eine induktive
Kategoriendefinition hingegen leitet die Kategorien direkt aus dem Material in einem
Verallgemeinerungsprozess ab, ohne sich auf vorab formulierte Theorienkonzepte zu beziehen.“
(Mayring, 2022, S.84) Für die Bildung dieser Subkategorien wird „[…] nur das der jeweiligen
Hauptkategorie zugeordnete Material herangezogen […]“ (Kuckartz & Rädicker, 2022, S. 103). Im
Zuge der Analyse werden diese induktiven Kategorien kontinuierlich verfeinert, angepasst, und
es wird darauf geachtet, dass diese sich anhand des Kodierleitfadens (vgl. Anhang 17.9) von den
deduktiven Kategorien unterscheiden. Daher ist dieses Vorgehen als zirkulärer Prozess mit
mehrfachen Überarbeitungen einer sukzessiv steigenden Anzahl von Datensätzen zu verstehen.
Bis zum finalen Kategoriensystem können dabei Kategorien wegfallen, verändert werden oder
neue hinzugewonnen werden. Dieser zirkuläre Prozess brachte ein induktives Kategoriensystem
hervor, welches in Tabelle 49 dargestellt ist.
10 Methodik der Datenauswertung 222
Tab. 49: Erweitertes Kategoriensystem (Induktive Kategorien)
Hauptkategorie: Vorteile des Einsatzes von DMW
Induktive Kategorien
V1_i
Graphen/Diagramme mit DMW sind genauer als mit Hand
V2_i
Kompetente Softwarebedienung wichtig für Berufsleben
V3_i
Besseres Verständnis durch Kombination (Händisch & DMW)
V4_i
Unterstützung schwächerer Schüler durch DMW
V5_i
Förderung von digitalen Kompetenzen mit DMW
V6_i
Steigerung Motivation/Interesse/Spaß durch DMW
V7_i
Tabellenkalkulation als Taschenrechnerersatz
Hauptkategorie: Nachteile des Einsatzes von DMW
Induktive Kategorien
N1_i
Keine DMW bei schriftlichen Überprüfungen
N2_i
Ablenkung durch Benutzung von DMW
N3_i
Motivation für händische Rechenverfahren sinkt durch DMW
N4_i
Gesundheitsgefährdung durch übermäßigen Technikeinsatz
Für die Hauptkategorie Vorteile des Einsatzes von DMW wurden sieben weitere Subkategorien
(V1_i bis V7_i) identifiziert. Vier weitere Subkategorien (N1_i bis N4_i) wurden für die
Hauptkategorie Nachteile des Einsatzes von DMW am Datenmaterial herausgearbeitet. Eine
Subkategorie wurde in das Kategoriensystem aufgenommen, wenn es mindestens eine Textstelle
im Datenmaterial der Prä- oder Post-Erhebung gab, die dieser Subkategorie zugeordnet werden
kann. Die quantitative Analyse mit relativen Gewichten geschieht nach dem gleichen Prinzip,
welches auch bei der Auswertung der deduktiven Kategorien zum Tragen kommt.
10 Methodik der Datenauswertung 223
10.2.3 Gütekriterien der Inhaltsanalyse
Durch die Einhaltung von Gütekriterien wird die Qualität der Forschung sichergestellt, wobei
berücksichtigt werden muss, dass es für die qualitative Forschung keine standardisierten
Kriterien gibt, sondern im Vergleich zur methodischen Strenge der quantitativen Forschung eher
kontrovers debattiert werden (vgl. Döring & Bortz, 2016). In der langen Tradition qualitativer
Forschung wurde schon häufig „[…] darauf hingewiesen, dass nicht nur die Anwendung der
Kategorien auf das Material (die Kodierung) zuverlässig vor sich gehen muss, sondern auch die
Konstruktion der Kategorien selbst.“ (Mayring, 2022, S.121) Krippendorf (1980) unterscheidet
bereits acht Konzepte, die die Validität und die Reliabilität adressieren (vgl. Mayring, 2022). Von
Steinke (1999) wurden die sieben Kernkriterien Intersubjektive Nachvollziehbarkeit, Indikation,
empirische Verankerung, Limitation, reflektierte Subjektivität, Kohärenz und Relevanz zur
Bewertung qualitativer Forschung formuliert (vgl. Döring & Bortz, 2016; Steinke, 1999). Mayring
(2016) nennt für verschiedene Erhebungsmethoden sechs allgemeine Gütekriterien qualitativer
Forschung, die sich zum Teil bei Steinke wiederfinden, aber auch noch andere Kriterien
einbeziehen. Es sind im Einzelnen die Kriterien Verfahrensdokumentation, argumentative
Interpretationsabsicherung, Regelgeleitetheit, Nähe zum Gegenstand, kommunikative
Validierung und Triangulation (vgl. Döring & Bortz, 2016; Mayring, 2016).
Nach Döring und Bortz (2016) ist es aber nicht zielführend eines der etablierten Modelle
mechanisch und schrittweise abzuarbeiten, „[…] sondern in Abstimmung auf die jeweiligen
Untersuchungsbedingungen […]“ (Döring & Bortz, 2016, S.111) zu konkretisieren, zu modifizieren
und zu erweitern.
„Mit der Intercoderreliabilität ist bereits ein spezifisch inhaltanalytisches Gütekriterium […]“
gegen Ende des Unterabschnitts 10.2.2 „[…] angesprochen worden.“ (Mayring, 2022, S. 120)
Bezogen auf die durchgeführte qualitative Inhaltsanalyse wurde explizit auf die Einhaltung
folgender Gütekriterien geachtet. Durch eine exakte Verfahrensdokumentation und einem
Ablaufmodell wurde der Forschungsprozess detailliert und nachvollziehbar beschrieben (vgl.
Unterabschnitt 10.2.2). Die Theorie- und Regelgeleitetheit, die sich durch eine systematische und
strukturierte Vorgehensweise auszeichnet, wurde bei der methodischen Vorgehensweise
dargelegt (vgl. Mayring, 2016). Die Auswertungsmethode ist mit der Zuordnung Textstelle ->
Kategorie regelgeleitet und somit intersubjektiv für den Leser überprüfbar (Mayring & Fenzl,
2019, S. 635). Die intersubjektive Nachvollziehbarkeit (vgl. Steinke, 1999) zwischen dem
10 Methodik der Datenauswertung 224
Forschenden und den Lesern ermöglicht eine kritische Verständigung über die
Forschungsinhalte. Dennoch verfügt die Methode auch über interpretative Züge (Mayring &
Fenzl, 2022, S. 694), die eine argumentative Interpretationsabsicherung gewährleisten, wenn
Interpretationen und Alternativdeutungen begründet werden (vgl. Mayring, 2016).
Die Studierenden wurden nicht in einer klassischen Laborsituation beforscht, sondern in ihrer
studentischen und schulischen Lebenswelt als angehende Lehrkräfte abgeholt, um eine Nähe
zum Gegenstand zu erzeugen (vgl. Mayring, 2016).
Verschiedene Gütekriterien, die jedoch im Einzelnen an dieser Stelle nicht aufgeführt werden,
konnten bei der Studie nicht berücksichtigt werden. Bspw. konnte die Fragestellung nach den
Vor- und Nachteilen des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen nur auf dem Weg der
qualitativen Textanalyse durchgeführt und beantwortet werden. Das Kriterium der Triangulation
im Sinne Mayrings (2016), das versucht mehrere Zugänge zu einer Fragestellung zu finden, wurde
nicht erfüllt.
10.3 Fragebogen zur Selbsteinschätzung
Im folgenden Abschnitt wird auf das methodische Vorgehen zur Beantwortung der
Forschungsfragen [F5] und [F6] eingegangen. Die Wirksamkeit der Intervention
(Seminarmaßnahme) wird durch einen Prä-/Post-Vergleich von Beurteilungsaufgaben innerhalb
der Skalen F1 bis N2 evaluiert. Die fünf Kohorten (SoSe21 - SoSe23) wurden zu einer Stichprobe
mit N=55 Probanden zusammengefasst. Als Antwortformate werden diskret gestufte
Ratingskalen (Likert-Skalen/bipolare Prozent-Skala) verwendet (vgl. Raab-Steiner & Benesch,
2015). Die Stufung der Likert-Skalen ist nicht konsistent, da das Design der Original-Fragebögen
übernommen wurde. Mit fünf bzw. sechs Skalenstufen kann man jedoch von optimalen
Eigenschaften hinsichtlich Validität und Reliabilität ausgehen (vgl. Raab-Steiner & Benesch,
2015). Eine 3-stufige Skala bildet zu wenige Ausprägungen ab, während eine 7-stufige wiederum
zu viele Ausprägungen hat, was die Gefahr beinhaltet, dass die Probanden die Antworten nach
dem Zufallsprinzip geben. Mit der ungeraden Skala wird gewährleistet, dass Teilnehmer mit der
Antwort weder noch (Mittelwert) eine neutrale Meinung abgeben können. Außerdem ist es von
Vorteil, dass der Mittelwert durch die symmetrische Anordnung der Antwortmöglichkeiten eine
Orientierung gibt. Andererseits könnte es nachteilig sein, dass der mittlere Skalenpunkt als
Fluchtkategorie gewählt wird, wenn man unentschlossen ist. Mit der Antwortmöglichkeit Kann
10 Methodik der Datenauswertung 225
ich nicht beantworten kann dieser Tendenz entgegengewirkt werden. Bei einer geraden Skala
müssten sich die Teilnehmer für eine positive oder negative Tendenz entscheiden (Forced-
Choice-Format, vgl. Raab-Steiner & Benesch, 2015)
Die Datenauswertung erfolgt zunächst über eine deskriptive Statistik mit Lageparametern
(Minimum, Maximum, und Mittelwert ) und Streuungsparametern (Standardabweichung
und Varianz ). Auf die Spannweite wird wegen der begrenzten Aussagekraft verzichtet (vgl.
Raab-Steiner & Benesch, 2015). Um Schlussfolgerungen für die Grundgesamtheit über die
deskriptiven Daten hinaus zu ziehen, wird als inferenzstatistisches Verfahren ein Hypothesentest
(t-Test) mit den Parametern Differenz der Mittelwerte (), Standardabweichung (),
Standardfehler des Mittelwerts (), Teststatistik (), Freiheitsgrade (), zweiseitiger
Signifikanzwert () und Effektstärke () durchgeführt. Es wird angenommen, dass kein
Unterschied zwischen den Mittelwerten der Prä- und Posterhebung vorliegt (Nullhypothese )
und somit kein Effekt messbar ist. Bei einem p-Wert, der unterhalb des Signifikanzniveaus von
liegt, wird zu Gunsten der Alternativhypothese (es liegt ein Unterschied zwischen
den Mittelwerten der Prä- und Posterhebung vor) verworfen.
Der Fragebogen besteht aus vier thematischen Blöcken, mit denen die Forschungfrage
[F5] Inwieweit verändern sich digitale Kompetenzen und Fähigkeiten, technologiebezogene
Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen durch den Besuch eines
spezifischen fachdidaktischen Seminars?
verknüpft ist. Nachfolgend werden die spezifischen Eigenschaften der entsprechenden Skalen,
die für die quantitaive Auswertung relevant sind, dargestellt. Die Skalen F1 bis F3 beziehen sich
auf die Facetten TK, TPK und TCK des TPACK-Modells und erheben die Einschätzungen der
Probanden zu deren digitalen Kompetenzen und Fähigkeiten. Die Beantwortung der 19 Items zu
den Skalen F1 bis F3 erfolgte auf einer 5-stufigen Likert-Skala (1 = stimme ganz und gar nicht zu,
2 = stimme nicht zu, 3 = weder noch, 4 = stimme zu und 5 = stimme voll und ganz zu) mit der
zusätzlichen Antwortmöglichkeit: Kann ich nicht beantworten.
Mit den Daten der Skalen G1 bis M2 werden die technologiebezogenen Überzeugungen erhoben.
Die Beantwortung der 38 Items zu den acht Skalen G1 bis M2 erfolgte ebenfalls auf einer 5-
stufigen Likert-Skala (1 = stimme gar nicht zu, 2 = stimme eher nicht zu, 3 = unentschieden, 4 =
stimme eher zu und 5 = stimme voll zu) mit der zusätzlichen Antwortmöglichkeit: kann ich nicht
beantworten.
10 Methodik der Datenauswertung 226
In der Skala N1 des Fragebogens werden mittels ausgewählten Items zu den Bereichen Aufgaben
und Unterricht Tätigkeiten mit digitalen Mathematikwerkzeugen beschrieben, die für den
Unterricht wichtig sind. Die Einschätzungen der Studierenden zu den
Selbstwirksamkeitsüberzeugungen werden innerhalb einer bipolaren Prozent-Skala (vgl.
Moosbrugger & Kelava, 2020) von 0 = Ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob ich das kann
(negativer Pol) bis 100 = Ich bin mir sehr sicher, dass ich das kann (positiver Pol) in Zehnerschritten
(Indifferenzbereich) erfasst. Zur Orientierung beim beantworten der Items wird der zentrale
Skalenpunkt mit 50 = Ich bin mir mittelmäßig sicher, ob ich das kann (50) angegeben.
Der letzte thematische Block N2 basiert auf der Theorie des geplanten Verhaltens (Theory of
Planned Behaviour). Mit den Items (Aussagen zu Einstellungen (attitudes), Verhaltenskontrolle
(behavioural intentions) und subjektive Normen (subjective norms)) werden Einschätzungen auf
dem Hintergrund des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen von den Studierenden
abgegeben. Die Beantwortung der 12 Items zu der Skala N2 erfolgt – wie im Originalfragebogen
– auf einer bipolaren Antwortskala (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020) mit dem negativen Pol
Stimme überhaupt nicht zu (1), über den Indifferenzbereich (2, 3, 4 und 5) bis zum positiven Pol
Stimme voll und ganz zu (6). Außer der 6-stufigen Likert-Skala (Forced Choice) besteht für die
Probanden die Möglichkeit die Items nicht zu beantworten. Diese »Weiß nicht«-Kategorie bzw.
»Kann ich nicht beantworten«-Kategorie wurde hier vorgesehen, da davon ausgegangen werden
kann, dass es Probanden gibt, die bei nahezu allen Items (außer N2_1 und N2_4) aufgrund der
Zukunftsorientierung der Aussagen über Schülerinnen und Schüler, Eltern, Arbeit als
Mathematiklehrkraft und Arbeitsort Schule keine ausgeprägte Meinung haben oder die Antwort
nicht wissen (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020).
Die Auswertung der letzten Forschungsfrage
[F6] Sind die Einschätzungen zu digitalen Kompetenzen und Fähigkeiten, zu
technologiebezogenen Überzeugungen und zu Selbstwirksamkeitserwartungen
abhängig von unterschiedlichen Praxiserfahrungen?
basiert auf den gleichen Datensätzen, die bereits zur Beantwortung von Frage [F5] verwendet
wurde. Die Datenauswertung mittels deskriptiver Statistik und inferenzstatistischer Analysen
anhand von t-Tests vollzieht sich daher nach den gleichen Maßstäben.
IV Ergebnisse zur Wirksamkeit des fachdidaktischen Seminars 227
IV Ergebnisse zur Wirksamkeit des fachdidaktischen Seminars
Hauptziel dieser Studie ist es die Wirksamkeit eines spezifischen fachdidaktischen Lehr-Lern-
Labor-Begleitseminars zu analysieren und zu evaluieren (vgl. Kapitel 6). Im Hauptteil IV dieser
Dissertationsschrift werden daher die Ergebnisse der Forschungsstudie präsentiert und
diskutiert. Zunächst werden die Ergebnisse der beiden Erhebungsinstrumente in Kapitel 11
deskriptiv dargestellt, ehe sie in Kapitel 12 zusammengefasst, diskutiert und in den
Forschungskontext eingeordnet werden.
11 Darstellung der Ergebnisse
In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der beiden Testinstrumente vorgestellt. Mit Abschnitt
11.1 beginnend wird zunächst der Fokus auf den Kompetenztest (Testinstrument 1) gelenkt.
Anschließend erfolgt in Abschnitt 11.2 die Darlegung der Ergebnisse des selbsteinschätzenden
Fragebogens (Testinstrument 2). Dieser Unterabschnitt beschäftigt sich mit den Erkenntnissen
aus der Fragebogenerhebung. Dabei werden zunächst die Angaben der Probanden zu digitalen
Mathematikwerkzeugen skizziert, die nur beim ersten Messzeitpunkt erhoben wurden
(Fragebogenteile C bis E). Für die Teile F1 bis N2 werden die Resultate bzw. Veränderungen, die
sich aufgrund der Prä-Post-Erhebung ergeben haben, anschließend vorgestellt. Aufgrund der
unterschiedlichen Erfahrungen der Studierenden bezüglich Arbeitsphase 3 wird in Abschnitt 11.3
ein differenzierter Blick anhand zweier Quotenstichproben auf die Gesamtstichprobe geworfen,
indem die Einschätzungen zu den Fragebogen-Skalen F1 bis N2 beleuchtet werden.
11.1 Kompetenztest
Mit dem Test zu Bedien-, Auswahl- und Reflexionskompetenzen bezogen auf die digitalen
Mathematikwerkzeuge Tabellenkalkulation und GeoGebra sind die Forschungsfragen [F1] bis
[F4] verknüpft. Im ersten Unterabschnitt (11.1.1) werden die Resultate der Erhebung zu den
Bedienkompetenzen der beiden Technikteile TKP und GeoGebra berichtet, die Forschungsfrage
[F1] adressieren. Die Ergebnisse des Didaktikteils werden in Unterabschnitt 11.1.2 dargestellt,
mit denen die Beantwortung der Forschungsfragen [F2] bis [F4] verbunden ist.
11 Darstellung der Ergebnisse 228
11.1.1 Teile 1 und 2: Bedienkompetenzen Tabellenkalkulation und GeoGebra
Mit dem gepaarten t-Test für abhängige Stichproben soll die Effektstärke d nach Cohen (1992)
Aufschluss darüber geben, wie sich die Bedienkompetenzen für die beiden Werkzeuge
Tabellenkalkulation und GeoGebra für die Gesamtstichprobe (N=55) entwickelt haben.
In Tabelle 50 sind neben den statistischen Parametern (M, SD, df, t-Wert und p-Wert) die
Effektstärken (Cohens d) für die Bedienkompetenzen der beiden digitalen
Mathematikwerkzeuge Tabellenkalkulation und GeoGebra zu entnehmen.
Tab. 50: Parameter der t-Tests für Bedienkompetenzen TKP und GeoGebra (N=55)
DMW
M
(Prä)
SD
(Prä)
M
(Post)
SD
(Post)
M
df
t-Wert
p
Cohens
d
TKP
0.3035
0.2506
0.8258
0.2220
0.5223
54
-13.02
< 0.05
1.76
GeoGebra
0.3429
0.1716
0.8781
0.1058
0.5352
54
-18.81
< 0.05
2.54
Anm.: M Mittelwert; SD Standardabweichung; M Differenz der Mittelwerte; df Freiheitsgrade;
T Teststatistik; p Signifikanzwert (einseitig); d Effektstärke
Die Angaben für die Mittelwerte und die Standardabweichungen entsprechen dabei relativen
Häufigkeiten bzw. Prozentangaben in Bezug zum Maximum 1 (100%) der erreichbaren Punkte
der jeweiligen Testaufgaben. Wurden im ersten Teil des Kompetenztests (TKP) vor der
Intervention durchschnittlich 30,35% der erreichbaren Punkte erzielt, waren es danach 82,58%.
Im Bereich GeoGebra (zweiter Kompetenztestteil) konnte eine Steigerung von 34,29% auf
87,81% gemessen werden. Vergleicht man GeoGebra mit TKP stellt man fest, dass sowohl im Prä-
als auch im Post-Test bei GeoGebra mit knapp 4 Prozentpunkten (Prä) und gut 5 Prozentpunkten
(Post) höhere Raten erzielt wurden. Beide t-Tests für verbundene Stichproben weisen sowohl im
Aufgabenteil für TKP () als auch für den GeoGebra-Teil ( ) für die
Seminarteilnehmenden mit Werten von einen starken Effekt und damit eine signifikante
Verbesserung der Bedienkompetenzen aus.
Die Hypothesen (H1.1) und (H1.2) werden durch die Ergebnisse des t-Tests, insbesondere der
Effektstärken von für GeoGebra und für Tabellenkalkulation, bestätigt. Eine
Steigerung der basalen Bedienkompetenzen der Lehramtsstudierenden im Bereich elementarer
Funktionen bezogen sowohl auf Tabellenkalkulation als auch auf GeoGebra kann durch die
Teilnahme am spezifischen fachdidaktischen Seminar attestiert werden.
11 Darstellung der Ergebnisse 229
Bei der Durchführung der beiden Testteile wurde die Bearbeitungszeit für den Aufgabenteil TKP
auf 20 Min. und für den Aufgabenteil GeoGebra auf 25 Min. limitiert. Schaut man sich die
durchschnittliche Bearbeitungszeit vor und nach der Seminarintervention an, wird die Steigerung
der Bedienkompetenzen noch zusätzlich untermauert. In Tabelle 51 sind die durchschnittlichen
Bearbeitungszeiten für die fünf Kohorten als auch für die gesamte Stichprobe (N=55) zu
entnehmen.
Tab. 51: Durchschnittliche Bearbeitungszeiten für die Testteile TKP und GeoGebra
Semester (N)
Tabellenkalkulation
GeoGebra
Prä
Post
Prä
Post
SoSe 2021 (14)
18:02
15:57
23:16
17:52
WiSe 2021/22 (12)
19:00
14:47
22:44
17:55
SoSe 2022 (10)
19:58
17:04
23:55
18:26
WiSe 2022/23 (7)
16:08
13:12
21:16
12:21
SoSe 2023 (12)
19:18
14:47
23:46
17:15
Gesamt (55)
18:44
15:23
23:17
17:16
Anm.: Die Angaben für die Bearbeitungszeiten sind in Minuten und Sekunden im Format mm:ss angegeben.
Im Bereich Tabellenkalkulation hat sich die durchschnittliche Bearbeitungszeit für alle Probanden
von 18:44 auf 15:23 um 3 Min. und 21 Sek. reduziert. Im Bereich GeoGebra sind es 6 Min. und 1
Sek. In jeder Kohorte ist diese Tendenz zu erkennen. Für TKP schwanken die Unterschiede der
durchschnittlichen Bearbeitungszeiten zwischen 2:05 (SoSe 2021) und 4:31 Min. im SoSe 2023.
Für GeoGebra dementsprechend zwischen 4:49 (WiSe 2021/22) und 8:55 Min. im WiSe 2022/23.
11 Darstellung der Ergebnisse 230
11.1.2 Teil 3: Didaktikaufgabe
Zur Beantwortung der Forschungsfrage [F2] wurden die Antworten der Studierenden (vgl.
Unterabschnitt 9.2.4; Anhang 17.5) auf die Didaktikaufgabe quantitativ erfasst. Dabei wurden
vier Kategorien (Nur GeoGebra, Nur TKP, GeoGebra & TKP, keine Angabe) festgelegt und für die
Auswertung verwendet. Abbildung 59 sind die Nennungen aller 55 Probanden zu entnehmen.
Abb. 59: Auswahl der DMW GeoGebra und TKP
Quelle: Eigene Darstellung
Waren es im Prä-Test noch drei Personen, die keine Unterstützung mit GeoGebra oder TKP
angegeben hatten, konnte im Post-Test jede Person mindestens ein digitales
Mathematikwerkzeug als sinnvolle Unterstützung begründet angeben. Sowohl im Prä- als auch
im Post-Test wurde GeoGebra von 24 (43,6%) bzw. 26 Studierenden (47,3%) als alleiniges
Werkzeug zur Unterstützung gewählt. In jeweils 27 Fällen wurden GeoGebra und TKP als
Werkzeuge zur Unterstützung ausgewählt. Hier wurde allerdings keine Gewichtung
berücksichtigt in der Art, dass ein DMW eher als das andere eingesetzt würde. Mit 51 Nennungen
im Prä-Test (92,7%) ist die Präferenz für GeoGebra bereits relativ hoch. Mit 53 Stimmen im Post-
Test (96,4%) wird GeoGebra von nahezu allen Studierenden als digitales Mathematikwerkzeug
genannt. Da beide Angaben bereits relativ hoch sind, lässt sich nur ein geringer Unterschied im
24
1
27
3
26
2
27
0
0
5
10
15
20
25
30
Nur GeoGebra (A1) Nur TKP (A2) GeoGebra & TKP (A3) Keine Angabe (A4)
Auswahl der DMW GeoGebra und TKP (N=55)
Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 231
Prä-Post-Vergleich ausmachen. Damit ist eine klare Präferenz der Studierenden für GeoGebra zu
erkennen, wenn es darum geht Aufgaben im Kontext elementarer Funktionen zu unterstützen.
Auffällig ist die Kategorie Nur TKP mit nur einer bzw. zwei Stimmen im Prä-Post-Vergleich.
Ausgehend von der Erkenntnis, dass den Studierenden ein starker Effekt beim Zuwachs der
Bedienkompetenzen zugeschrieben werden kann (vgl. Unterabschnitt 11.2.1), wird eine
Tabellenkalkulations-Software dennoch als alleiniges Werkzeug zur Unterstützung von Aufgaben
im Kontext elementarer Funktionen als marginal angesehen. Die Hypothese H2, dass die
Software GeoGebra im Vergleich zu TKP im Bereich elementarer Funktionen bevorzugt wird,
kann somit als gesichert angenommen werden.
Durch prozedurales Abarbeiten von Arbeitsschritten mit dem entsprechenden Kalkül konnte bei
den Didaktikaufgaben D1 und D2 eine Lösung ohne Verwendung der Repräsentationen Graph
oder Wertetabelle erstellt werden. Die von den Studierenden genannten digitalen
Unterstützungen mit den beiden Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation können helfen
diese Aufgaben aus Sicht von Lernenden besser zu verstehen und dienen der Beantwortung von
Forschungsfrage [F3]. Zunächst werden in Abbildung 60 die Ergebnisse für das digitale
Mathematikwerkzeug GeoGebra dargestellt.
Abb. 60: Digitale Unterstützungen (GeoGebra)
Quelle: Eigene Darstellung
43
16 11
4
53
5
25
1
0
10
20
30
40
50
60
Graph erstellen (GG1) Graphisches Lösen
(GG2)
Schnittpunkt mit
Werkzeugleiste
bestimmen (GG3)
Wertetabelle
erstellen (GG4)
Digitale Unterstützungen mit GeoGebra (N=55)
Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 232
Die Möglichkeit, Graphen mit GeoGebra über die Eingabe im Algebra-Fenster zu erstellen bzw.
sich anzeigen zu lassen, wurde bereits im Prä-Test von 43 Studierenden relativ häufig genannt
und steigerte sich bis zum Post-Test auf 53. Die Bedeutung der Werkzeugleiste zur Bestimmung
von Schnittpunkten zweier Graphen hat zugenommen (Prä 11/Post 25), während das (ungenaue)
Ablesen eines Schnittpunktes von 16 auf 5 Nennungen deutlich zurückging. Das Erstellen von
Wertetabellen wurde von 4 Probanden beim ersten Messzeitpunkt genannt, während es bei der
Post-Erhebung nur eine Person war.
Im nun folgenden Diagramm (vgl. Abb. 61) sind die Ergebnisse für das digitale
Mathematikwerkzeug Tabellenkalkulation zu entnehmen, welches als Unterstützung für eine der
Didaktikaufgaben D1 oder D2 verwendet werden könnte.
Abb. 61: Digitale Unterstützungen (Tabellenkalkulation)
Quelle: Eigene Darstellung
Während im Prä-Test von 10 Studierenden angegeben wurde eine Wertetabelle als digitale
Unterstützung zu erstellen, waren es im Post-Test 20 Nennungen. Die Bestimmung eines
Schnittpunkts durch einen Wertetabellen-Vergleich steigerte sich von 4 auf 11 zwischen Prä- und
Post-Erhebung. Das Erstellen eines (X,Y)-Diagramms als visuelle Unterstützung steigerte sich von
3 auf 16 Nennungen zwischen dem ersten und zweiten Messzeitpunkt. Ebenso haben sich die
10
432
20
11
16
8
0
5
10
15
20
25
Wertetabelle
erstellen (Tab1)
Vergleich
Wertetabelle (Tab2)
(X,Y)-Diagramm
erstellen (Tab3)
Graphisches Lösen
(Tab4)
Digitale Unterstützungen mit Tabellenkalkulation (N=55)
Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 233
absoluten Häufigkeiten der Kategorie Graphisches Lösen von 2 auf 8 im Prä-/Post-Vergleich
erhöht.
Mit den Daten des Didaktikteils wird auch Forschungsfrage [F4] beantwortet. Die Anwendung
einer qualitativen Inhaltsanalyse bzw. kategoriengeleiteter Textanalyse (Mayring, 2022) wurde
dazu mit einer quantitativen Erhebung der absoluten Häufigkeiten verknüpft. Die deduktiv
herausgearbeiteten Subkategorien für die Hauptkategorien Vorteile von DMW und Nachteile von
DMW wurden jeweils durch induktive Kategorien ergänzt. Im ersten Schritt werden zunächst die
Ergebnisse der Hauptkategorie Vorteile von DMW erläutert, ehe im zweiten Schritt die
entsprechenden Auswertungen für die Nachteile von DMW folgen. Im gruppierten
Balkendiagramm (vgl. Abb. 62) können die enstprechenden absoluten Häufigkeiten für die
deduktiven Subkategorien für die Hauptkategorie Vorteile von DMW entnommen werden.
Abb. 62: Vorteile von DMW (deduktive Subkategorien)
Quelle: Eigene Darstellung
Die absoluten Häufigkeiten der deduktiven Subkategorien beim zweiten Messzeitpunkt zeigen,
dass insbesondere die Visualisierungs- und die Kontrollfunktion neben einer erwarteten
Zeitersparnis durch die schnelle Verfügbarkeit von Repäsentationen von den Studierenden als
51
17
7
29
4
29
8
50
9
10
13
4
25
9
010 20 30 40 50 60
Visualisierungsfunktion
Parallele Anzeige von Repräsentationen
Förderung von Reflexions-/
Transferprozessen
Zeitersparnis durch schnelle Verfügbarkeit
von Repräsentationen
Entdeckendes
Lernen/Experimentierfunktion
Kontrollfunktion
Auslagerungsprinzip/Entlastung von Kalkül
Vorteile von DMW - deduktiv (N=55)
Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 234
Vorteile beim Einsatz von DMW beim Unterrichten von funktionalen Zusammenhängen gesehen
werden. Für die Subkategorie Visualisierungsfunktion war der Anteil mit 50 Nennungen bereits
bei der Prä-Erhebung sehr hoch. Mit 51 Nennungen konnte die hohe Bedeutsamkeit dieser
Subkategorie bestätigt werden. Die Anteile bei der Subkategorie Kontrollfunktion stiegen von 25
auf 29 im Prä-/Post-Vergleich leicht an. Mit Werten von (13/29) bei der Kategorie Zeitersparnis
durch schnelle Verfügbarkeit von Repräsentationen kann eine Steigerung zwischen den beiden
Messzeitpunkten festgestellt werden. Bei der Subkategorie Parallele Anzeige von
Repräsentationen (9/17) kann ebenso eine Steigerung ausgemacht werden. Bei moderatem
Rückgang von 10 (Prä) auf 7 (Post) Angaben wurde das Potential gesehen, dass digitale
Mathematikwerkzeuge Reflexions- und Transferprozesse fördern können. Mit DMW können
aufwändige Rechnungen ausgelagert werden (Entlastung von Kalkül). Dieser Vorteil wurde von 9
bei der Prä-Erhebung und 8 Studierenden bei der Post-Erhebung erkannt.
Abb. 63: Vorteile von DMW (induktive Subkategorien)
Quelle: Eigene Darstellung
3
6
9
2
13
12
3
10
4
0
7
3
10
7
5
0
0 5 10 15
Kompetente Softwarebedienung wichtig für
Berufsleben
Graphen/Diagramme mit DMW sind genauer
als mit Hand
Besseres Verständnis durch Kombination
(Händisch & DMW)
Unterstützung schwächerer Schüler durch
DMW
Förderung von digitalen Kompetenzen mit
DMW
Steigerung Motivation/Interesse/Spaß durch
DMW
Tabellenkalkulation als
Taschenrechnerersatz
Einfache Verfügbarkeit von Lösungen mit
DMW
Vorteile von DMW - induktiv (N=55)
Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 235
Die Möglichkeit des entdeckenden Lernens bzw. Experimentierens wurde mit einem Anteil von
jeweils 4 Stimmen genannt. Die theoriegeleiteten Subkategorien wurden durch induktive
Kategorien anhand der Einschätzungen der Studierenden der Gesamtstichprobe (N=55) ergänzt.
Im gruppierten Balkendiagramm (vgl. Abb. 63) sind die absoluten Häufigkeiten im Prä-/Post-
Vergleich dargestellt. Schaut man sich die absoluten Häufigkeiten zu den induktiven
Subkategorien im Einzelnen an, können folgende Erkenntnisse gewonnen werden. Die Förderung
digitaler Kompetenzen mit DMW wurde von 10 bzw. 13 Studierenden als Potential erkannt.
Auffällig sind die Zahlen bei der Subkategorie Graphen/Diagramme mit DMW sind genauer als
mit Hand. Wurde dieser Vorteil beim ersten Messzeitpunkt nicht erkannt, haben 6 Probanden
diese Angabe gemacht. Die absoluten Häufigkeiten der Kategorien Steigerung
Motivation/Interesse/Spaß durch DMW und Besseres Verständnis durch die Kombination von
DMW-Einsatz und händischen Aktivitäten sind im Prä-/Post Vergleich von 7 auf 12 bzw. von 7 auf
9 gestiegen. Die Kategorien Tabellenkalkulation als Taschenrechnerersatz (3/5), Unterstützung
schwächerer Schüler (2/3) und die Wichtigkeit kompetenter Softwarebedienung im Berufsleben
(3/4) waren mit geringen Anteilen im Datenmaterial vertreten.
Abb. 64: Nachteile von DMW (deduktive Subkategorien)
Quelle: Eigene Darstellung
23
6
13
9
25
13
6 6
0
5
10
15
20
25
30
Gefahr für
händische
Rechenverfahre
n
Hoher
Zeitaufwand
ohne
Vorkenntnisse
von DMW
Gefahr für
Denken und
Verstehen durch
Auslagerung an
DMW
Unreflektiertes
Arbeiten mit
DMW
Nachteile von DMW - deduktiv (N=55) Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 236
Die nun folgenden Ausführungen beziehen sich auf die Hauptkategorie Nachteile von DMW.
Beginnend mit den deduktiven Subkategorien, werden daran anschließend die induktiven
Kategorien beleuchtet. Das gruppierte Säulendiagramm (vgl. Abb. 64, S. 235) gibt einen Überblick
über die deduktiven Kategorien mit den entsprechenden relativen Häufigkeiten vor und nach der
Seminarintervention.
Bei den möglichen Nachteilen des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen zeigt sich
folgendes Bild. Eine Gefahr für händische Rechenverfahren wird bei 23 (Prä) bzw. 25 (Post)
Lehramts-Studierenden am häufigsten gesehen. Die Befürchtung, dass die Benutzung der DMW
(ohne Vorkenntnisse) einen hohen Zeitaufwand bedeutet, wurde vor der Teilnahme von 6 und
nach der Teilnahme am Seminar von 13 Studierenden genannt. Die Bedenken, dass ausgelagerte
Aufgaben an DMW eine Gefahr für Denken und Verstehen darstellen, wird zwar weiterhin
gesehen, jedoch mit einem Rückgang von 13 auf 6 Stimmen im Prä-Post-Vergleich.
Unreflektiertes Arbeiten mit DMW wird mit 9 Stimmen beim ersten Messzeitpunkt und mit 6
beim zweiten angegeben. Abschließend werden noch die deduktiven Subkategorien mit drei
induktiven Kategorien (vgl. Abb. 65) ergänzt, die von den Studierenden bei der Testdurchführung
angeführt wurden.
Abb. 65: Nachteile von DMW (induktive Subkategorien)
Quelle: Eigene Darstellung
1
3
7
1
234
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Keine DMW bei
schriftlichen
Überprüfungen
Ablenkung durch
Benutzung von
DMW
Motivation für
händische
Rechenverfahren
sinkt durch DMW
Gesundheitsgefä
hrdung durch
übermäßigen
Technikeinsatz
Nachteile von DMW - induktiv (N=55)
Prä Post
11 Darstellung der Ergebnisse 237
Dem gruppierten Säulendiagramm ist zu entnehmen, dass die Probanden den Nachteil sehen
(7/4), dass durch die Möglichkeit an digitale Mathematikwerkzeuge Rechenverfahren
abzugeben, die Motivation sinkt, diese händisch auszuführen. Des Weiteren wird es, wenn auch
marginal (1/2), als nachteilig angesehen, dass digitale Mathematikwerkzeuge zwar im Unterricht,
aber nicht bei schriftlichen Überprüfungen eingesetzt werden dürfen. Eine mögliche Ablenkung
durch die Benutzung von DMW sehen bei der Prä- bzw. Post-Erhebung jeweils drei Studierende.
Einmal wurde während der Prä-Erhebung genannt, dass übermäßiger Technikeinsatz zu einer
Gesundheitsgefährdung führen kann.
11 Darstellung der Ergebnisse 238
11.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung
Die veränderten Einschätzungen der Studierenden zu deren Kompetenzen und Fähigkeiten in
Bezug auf digitale Mathematikwerkzeuge, zu deren technologiebezogenen Überzeugungen und
zu deren Selbstwirksamkeitsüberzeugungen wurden durch eine Prä-Post-Erhebung
(Fragebogenteile F bis N) gemessen. Bevor auf diese Ergebnisse in den Unterabschnitten 11.2.4
bis 11.2.7 eingegangen wird, werden zunächst die Aspekte präsentiert, die ausschließlich im Prä-
Test abgefragt wurden. Dabei wird beim Einsatz der digitalen Mathematikwerkzeuge
unterschieden nach eigener Schulzeit (vgl. Unterabschnitt 11.2.1), während studienbegleitender
Praktika (vgl. Unterabschnitt 11.2.2) und nach der Erfahrung während PES- oder
Vertretungsstellen (vgl. Unterabschnitt 11.2.3).
11.2.1 Teil C: Digitale Mathematikwerkzeuge während der eigenen Schulzeit
Mit der Frage C1. (vgl. Abb. 66) wurde erhoben, welche digitalen Werkzeuge von den
Studierenden zu deren eigener Schulzeit bzw. von deren Lehrkräften eingesetzt wurden.
Abb. 66: Digitale Werkzeuge während der eigenen Schulzeit
Quelle: Eigene Darstellung
54
17
38
2
23 18 20 24 24
7
35
43 49
36
13 14 20
12
52
20
46
5
29
16
30 24
13 9
32
43 45
36
11 15 17
7
0
10
20
30
40
50
60
C1. Bitte geben Sie an, ob Sie in Ihrer Schulzeit selbst mit den
aufgeführten digitalen Mathematikwerkzeugen gearbeitet haben oder
diese von einer Lehrkraft eingesetzt wurden. (N=55)
Selbst genutzte Technologie Von einer Lehrkraft genutzte Technologie
11 Darstellung der Ergebnisse 239
Dem gruppierten Säulendiagramm ist zu entnehmen, dass ein Taschenrechner von 54
Studierenden und von 52 Lehrkräften benutzt wurde. Das digitale Mathematikwerkzeug
GeoGebra wurde von 38 Studierenden und 46 Lehrkräften benutzt. Eine Tabellenkalkulation
wurde im Vergleich zu GeoGebra seltener eingesetzt, sowohl von den Studierenden (23) als auch
von den Lehrkräften (29). Andere digitale Mathematikwerkzeuge wie bspw. ein grafikfähiger
Taschenrechner (17/20), ein Computer-Algebra-System (2/5) oder Mathematik-Apps (18/16)
wurden seltener eingesetzt. Vergleichsweise häufig wurde ein interaktives Whiteboard (20/30),
Moodle (24/24), eine Textverarbeitungssoftware (35/32), eine Präsentationssoftware (43/43),
ein Internetbrowser (49/45) und Video- oder Audiodateien (36/36) eingesetzt. Andere digitale
Medien wie Wiki/Glossar, Mindmapping Software, digitale Bücher, digitale Arbeitsblätter,
Lernprogramme oder Blogs/Foren wurden nicht so häufig verwendet.
60% der Befragten gaben an (vgl. Abb. 67), dass sie während der eigenen Schulzeit gerne mehr
mit digitalen Mathematikwerkzeugen gearbeitet hätten.
Abb. 67: Wunsch nach mehr Einsatz von DMW
Quelle: Eigene Darstellung
Mit der Kurzaufsatzaufgabe C3. wurde folgende personalisierte Aufforderung formuliert, die
mithilfe der Erinnerung an die eigene Schulzeit in Textform verfasst werden sollte: Bitte erläutern
Sie, was Sie sich in Bezug auf die Arbeit mit digitalen Mathematikwerkzeugen im Unterricht
gewünscht hätten. In der nachfolgenden Tabelle 52 ist zu entnehmen, dass ca. 56,4 % aller
Befragten (N=55) diese Aufgabe beantwortet haben. Mit 35,7% war die geringste Rücklaufquote
im SoSe 2021, während im WiSe 2022/23 diese Quote mit 85,7% am höchsten war. „Bei offenen
Fragen haben die Personen die Möglichkeit, etwas Formuliertes als Antwort auf einem dafür
vorgesehenen Platz niederzuschreiben.“ (Raab-Steiner & Benesch, 2015, S. 52) Das ist einerseits
60%
40%
C2. Hätten Sie in Ihrer Schulzeit gerne mehr mit
digitalen Mathematikwerkzeugen gearbeitet? (N=55)
Ja
Nein
11 Darstellung der Ergebnisse 240
von Vorteil für die antwortende Person, da man sich nicht an vorgegebene Kategorien halten
muss, gleichzeitig kann es ein Nachteil sein, wenn das Verbalisierungsvermögen nicht sehr stark
ausgeprägt ist (Raab-Steiner & Benesch, 2015; Moosbrugger & Kelava, 2012). Es kann zu
Schreibhemmungen kommen oder wesentliche Aspekte werden nicht erwähnt. Raab-Steiner und
Benesch (2015) weisen darauf hin, dass sehr häufig keine Antworten auf offene Fragen gegeben
werden, was u.a. auch mit der Motivationslage der Personen begründet werden kann. Obwohl
die Frage C3. relativ am Anfang des Fragebogens gestellt wurde, haben 24 Befragte keine Antwort
gegeben. Testpersonen sind „[…] eher bereit, vorgefertigte Kategorien zu beantworten, als selbst
Antworten zu verbalisieren […], wobei dies stark mit der Motivationslage korreliert“, so Raab-
Steiner und Benesch (2015, S. 53).
Tab. 52: Abgegebene Antworten zur Aufgabe C3.
Semester
Antwort
vorhanden
Anzahl Seminar-
teilnehmer
Quote (%)
SoSe 2021
5
14
35,7
WiSe 2021/22
9
12
75,0
SoSe 2022
4
10
40,0
WiSe 2022/23
6
7
85,7
SoSe 2023
7
12
58,3
Gesamt
31
55
56,4
Da keine Vorgaben über das genaue Antwortformat wie bspw. eine Begrenzung der Anzahl der
Zeichen gemacht wurden, ergibt sich dementsprechend ein heterogenes Datenbild. Da es bei
dieser Frage aber lediglich darum ging ein Stimmungsbild einzuholen, wurde keine ausführliche
qualitative Inhaltsanalyse (vgl. Mayring, 2022) durchgeführt. Die gegebenen Antworten (vgl.
Anhang 17.2) lassen sich in die Kategorien ein Satz, zwei bis fünf Sätze, Satzbausteine (zwei bis
fünf Wörter) und Aufzählungen von Satzbausteinen einteilen. Sämtliche Antworten zur Aussage
C3. wurden berücksichtigt, um ein induktives Kategoriensystem daraus abzuleiten. Inhaltlich
wurden von den Probanden - neben den geforderten Wünschen in Bezug auf die Arbeit mit
digitalen Mathematikwerkzeugen im eigenen Unterricht - die schulischen Erfahrungen bez. DMW
teilweise beschrieben, und auch Vorzüge der digitalen Mathematikwerkzeuge erläutert. Für das
Kategoriensystem wurden jedoch lediglich die Wünsche berücksichtigt, die sich in elf Kategorien
11 Darstellung der Ergebnisse 241
gliedern lassen. Dem Balkendiagramm (vgl. Abb. 68) sind diese nominalskalierten Kategorien mit
absoluten Häufigkeiten seminarübergreifend zu entnehmen, wobei es Mehrfachnennungen gibt.
Bei vier Studierenden (vgl. Anhang 17.2: #2 – APRK9KSN, #15 – VMLK6KVL, #20 – MHOS4SJA, #43
– NASN0HSA) sind keine Wünsche zu identifizieren, da lediglich die Erfahrungen mit DMW
beschrieben wurden. Die Kategorien beziehen sich daher auf 27 Datensätze. Die Möglichkeit der
Visulisierung von mathematischen Inhalten, vorzugsweise Funktionen, hätten sieben ehemalige
Schüler als zielführend empfunden. Von sechs Studierenden wurde der Wunsch geäußert, dass
DMW in der eigenen Schulzeit häufiger, intensiver bzw. regelmäßiger hätten eingesetzt werden
sollen. Zu den häufigsten Antworten (jeweils 5) zählen auch kompetentere Lehrkräfte und der
Wunsch nach einem breiteren Einsatz der verschiedensten digitalen Mathematikwerkzeuge. Der
Wunsch nach der Demonstration von DMW durch die Lehrkraft (3) und die Benutzung von Apps
(2) waren ebenso den Antworten zu entnehmen. Jeweils einmal wurden sich der sichere Umgang
mit Software, selbständiges Arbeiten mit GeoGebra, das Arbeiten mit Tablets statt des
Smartphones, mehr Software aus der Berufswelt und die Möglichkeit digitale Lernmaterialien
über ein Lernmanagementsystem zur Verfügung zu stellen, gewünscht.
Abb. 68: Induktives Kategoriensystem mit den jeweiligen absoluten Häufigkeiten
Quelle: Eigene Darstellung
1
1
1
1
1
2
3
5
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Lernmaterialien (Bücher/AB) digital über LMS
Mehr Software für Berufswelt
Arbeit auf Tablets statt mit Smartphone
Selbständiges Arbeiten mit GeoGebra
Sicherer Umgang mit Software
Benutzung von Apps
Lehrkräfte sollten DMW demonstrieren
Breiterer Einsatz von Werkzeugen
Kompetentere Lehrkräfte
Einsatz von DMW häufiger/intensiver/regelmäßiger
Visualisierung von Inhalten (Grafiken/Funktionen)
C3. Bitte erläutern Sie, was Sie sich in Bezug auf die Arbeit mit digitalen
Mathematikwerkzeugen im Unterricht gewünscht hätten. (N=27)
11 Darstellung der Ergebnisse 242
Nachfolgende Aussagen von Studierenden sollen exemplarisch gezeigt werden, um das
Stimmungsbild bezogen auf die zuvor dargelegten Wünsche zu untermauern:
„Es als Alltags- bzw. Hilfsmittel kennenzulernen und den Umgang ein wenig zu lernen; auch,
dass es nicht als "Besonderheit" einmal im Jahr kommt bzw. einmal pro Stufe, sondern dass
man einen sicheren Umgang lernt, bzw. die Lehrkraft es mehr vormacht (meine LehrerInnen
haben es privat bzw zur Vorbereitung nämlich genutzt, aber nicht im Unterricht eingesetzt)“
(MUIH1HMA, SoSe 2021)
◊
„Ich hätte mir mehr digitale Medien im Matheunterricht gewünscht, da ich auf einer schon
fast komplett gut digitalisierten Schule war, wo jedoch alle Fächer weitgehend digital waren
ausser Mathe, Chemie und Physik. Geogebra haben wir einmal genutzt, wo unsere Lehrkraft
uns einen Graphen gezeichnet hatte. Mir zum Beispiel hat das Programm gefallen und ich
wollte es auch benutzen, da es sehr hilfreich sein kann. Jedoch wurde uns dies nie näher
gebracht. Das hätte ich mir sehr gewünscht.“ (AWGH9FWE, WiSe 2021/2022)
◊
„Ich hätte mir gewünscht, dass die Mathematikstunden anschaulicher, "praxisnaher"
gewesen wären und wir mehr mit Softwares gearbeitet hätten, die auch in der Berufswelt
genutzt wird. GeoGebra zum Beispiel wurde nur sehr sparsam verwendet, obwohl man somit
sehr gut das Verändern und Verschieben des Funktionsgraph zeigen kann.“ (DARN9GKL, SoSe
2022)
◊
„Obwohl ich schon relativ viel mit digitalen Mathematikwerkzeugen gearbeitet haben, hätte
ich mir teilweise eine größere fachliche Kompetenz seitens der Lehrkraft gewünscht, die bei
Fragen deutlichere und sicherere Antworten hätte liefern können. Außerdem wurden die
Werkzeuge oft zu den falschen Zeitpunkten eingesetzt oder "verboten".“ (ARRD6DMN, SoSe
2023)
◊
„Ich kann mich vor allem daran erinnern, dass wir auf dem Handy ab und zu Funktionen mit
GeoGebra zeichnen durften, jedoch wurde das Ganze nie so richtig besprochen und auch
vorne nicht gezeigt. Hier hätte ich mir mehr Einführung gewünscht und vielleicht auch die
Arbeit an Tablets, statt auf dem kleinen Handybildschirm.“ (CMSN0RFA, SoSe 2023)
11.2.2 Teil D: Digitale Mathematikwerkzeuge während Praktika
Tabelle 53 gibt einen Überblick über die Praktikumserfahrungen der Studierenden. 52 der 55
Studierenden hatten bereits vor der Belegung des fachdidaktischen Seminars mindestens das
orientierende Praktikum 1 (OP1) absolviert, während drei Studierende (eine Person im SoSe 2021
und zwei Personen im SoSe 2022) noch keine Praktikumserfahrungen sammeln konnten. 22
Studierende hatten nur das OP1 absolviert, 24 die beiden orientierenden Praktika OP1 und OP2.
Vier Studierende haben neben den beiden orientierenden Praktika OP1 und OP2 bereits das erste
11 Darstellung der Ergebnisse 243
vertiefende Praktikum (VP1) belegt, zwei Studierende hatten ihre studienbegleitenden
Erfahrungen von vier 3-wöchigen Praktika bereits abgeschlossen.
Tab. 53: Studienbegleitende Praktikumserfahrung
Semester
OP1
OP1+OP2
OP1+OP2+VP1
OP1+OP2+VP1+VP2
SoSe 2021 (13)
4
7
2
0
WiSe 2021/22 (12)
2
7
1
2
SoSe 2022 (8)
3
5
0
0
WiSe 2022/23 (7)
6
0
1
0
SoSe 2023 (12)
7
5
0
0
Gesamt (N=52)
22
24
4
2
Dem gruppierten Säulendiagramm in Abb. 69 ist zu entnehmen, welche digitalen Technologien
während der studienbegleitenden Praktika von den Studierenden bzw. deren betreuenden
Lehrkräften benutzt wurden.
Abb. 69: Digitale Mathematikwerkzeuge während studienbegleitender Praktika
Quelle: Eigene Darstellung
36
11
18
21
12
26
7
21
15
22 25
18
9
14
9
3
38
12
23
69
20
35
20
76
14
29 30
25
18
22 20
6
0
5
10
15
20
25
30
35
40
D2. Bitte geben Sie an, mit welchen digitalen Mathematikwerkzeugen Sie
während Ihres Praktikums gearbeitet haben und welche von mindestens
einer Lehrkraft eingesetzt wurden. (N=52)
Selbst genutzte Technologie Von einer Lehrkraft genutzte Technologie
11 Darstellung der Ergebnisse 244
Besonders hervorzuheben ist hier die Benutzung eines Taschenrechners (36/38). GeoGebra
wurde von 18 Studierenden und von 23 Lehrkräften benutzt. Eine Tabellenkalkulation wurde von
neun Lehrkräften eingesetzt, jedoch nur einmal von einer angehenden Lehrkraft. Weiter digitale
Mathematikwerkzeuge wie bspw. ein grafikfähiger Taschenrechner (11/12), ein Computer-
Algebra-System (2/6) oder Mathematik-Apps (12/20) wurden eher seltener eingesetzt. Als
digitale Medien wurden interaktive Whiteboards (26/35), eine Präsentationssoftware (22/29),
ein Internetbrowser (25/30), Video- bzw. Audiodateien (18/25) oder digitale Arbeitsblätter
(14/22) vergleichsweise häufig eingesetzt. Andere digitale Medien wie Moodle (7), Wiki/Glossar
(2), Mindmapping Software (1), digitale Bücher (9), Lernprogramme (9) oder Blogs/Foren (3)
wurden von den Studierenden eher selten verwendet.
11.2.3 Teil E: Vertretungsstellen/PES-Stellen/Unterrichtserfahrung
30 der 55 befragten Studierenden (ca.
54,5%) gaben an, vor der Belegung des
fach-didaktischen Seminars bereits schul-
praktische Erfahrungen im Rahmen von
eigenverantwortlichem Unterricht gesam-
melt zu haben (vgl. Abb. 70). Dement-
sprechend haben 25 Seminarteilnehmer
(ca. 45,5%) noch keinen eigenver-
antwortlichen Unterricht im Fach
Mathematik gehalten.
Quelle: Eigene Darstellung
An die Frage E1. anschließend, wurden von den 30 Studierenden, die bereits
Unterrichtserfahrungen im Fach Mathematik im Rahmen von PES- oder Vertretungsstellen
sammeln konnten, weitere Daten erhoben. Analog zu den Erhebungen bez. des Einsatzes
digitaler Mathematikwerkzeuge während der eigenen Schulzeit und während
studienbegleitender Praktika wurden die Studierenden ebenso zum Einsatz im
eigenverantwortlichen Unterricht befragt (vgl. Abb. 71, S. 245). Dem Säulendiagramm ist zu
entnehmen, dass der Taschenrechner mit 20 Nennungen, das interaktive Whiteboard (15),
Präsentationssoftware (11), Internetbrowser (11) und Video-/Audiodateien (10) die am
54,5%
45,5%
E1. Haben Sie bereits im Rahmen
eines eigenverantwortlichen
Unterrichts Schulpraxis im Fach
Mathematik gesammelt? (N=55)
Ja
Nein
Abb. 70: Eigenverantwortlicher Mathematikunterricht
11 Darstellung der Ergebnisse 245
häufigsten eingesetzten Werkzeuge sind. Die Software GeoGebra wurde von sieben, ein
Tabellenkalkulationsprogramm von zwei Studierenden im eigenverantwortlichen Unterricht
verwendet.
Abb. 71: Digitale Werkzeuge im eigenverantwortlichen Unterricht
Quelle: Eigene Darstellung
Mit Frage E3. wurde erhoben, an welchen Schulformen die 30 Studierenden Erfahrungen durch
eigenverantwortlichen Mathematikunterricht gesammelt hatten. Eine Mehrfachauswahl unter
den Antwortmöglichkeiten war hier möglich, wobei die Antwortmöglichkeiten Förderschule oder
Sonstiges nicht genannt wurden (vgl. Abb. 72).
Abb. 72: Schulformen des eigenverantwortlichen Unterrichts
Quelle: Eigene Darstellung
20
2
7
025
15
4
0 0
5
11 11 10
575
1
0
5
10
15
20
25
E2. Bitte geben Sie an, mit welchen digitalen Mathematikwerkzeugen Sie
im eigenverantwortlichen Unterricht gearbeitet haben. (N=30)
10
13 11
7
2
0
5
10
15
E3. An welchen Schulformen haben Sie diese Erfahrungen gesammelt?
(N=30)
Grundschule Realschule plus
Gymnasium (Integrierte) Gesamtschule
Berufsbildende Schule
11 Darstellung der Ergebnisse 246
In Abbildung 72 ist zu sehen, dass die Studierenden am häufigsten an den Schulformen
Realschule plus mit 13, Gymnasium (11) und Grundschule (10) Erfahrungen im
eigenverantwortlichen Mathematikunterricht gesammelt hatten.
11.2.4 Teil F: Fragen zur Lehrerprofessionalität
Im Fragebogenteil F wurden die Studierenden zu deren Lehrerprofessionalität befragt. Dabei
sollten sie ihre Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Mathematikwerkzeuge
einschätzen. Teil F umfasst die drei Skalen F1 Technological Knowledge, F2 Technological
Pedagogical Knowledge und F3 Technological Content Knowledge. Diese Skalen beziehen sich auf
das TPACK-Modell nach MISHRA & KOEHLER (2006), welches in Unterabschnitt 4.8 erläutert wurde.
In Tabelle 54 sind die Ergebnisse der deskriptiven Statistik der Skalen F1 bis F3 dargestellt.
Tab. 54: Deskriptive Statistik (Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf DMW)
Kategorie F
Likert-Skala:
1 = Stimme ganz und gar nicht zu; 2 = Stimme nicht zu;
3 = Weder noch; 4 = Stimme zu; 5 = Stimme voll und ganz zu
Kompetenzen und Fähigkeiten in
Bezug auf digitale
Mathematikwerkzeuge
Mess-
zeit-
punkt
N=55
Min
Max
M
SD
Var
gültig
feh-
lend
F1. Technological Knowledge (TK)
Prä
55
0
1.00
5.00
3.31
0.79
0.62
Post
55
0
2.00
5.00
3.78
0.66
0.44
F2. Technological Pedagogical
Knowledge (TPK)
Prä
55
0
1.38
5.00
3.49
0.81
0.65
Post
55
0
3.25
5.00
4.33
0.46
0.21
F3. Technological Content Knowledge
(TCK)
Prä
55
0
1.20
5.00
3.61
0.74
0.55
Post
55
0
2.00
5.00
4.27
0.56
0.31
Anm.: Min Minimum, Max Maximum, M Mittelwert; SD Standardabweichung; Var Varianz
Aus Tabelle 54 geht hervor, dass sich die Mittelwerte der Post-Tests bei allen Skalen verbessert
haben. Mit den Mittelwerten M = 3.31, M = 3.49 und M = 3.61 liegen die Einschätzungen der
Studierenden beim ersten Messzeitpunkt zwischen den Skalenwerten 3 = Weder noch und 4 =
Stimme zu. Nach der Teilnahme am fachdidaktischen Seminar steigen diese Werte auf M = 3.78,
M = 4.33 bzw. M = 4.27 an. Die Skala F1 Technological Knowledge liegt weiterhin zwischen den
Skalenwerten 3 und 4, jedoch mit Tendenz zu 4 = Stimme zu. Für die beiden Skalen F2
Technological Pedagogical Knowledge und F3 Technological Content Knowledge zeigen die
11 Darstellung der Ergebnisse 247
Mittelwerte des zweiten Messzeitpunkts, dass sich die Probanden zwischen den Skalenwerten 4
= Stimme zu und 5 = Stimme voll und ganz zu mit ihren Einschätzungen bewegen.
Die statistischen Kennwerte der t-Tests mit den jeweiligen Effektstärke-Parametern Cohens d
(vgl. Cohen, 1992) der Skalen F1 bis F3 sind Tabelle 55 zu entnehmen. Die Mittelwertdifferenzen
betragen ∆M=-0.47 für den Subtest F1, ∆M=-0.84 für den Subtest F2 und ∆M=-0.66 für die Skala
F3. Der t-Test für gepaarte Stichproben belegt für alle drei Skalen einen signifikanten Unterschied
(p<0.001). Die Skalen F1 (TK) und F3 (TCK) zum TPACK-Modell weisen mit Werten von d=0.74
bzw. d=0.71 jeweils mittlere Effekte auf während bei F2 (TPK) mit d=1.16 ein starker Effekt
festzustellen ist.
Tab. 55: Parameter der t-Tests für Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf DMW (N=55)
t-Test bei gepaarten
Stichproben
M
SD
SF
(M)
95%-Konfi-
denzintervall
von M
T
df
p
Cohens
d
unterer
Wert
oberer
Wert
F1. Technological
Knowledge (TK)
-0.47
0.64
0.09
-0.64
-0.30
-5.46
54
<0.001
0.74
F2. Technological Pedago-
gical Knowledge (TPK)
-0.84
0.72
0.10
-1.04
-0.65
-8.63
54
<0.001
1.16
F3. Technological Content
Knowledge (TCK)
-0.66
0.92
0.12
-0.91
-0.41
-5.30
54
<0.001
0.71
Anm.: M Differenz der Mittelwerte; SD Standardabweichung; SF (M) Standardfehler des Mittelwerts;
T Teststatistik; df Freiheitsgrade; p Signifikanzwert (zweiseitig); d Effektstärke
Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass die Einschätzung der Studierenden zu deren
Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Technologien in den drei Facetten des TPACK-
Modells (TK, TPK und TCK) nach dem Besuch des fachdidaktischen Seminars signifikant
zugenommen hat. Der Effekt bei Skala F2. Technological Pedagogical Knowledge (TPK) ist dabei
besonders hervorzuheben. Hier werden Praxis-Aspekte wie Methodik und Gestaltung von
Unterricht sowie die Anleitung von Lernenden mit digitalen Mathematikwerkzeugen im
Unterricht angesprochen, die in schulpraktischer und universitärer Ausbildung von Relevanz sind.
11 Darstellung der Ergebnisse 248
11.2.5 Teile G1 bis M2: Technologiebezogene Überzeugungen
Die Kategorien/Skalen G1 bis M2 beziehen sich auf Technologiebezogene Überzeugungen im
Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen. Diese acht adaptierten Skalen (vgl. Thurm, 2020;
Thurm et al., 2017) beziehen sich inhaltlich auf die in Kapitel 3.5 dargestellten Vor- und Nachteile
des Einsatzes von DMW als auch auf die allgemeine Einstellung zum Einsatz derer. In Tabelle 56
sind die Ergebnisse der deskriptiven Statistik der Skalen G1 bis M2 dargestellt.
Tab. 56: Deskriptive Statistik (Technologiebezogene Überzeugungen)
Kategorien G1 bis M2
Likert-Skala:
1 = Stimme gar nicht zu; 2 = Stimme eher nicht zu;
3 = unentschieden; 4 = Stimme eher zu; 5 = Stimme voll zu
Technologiebezogene
Überzeugungen
Mess-
zeit-
punkt
N=55
Min
Max
M
SD
Var
gültig
feh-
lend
G1. Auslagerungsprinzip
Prä
55
0
1.17
4.50
2.76
0.68
0.46
Post
55
0
1.33
5.00
3.17
0.65
0.42
H1. Repräsentationswechsel
Prä
55
0
3.40
5.00
4.59
0.40
0.16
Post
55
0
3.00
5.00
4.68
0.43
0.19
I1. Entdeckendes Lernen
Prä
55
0
2.17
5.00
4.13
0.53
0.28
Post
55
0
1.67
5.00
4.49
0.55
0.30
J1. Gefahr für händisches Rechnen
Prä
54
1
1.00
5.00
3.57
0.90
0.81
Post
55
0
1.50
5.00
3.44
0.87
0.75
K1. Unreflektiertes Arbeiten
Prä
54
1
2.20
5.00
3.87
0.67
0.44
Post
55
0
2.20
5.00
3.71
0.66
0.43
M1. Zeitaufwand
Prä
55
0
1.00
4.33
1.94
0.68
0.46
Post
55
0
1.00
5.00
1.79
0.68
0.46
L1. Technologie/Einstellung
Prä
55
0
1.60
5.00
3.71
0.77
0.59
Post
55
0
2.60
5.00
4.12
0.57
0.33
M2. Erst Mathematik, dann DMW
Prä
54
1
1.00
5.00
3.63
0.97
0.94
Post
55
0
1.25
5.00
3.50
0.97
0.94
Anm.: Min Minimum, Max Maximum, M Mittelwert; SD Standardabweichung; Var Varianz
11 Darstellung der Ergebnisse 249
Für die drei technologiebezogenen Überzeugungen Auslagerungsprinzip (G1),
Repräsentationswechsel (H1) und Entdeckendes Lernen (I1), die als vorteilhaft im Umgang mit
digitalen Mathematikwerkzeugen angesehen werden, sind die Mittelwerte der Post-Erhebung im
Vergleich zum ersten Messzeitpunkt bei allen Skalen gestiegen (vgl. Tab. 45). Bei G1 von M=2.76
auf M=3.17, bei H1 von M=4.59 auf M=4.68 und bei I1 von M=4.13 auf M= 4.49. Mit Werten von
M=4.59 bzw. M=4.13 war der Zustimmungsgrad (4 = Stimme eher zu und 5 = Stimme voll zu) für
die Vorteile, die mit Repräsentationswechsel und Entdeckendem Lernen einhergehen, bereits
vor der Seminarintervention sehr hoch. Für die drei technologiebezogenen Überzeugungen
Gefahr für händisches Rechnen (J1), Unreflektiertes Arbeiten (K1) und Zeitaufwand (M1), die als
nachteilhaft im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen angesehen werden, sind die
durchschnittlichen Mittelwerte zwischen Messzeitpunkt 1 und 2 bei allen Skalen gesunken. Mit
Werten von M=3.57 bzw. M=3.87 lag der Zustimmungsgrad für die Skalen J1 und K1 vor dem
Besuch des fachdidaktischen Seminars zwischen 3 = unentschieden und 4 = Stimme eher zu. Mit
M=1.94 traf die Befürchtung, dass durch den Einsatz von DMW wertvolle Unterrichtszeit verloren
gehen könnte, bereits im Prä-Test eher nicht auf Zustimmung. Die beiden Skalen L1
(Technologie/Einstellung) und M2 (Erst Mathematik, dann DMW), mit denen allgemeine Aspekte
im Umgang mit DMW abgefragt wurden, zeigen folgende Veränderung bei den Mittelwerten.
War der Mittelwert des Subtests L1 beim ersten Messzeitpunkt mit M=3.71 schon relativ hoch,
ist ein Zustimmungsgrad von M=4.12 (4 = Stimme eher zu) nach der Intervention zu verzeichnen.
Auffällig ist hier der Abstand von 1.00 zwischen Minimum im Prätest (1.60) und Minimum im
Posttest (2.60), während diese Differenz bei allen anderen Kategorien höchstens 0.50 beträgt.
Dies unterstreicht die Tatsache, dass die Probanden eine positive Einstellung zum
Technologieeinsatz haben. Die Einschätzungen der Probanden zur Kategorie M2 haben sich im
Prä-Post-Vergleich mit M=3.63 zu M=3.50 nur geringfügig verändert. Von einer grundsätzlichen
Änderung der Einstellung von Erst Mathematik, dann DMW zu Erst DMW, dann Mathematik kann
daher nicht ausgegangen werden.
Die statistischen Kennwerte der t-Tests mit den jeweiligen Parametern Cohens d als Maß für die
Effektstärke (vgl. Cohen, 1992) der acht Skalen G1 bis M2 zu technologiebezogenen
Überzeugungen sind in Tabelle 57 dargestellt. Die Mittelwertdifferenzen der drei Skalen, die
Vorteile von DMW adressieren, betragen ∆M=-0.41 für den Subtest G1, ∆M=-0.09 für den Subtest
H1 und ∆M=-0.36 für den Subtest I1. Der t-Test für gepaarte Stichproben belegt für die Skalen
11 Darstellung der Ergebnisse 250
Auslagerungsprinzip (G1) und Entdeckendes Lernen (I1) eine statistisch signifikante Veränderung
(p<0.001) mit jeweils mittleren Effekten von d=0.62 und d=0.70. Die Skala
Repräsentationswechsel (H1) hat sich im Prä-Post-Vergleich nicht signifikant verändert (p=0.090).
Tab. 57: Parameter der t-Tests für Technologiebezogene Überzeugungen (N=55)
t-Test bei gepaarten
Stichproben
M
SD
SF
(M)
95%-Konfi-
denzintervall
von M
T
df
p
Cohens
d
unterer
Wert
oberer
Wert
G1. Auslagerungsprinzip
-0.41
0.67
0.09
-0.59
-0.23
-4.56
54
<0.001
0.62
H1. Repräsentations-
wechsel
-0.09
0.38
0.05
-0.19
0.01
-1.72
54
0.090
0.23
I1. Entdeckendes Lernen
-0.36
0.51
0.07
-0.49
-0.22
-5.19
54
<0.001
0.70
J1. Gefahr für händisches
Rechnen
0.12
0.88
0.12
-0.12
0.36
1.00
53
0.321
0.14
K1. Unreflektiertes
Arbeiten
0.16
0.69
0.09
-0.03
0.35
1.69
53
0.097
0.23
M1. Zeitaufwand
0.15
0.57
0.08
-0.00
0.31
1.96
54
0.055
0.26
L1. Technologie/
Einstellung
-0.41
0.67
0.09
-0.59
-0.23
-4.53
54
<0.001
0.61
M2. Erst Mathematik,
dann DMW
0.17
1.11
0.15
-0.14
0.47
1.11
53
0.273
0.15
Anm.: M Differenz der Mittelwerte; SD Standardabweichung; SF (M) Standardfehler des Mittelwerts;
T Teststatistik; df Freiheitsgrade; p Signifikanzwert (zweiseitig); d Effektstärke
Die Skalen Gefahr für händisches Rechnen (J1), Unreflektiertes Arbeiten (K1) und Zeitaufwand
(M1), die sich auf Nachteile bei der Verwendung von digitalen Mathematikwerkzeugen beziehen,
haben sich zwischen den beiden Messzeitpunkten kaum verändert. Mit geringen Differenzen der
Mittelwerte (∆MJ=0.12, ∆MK=0.16 und ∆MM1=0.15) und Teststatistikwerten TJ(54)=1.00,
TK(54)=1.69 und TM1(54)=1.96 bei gleichzeitigen Signifikanzwerten von pJ=0.321, pK=0.097 und
11 Darstellung der Ergebnisse 251
pM1=0.055 konnte kein signifikanter Unterschied nachgewiesen werden. Die beiden Subtests L1
und M2, die weder Vorteilen noch Nachteilen bei der Verwendung von DMW zugeordnet
werden, zeigen unterschiedliche Stärken des gemessenen Unterschieds im arithmetischen Mittel
zwischen Prä- und Posterhebung. Mit ∆M=-0.41 ist ein signifikanter Unterschied (p<0.001)
zwischen Messzeitpunkt 1 und 2 zu für den Subtest L1 zu erkennen. Die beobachtete Wirksamkeit
ist nach Cohen (1992) mit einem Wert von d=0.61 als mittlerer Effekt einzustufen. Die Skala M2
zeigt keine signifikante Veränderung zwischen den beiden Beobachtungszeitpunkten.
11.2.6 Teil N1: Selbstwirksamkeitsüberzeugungen
Die Kategorie N1 bezieht sich auf Selbstwirksamkeitsüberzeugungen der Studierenden zu
Tätigkeiten, die mit dem Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge verbunden sind. Die erste Skala
Aufgaben besteht aus drei Items, weitere vier bilden die Skala Unterricht. In Tabelle 58 sind die
Ergebnisse der deskriptiven Statistik der beiden Skalen Aufgaben und Unterricht dargestellt.
Tab. 58: Deskriptive Statistik (Selbstwirksamkeitsüberzeugungen)
Kategorie N1
Prozent-Skala:
0 = Ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob ich das kann; 10; 20; 30; 40;
50 = Ich bin mir mittelmäßig sicher, ob ich das kann; 60; 70; 80; 90;
100 = Ich bin mir sehr sicher, dass ich das kann
Selbstwirksamkeits-
überzeugungen
Mess-
zeit-
punkt
N=55
Min
Max
M
SD
Var
gültig
feh-
lend
N1. Aufgaben
Prä
55
0
0.00
93.33
55.82
20.48
419.43
Post
55
0
33.33
100.00
77.10
14.10
198.79
N1. Unterricht
Prä
55
0
2.50
92.50
58.00
21.52
463.06
Post
55
0
40.00
100.00
78.82
12.87
165.71
Anm.: Min Minimum, Max Maximum, M Mittelwert; SD Standardabweichung; Var Varianz
Für die beiden Skalen Aufgaben und Unterricht haben sich die Mittelwerte des zweiten
Messzeitpunktes (Post) im Vergleich zum ersten Messzeitpunkt (Prä) bei beiden Skalen deutlich
erhöht (vgl. Tab. 58). Die eingeschätzte Überzeugung zur Sicherheit bei Tätigkeiten mit DMW im
Bereich Aufgaben hat auf der 100%-Skala (0 = Ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob ich das kann
bis 100 = Ich bin mir sehr sicher, dass ich das kann) von M=55.82 auf M=77.10 zugenommen. Bei
Tätigkeiten mit DMW bezogen auf Unterricht ist eine Steigerung des Mittelwertes von M=58.00
11 Darstellung der Ergebnisse 252
auf M=78.82 zwischen den Messzeitpunkten zu verzeichnen. Mit einem absoluten Abstand von
5.82 und 8.00 im Vergleich zu 50 (Ich bin mir mittelmäßig sicher, ob ich das kann) auf der Prozent-
Skala kann für beide Skalen Aufgaben und Unterricht grob die Einschätzung einer mittelmäßigen
Sicherheit konstatiert werden. Nach der Seminarintervention gehen die Studierenden für beide
Bereiche durchschnittlich von einer knapp 80%-igen Sicherheit aus, wenn es darum geht digitale
Mathematikwerkzeuge kompetent bei der Gestaltung von Lehr-Lern-Prozessen einzusetzen.
Die statistischen Kennwerte der t-Tests mit den jeweiligen Parametern für die Effektstärke
(Cohens d) der beiden Skalen N1. Aufgaben und N1. Unterricht sind Tabelle 59 zu entnehmen.
Die Mittelwertdifferenzen der beiden Skalen betragen ∆M=-21.27 für den Bereich Aufgaben und
∆M=-20.82 für den Bereich Unterricht. Der t-Test für gepaarte Stichproben belegt für beide
Teilskalen eine statistisch signifikante Veränderung (p<0.001) mit jeweils starken Effekten von
d=1.22 und d=1.23 (vgl. Cohen, 1992).
Tab. 59: Parameter der t-Tests für Selbstwirksamkeitserwartungen (N=55)
t-Test bei gepaarten
Stichproben
M
SD
SF
(M)
95%-Konfi-
denzintervall
von M
T
df
p
Cohens
d
unterer
Wert
oberer
Wert
N1. Aufgaben
-21.27
17.42
2.35
-25.98
-16.56
-9.06
54
<0.001
1.22
N1. Unterricht
-20.82
16.97
2.29
-25.41
-16.23
-9.10
54
<0.001
1.23
Anm.: M Differenz der Mittelwerte; SD Standardabweichung; SF (M) Standardfehler des Mittelwerts;
T Teststatistik; df Freiheitsgrade; p Signifikanzwert (zweiseitig); d Effektstärke
11.2.7 Teil N2: Geplantes Lehrerverhalten
Die Kategorie N2 thematisiert das Geplante Lehrerverhalten, welches mit dem Einsatz digitaler
Mathematikwerkzeuge verbunden sind. Die erste Skala Einstellung besteht aus fünf Items, die
Skala Verhaltenskontrolle aus drei, während weitere vier Items die Skala Subjektive Norm bilden.
In Tabelle 60 sind die Ergebnisse der deskriptiven Statistik der drei Subtests dargestellt. Die
Mittelwerte des zweiten Messzeitpunktes (Post) sind im Vergleich zum ersten Messzeitpunkt
(Prä) bei den Skalen Einstellung und Verhaltenskontrolle von M=5.00 auf M=5.31 bzw. von
M=5.25 auf M=5.46 moderat gestiegen. Die durchschnittlichen Einschätzungen zur subjektiven
Norm sind hingegen von M=4.57 auf M=4.31 gefallen.
11 Darstellung der Ergebnisse 253
Tab. 60: Deskriptive Statistik (Geplantes Lehrerverhalten)
Kategorie N2
Likert-Skala:
1 = Stimme überhaupt nicht zu; 2; 3; 4; 5;
6 = Stimme voll und ganz zu
Geplantes Lehrerverhalten
Mess-
zeit-
punkt
N
Min
Max
M
SD
Var
gültig
feh-
lend
N2. Einstellung
Prä
55
0
1.00
6.00
5.00
0.87
0.75
Post
55
0
1.00
6.00
5.31
0.77
0.60
N2. Verhaltenskontrolle
Prä
55
0
1.00
6.00
5.25
0.81
0.66
Post
55
0
1.00
6.00
5.46
0.83
0.69
N2. Subjektive Norm
Prä
49
6
1.00
6.00
4.57
1.12
1.25
Post
49
6
1.00
6.00
4.31
1.13
1.29
Anm.: Min Minimum, Max Maximum, M Mittelwert; SD Standardabweichung; Var Varianz
Die Kennwerte der t-Test-Statistik und das Effektstärke-Maß Cohens d (vgl. Cohen, 1992) zum
geplanten Lehrerverhalten (N2) sind in Tabelle 61 dargestellt.
Tab. 61: Parameter der t-Tests für Geplantes Lehrerverhalten (N=55)
t-Test bei gepaarten
Stichproben
M
SD
SF
(M)
95%-Konfi-
denzintervall
von M
T
df
p
Cohens
d
unterer
Wert
oberer
Wert
N2. Einstellung
-0.31
0.57
0.08
-0.46
-0.15
-3.98
54
<0.001
0.54
N2. Verhaltenskontrolle
-0.21
0.57
0.08
-0.36
-0.05
-2.69
54
0.009
0.36
N2. Subjektive Norm
0.27
1.08
0.16
-0.91
0.59
1.67
44
0.103
0.25
Anm.: M Differenz der Mittelwerte; SD Standardabweichung; SF (M) Standardfehler des Mittelwerts;
T Teststatistik; df Freiheitsgrade; p Signifikanzwert (zweiseitig); d Effektstärke
Die Mittelwertdifferenzen der drei Teilskalen betragen ∆M=-0.31 für den Teilbereich Einstellung,
∆M=-0.21 für den Teilbereich Verhaltenskontrolle bzw. ∆M=0.27 für den Teilbereich Subjektive
11 Darstellung der Ergebnisse 254
Norm. Eine signifikante Änderung (p<0.001) kann für den Bereich Einstellung bei einer mittleren
Effektstärke von d=0.54 gemessen werden. Mit p=0.009 liegt die Signifikanz für den Bereich
Verhaltenskontrolle unter dem Niveau von , so dass mit d=0.36 ein kleiner Effekt
gemessen werden kann (vgl. Cohen, 1992). Für den Bereich Subjektive Norm kann keine
signifikante Veränderung (p=0.103) festgestellt werden.
11 Darstellung der Ergebnisse 255
11.3 Ein differenzierter Blick auf die Kohorten (SoSe 2021 – SoSe 2023)
Die Gestaltung der Seminarintervention mit den beschriebenen Arbeitsphasen 1 bis 3 war für die
fünf Kohorten nicht konsistent (vgl. Abschnitt 8.3). In allen Kohorten mit insgesamt 55
Studierenden konnten die Arbeitsphasen 1 und 2 wie geplant durchgeführt werden. Die SARS-
CoV-2-Pandemie und ein temporärer krankheitsbedingter Ausfall des Dozenten im WiSe
2022/2023 hatten jedoch limitierenden Charakter auf die Arbeitsphase 3, in der es vorgesehen
war, dass die Studierenden an Kooperationsschulen zwei Unterrichtsstunden unter Einsatz der
digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation erproben konnten. Von
insgesamt 55 Studierenden konnten 30 ihre geplanten Stunden durchführen. Für 25 Studierende
wurde das Konzept des Peer Teachings als Alternative angewendet.
„Das Konzept des „Peer Teachings“ sieht vor, dass gleichaltrige oder gleichgestellte Lernende
aktiv in die Lehre eingebunden werden. Anstelle der Lehrpersonen, die üblicherweise Wissen
und Fertigkeiten vermitteln, übernehmen Lernende die Rolle von Lehrenden und teilen ihre
theoretischen und praktischen Fähigkeiten mit ihren Peers. (Schlegel & Useini, 2023, S. 258)
Die nachfolgende Tabelle 62 gibt einen Überblick über die Leistungen, die in den jeweiligen
Seminardurchgängen erbracht wurden:
Tab. 62: Übersicht Arbeitsphase 3
Semester
Erprobung von zwei
Unterrichtsstunden
an Schulen
Peer Teaching (Seminar)
Theoretische
Vorstellung einer
Unterrichtsstunde
Praktische
Simulation einer
Unterrichtsstunde
SoSe 2021 (14)
0
14
0
WiSe 2021/22 (12)
8
0
4
SoSe 2022 (10)
10
0
0
WiSe 2022/23 (7)
0
0
7
SoSe 2023 (12)
12
0
0
Gesamt (N=55)
(N=30)
(N=25)
Das fachdidaktische Seminar wurde im SoSe 2021 über das Webkonferenzsystem BigBlueButton
durchgeführt. Als Alternative zur Erprobung von Unterrichtsstunden wurde jedem
Seminarteilnehmer ein 30-Minuten-Slot zugewiesen, so dass stets drei Studierende eine
Seminarsitzung füllen konnten. In diesem Slot wurde eine geplante Stunde in ca. 15 Minuten
11 Darstellung der Ergebnisse 256
theoretisch vorgestellt. In den verbleibenden 15 Minuten wurde die geplante Stunde unter
Anleitung des Dozierenden in der Seminargruppe reflektiert. Aufgrund der Anzahl der
Studierenden wurde vereinbart, dass je sieben Stunden mit Bezug zu GeoGebra bzw.
Tabellenkalkulation vorgestellt wurden.
Im WiSe 2021/22 haben acht Studierende unter Berücksichtigung der seinerzeit geltenen
Hygienevorschriften ihre beiden Unterrichtstunden durchführen können. Vier Studierende
hatten wegen der SARS-CoV-2-Pandemie Bedenken sich einer erhöhten Ansteckungsgefahr
auszusetzen und zogen es vor in einem kleineren Rahmen eine ihrer Unterrichtstunden während
des Seminarbetriebs durchzuführen. Die Seminargruppe simulierte jeweils die entsprechende
Schulklasse (vgl. Abschnitt 8.3). Im Unterschied zum eigenverantwortlichen Unterricht mit
echten Schülern ist die Unterrichtssimulation innerhalb des pädagogischen Konzeptes des Peer
Teachings eine Methode während einer fachdidaktischen Lehrveranstaltung. Ein Studierender
nimmt dabei die Rolle des Lehrers ein, die übrigen Studierenden des sog. Peers die der Schüler
(vgl. Fricke et al., 2019). In diesem geschützten, komplexitätsreduzierten Setting können Lehr-
Lern-Aktivitäten geübt werden (vgl. Priemer & Roth, 2020). Die Kohorten der Sommersemester
2022 und 2023 konnten ihre Unterrichtsstunden planmäßig erproben. Die Studierenden des
WiSe 2022/23 haben jeweils analog zur Durchführung im WiSe 2021/22 eine ihrer
Unterrichtsstunden mit der Seminargruppe als Schulklasse simuliert. Aufgrund der
unterschiedlichen Erfahrungen, die die Studierenden während der Arbeitsphase 3 machten, wird
im Weiteren die Gesamtstichprobe (N=55) differenziert betrachtet. Dazu wird diese in zwei
Gruppen bzw. Stichproben aufgeteilt. Die erste Gruppe wird von 30 Studierenden gebildet, die
eigenverantwortlichen Unterricht (EVU) an Kooperationsschulen durchgeführt hatten. Die zweite
Gruppe (Peer) besteht aus den 25 Studierenden, die keinen eigenverantwortlichen Unterricht
durchgeführt hatten.
Mit dieser Trennung der Gesamtstichprobe in zwei Gruppen, die unterschiedliche
Praxiserfahrungen in der Arbeitphase 3 machten, ergibt sich die Frage, ob sich diese in den
Selbsteinschätzungen zu digitalen Kompetenzen, zu den technologiebezogenen Überzeugungen,
zu Selbstwirksamkeitserwartungen und zum geplanten Lehrerverhalten bemerkbar machen (vgl.
Forschungsfrage [F6]). In der nachfolgenden Tabelle 63 sind die relevanten t-Test-Parameter der
drei Gruppen EVU (N=30), Peer (N=25) und Total (N=55) im Vergleich dargestellt.
11 Darstellung der Ergebnisse 257
Tab. 63: Parameter der t-Tests für die Skalen F1 bis N2 im Vergleich (EVU, Peer, Total)
t-Test bei
gepaarten
Stichproben
M
(Prä)
M
(Post)
M
SD
SF
(M)
T
df
p
Cohens
d
F1.
EVU
3.43
3.83
-0.40
0.58
0.11
-3.85
29
<0.001
0.70
Peer
3.17
3.71
-0.54
0.70
0.14
-3.85
24
<0.001
0.77
Total
3.31
3.78
-0.47
0.64
0.09
-5.46
54
<0.001
0.74
F2.
EVU
3.54
4.28
-0.74
0.73
0.13
-5.56
29
<0.001
1.02
Peer
3.43
4.40
-0.97
0.71
0.14
-6.77
24
<0.001
1.35
Total
3.49
4.33
-0.84
0.72
0.10
-8.63
54
<0.001
1.16
F3.
EVU
3.52
4.13
-0.61
0.96
0.17
-3.51
29
0.001
0.64
Peer
3.72
4.43
-0.71
0.90
0.18
-3.98
24
<0.001
0.80
Total
3.61
4.27
-0.66
0.92
0.12
-5.30
54
<0.001
0.71
G1.
EVU
2.92
3.23
-0.31
0.69
0.13
-2.45
29
0.020
0.45
Peer
2.58
3.11
-0.53
0.63
0.13
-4.22
24
<0.001
0.84
Total
2.76
3.17
-0.41
0.67
0.09
-4.56
54
<0.001
0.62
H1.
EVU
4.63
4.59
0.04
0.27
0.05
0.72
29
0.480
0.13
Peer
4.54
4.77
-0.23
0.45
0.09
-2.65
24
0.014
0.53
Total
4.59
4.68
-0.09
0.38
0.05
-1.72
54
0.090
0.23
I1.
EVU
4.15
4.47
-0.32
0.42
0.08
-4.21
29
<0.001
0.77
Peer
4.11
4.51
-0.40
0.60
0.12
-3.25
24
0.003
0.65
Total
4.13
4.49
-0.36
0.51
0.07
-5.19
54
<0.001
0.70
J1.
EVU
3.51
3.37
-0.14
0.66
0.12
1.18
29
0.246
0.22
Peer
3.65
3.53
0.12
1.12
0.23
0.41
23
0.686
0.08
Total
3.57
3.44
0.12
0.88
0.12
1.00
53
0.321
0.14
K1.
EVU
3.83
3.60
0.23
0.63
0.11
2.03
29
0.052
0.37
Peer
3.91
3.83
0.08
0.76
0.16
0.43
23
0.673
0.09
Total
3.87
3.71
0.16
0.69
0.09
1.69
53
0.097
0.23
Anm.: M Mittelwert; M Differenz der Mittelwerte; SD Standardabweichung; SF(M) Standardfehler
des Mittelwertes; T Teststatistik; df Freiheitsgrade; p Signifikanzwert (zweiseitig); d Effektstärke
11 Darstellung der Ergebnisse 258
t-Test bei
gepaarten
Stichproben
M
(Prä)
M
(Post)
M
SD
SF
(M)
T
df
p
Cohens
d
L1.
EVU
3.80
4.21
-0.41
0.58
0.11
-3.94
29
<0.001
0.72
Peer
3.61
4.02
-0.41
0.78
0.16
-2.58
24
0.017
0.52
Total
3.71
4.12
-0.41
0.67
0.09
-4.53
54
<0.001
0.61
M1.
EVU
1.88
1.81
0.07
0.63
0.11
0.58
29
0.565
0.11
Peer
2.01
1.76
0.25
0.50
0.10
2.56
24
0.017
0.51
Total
1.94
1.79
0.15
0.57
0.08
1.96
54
0.055
0.26
M2.
EVU
3.63
3.54
0.09
0.95
0.18
0.76
28
0.453
0.14
Peer
3.64
3.44
0.20
1.28
0.26
0.79
24
0.435
0.16
Total
3.63
3.50
0.17
1.11
0.15
1.11
53
0.273
0.15
N1.
(A)
EVU
51.78
74.00
-22.22
20.27
3.70
-6.00
29
<0.001
1.10
Peer
60.67
80.80
-20.13
13.56
2.71
-7.43
24
<0.001
1.49
Total
55.82
77.10
-21.27
17.42
2.35
-9.06
54
<0.001
1.22
N1.
(U)
EVU
54.67
76.83
-22.16
19.40
3.54
-6.26
29
<0.001
1.14
Peer
62.00
81.20
-19.20
13.73
2.75
-6.99
24
<0.001
1.40
Total
58.00
78.82
-20.82
16.97
2.29
-9.10
54
<0.001
1.23
N2.
(E)
EVU
5.09
5.22
-0.13
0.28
0.05
-2.48
29
0.019
0.45
Peer
4.90
5.42
-0.52
0.74
0.15
-3.51
24
0.002
0.70
Total
5.00
5.31
-0.31
0.57
0.08
-3.98
54
<0.001
0.54
N2.
(V)
EVU
5.22
5.40
-0.18
0.47
0.09
-2.13
29
0.042
0.39
Peer
5.30
5.53
-0.23
0.67
0.13
-1.73
24
0.096
0.35
Total
5.25
5.46
-0.21
0.57
0.08
-2.69
54
0.009
0.36
N2.
(S)
EVU
4.65
4.47
0.18
1.19
0.23
2.62
26
0.014
0.50
Peer
4.13
4.56
-0.43
0.64
0.15
-1.54
17
0.143
0.36
Total
4.57
4.31
0.27
1.08
0.16
1.67
44
0.103
0.25
Anm.: M Mittelwert; M Differenz der Mittelwerte; SD Standardabweichung; SF(M) Standardfehler
des Mittelwertes; T Teststatistik; df Freiheitsgrade; p Signifikanzwert (zweiseitig); d Effektstärke
11 Darstellung der Ergebnisse 259
Für die dargestellten Daten in Tabelle 63 kann die gesamte Kohorte (N=55), die an der
Seminarintervention teilgenommen hat, als Grundgesamtheit (Zielpopulation) angesehen
werden. Bei der Analyse wird das Verfahren der Quotenstichprobe angewendet, mit der eine
spezifische Repräsentativität untersucht werden kann (vgl. Moosbrugger & Kelava, 2020). Bei
gleichen Faktoren der Populationszusammensetzung, die mit dem Fragebogen erhoben wurden,
unterscheiden sich die beiden Quotenstichproben (EVU & Peer) bei der bewussten Auswahl nur
durch ein differenzierendes Merkmal. Für den differenzierten Blick auf die Zielpopulation erfolgt
dies mit dem Merkmal Unterschiedliche Praxiserfahrungen während der Arbeitsphase 3.
Um mögliche Unterschiede bei den Selbsteinschätzungen der beiden Quotenstichproben EVU
und Peer zu analysieren, wird einerseits ein besonderer Blick auf die Mittelwerte der beiden
Messzeitpunkte und deren Differenz geworfen, andererseits werden die unterschiedlichen
Effektstärkeparameter Cohens d bei Beachtung der Signifikanz betrachtet. Aus Tab. 63 geht
hervor, dass sich die Mittelwerte der Post-Erhebung bei den Skalen F1 bis F3 (vgl. TPACK) für
beide Quotenstichproben im Vergleich zum Prä-Test nicht wesentlich unterscheiden. Mit den
Post-Mittelwerten MEVU=3.83 und MPeer=3.71 liegen die Einschätzungen der Studierenden zur
Skala F1 Technological Knowledge beim zweiten Messzeitpunkt am unteren Rand der
Einschätzung 4 = Stimme zu. Die Effektstärken, bei gegebener Signifikanz (p<0.001),
unterscheiden sich mit dEVU=0.70 und dPeer=0.77 nur minimal. Für die Skala F2 Technological
Pedagogical Knowledge liegen die Zustimmungswerte im oberen Bereich von 4 = Stimme zu
(MEVU=4.28 und MPeer=4.40). Mit dPeer=1.35 lässt sich eine größere Effekstärke als bei dEVU=1.02
ausmachen, wobei dennoch für beide Stichproben ein starker Effekt (vgl. Cohen, 1992) zu
verzeichnen ist. Mit MEVU=4.13 und MPeer=4.43 zeigen die Post-Mittelwerte für F3 Technological
Content Knowledge ein ähnliches Bild wie für Skala F2. Die Effektstärke für die Stichprobe Peer
ist mit dPeer=0.80 (starker Effekt) bei p<0.001 im Vergelich zu dEVU=0.64 (mittlerer Effekt) mit
p=0.001 gestiegen.
Die Prä-und Post-Mittelwerte MEVU und MPeer der Skalen G1 bis M2 der technologiebezogenen
Überzeugungen sollen nicht im Einzelnen berichtet werden, da sie eine ähnliche Entwicklung,
auch im Vergleich zu der Zielpopulation (N=55) aufweisen. Schaut man sich jedoch die
Differenzen der Mittelwerte zwischen Prä- und Post-Erhebung und die Parameter für die
Effektstärken für die beiden Stichproben EVU und Peer an, stellt man Unterschiede fest. Für die
Skala G1. Auslagerungsprinzip lässt sich mit dPeer=0.84 (p<0.001) im Vergleich zu dEVU=0.45
11 Darstellung der Ergebnisse 260
(p=0.020) ein signifikant höherer Effekt in den Einschätzungen nachweisen. Die Tatsache, dass
die digitalen Repräsentationen Funktionsterm, Wertetabelle und Funktionsgraph (vgl. Skala H1.
Repräsentationswechsel) verwendet werden und diese aufgrund der schnellen Verfügbarkeit in
den Problemlöseprozess bei funktionalen Zusammenhängen berücksichtigt werden, wird von
beiden Gruppen mit nahezu voller Zustimmung in der Post-Erhebung positiv eingeschätzt
(MEVU=4.59 und MPeer=4.77). Mit ∆MEVU=0.04 und ∆MPeer=-0.23 ändert sich jedoch die Tendenz
innerhalb der Likert-Skalierung. Mit p=0.480 ist keine signifikante Änderung für die EVU-Gruppe
festzustellen, jedoch lässt sich ein mittlerer Effekt (dPeer=0.53; p=0.014) für die Peer-Gruppe
nachweisen. Das entdeckende Lernen (Skala I1.) wird von beiden Gruppen sowohl vor als auch
nach der Intervention zwischen 4 = Stimme eher zu und 5 = Stimme voll zu eingeschätzt. Die
mittleren Effekte sind mit dEVU=0.77 (p<0.001) und dPeer=0.65 (p=0.003) signifikant, wobei Cohens
für die EVU-Gruppe fast einen starken Effekt anzeigt. Die t-Test-Parameter für die Skala J1.
zeigen keine besonderen Auffälligkeiten. Beide Gruppen tendieren (3 = unentschieden) mit
Mittelwerten zwischen M=3.37 und M=3.65 für beide Messzeitpunkte dazu, dass der Einsatz von
digitalen Mathematikwerkzeugen eine Gefahr für händische Rechenverfahren darstellen kann.
Analog zu J1. lässt sich die Skala K1. analysieren. Die Probanden beider Gruppen tendieren mit
entsprechenden Werten zwischen M=3.60 und M=3.91 für beide Messzeitpunkte dazu, dass
Schüler dazu neigen könnten DMW unreflektiert im Unterricht einzusetzen. Für die EVU-Gruppe
ist mit ∆MEVU=0.23 (mit p=0.052 in Angrenzung des signifikanten Bereichs) im Vergleich zu
∆MPeer=0.08 ein stärkerer Rückgang auszumachen, so dass die Gefahr des unreflektierten
Arbeitens mit DMW etwas unkritischer gesehen wird. Die Effektstärken, die mit der Skala L1.
Einstellung zu Technologie errechnet wurden, zeigen einen Unterschied zwischen den
Quotenstichproben auf. Beide Messungen (dEVU=0.72 mit p<0.001 und dPeer=0.52 mit p=0.017)
sind signifikant. Die Erfahrungen aus der Schulpraxis scheinen allerdings einen größeren Einfluss
auf die positive Einstellung zu Technologie zu haben, als die Erfahrungen, die während des Peer
Teachings in den Seminarsitzungen gemacht wurden. Der Befürchtung, dass der Einsatz von
DMW mit Verlust von wertvoller Unterrichtszeit verbunden ist (Skala M1.), wurde von beiden
Gruppen sowohl vor als auch nach der Seminarintervention eher nicht zugestimmt (Spanne der
Mittelwerte zwischen M=1.76 und 2.01). Dennoch kann man feststellen, dass der Rückgang bei
der Peer-Gruppe mit messbarer Signifikanz (p=0.017; dEVU=0.51) größer ist als bei der EVU-
Gruppe, für die keine statistisch messbare Veränderung festgestellt werden kann. Die
11 Darstellung der Ergebnisse 261
grundsätzliche Überzeugung, dass der Einsatz von DMW im Unterricht keinen unnötigen
Zeitaufwand verursacht, bleibt bestehen. Die t-Test-Parameter für die Skala M2. Erst
Mathematik, dann DMW zeigen keine besonderen Auffälligkeiten. Beide Gruppen tendieren (3 =
unentschieden) mit Mittelwerten zwischen M=3.44 und M=3.64 für beide Messzeitpunkte eher
dazu, dass digitale Mathematikwerkzeuge erst eingesetzt werden sollten, wenn die händischen
Rechenverfahren beherrscht werden, jedoch kann dies nicht inferenzstatistisch nachgewiesen
werden.
Die Skala N1. beschreibt die Selbstwirksamkeitserwartungen, wenn es darum geht Aufgaben mit
digitalen Mathematikwerkzeugen umzuwandeln, auszusuchen und selbst zu entwickeln (N1.(A))
und unterrichtsrelevante Tätigkeiten wie die Gestaltung und Konzeption von Unterrichtsstunden
(N1.(U)) auszuführen. Für beide Gruppen können starke Effekte mit Werten zwischen d=1.10 und
d=1.49 (vgl. Cohen, 1992) verzeichnet werden, so dass die Vermutung nahe liegt, dass diese
starken Effekte in erster Linie auf die Arbeitsphasen 1 und 2 zurückzuführen sind. Die letzte Skala
(N2. Geplantes Lehrerverhalten) des Fragebogens kann folgendermaßen beschrieben werden.
Sowohl die Skala N2.(E) als auch die Skala N2.(V), die die grundsätzliche Einstellung und
Verhaltenskontrolle adressieren, weisen auf der 6-Stufigen Likert-Skala (6 = Stimme voll und ganz
zu) mit Mittelwerten zwischen M=4.90 und M=5.53 für beide Messzeitpunkte und beide
Quotenstichproben einen hohen Zustimmungsgrad auf. Die Effektstärken für N2.(E) sind mit
dEVU=0.45 (p=0.019) und dPeer=0.70 (p=0.002) unterschiedlich. Bei der Peer-Gruppe ist ein
mittlerer Effekt bei statistischer Signifikanz festzustellen, während für die EVU-Gruppe ein kleiner
Effekt ausgemacht werden kann (vgl. Cohen, 1992). Für die Skala N2.(V) sind ebenso für beide
Gruppen vergleichbare Testparameter bei einem hohen Zustimmungsgrad auszumachen
(∆MEVU=-0.18; ∆MPeer=-0.23). Ein kleiner Effekt (dEVU=0.39; p=0.042) besteht jedoch nur bei der
Gruppe von Studierenden, die eigenverantwortlichen Unterricht durchgeführt hatte. Die
durchschnittliche Zustimmung für die Skala N2. (S) Subjektive Norm hat mit ∆MEVU=0.18 für die
EVU-Gruppe abgenommen, während sie für die Peer-Gruppe (∆MPeer=-0.43) zugenommen hat.
Eine signifikante Änderung lässt sich jedoch aufgrund der p-Werte nur für die EVU-Gruppe
(dEVU=0.50; p=0.014) konstatieren. Der Wert für die Freiheitsgrade von df=17 für die Peer-Gruppe
weicht vom Idealwert von df=24 deutlich ab, während der Wert von df=26 (EVU) noch vertretbar
ist.
11 Darstellung der Ergebnisse 262
11.4 Bewertung des fachdidaktischen Seminars aus Sicht der Studierenden
Die Lehrveranstaltungsevaluation (LVE) zum Ende eines jeden Semesters ist ein zentrales
Instrument der Qualitätssicherung in Studium und Lehre an der Universität Koblenz, für das die
Stabsstelle Evaluation (StEVA) zuständig ist (vgl. Wehner, 2025). Die LVE wird in Kooperation mit
den Fachbereichen mit einem zentral abgestimmten Fragebogen durchgeführt, welcher
regelmäßig auf seine Passung überprüft und weiterentwickelt wird. Die Teilnahme an der
Evaluation ist freiwillig und anonym. Rückschlüsse auf einzelne Personen können nicht gezogen
werden. Durch die Auswertung und Darstellung der erhobenen Daten vollzieht sich eine
systematische Rückmeldung über Stärken und Schwächen einer Lehrveranstaltung. Aus den
Rückmeldungen der Studierenden können wertvolle Informationen und Impulse hervorgehen,
die in eine kontinuierliche Weiterentwicklung der Lehrveranstaltung einfließen und die Lehre
verbessern können. Die LVE war für die fünf Kohorten (SoSe 2021 bis SoSe 2023) jeweils in der
letzten Seminarsitzung bewusst in Präsenz vorgesehen, da die Rücklaufquoten bei asynchroner
Beantwortungsmöglichkeit erfahrungsgemäß schlechter ausfallen. Im SoSe 2021 (online über
BBB) und im hybriden WiSe 2021/2022 waren die Rücklaufquoten mit 5 von 14 (35,7%) bzw. 6
von 12 (50%) dementsprechend, wie man Tabelle 64 entnehmen kann. Im SoSe 2022 und im
WiSe 2022/23 hatten sich die Studierenden an der online-Befragung zu 100% beteiligt, während
im SoSe 2023 mit 11 von 12 ausgefüllten Fragebögen eine Teilnahme von 91,7% zu verzeichnen
ist.
Tab. 64: Lehrveranstaltungsevaluation
Semester
SoSe 2021
(5/14)
WiSe 2021/22
(6/12)
SoSe 2022
(10/10)
WiSe 2022/23
(7/7)
SoSe 2023
(11/12)
Gesamtnote (Schulnote)
1.40
1.70
1.50
1.14
1.45
Index guter Lehre
5.53
5.55
5.73
5.57
5.64
Für die Gesamtbewertung der Lehrveranstaltung wird der Mittelwert der vergebenen Schulnoten
ermittelt (vgl. Tab. 64). An den Gesamtnoten zwischen 1.14 und 1.70 zeigt sich, dass die
Seminarteilnehmer aller Kohorten die Lehrveranstaltung positiv bewerten. Neben der
Gesamtbewertung gibt die Veranstaltungsbewertung Aufschluss über die Akzeptanz der
11 Darstellung der Ergebnisse 263
Lehrveranstaltung bei den Studierenden. Hier werden jeweils geschlossene Fragen gestellt, die
über eine 6-stufige Ordinalskala (1 = trifft gar nicht zu bis 6 = trifft voll zu) beantwortet werden.
An dieser Stelle werden nicht alle Fragen im Einzelnen berichtet, sondern Augenmerk auf den
Index guter Lehre (INDEXgL6) gelenkt
19
, der Aufschluss über die Evaluation der
Seminarteilnehmer gibt. Auf Nachfrage bei der StEVA wurde deutlich, dass sich dieser Index
historisch, vor allem seit der SARS-CoV-2-Pandemie, aus Erkenntnissen der
Lehrevaluationsforschung, auf die an dieser Stelle nicht gesondert eingegangen wird, entwickelt
hat (C. Karthaus, persönliche Kommunikation, 26. Juni 2024). Dieser Index ist ein
gleichgewichteter Mittelwertsindex mit 6-stufiger Antwortskala, bestehend aus den folgenden
Kernfragen-Items:
o Didaktische Hilfsmittel (z.B. Folien, Begleitmaterialien) waren für mich hilfreich.
o Die Veranstaltung folgte aus meiner Sicht einer klaren Struktur.
o Die Veranstaltung war meiner Ansicht nach gut organisiert (z.B. Bereitstellung von
Materialien, Informationsfluss).
o Die Lehrperson erklärte meiner Ansicht nach schwierige Sachverhalte verständlich.
o Lernziele waren für mich transparent.
o Die Veranstaltung regte mich zur Auseinandersetzung mit den Inhalten an.
Mit relativ homogenen Werten zwischen 5.53 und 5.73 attestieren die angehenden Lehrkräfte
mit nahezu voller Zustimmung der Lehrveranstaltung ein Beispiel für gute Lehre zu sein. Außer
den zuvor erläuterten statistischen Parametern Gesamtnote und INDEXgL6 können über die
Rückmeldungen der Studierenden zu den offenen Fragen Was fanden Sie besonders gut? und
Was fanden Sie schlecht bzw. verbesserungsfähig? Informationen gewonnen werden, die
aufschlussreich für das Seminarkonzept, die Akzeptanz und die Wirksamkeit der
Lehrveranstaltung sind. Eine stellvertretende Auswahl der studentischen Rückmeldungen wird
nun wiedergegeben.
19
Der INDEXgL6 wird an der Universität Koblenz als Indikator genutzt, um Trends in der Lehrqualität zu detektieren.
Im Fachbereich 3: Mathematik/Naturwissenschaften wird der Index als Messgröße und Rangplatzangeber im
Rahmen der Lehrpreisvergabe genutzt. Neben diesem Bonus wird dieser Index auch als Malus-Vergabe benutzt.
11 Darstellung der Ergebnisse 264
Was fanden Sie besonders gut?
„Der Aufbau des Seminars war logisch und transparent und hat für mich persönlich auch Sinn
gemacht. Ich habe mir nicht einmal die Frage gestellt, ob ich das wirklich mal für meinen Beruf
brauche oder einfach nur für diese Veranstaltung lernen muss. Es war nämlich von Anfang an
klar, warum dieses Seminar so sinnvoll und wichtig für den Lehrberuf ist.“ (Autor unbekannt,
SoSe 2021)
◊
„Dass wir die Materialen von unseren Mitstudierenden einsehen und herunterladen knnen,
finde ich sehr gut und unterstützend. Auch die Rückmeldungen bezüglich unserer
Unterrichtsentwürfe durch den Dozenten und seiner Mitarbeitern empfinde ich als große
Stütze. Vielen Dank!“ (Autor unbekannt, SoSe 2021)
◊
„Aufgaben und Anforderungen ermöglichen den Erwerb von wichtigen Kompetenzen fürs
spätere Berufsleben“ (Autor unbekannt, SoSe 2021)
◊
„Zusammenspiel von Theorie (Arbeitsphase I + II) und Praxis“ (Autor unbekannt, SoSe 2022)
◊
„Fazit: aufwändiges Seminar, aber dafür sinnvoll und Praxis bezogen“ (Autor unbekannt, SoSe
2022)
◊
„-sehr engagierter, freundlicher Dozent
-sehr gut strukturiert und transparent
-steile Entwicklung der Kompetenzen in Bezug auf digitale Mathematikwerkzeuge
-praxisnah -> eines der einzigen Seminare, die wirklich viel für unser zukünftiges Berufsleben
bringen
-interessante und motivierende Gestaltung für die Studierende
-reflektierter Umgang mit der eigenen Seminarveranstaltung - keiner meiner anderen
Dozenten war bis jetzt so interessiert daran, was die Meinung von uns Studenten zum Seminar
ist und wie er die Veranstaltung für uns und unseren Lernprozess verbessern kann. Das ist
wirklich nicht selbstverständlich und eine sehr gute Einstellung!“ (Autor unbekannt, SoSe
2022)
◊
„Das Seminar war vom Anfang bis zum Ende durchgeplant. Dieser Plan gut strukturierte Plan
wurde veröffentlicht, sodass man sich gut darauf einstellen konnte, was von einem erwartet
wird. Die Dozenten waren sehr freundlich und hilfsbereit und sind individuell auf einen
eingegangen. Bisher ist dieses eins der besten Seminare für mich.“ (Autor unbekannt, SoSe
2022)
◊
„viel Arbeitszeit auch in den Seminarstunden (somit musste man nicht alles Zuhause
machen)“ (Autor unbekannt, SoSe 2022)
◊
11 Darstellung der Ergebnisse 265
„Das erlernen der Hilfsmittel im Mathematikunterricht wie GeoGebra und Excel.“ (Autor
unbekannt, WiSe 2022/2023)
◊
„Mir hat das Seminar sehr gut gefallen, da es sehr praxisorientiert war. Lediglich der Einstieg
in die digitalen Mathematikwerkzeuge ist mir etwas schwergefallen, da ich keine
Vorkenntnisse hatte, durch Feedback und Hilfe während des Seminars habe ich aber schnell
neue Fähigkeiten erworben. Herr Holzmann war außerdem immer sehr freundlich und
hilfsbereit.“ (Autor unbekannt, SoSe 2023)
◊
„Besonders gut fand ich die effektive Auseinandersetzung mit den Themen, die wir auch
später umsetzen mussten. Die Aufteilung in die verschiedenen Arbeitsphasen waren
nachvollziehbar voneinander getrennt und die Bearbeitung war durch eine sehr organisierte
und strukturierte Ordnung möglich. Die Inhalte waren angemessen für die Arbeit und eine
essentielle Voraussetzung für die weiteren Arbeitsphasen, sodass sich ein "roter Faden"
herauskristallisiert hat. Die Lehrperson war kompetent und immer bereit, Hilfe zu leisten und
auf Fragen zu antworten. Zudem waren die Seminarstunden interaktiv gestaltet, sodass
Aufgaben vorgestellt wurden und Verbesserungsvorschläge seitens der Lehrperson und den
Kommilitonen vorgeschlagen wurden. Bei der Vorbereitung der Unterrichtsstunden (Phase 3)
wurde man gut begleitet und bei Fragen wurde einem geholfen. Außerdem erhielt man ein
Feedback zu dem Unterrichtsentwurf und konnte abgesichert in die Klasse gehen.“ (Autor
unbekannt, SoSe 2023)
◊
„Ich fand es besonders gut, innerhalb dieses Seminars etwas unmittelbar Relevantes für den
späteren Beruf als Lehrkraft zu lernen (Planung von Unterricht, Erstellung von
Unterrichtsmaterial und Stundenentwürfen etc.) Insbesondere fand ich die Möglichkeit, den
geplanten Unterricht auch durchführen zu können, sehr gut, da meines Erachtens das
Lehramtsstudium an vielen anderen Stellen zu theorielastig ist.“ (Autor unbekannt, SoSe
2023)
Was fanden Sie schlecht bzw. verbesserungsfähig?
„Zu viel Arbeit mit den Unterrichtsentwürfen einer hätte gereicht, dann hätte man sich dafür
auch mehr zeit nehmen können. So entsprach das meiner Meinung nach nicht mehr dem
Umfang eines Seminars.“ (Autor unbekannt, SoSe 2021)
◊
„Etwas weniger Aufgaben in Arbeitsphase 1“ (Autor unbekannt, WiSe 2021/2022)
◊
„Das Seminar war sehr arbeitsintensiv, es wäre besser die erste Arbeitsphase zu verkürzen. Es
wäre eventuell sinnvoll gewesen, eine Unterrichtseinheit gemeinsam zu analysieren.
Ansonsten ist nichts negatives anzumerken.“ (Autor unbekannt, SoSe 2022)
◊
11 Darstellung der Ergebnisse 266
„ich habe schon sehr viel Zeit in mancherlei Aufgaben stecken müssen und wir Studenten sind
nun einmal faul :'D aber dafür haben sie uns sogar eine Verlängerung der Abgabezeit
gegeben“ (Autor unbekannt, SoSe 2022)
◊
„Schriftliche Ausarbeitungen führen zu hohem Workload (insbesondere Reflexionen und
Unterrichtsentwurf) (Autor unbekannt, SoSe 2022)
◊
„etwas mehr Hilfe auf den Arbeitsblättern der Phase 1“ (Autor unbekannt, SoSe 2023)
◊
„Vielleicht knnte man den Arbeitsumfang von Arbeitsphase 1 etwas reduzieren. Irgendwann
hat man in Excel und Geogebra einfach bekannte Arbeitsschritte wiederholt, wodurch der
Kompetenzzuwachs nicht mehr so enorm war.“ (Autor unbekannt, SoSe 2023)
◊
„Leider kann das Seminar nicht über zwei Semester laufen und man kann leider nicht geprüft
werden im Seminar mit Note, was meiner Meinung nach sinnvoller wäre als eine Klausur über
die Vorlesungen zu schreiben und darüber die Note zu bekommen. Zusammenfassend fände
ich am besten, wenn es die Möglichkeit gäbe, dieses Seminar über zwei Semster laufen zu
lassen und ebenfalls in diesem Seminar geprüft werden zu können, aus meiner Sicht schriftlich
und in der Praxis, sodass eine Gesamtnote entstehen kann und sich der Aufwand nachhaltig
lohnt. (Autor unbekannt, SoSe 2023)
Resümierend haben sich aufgrund der Rückmeldungen der Studierenden nachfolgende Aspekte
herauskristallisiert. Der Praxisbezug des Seminars und die Bedeutung der Inhalte für das spätere
Berufsleben werden hervorgehoben. Dabei wird die Möglichkeit sich digitale
Werkzeugkompetenzen anzueignen, Unterrichtsentwürfe zu erstellen und selbst Unterricht zu
erproben als besonders wertvoll empfunden. Der Austausch der Studierenden untereinander in
den Seminarsitzungen und die Möglichkeit von den ePortfolios der Seminarteilnehmer zu
profitieren, wird als gewinnbringend eingeschätzt. Ebenso, dass in den Seminarsitzungen ein
großer Teil des Workloads absolviert werden konnte, und nicht alle Arbeitsaufträge zu Hause
erledigt werden mussten. Der zeitintensive Workload, vor allem in den Arbeitsphasen 1 und 2
wurde teilweise als zu hoch empfunden, auch auf dem Hintergrund, dass es sich um ein
unbenotetes Seminar handelt. Bei der Bearbeitung der Pflichtaufgaben in Arbeitsphase 1 wurden
Redundanzen bemängelt, wenn es darum ging Bedienkompetenzen weiterzuentwickeln. Der
Wunsch dieses Seminarformat über zwei Semester durchzuführen wurde als
Verbesserungsvorschlag angebracht, um die Arbeitsphasen 1 und 2 intensiver zu gestalten.
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 267
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse
Das Ziel dieser Arbeit ist es, die Wirksamkeit einer Intervention in Form eines spezifischen
fachdidaktischen Seminars auf die Entwicklung digitaler Werkzeugkompetenzen und auf die
Veränderung technologiebezogener Überzeugungen von Mathematik-Lehramtsstudierenden zu
untersuchen. Mit den konzeptionellen, methodischen und empirischen Ausführungen und
Ergebnissen in den Hauptteilen II bis IV (Kapitel 7 bis 11) erfolgt an dieser Stelle der Bezug zu den
Forschungsfragen und Hypothesen (vgl. Kapitel 6).
Um die übergreifende Forschungsfrage Welchen Einfluss hat der Besuch eines spezifischen
fachdidaktischen Seminars auf die Werkzeugkompetenzen von Mathematik-
Lehramtsstudierenden bezogen auf die beiden Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation im
Bereich elementarer Funktionen und wie verändern sich digitale Kompetenzen,
technologiebezogene Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen zum geplanten
Lehrerverhalten nach deren Einschätzungen? beantworten zu können, werden zunächst die
thematischen Forschungsfragen analysiert und die prägnantesten Ergebnisse berichtet. Zur
Beantwortung der Forschungsfragen wurden N=55 Lehramtstudierende einem Kompetenztest
unterzogen, der in einem Prä-Post-Design die Entwicklung von Werkzeugkompetenzen gemessen
hat (vgl. Abschnitt 11.1). Die Ergebnisse werden in Kapitel 12.1 zusammengefasst, analysiert und
interpretiert. Darüberhinaus wurde die gleiche Testgruppe mit Hilfe eines quantitativen
Fragebogens zu digitalen Kompetenzen und Fähigkeiten, zu technologiebezogenen
Überzeugungen, zu Selbstwirksamkeitserwartungen und zum geplanten Lehrerverhalten befragt
(vgl. Abschnitt 11.2). Die Erkenntnisse und Analysen aus dieser Erhebung werden in Kapitel 12.2
dargestellt.
12.1 Kompetenztest
Zunächst wird der Fokus auf die beiden Teile TKP und GeoGebra des Kompetenztests gerichtet.
Auf Grundlage der Ergebnisse und zur Beantwortung von Forschungsfrage [F1] Inwieweit
beherrschen Lehramtsstudierende basale Bedienkompetenzen im Bereich elementarer
Funktionen bezogen auf GeoGebra und Tabellenkalkulation und welche Entwicklungen zeigen
sich durch den Besuch eines spezifischen fachdidaktischen Seminars? kann festgehalten werden,
dass durch den Besuch des fachdidaktischen Seminars die Bedienkompetenzen der
Lehramtsstudierenden im Bereich elementarer Funktionen bezogen auf die digitalen
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 268
Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation signifikant gesteigert werden
konnten. Für die Software GeoGebra wurde ein höherer Wert gemessen als für die
Bedienkompetenzen mit einem TKP. Eine Erklärung für die höhere Effektstärke bei GeoGebra im
Vergleich zu TKP ist vermutlich, dass GeoGebra bspw. über die Werkzeugleiste oder Eingaben im
Algebra-Fenster intuitiver zu bedienen und zu erlernen ist. Die Bedienung einer
Tabellenkalkulation erfordert zunächst verschiedene Syntax-Grundlagen (vgl. Ableitinger, 2010),
so dass die Zellen untereinander über eingegebene Formeln, Zellbezüge oder den
Funktionsassistenten kommunizieren können.
Mit dem dritten Teil des Kompetenztestes (Didaktik) sind die Forschungsfragen [F2] bis [F4]
verbunden. Mit Bezug zu Forschungsfrage [F2] Welches digitale Mathematikwerkzeug
(GeoGebra oder Tabellenkalkulation) wird von Lehramtsstudierenden bei Aufgaben, die von
Schülern im Bereich elementarer Funktionen prozedural bearbeitet werden, bevorzugt? haben die
Forschungsergebnisse gezeigt, dass das DMW GeoGebra im Vergleich zur Tabellenkalkulation das
deutlich präferierte Werkzeug als Unterstützung von Aufgaben im Kontext elementarer
Funktionen ist. Obwohl auch beim DMW Tabellenkalkulation ein messbarer Effekt beim Zuwachs
der Bedienkompetenzen zu verzeichnen ist, scheint dieses Werkzeug für die Probanden lediglich
eine Ergänzung zu GeoGebra zu sein. Eine mögliche Erklärung liegt in der Eigenschaft von
GeoGebra als Multirepräsentationswerkzeug (z.B. Barzel et al., 2005). GeoGebra vereint
verschiedene Anwendungen, wie auch eine Tabellenkalkulation, in einem System. Der
vorteilhafte Aspekt der Visualisierung von Funktionsgraphen, der von nahezu allen Probanden
im Didaktik-Teil des Kompetenztestes genannt wurde, ist ein weiteres Argument für den
präferierten Einsatz von GeoGebra gegenüber einer Tabellenkalkulation im Kontext elementarer
Funktionen. Nur mit einer Eingabe der Funktionsgleichung im Algebra-Fenster wird der
entsprechende Graph angezeigt, während in einer Tabellenkalkulation ein umständlicher Weg
über eine Wertetabelle genommen werden muss.
Die digitalen Unterstützungen Funktionsgraph und Wertetabelle können mit beiden DMW
umgesetzt werden, wenn basale Bedienkompetenzen der jeweiligen Software beherrscht
werden. Nach Vorlage einer typischen Schulbuchaufgabe mit entsprechender prozedural
abgearbeiteter Lösung sollten die Studierenden digitale Unterstützungen mit GeoGebra und
einer Tabellenkalkulation angeben. Die Beantwortung der Forschungsfrage [F3] Welche digitale
Unterstützungen mit GeoGebra und Tabellenkalkulation nennen Lehramtsstudierende vor und
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 269
nach Besuch eines spezifischen fachdidaktischen Seminars bei Aufgaben, die von Schülern im
Bereich elementarer Funktionen prozedural bearbeitet werden? hat zu folgenden Erkenntnissen
geführt.
Das Erstellen von Graphen mit GeoGebra (visuelle Unterstützung) wurde als häufigste
Möglichkeit bei prozedural abgearbeiteten Aufgaben genannt, das Verständnis im Kontext von
Funktionen zu fördern. Das relativ ungenaue Ablesen eines Schnittpunkts von Graphen im Grafik-
Fenster geht im Prä-Post-Vergleich zurück, während die Möglichkeit diesen mit der
Werkzeugleiste exakt zu bestimmen, gestiegen ist. Diese tendenzielle Veränderung ist vermutlich
auf die Tatsache zurückzuführen, dass Bedienkompetenzen während des Seminars erlernt
wurden und die Auswahlmöglichkeiten (vgl. Heintz et al., 2017) von sinnvollen digitalen
Unterstützungen erweitert wurden, und damit besser für eine sinnvolle digitale Unterstützung
reflektiert werden konnten. Das Erstellen einer Wertetabelle mit GeoGebra als digitale
Unterstützung spielt, vermutlich wegen der Dominanz der Repräsentation Graph, keine
besondere Rolle. Für das DMW Tabellenkalkulation zeigt sich ein ähnliches Bild. Die Entwicklung
der Bedienkompetenzen bei TKP resultieren in einer entsprechenden Reflexion über sinnvolle
digitale Unterstützungen. Die relativen Häufigkeiten für das Erstellen von Wertetabellen und
deren Vergleich, um die Koordinaten eines Schnittpunktes zu bestimmen und das Erstellen von
(X,Y)-Diagrammen mit entsprechendem graphischem Lösen sind im Prä-Post-Vergleich
signifikant gestiegen.
Die Forschungsfrage [F4] Welche Vor- und Nachteile sehen Lehramtsstudierende beim Einsatz von
GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen? wurde unter Anwendung
einer qualitativen Inhaltsanalyse mit quantitativen Analyseschritten verknüpft (vgl. Mayring,
2022). Die Hauptkategorien Vorteile von DMW und Nachteile von DMW wurden mit deduktiven
und induktiven Subkategorien ausgewertet. Unter Berücksichtigung verschiedener
qualitätssichernder Gütekriterien wie bspw. die Intercoderreliabilität (vgl. Abschnitt 10.2) haben
die Erkenntnisse und deren Interpretationen Substanz, auch wenn keine Allgemeingültigkeit
aufgrund des subjektiven Charakters qualitativer Forschung angenommen werden kann. Unter
den theoriegeleiteten Subkategorien wird in erster Linie die Visualisierungsfunktion, die
Kontrollfunktion und eine Zeitersparnis durch schnelle Verfügbarkeit von Repräsentationen als
vorteilhaft erachtet. Von den neun deduktiv herausgearbeiteten Subkategorien wurden die
beiden Kategorien Dynamische Verknüpfung von Repräsentationen und Reduktion der
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 270
Arbeitsgedächtnisbelastung weder bei der Prä- noch bei der Posterhebung von den Studierenden
genannt. Ein Erklärungsansatz für die Kategorie Dynamische Verknüpfung von Repräsentationen
könnte so begründet werden. Der Vorteil Parallele Anzeige von Repräsentationen wurde von den
Probanden erkannt, bei der Post-Erhebung noch häufiger als beim Prä-Test. Möglicherweise
wurde daher nicht der Mehrwert einer dynamischen Verknüpfung bei den vorgelegten Didaktik-
Aufgaben D1 und D2 in Betracht gezogen. Eine weitere Ursache könnte in der Konzeption des
Aufgabenkatalogs der Arbeitsphase 1 liegen. Obwohl die Aufgaben den Anspruch haben, die in
Unterabschnitt 3.5.2 beschriebenen Potentiale des Einsatzes von digitalen
Mathematikwerkzeugen einzubeziehen, wäre es möglich, dass der Vorteil einer dynamischen
Verknüpfung von Repräsentationen, wie bspw. in den Aufgaben ExpoFu1 und ExpoFu3 (vgl.
Anhang 17.5) beabsichtigt, nicht prägnant transportiert wurde. Ergänzende Teilaufgaben hätten
hier möglicherweise geholfen (Für ExpoFu1 → Geben Sie für die Parameter und außer den
Werten und noch weitere Werte ein und beobachten Sie die Veränderungen in
der Wertetabelle und im Diagramm. Für ExpoFu3 → Geben Sie für die Eingangsgrößen Darlehen,
Monatsrate und Zinssatz andere Werte ein und beobachten Sie die Veränderungen im
Tilgungsplan.).
Die Kategorie Reduktion der Arbeitsgedächtnisbelastung ist in der Wahrnehmung der
Studierenden möglicherweise relativ nah an der Kategorie Auslagerungsprinzip/Entlastung von
Kalkül. Meint die erstgenannte Kategorie, dass die Belastung des Arbeitsgedächtnisses bei
komplexen Problemstellungen mit einem digitalen Mathematikwerkzeug als Denkzeug (vgl.
Dörfler, 1991) reduziert wird und es zu einem verteilten Denken kommt (vgl. Vollrath & Roth,
2012), beschreibt die zweitgenannte Kategorie den Umstand, dass aufwändige, repetative und
kalküllastige Rechenoperationen an ein DMW ausgelagert werden (vgl. Thurm, 2020).
Die induktiven Subkategorien haben Erkenntnisse hervorgebracht, die auch für zukünftige Lern-
und Forschungsanlässe interessant sein könnten. Am häufigsten wurde hier die Förderung von
digitalen Kompetenzen genannt. Ebenso plädieren die Studierenden dafür, dass die Verwendung
von DMW das Interesse, die Motivation und den Spaß am Mathematikunterricht bei Lernenden
fördern kann. Außerdem wird die Kombination aus händischen Aktivitäten, die mit DMW ergänzt
werden, als gewinnbringend angesehen, da mit verschiedenen Zugängen höhere Lernerfolge
erzielt werden können.
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 271
Bei der Hauptkategorie Nachteile von DMW zeigt sich, dass am häufigsten eine Gefahr für
händische Rechenverfahren gesehen wird. Diese Tendenz wurde beim zweiten Messzeitpunkt
noch leicht verstärkt. Die Befürchtung, dass die Benutzung der DMW einen hohen Zeitaufwand
bei fehlenden Vorkenntnissen bedeutet, hat nach der Seminarteilnahme noch zugenommen. Die
Bedenken, dass DMW eine Gefahr für Denken und Verstehen darstellen oder dass Lernende
unreflektiert mit DMW arbeiten, wurden jedoch im Prä-Post-Vergleich entkräftet.
Außer den theoriebasierten Nachteilen wird angenommen, dass die Motivation für händische
Rechenverfahren durch DMW sinken könnte, da Lösungen mit DMW bequem und schnell
generiert werden können und so die Notwendigkeit von händischen Rechenverfahren nicht mehr
gegeben sei.
Interessant ist der Zusammenhang der beiden Kategorien bezogen auf den Faktor Zeit. Einerseits
sehen die Lehramtsstudierenden eine Zeitersparnis durch die schnelle Verfügbarkeit von
Darstellungsformen, andererseits einen sehr hohen Zeitaufwand, wenn die Bedienkompetenzen
nicht vorhanden sind. Diese ambivalente Einschätzung deckt sich bspw. mit den empirischen
Befunden von Thurm (vgl. Thurm 2017; Thurm 2020). Der Vorteil der Zeitersparnis kann sich erst
dann ergeben, wenn Lehrkräfte regelmäßig digitale Mathematikwerkzeuge in ihrem Unterricht
integrieren. Je früher mit der Einführung von Werkzeugen in regelmäßigen Lerngelegenheiten
begonnen wird, desto eher wird die effektive und ökonomische Bedienung eines Werkzeugs für
die Schüler zur Gewohnheit. Sind jedoch die Werkzeugkompetenzen (vgl. Heintz et al., 2017)
nicht ausgeprägt, wird der Faktor Zeit zu einem Nachteil, der möglicherweise eine unproduktiv
genutzte Unterrichtszeit nach sich zieht.
12.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung
Der vorliegende Fragebogen setzt sich aus vorhandenen Skalen zusammen, die in anderen
Forschungskontexten verwendet wurden (vgl. Abschnitt 9.2). Mit diesem Erhebungsinstrument
wurden die Selbsteinschätzungen der Studierenden zu digitalen Kompetenzen und Fähigkeiten,
zu technologiebezogenen Überzeugungen, zu Selbstwirksamkeitserwartungen und zum
geplanten Lehrerverhalten abgefragt. Eine Reliabilitätsprüfung (vgl. Unterabschnitt 9.2.2) des in
dieser Studie eingesetzten Fragebogens hat die prinzipielle Eignung der verschiedenen Skalen
aus ihren jeweiligen Kontexten bestätigt. Mit Werten für Cronbachs Alpha von sind alle
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 272
Skalen mindestens im akzeptablen, die meisten sogar im guten oder exzellenten Bereich (vgl.
Blanz, 2015).
Die Ergebnisse und Erkenntnisse, die für zahlreiche nationale und internationale Studien zur
professionellen Kompetenzentwicklung während Theorie-Praxis-Formaten vorliegen (z.B. Ball &
Cohen, 1999; Hascher & Zordo, 2015; Levine, 2006; Neuweg, 2016), können durch die
Einschätzungen der Studierenden überwiegend bestätigt werden. Es ist zu vermuten, dass die
Anreicherung des fachdidaktischen Seminars mit den Praxiselementen Bedienkompetenzen
DMW (AP1), Unterrichtsplanung (AP2) und Unterrichtserprobung (AP3) dazu beitragen, dass sich
die Einschätzungen und Überzeugungen der Studierenden geändert haben.
Die Kompetenzen und Fähigkeiten in Bezug auf digitale Technologien in den drei Facetten des
TPACK-Modells (TK, TPK und TCK) wurden nach dem Besuch des fachdidaktischen Seminars
deutlich höher eingeschätzt. Die Skala F2. Technological Pedagogical Knowledge (TPK) ist mit
einem Koeffizienten von d=1.16 besonders aussagekräftig. Es ist davon auszugehen, dass die AP3
einen besonderen Einfluss auf Praxis-Aspekte wie Unterrichtsmethodik und -gestaltung mit
DMW oder die Anleitung von Lernenden mit digitalen Mathematikwerkzeugen im Unterricht zu
arbeiten und diese sinnvoll einzusetzen, hatte.
Zur Untersuchung der technologiebezogenen Überzeugungen wurden acht Skalen aus einer
Studie zu grafikfähigen Taschenrechnern adaptiert, in der Lehrkräfte befragt wurden (vgl. Thurm,
2020; Thurm et al., 2017). Die Veränderungen, die bei der Stichprobe mit den Studierenden
gemessen wurden, sind sehr heterogen. Für die Skalen Auslagerungsprinzip (G1), Entdeckendes
Lernen (I1) und Einstellung zu Technologie (L1) wurde eine statistisch signifikante Veränderung
mit mittleren Effekten gemessen. Im Gegensatz dazu konnten für die Skalen
Repräsentationswechsel (H1), Gefahr für händisches Rechnen (J1), Unreflektiertes Arbeiten (K1),
Zeitaufwand (M1) und Erst Mathematik, dann DMW (M2) keine signifikanten Veränderungen im
Prä-Post-Vergleich festgestellt werden. Hier kann man an die Frage anknüpfen, ob sich ein
Messinstrument, welches für Lehrkräfte eingesetzt wurde, auch für Lehramtsstudierende eignet
(vgl. Kuntze, 2011; Thurm, 2017). Schaut man sich die nicht signifikanten Skalenergebnisse auf
diesem Hintergrund an, kann folgender Erklärungsansatz als Interpretation angeführt werden.
Die fünf Skalen H1, J1, K1, M1 und M2 adressieren allesamt Inhalte, die aufgrund der Erfahrung
von Lehrkräften mit Schülern und Unterricht besser einzuschätzen sind, als von
Lehramtsstudierenden im Bachelor-Studium, die noch am Beginn ihrer Ausbildung stehen, trotz
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 273
der gesammelten Erfahrungen in der Unterrichtspraxis (AP3). Die Skalen implizieren einen
gewissen zeitlichen Horizont, langfristige Beobachtungen von Lerngruppen und einen
differenzierten Blick auf die Handlungen, die mit digitalen Mathematikwerkzeugen durchgeführt
werden. Die Skalen Auslagerungsprinzip und das Entdeckende Lernen sind Vorteile beim Einsatz
von digitalen Mathematikwerkzeugen, die weitesgehend unabhängig von der unterrichtlichen
Lehrerfahrung sind. Um eine positivere Einstellung zum Technologieeinsatz zu bekommen reicht
es vermutlich aus sich in Lernanlässen mit den Werkzeugen zu beschäftigen (AP1 & AP2), die in
keinem direkten Zusammenhang mit Unterrichtserprobungen stehen.
Die Skala N1 bezieht sich auf Selbstwirksamkeitsüberzeugungen der Studierenden zu Tätigkeiten
im Bereich Aufgaben und Unterricht, die mit dem Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
verbunden sind. Für den Bereich Aufgaben umfassen diese Tätigkeiten das Umwandeln von
analogen Schulbuchaufgaben in digitale Formate, die Reflexion über geeignete und ungeeignete
Aufgaben für den Einsatz von DMW und die Entwicklung von eigenen Aufgaben, die mit DMW
bearbeitet werden. Im Bereich Unterricht sollten die Studierenden einschätzen, ob sie sich in der
lage fühlen Unterrichtsprozesse mit DMW zu gestalten, die das entdeckende Lernen fördern, die
den Vorteil der graphischen Visualisierung ausnutzen, die den Zusammenhang zwischen den
Repräsentationen Funktionsgraph, Wertetabelle und Funktionsgleichung fördern und den
vielseitigen Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen berücksichtigen. Für beide Bereiche
brachte die Studie starke Effekte (vgl. Cohen, 1992) hervor. Offensichtlich sind die zuvor
genannten Handlungen der Skala N1 den Handlungen der Arbeitsphasen 1 und 2 zuzuordnen.
Mutmaßlich haben die beiden Praxiselemente einen Einfluss auf die
Selbstwirksamkeitsüberzeugungen der Studierenden.
In der letzten Kategorie des Fragebogens wurden die Einschätzungen zum Geplanten
Lehrerverhalten (N2) erhoben, welches mit dem Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge
verknüpft ist. Bei der Skala Einstellung konnte bei gegebenr Signifikanz ein mittlerer Effekt mit
der Einordnung nach Cohen (1992) nachgewiesen werden. Die Einstellung der Studierenden zu
DMW hat sich durch den Seminarbesuch positiv verändert bzw. verstärkt. So sind sie der
Meinung, dass DMW in der heutigen Bildungsgesellschaft essentiell sind und das Potential haben
die Unterrichtsqualität zu verbessern. Es ist für die angehenden Lehrkräfte wichtig, dass ihre
zukünftigen Schüler die notwendigen Werkzeugkompetenzen durch den Einsatz von DMW im
Mathematikunterricht aufbauen.
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 274
Für die beiden Skalen Verhaltenskontrolle und subjektive Norm konnten keine signifikanten
Unterschiede im Prä-Post-Vergleich gezeigt werden. Die einzelnen Items bedienen hypothetische
Formulierungen und zukunftsgewandte Themen, so dass die Beantwortung der Items den
Studierenden vermutlich schwergefallen ist bzw. häufig mit Kann ich nicht beantworten belegt
wurde. Die deskriptive Statistik mit einer reduzierten Anzahl von Freiheitsgraden in der Kategorie
subjektive Norm (vgl. Unterabschnitt 11.2.7, Tab. 61) untermauert diese Annahme.
Die unfreiwillig inkonsistente Gestaltung der Arbeitsphase 3 des fachdidaktischen Seminars
wurde zum Anlass genommen, einen differenzierten Blick auf die Zielpopulation von 55
Studierenden zu werfen. Es wurde angenommen, dass die realen Unterrichtserfahrungen an den
Kooperationsschulen der EVU-Gruppe mit 30 Studierenden im Vergleich zu den 25 Studierenden
der Peer-Gruppe einen Einfluss auf die Selbsteinschätzungen der Studierenden zu digitalen
Kompetenzen und Fähigkeiten, zu technologiebezogenen Überzeugungen, zu
Selbstwirksamkeitserwartungen und zum geplanten Lehrerverhalten haben (vgl. Forschungs-
frage [F6]). Aufgrund der relativ kleinen Stichproben mit N=30 (EVU) bzw. N=25 (Peer) muss
jedoch beachtet werden, dass mit einer zunehmenden Wahrscheinlichkeit ungenaue oder
verzerrte Ergebnisse entstehen (Raab-Steiner & Benesch, 2015). Die digitalen Kompetenzen und
Fähigkeiten (TPACK) wurden von den Studierenden in beiden Gruppen, auch im Vergleich zur
Zielpopulation ähnlich eingeschätzt, so dass hier aufgrund der verschiedenen
Unterrichtserfahrungen kein Unterschied festgestellt werden kann.
Für die Skalen, die die technologiebezogenen Überzeugungen abdecken, haben sich die
Einschätzungen der beiden Quotenstichproben bei den Skalen I1, J1, und M2 im Vergleich zur
Gesamtstichprobe nicht bemerkbar gemacht. Für die Skala G1. Auslagerungsprinzip können
unterschiedliche Effekte bei gegebener Signifikanz beobachtet werden. Wurde für die
Zielpopulation mit dTotal=0.62 ein mittlerer Effekt berechnet, hat sich für die Peer-Gruppe mit
dPeer=0.84 ein starker und für die EVU-Gruppe (dEVU=0.45) ein kleiner Effekt herauskristallisiert.
Der theoretische Anspruch, dass digitale Mathematikwerkzeuge das Potential haben Schüler von
aufwändigen kalküllastigen Rechnungen und Algorithmen zu entlasten (z.B. Heintz et al., 2017;
Reiss, 2020; Weigand & Weth, 2002), um damit wertvolle Unterrichtsszeit einzusparen (bspw.
zum Begründen oder zum Problemlösen) überwiegt vermutlich in den Einschätzungen der Peer-
Gruppe. Mit Blick auf die durchgeführten Unterrichtsstunden wurden von der EVU-Gruppe keine
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 275
Erfahrungen zum Auslagerungsprinzip gesammelt, so dass sich die Einschätzungen zu diesem
vorteilhaften DMW-Einsatz abgeschwächt haben.
Für die Skala H1. Repräsentationswechsel zeigt sich ein interessanter Vergleich. Für die
Gesamtstichprobe (N=55) und die EVU-Gruppe sind keine signifikanten Effekte messbar,
während sich bei der Peer-Gruppe (dPeer=0.54, p=0.014) ein mittlerer Effekt nachweisen lässt.
Wenn es darum geht, ob Schüler mit digitalen Mathematikwerkzeugen unreflektiert arbeiten
(Skala K1.), scheint es einen Zusammenhang mit den gemachten Erfahrungen während der
Schulpraxis zu geben. Die Befürchtungen, dass Schüler weniger nachdenken, sich blind und
unkritisch auf die DMW verlassen und daher unreflektiert arbeiten, wurden in der EVU-Gruppe
in der Post-Erhebung weniger stark eingeschätzt. Die Einstellung zu Technologie hat sich durch
den Seminarbesuch bei den Teilnehmern positiv verändert. Es macht den Studierenden
zunehmend mehr Freude mit digitalen Mathematikwerkzeugen zu arbeiten und sie setzen diese
auch häufiger ein. Die EVU-Gruppe verzeichnet dabei einen höheren Effekt als die Peer-Gruppe
(dEVU=0.72; dPeer=0.52). Es ist anzunehmen, dass die positiven Erfahrungen mit den Schülern und
deren Umgang mit DMW sowie die damit verbundenen Erfolgserlebnisse beim Unterrichten
diesen Effekt noch verstärkt haben. Die Befürchtungen, dass durch DMW wertvolle
Unterrichtszeit verloren ginge und man daher auf deren Einsatz verzichten solle (Skala M1.)
wurde für die Zielpopulation nicht nachgewiesen. Werden die Einschätzungen nach den
Quotenstichproben differenziert, kann für die Peer-Gruppe ein mittlerer Effekt mit dPeer=0.51
signifikant gezeigt werden, während die EVU-Gruppe im Prä-Post-Vergleich keine signifikanten
Veränderungen hervorbringt. Eine mögliche Erklärung für diese Tendenz könnte sein, dass die
heterogenen Kompetenzen der Schüler in den Unterrichtserprobungen den Eindruck geringfügig
verändert haben, da sich bei mangelnden Werkzeugkompetenzen der Zeitaufwand erhöht. In
vielen Schulklassen, die von den Studierenden unterrichtet wurden, mussten die DMW
GeoGebra bzw. Tabellenkalkulation eingeführt werden, so dass eine zusätzliche Herausforderung
neben den Anforderungen des Mathematikunterrichtes gegeben war (vgl. Thurm et al., 2017).
Erläuterungen zur Bedienung durch die Lehrkraft oder eine Eingewöhnungsphase sind nötig, bis
ein zielführender und ökonomischer Einsatz erreicht werden kann. Alle Schulklassen im Projekt
wurden von den Lehramtsstudierenden in Unterrichtsreihen zwischen zwei und sechs Stunden
unterrichtet, so dass sich ein ökonomischer Einsatz, der eine Zeitersparnis bringt, nur schwer
erreichen ließ.
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 276
Die Skalen N1.(A) und N1.(U) beschreiben die Selbstwirksamkeitserwartungen beim Umwandeln,
Aussuchen und bei der eigenen Entwicklung von Aufgaben mit DMW sowie die Gestaltung und
Konzeption von Unterrichtsstunden mit DMW. Für alle drei Gruppen (EVU, Peer, Total) können
ähnlich starke Effekte verzeichnet werden. Die Vermutung liegt nahe liegt, dass diese starken
Effekte in erster Linie auf die Arbeitsphasen 1 und 2 zurückzuführen sind, da in diesen
Arbeitsphasen die zuvor genannten Aspekte thematisiert wurden. Die differierenden
Unterrichtserfahrungen in AP3 scheinen keinen Unterschied in den Wahrnehmungen
herbeigeführt zu haben. Es ist sogar eher davon auszugehen, wie Bandura (1997) in seinen
Studien belegen konnte (vgl. Abschnitt 5.5), dass die direkten und persönlichen Erfahrungen
(EVU) und die stellvertretenden Erfahrungen im Modelllernen (Peer) einen vergleichbaren
Einfluss auf die Selbstwirksamkeitsüberzeugungen haben. Werden beide Erfahrungsszenarien
erfolgreich gestaltet, ist es sehr wahrscheinlich, dass auch in zukünftigen realen Settings die
jeweiligen Anforderungen erfolgreich bewältigt werden.
Innerhalb der Skalen zum geplanten Lehreverhalten (N2.) wird abschließend nur die Skala zur
N2.(E) Einstellung näher beleuchtet, Die Skalen N2.(V) und N2.(S) zeigen keine auffälligen
Unterschiede in den statistischen Testparametern. Während für die Zielpopulation der Skala
N2.(E) mit dTotal=0.54 ein mittlerer Effekt berechnet wurde, hat sich dieser für die Peer-Gruppe
mit dPeer=0.70 noch verstärkt, aber für die EVU-Gruppe (dEVU=0.45) verkleinert. Die Erfahrungen,
die mit realen Schulklassen gemacht wurden, haben die Einschätzungen gedämpft. Hier klafft
möglicherweise der Unterschied zwischen Theorie (u.a. Verbesserung der Qualität des
Mathematiklernens durch DMW) und erlebter Praxis auseinander.
Zusammenfassend kann konstatiert werden, dass die Seminarintervention eine wirksame
Veränderung auf die Bedien-, Auswahl und Reflexionskompetenzen (z.B. Heintz et al. 2017) der
Studierenden im Bereich elementarer Funktionen herbeigeführt hat. Die Gestaltung der
Seminarinhalte verbunden mit den empirischen Ergebnissen des Kompetenztestes zeigen, dass
die Studierenden für den Einsatz der DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation mit ihren
Potentialen und Herausforderungen sensibilisiert wurden, und sie in der Lage sind den
didaktischen Mehrwert des Einsatzes von digitalen Mathematikwerkzeugen in Lehr-Lern-
Situationen zu nutzen. Die Erkenntnisse aus der Studierenden-Befragung untermauern diesen
Eindruck. Die Kompetenzen und Fähigkeiten bezogen auf das TPACK-Modell konnten nach deren
Einschätzungen signifikant gesteigert werden. Die Einstellung zum Einsatz von Technologie hat
12 Zusammenfassung und Diskussion der Ergebnisse 277
sich pro digitale Mathematikwerkzeuge entwickelt. Es hat sich die Überzeugung ausgeprägt, dass
das entdeckende Lernen mit DMW gefördert werden kann und dass das Auslagern von
kalküllastigen Berechnungen an DMW eine sinnvolle Unterstützung beim Erlernen von
Mathematik ist. Die Selbstwirksamkeitsüberzeugungen beim Erstellen von digitalen Lehr-Lern-
Materialien und deren Einbindung in eine sinnvolle Unterrichtsgestaltung im Kontext digitaler
Mathematikwerkzeuge wurden von den Studierenden nach dem Besuch des fachdidaktischen
Seminars deutlich höher bewertet.
Die Anreicherung mit Praxiselementen (Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen,
Unterrichtsplanung und Unterrichtserprobung in realen Schulklassen oder in Peer-Teaching-
Formaten) in einem Lehr-Lern-Labor (z.B. Brüning, 2018; Priemer & Roth, 2020) hat sich als
gewinnbringend herausgestellt, wenn es darum geht das Lehrer-Professionswissen für das
zukünftige Berufsfeld zu verbessern (vgl. Hascher, 2006). Die Wichtigkeit und Effektivität von
Theorie-Praxis-Verknüpfungen für die Ausbildung von Lehrkräften, die bereits in zahlreichen
Studien herausgestellt wurde (z.B. Ball & Cohen, 1999; Hascher & Zordo, 2015; Levine, 2006;
Neuweg, 2016) konnte durch das Teilprojekt Digitale Forschungswerkstatt Multiple
Repräsentationen im Mathematikunterricht innerhalb des QLB-Projekt MoSAiK untermauert
werden.
V Fazit 278
V Fazit
Die Kapitel 13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen, 14 Reflexion zum
methodischen Vorgehen und 15 Ausblick bilden den letzten Hauptteil dieser Arbeit. Die
Forschungsergebnisse anhand des Kompetenztestes und des Fragebogens zur
Selbsteinschätzung (vgl. Kapitel 11 & 12) haben die Wirksamkeit der durchgeführten
Seminarintervention auf die Entwicklung digitaler Werkzeugkompetenten,
technologiebezogener Überzeugungen sowie Selbswirksamkeitserwartungen angehender
Lehrkräfte gezeigt. Daraus lassen sich Anhaltspunkte und Anregungen für die univsersitäre
Ausbildungphase angehender Mathematiklehrkräfte ableiten.
Aufbauend darauf werden daher in Kapitel 13 Schlussfolgerungen gezogen, wie die notwendigen
professionsbezogenen Kompetenzen für den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen im
Unterricht im Lauf einer Bildungskarriere angebahnt werden können. Anhand eines
Wirkungsgefüges (Eigene Schulzeit – erste Phase – zweite Phase – dritte Phase) unter besonderer
Berücksichtigung der ersten Ausbildungsphase werden – den bildungspolitischen Forderungen
der Kultusministerkonferenz der letzten gut zwei Jahrzehnte folgend - Forderungen und
Vorschläge für curriclar verankerte Lehrveransatltungen mit Theorie-Praxis-Bezug für das digitale
Lehrer-Professionswissen formuliert.
Anschließend wird das methodische Vorgehen in Kapitel 14 reflektiert. Dabei werden zusätzlich
zu den gelungenen Aspekten der durchgeführten Studie limitierende Elemente erörtert und
Grenzen der Studie aufgezeigt.
Der abschließende Ausblick in Kapitel 15 gibt einen Überblick zu weiteren Aspekten, die mit
dieser Studie aufgeworfen wurden, aber nicht realisiert werden konnten. Dabei werden
Potentiale aufgezeigt, wie die methodische Vorgehensweise der vorliegenden Studie, der
Kompetenztest und die hochschuldidaktische Konzeption und Realisierung eines Lehr-Lern-
Labors mit entsprechendem Begleitseminar in weiterführenden Studien aufgegriffen werden
könnten.
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen 279
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen
„DT zeigen in besonderer Weise
–
aufgrund ihres schnellen Wandels
–
die Notwendigkeit eines lebenslangen Lernens und Fortbildens der Lehrkräfte und
damit eines grundlegenden Konzepts der Lehreraus- und -weiterbildung.“
_____________________________________________________________
(Schmidt-Thieme & Weigand, 2015, S. 485)
Der Erwerb von berufsbezogenen digitalen Kompetenzen ist unerlässlich, um dem
Anforderungsprofil einer Lehrkraft im 21. Jahrhundert, welches immer mehr von Technologie
und digitalen Transformationsprozessen beeinflusst wird, zu genügen. Dieser Erwerb ist aber
kein singuläres Ereignis, sondern ein lebenslanges Lernen und Fortbilden einer Lehrkraft im
Kontext digitaler Technologien (DT), wie es Schmidt-Thieme & Weigand (2015) beschrieben
haben. Dazu gehört auch der Aufbau von Kompetenzen im Bereich digitaler
Mathematikwerkzeuge. Im Rahmen dieser Arbeit ist durch eigene Forschungsaktivitäten bzw.
Sichtung und Recherche relevanter Literatur ein Wirkungsgefüge entstanden (vgl. Abb. 73), dass
ein vernetztes und zirkuläres System aus Etappen und Übergängen beim Aufbau von digitalen
Werkzeugkompetenzen beschreibt.
Abb. 73: Wirkungsgefüge zum Erwerb digitaler Werkzeugkompetenzen
Quelle: Eigene Darstellung
Für die Bildungskarriere einer angehenden Lehrkraft ergeben sich im Wesentlichen vier Etappen.
Die langfristige, lebenslange Aufgabe, die bereits in der eigenen Schulzeit beginnen sollte, setzt
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen 280
sich über die erste und zweite Phase der Lehrerausbildung bis hin zum Schuldienst (dritte Phase)
fort. Sowohl in der eigenen Schulzeit als auch in der sich anschließenden dreigliedrigen
Lehreraus- bzw. fortbildung bestehend aus erster Phase (Studium), zweiter Phase
(Vorbereitungsdienst) und dritter Phase (Schuldienst) können Aspekte des digitalen Lehrer-
Professionswissens in entsprechenden Lerngelegenheiten realisiert werden, die nachfolgend
weiter erläutert werden.
Die Forschungsergebnisse dieser Arbeit haben gezeigt, dass angehende Lehrkräfte über
heterogene Kompetenzniveaus verfügen, wenn es um die Bedienung der beiden digitalen
Mathematikwerkzeuge
20
GeoGebra und Tabellenkalkulation geht. Es ist anzunehmen, dass die
eigene Schulzeit im Wesentlichen der Lernort ist, wo mathematikspezifische
Werkzeugkompetenzen und allgemeine digitale Kompetenzen (vgl. KMK, DigCompEdu)
aufgebaut werden. Auf die eigene Schulzeit bezogen, sollten die dort verantwortlichen
Lehrkräfte den bildungspolitischen Empfehlungen, die in diversen Beschlüssen und Strategien
der KMK (z.B. KMK, 2004; KMK, 2012; KMK 2016; KMK 2021; KMK 2022) den Erwerb von
fachunspezifischen als auch fachspezifischen digitalen Kompetenzen gewährleisten.
Die Kluft zwischen Anspruch und Wirklichkeit kann ausgehend von der Stichprobe dieser Studie
aufgezeigt werden. So wünschten sich die Studierenden ein breiteres Spektrum an eingesetzten
DMW bzw. dass diese häufiger, intensiver und regelmäßiger in ihren Schulunterricht integriert
worden wären. Der Ruf nach kompetenteren Lehrkräften, gerade bei der Einführung und
Demonstration neuer Werkzeuge, wurde laut.
Für die erste Phase der Lehramtsausbildung wäre es erstrebenswert, wenn an bestehende
Kompetenzen angeknüpft werden könnte, um nicht die grundlegenden Bedienkompetenzen in
fachdidaktischen Lehrveranstaltungen übermäßig fokussieren zu müssen.
Mit dem Studium an einer Universität sollten Absolventen über ein anschlussfähiges
mathematisches und mathematikdidaktisches Wissen verfügen, mit dem Lern- und
Bildungsprozesse unter Berücksichtigung von fachlichen und methodischen Entwicklungen
gestaltet werden können (vgl. KMK, 2008). Grundlegende professionsbezogene Kompetenzen
(Fachwissenschaft, Erkenntnis- und Arbeitsmethoden, fachdidaktische Anforderungen) werden
propädeutich für den späteren Beruf aufgebaut.
20
Fortan soll der Begriff digitale Mathematikwerkzeuge als Oberbegriff für alle Werkzeuge gelten, die im
Mathematikunterricht verwendet werden (vgl. Abschnitt 3.1).
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen 281
Mit Fokus auf die digitalen Kompetenzen wird im fachspezifischen Kompetenzprofil der KMK für
Studienabsolventen folgendes gefordert:
„Sie sind in der Lage, Entwicklungen im Bereich Digitalisierung aus fachlicher und
fachdidaktischer Sicht angemessen zu rezipieren sowie Möglichkeiten und Grenzen der
Digitalisierung kritisch zu reflektieren. Sie können die daraus gewonnenen Erkenntnisse in
fachdidaktischen Kontexten nutzen sowie in die Weiterentwicklung unterrichtlicher und
curricularer Konzepte einbringen. Sie sind sensibilisiert für die Chancen digitaler Lernmedien
hinsichtlich Barrierefreiheit und nutzen digitale Medien auch zur Differenzierung und
individuellen Förderung im Unterricht.“ (KMK, 2008, S. 38)
Dieser Forderung nach einem angemessenen Rezipieren von Entwicklungen im Bereich
Digitalisierung, einer kritischen Reflexion von Grenzen und Möglichkeiten der Digitalisierung bei
der Weiterentwicklung von Unterrichtskonzepten kann in entsprechenden curricular
verankerten Lehrveranstaltungen entsprochen werden. Erste Praxiserfahrungen können die
Studierenden in den studienbegleitenden Praktika erwerben. Hier bieten sich in der
Unterrichtspraxis Anlässe, entweder intrinsisch motiviert oder von den betreuenden Praktikums-
Lehrkräften gefordert, Erfahrungen mit DMW in Lehr-Lern-Prozessen zu sammeln.
Die Ergebnisse der Fragebogenerhebung haben ein heterogenes Bild bestätigt, was das
Vorwissen und die Erfahrungen der Lehramtsstudierenden mit den digitalen
Mathematikwerkzeugen Tabellenkalkulation und GeoGebra aus der eigenen Schulzeit, während
Praktika oder während des Einsatzes als Vertretungslehrkraft betrifft. Daher ist es nicht
verwunderlich, dass die geschlossene Frage des Fragebogens Finden Sie, dass das Thema digitale
Mathematikwerkzeuge im Kontext einer universitären Lehrveranstaltung bearbeitet werden
sollte? von allen 55 Probanden bejaht wurde. Es herrscht in der mathematikdidaktischen
Forschung inzwischen breiter Konsens darüber, dass digitale Mathematikwerkzeuge ein großes
Potential haben, Mathematik durch deren Einsatz im Unterricht besser verstehen zu können.
Damit dieses Potential genutzt werden kann, sollte der methodisch-didaktisch sinnvolle Einsatz
von DMW für alle Mathematik-Lehramtstudierenden verpflichtend thematisiert werden, wie
auch Langlotz, Stachniss-Carp und Weller (2019) bereits konstatiert haben:
„Ein methodisch-didaktisch sinnvoller Einsatz von digitalen Medien im Mathematikunterricht
sollte schon an der Universität verpflichtend für alle Lehramtsstudierenden thematisiert
werden. Gerade für den Aspekt „Mathematik besser verstehen lernen“ bieten digitale
Werkzeuge ein großes Potential.“ (Langlotz, Stachniss-Carp & Weller, 2019, S.217)
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen 282
Nicht zuletzt aus den Forschungsergebnissen der vorliegenden Studie ergeben sich nachfolgende
Schlussfolgerungen und Forderungen für die erste Ausbildungsphase:
o Digitale Mathematikwerkzeuge müssen in verpflichtenden curricular verankerten
fachdidaktischen und fachwissenschaftlichen Lehrveranstaltungen aller Lehramts-
Studiengänge von den Dozierenden thematisiert werden. Hierzu zählen auch Vorkurse,
die inzwischen flächendeckend an Universitäten angeboten werden. Es wäre denkbar,
dass in Vorkursen ein entsprechendes Modul zu Bedienkompetenzen angeboten würde.
Der Aufbau von Werkzeugkompetenzen erfolgt in einem mehrstufigen Prozess. Es
wurde deutlich, dass eine einzelne Lehrveranstaltung nicht ausreicht, um einen
nachhaltigen Effekt auf Kompetenzen, Einstellungen und Überzeugungen zu erzielen. Im
Sinne eines Spiralcurriculums wäre es denbar, dass das vorgestellte Seminarkonzept
(vgl. Kapitel 8) auf zwei Semester verteilt wird. So könnten in einem BA-Modul (Teil A)
Grundlagen zu den Werkzeugkompetenzen (vgl. Heintz et al., 2017) gelegt werden.
Dieses Grundlagenmodul wäre vergleichbar mit der vorgestellten Arbeitsphase 1,
allerdings nicht beschränkt auf die DMW GeoGebra und Tabellenkalkulation, sondern
erweitert um weitere digitale Mathematikwerkzeuge wie bspw. ein grafikfähiger
Taschenrechner. Thematisch könnten alle Leitideen in den Blick genommen werden, um
die spezifischen Einsatzmöglichkeiten der Werkzeuge auf andere Gebiete der
Mathematik zu übertragen. In einem fortsetzenden BA- oder MA-Modul (Teil B) würden
dementsprechend die Arbeitsphasen 2 (Unterrichtsplanung) und 3
(Unterrichtsdurchführung) durchgeführt werden. Ein Vorteil wäre hier sicherlich, dass
die Studierenden in der Zwischenzeit mehr Erfahrungen durch die studienbegleitenden
Praktika gesammelt hätten. Durch die Verteilung der Arbeitsphasen auf zwei Semester
könnten die entstandenen Videovignetten der Unterrichtserprobungen im didaktischen
Seminar noch gemeinsam reflektiert werden.
o Der Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen aller Art (vgl. Abschnitt 3.1) während
der studienbegleitenden orientierenden und vertiefenden Praktika muss durch die
verantwortlichen Lehrkräfte an den Praktikumsschulen gewährleistet sein. GeoGebra ist
ein digitales Mathematikwerkzeug, dass überwiegend für den Einsatz im Schulunterricht
konzipiert wurde. Nach den Erfahrungen der Probanden dieser Studie sollte ein
besonderes Augenmerk dabei auf ein Tabellenkalkulationsprogramm gelegt werden.
Wegen der Bedeutung für das spätere Berufsleben sollte der Stellenwert des Einsatzes
eines TKP auch in den studienbegleitenden Praktika angehoben werden, um positive
Effekte für die sich anschließende dritte Phase zu erzeugen.
o Theoriegeleitete und praxisbezogene Module (z.B. fachdidaktische Seminare, Lehr-Lern-
Labore) während der ersten Phase der Lehramtsausbildung sind essentiell für den
Aufbau von Lehrerprofessionswissen. In solchen Lehrformaten kann eine Brücke
zwischen erster und dritter Phase geschlagen werden (Theorie-Praxis-Verzahnung). Die
Vernetzung und Kooperation mit Schulen ist eine gewinnbringende Möglichkeit weitere
13 Schlussfolgerungen für das digitale Lehrer-Professionswissen 283
Lerngelegenheiten zu generieren. Diese Brücke kann auch sinnvoll über die Vergabe von
entsprechenden Themen in Abschlussarbeiten geschlagen werden. Während der
Projektlaufzeit sind 14 Bachelor- und 2 Masterarbeiten entstanden, die im weitesten
Sinne den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen mit Praxisbezug in realen
Schulklassen thematisiert haben.
Auch in der zweiten Phase der Lehrerausbildung (Vorbereitungsdienst) kann idealerweise von
den bereits in der ersten Phase angebahnten Kompetenzen profitiert werden. In Kooperation
zwischen einem Seminarstandort und einer Ausbildungsschule werden pädagogische,
fachdidaktische und schulpraktische Elemente vermittelt. Im angeleiteten und
eigenverantwortlichen Unterricht können allgemeine und spezifische digitale Kompetenzen
weiter vertieft werden. Die curricularen Lehrveranstaltungen der ersten Phase könnten auch als
Fort- und Weiterbildungangebote für Referendare in Absprache mit den universitären Zentren
für Lehrerausbildung angeboten werden, um Vernetzungs- und Synergieeffekte zwischen den
Akteuren in der Lehrerbildung zu nutzen.
Nach dem Eintritt in den Schuldienst (dritte Phase der Lehrerbildung) besteht die Möglichkeit
und vor allem die Notwendigkeit an das zuvor zitierte lebenslange Lernen anzuknüpfen. In Fort-
und Weiterbildungen der pädagogischen Landesämter können Anlässe geschaffen werden, um
Werkzeugkompetenzen im Bereich digitaler Werkzeugkompetenzen zu erweitern. An dieser
stelle schließt sich der Kreis wieder zur eigenen Schulzeit. Mit entsprechenden Möglichkeiten zur
Vermittlung digitaler Kompetenzen ausgestattet, können Lehrkräfte entscheidend am Aufbau
von Werkzeugkompetenzen und digitalen Kompetenzen bei den Lernenden mitwirken.
14 Reflexion zum methodischen Vorgehen 284
14 Reflexion zum methodischen Vorgehen
In Kapitel 14 werden das methodische Vorgehen und der Erkenntnisgewinn dieser
Forschungsstudie reflektiert. Ebenso werden begleitend auch Grenzen und Limitationen der
Vorgehensweise aufgezeigt und erläutert.
Die Kombination aus quantitativen und qualitativen Forschungselementen erwies sich für diese
Studie, in der Daten von Studierenden aus fünf Seminargruppen gewonnen wurden, als sinnvoll
und zielführend. Die beiden Technikteile zu den digitalen Mathematikwerkzeugen
Tabellenkalkulation und GeoGebra des dreiteiligen Kompetenztests lieferten objektive Daten zur
positiven Veränderung der Bedienkompetenzen der Probanden, die durch die
Seminarintervention bewirkt wurde. Durch den Didaktikteil des Kompetenztests konnten
aussagekräftige Ergebnisse zu Werkzeugkompetenzen (Bedienung, Auswahl und Reflexion) im
Bereich elementarer Funktionen gewonnen werden. Die aus den theoretischen Grundlagen
abgeleiteten Subkategorien zu den Hauptkategorien Vorteile von DMW und Nachteile von DMW,
ergänzt mit den induktiv gewonnen Subkategorien, waren geeignet die qualitative Inhaltsanalyse
anhand des Kodierleitfadens durchzuführen und die Forschungsfrage [F4] zu beantworten. Um
dem Gütekriterium der Triangulation gerecht zu werden (vgl. Mayring, 2022) wären
nachträgliche Interviews mit den Probanden eine Möglichkeit gewesen, einen weiteren Zugang
zum Forschungsgegenstand zu bekommen.
Insgesamt konnten Daten von 55 Studierenden ausgewertet werden. Die Stichprobe für die
Erhebung inhaltsbezogener qualitativer Daten ist aus Forschungssicht vertretbar. Eine
Verallgemeinerung der Erkenntnisse aus dem Fragebogen zur Selbsteinschätzung ist aufgrund
der Stichprobengröße nicht möglich. Ein Kontrollgruppendesign konnte aufgrund mangelnder
Verfügbarkeit einer Vergleichsgruppe nicht realisiert werden, sodass sich die aufgeführten
Ergebnisse und Erkenntnisse lediglich auf die gleiche Behandlung aller Probanden beziehen. Die
Reflexionen der Studierenden zu den drei Arbeitsphasen des fachdidaktischen Seminars (vgl.
Abschnitt 8.4) und die Lehrveranstaltungsevaluationen führen zu der Vermutung, dass die
gemessenen Effekte auf die Seminarteilnahme bzw. dessen inhaltlicher und praxisorientierter
Ausrichtung zurückzuführen sind.
Bedingt durch die SARS-CoV-2-Pandemie und eine krankheitsbedingte Einschränkung des
Dozenten konnten lediglich 30 der 55 Studierenden ihre beiden geplanten Unterrichtsstunden
unter Verwendung der DMW Tabellenkalkulation und GeoGebra an Kooperationsschulen
14 Reflexion zum methodischen Vorgehen 285
erproben, woraus 60 von 110 geplanten Videovignetten mit realen Schulklassen entstanden sind.
Für die restlichen 25 Studierenden musste die Arbeitsphase 3 in Form eines Peer Teachings
angepasst werden.
Die Videovignetten der Studierenden konnten während des fachdidaktischen Seminars nicht
gemeinsam angesehen werden, so dass ein Austausch zwischen den Studierenden nicht
stattfinden konnte. Die Videovignetten wurden den Studierenden erst nach dem zweiten
Datenerhebungszeitpunkt zur Verfügung gestellt. Die Analyse des eigenen Unterrichts hatte
somit keinen Einfluss auf die Daten der Post-Erhebung.
Nach der Durchführung des Kompetenztestes zu Beginn des fachdidaktischen Seminars (Prä-
Test) war es für die Studierenden offensichtlich, dass noch ein Post-Test gegen Ende des
fachdidaktischen Seminars nach der Arbeitsphase 3 durchgeführt werden würde. Es ist daher
nicht auszuschließen, dass sich die Studierenden zusätzlich zu den Lern-Anlässen, die im
fachdidaktischen Seminar angeboten wurden, noch zusätzlich im Selbststudium mit der Thematik
beschäftigt haben, um in der zweiten Testsituation ein gutes Ergebnis zu erzielen. Daher besteht
die Möglichkeit, dass der gemessene Kompetenzzuwachs bezogen auf die DMW GeoGebra und
Tabellenkalkulation nicht ausschließlich auf die Seminarinhalte zurückzuführen ist. Andererseits
wäre es ein positiver Effekt der Intervention, wenn der Besuch des Seminars die Studierenden zu
weiterführenden Aktivitäten angeregt hat.
15 Ausblick 286
15 Ausblick
„Die Einstellungen und Überzeugungen der Lehrpersonen sind entscheidend für ein gutes Gelingen
des Technologieeinsatzes. Die Technik alleine vollbringt keine Wunder, die Werkzeuge sind wertlos,
wenn man die dahinterstehende Mathematik nicht versteht. Hoffen wir, dass die träge Dampflock
Schule langsam in Fahrt kommt und vielleicht zum ICE wird!“
__________________________________________________________________________
(Langlotz, Stachniss-Carp & Weller, 2019, S.217)
Die Überprüfung der Wirksamkeit eines spezifischen fachdidaktischen Seminars auf die
Entwicklung digitaler Werkzeugkompetenzen und auf die Veränderung technologiebezogener
Überzeugungen von Mathematik-Lehramtsstudierenden war das Hauptziel der vorliegenden
Dissertation. Es konnte durch einen Kompetenztest objektiv und quantitativ messbar gezeigt
werden, dass Studierende ihre Bedienkompetenzen bezüglich der beiden digitalen
Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen
verbessert haben. Die Selbsteinschätzungen anhand des Fragebogens zeigten auf wie sich die
Einstellungen, Überzeugungen und Selbstwirksamkeitserwartungen aufgrund von erlangten
oder erweiterten digitalen Werkzeugkompetenzen überwiegend positiv verändert haben. Ein
Bewusstsein und eine Sensibilisierung für einen gelingenden Unterricht mit Technologieeinsatz
wurden geschaffen. Während der Auseinandersetzung mit der ausgewählten Thematik der
vorliegenden Studie sind weitere Aspekte hinzugekommen, die in diesem Forschungsvorhaben
nicht verfolgt und beantwortet werden konnten, aber sich für weiterführende Untersuchungen
eignen würden:
o Im Rahmen dieser Arbeit konnte keine Korrelationsanalyse zwischen den
Selbsteinschätzungen der Studierenden und deren Kompetenzen und Fähigkeiten
in Bezug auf digitale Mathematikwerkzeuge (vgl. TPACK-Modell) und den
Ergebnissen des Kompetenztestes durchgeführt werden. Interessant dabei wäre
bspw. die Frage, ob das gesteigerte Kompetenzniveau in Bezug auf die
Werkzeugkompetenzen der beiden Softwares GeoGebra und Tabellenkalkulation
mit den signifikanten Effekten bei der Einschätzung der Lehramtsstudierenden
von TK, TPK und TCK in Zusammenhang stehen.
o Durch eine Follow-Up-Studie mit den Probanden könnten langfristige Effekte
untersucht werden bezogen auf den Einsatz der DMW Tabellenkalkulation und
GeoGebra in der zweiten Phase (Vorbereitungsdienst) und dritten Phase (Fort-
und Weiterbildung) der Lehrkräftebildung. Werden die zukünftigen Lehrkräfte die
beiden DMW im Unterricht bez. der Leitidee Strukturen und funktionaler
Zusammenhang einsetzen? Wie verändern sich die während des Studiums
15 Ausblick 287
erworbenen Werkzeugkompetenzen langfristig? Verändern sich die
technologiebezogenen Überzeugungen im Lauf der Zeit mit zunehmender
Unterrichtserfahrung?
o Die thematische Ausrichtung in dieser Arbeit ist auf die Bedienkompetenzen
elementarer Funktionen der Sekundarstufe I (Leitidee Strukturen und funktionaler
Zusammenhang) begrenzt. Die Öffnung auf die Leitideen Zahl und Zahlbereiche,
Messen und Größen, Raum und Form sowie Daten und Zufall könnte weitere
Erkenntnisse liefern. Nach dem Vorbild der Testteile TKP und GeoGebra des
Kompetenztestes müssten diese entsprechend überarbeitet werden, auch auf
dem Hintergrund geeigneter digitaler Mathematikwerkzeuge für die spezifischen
Anforderungen der Leitideen.
o Da die Daten der vorliegenden Studie in Rheinland-Pfalz erhoben wurden, würde
sich ein vergleichender Blick in die anderen deutschen Bundesländer, oder auch in
ausländische Ausbildungssysteme sicherlich lohnen.
o Die Arbeitsphasen 1 bis 3 des Seminars wurden von den Studierenden schriftlich
reflektiert (vgl. Abschnitt 8.4). In weiterführender qualitativer Forschung könnten
diese Reflexionen näher untersucht werden, um weitere Erkenntnisse zum
technologischen Professionswissen (TPACK) der Studierenden zu erlangen oder
auch um ggfs. Anpassungen am Seminarkonzept aus hochschuldidaktischer
Perspektive vorzunehmen.
o Im Rahmen des Lehr-Lern-Labor-Begleitseminars von SoSe 2021 bis SoSe 2023 sind
insgesamt 71 Videovignetten entstanden. 60 Aufzeichnungen sind an
Kooperationsschulen entstanden, elf Unterrichtstunden wurden während des
Peer-Group-Teachings im Seminar videographiert. Die Studierenden haben in
einer Datenschutzerklärung die Verwendung der Videovignetten aus dem
Teilprojekt für weitere Forschungs- und Lehrzwecke erlaubt (siehe Anhang 17.6).
o Der vorliegende Kompetenztest könnte mit den Teilen TKP und GeoGebra ein
Ausgangspunkt sein, um Kompetenzen von angehenden Lehrkräften (auch
extracurricular) zu messen. Mit einer Öffnung zu anderen digitalen Werkzeugen
und zu allen Leitideen könnte ein Diagnosinstrument entwickelt werden, welches
bspw. im Rahmen von Vorkursen oder generell bei der Aufnahme des LA-
Studiengangs mit dem Fach Mathematik eingesetzt wird. Daran ließe sich der
individuelle Kompetenzstand ermitteln. Da die Frage nach Kompetenz nicht
dichotom mit ja oder nein zu beantworten ist, sondern vielmehr als Stufenmodell
zu verstehen ist, könnte mit den Kompetenzstufen A1 bis C2 (vgl. DigCompEdu)
der individuelle Leistungsstand identifiziert, und zum Anlass genommen werden
eventuelle Lücken zu schließen.
15 Ausblick 288
Die Verfügbarkeit digitaler Medien und Werkzeuge innerhalb des Mathematikunterrichts ist
schon heute – wenn auch nicht flächendeckend in allen deutschen Unterrichtsräumen – gegeben.
Der inzwischen zur Gewohnheit gewordene alltägliche Gebrauch von Smartphones und Tablets
wird diesen Umstand noch in naher Zukunft verstärken. Entwicklungen in den Bereichen
künstliche Intelligenz, Augmented und Virtual Reality werden den zunehmenden
Digitalisierungsprozess weiter beeinflussen.
Der Erkenntnis- und Forschungsbedarf im Bereich der Digitalisierung im Allgemeinen aber auch
im Bereich der Mathematikdidaktik im Spezifischen, auch auf dem Hintergrund weitreichender
Veränderungen durch die Verwendung von KI-Tools, wird für die nächsten Jahre oder sogar
Jahrzehnte erheblich sein. Im jüngsten Strategiepapier der Gesellschaft für Didaktik der
Mathematik (GDM) von Bescherer und Kollegen wird daher eine adäquate Vorbereitung der
Lehrkräfte auf die voranschreitende Digitalisierung gefordert (vgl. Bescherer et al., 2024).
„Mit Blick auf die Digitalisierung müssen Lehrkräfte fachlich und didaktisch auf sich
verändernde Inhalte und Leitideen im Lehrplan vorbereitet werden. Dies betrifft insbesondere
die Bereiche Daten, Algorithmen und Data Science. Hierfür müssen fachbezogene Konzepte
für die Lehrkräfteprofessionalisierung an den Universitäten und in Weiterbildungen
ausgearbeitet, in den Bildungsgängen umgesetzt sowie auf dieser Basis neue
Unterrichtskonzepte mit Lehrkräften gemeinsam entwickelt und unterrichtlich erprobt
werden.“ (Bescherer et al., 2024, S. 10)
Nach deren Einschätzung ist es dringend erforderlich, dass sich einheitliche Standards und
Kriterien sowie verbindliche Konzepte in der Lehrkräfteprofessionalisierung über alle Phasen
etablieren, damit das Lehren und Lernen mit digitalen Mathematikwerkzeugen im
Zusammenspiel mit analogen Konzepten in der Unterrichtspraxis gelingen kann.
Die technischen Voraussetzungen an Schulen und Universitäten sind im Wesentlichen gegeben.
Die Technologie alleine wird die sich rasant verändernden Anforderungen in einer digitaler
werdenden Schulwelt nicht richten. Es braucht vielmehr überzeugte und kompetente Lehrkräfte,
um die offenkundigen Potentiale digitaler Medien und Werkzeuge in neuen
Unterrichtskonzepten didaktisch sinnvoll einzusetzen.
16 Literaturverzeichnis XXI
16 Literaturverzeichnis
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17 Anhang XLI
17 Anhang
17.1 Fragebogen zur Selbsteinschätzung (pdf-Export)
17 Anhang XLII
17 Anhang XLIII
17 Anhang XLIV
17 Anhang XLV
17 Anhang XLVI
17 Anhang XLVII
17 Anhang XLVIII
17 Anhang XLIX
17 Anhang L
17 Anhang LI
17 Anhang LII
17 Anhang LIII
17 Anhang LIV
17 Anhang LV
17 Anhang LVI
17 Anhang LVII
17 Anhang LVIII
17 Anhang LIX
17 Anhang LX
17 Anhang LXI
17.2 Fragebogen zur Selbsteinschätzung (Antworten zu C3.)
C3. Bitte erläutern Sie, was Sie sich in Bezug auf die Arbeit mit digitalen Mathematik-
werkzeugen im Unterricht gewünscht hätten.
SoSe 2021
#1 – URFZ0RUS
Mehr mit Exelarbeiten
#2 – APRK9KSN
Man konnte verschiedene Inhalte durch die digitalen Mathematikwerkzeuge
vertiefen bzw. auch begreifbarer machen. Ich hatte das Gefühl, dass durch
die aktive Nutzung mein Verständnis mehr gefördert wurde.
#5 – MUIH1HMA
Es als Alltags- bzw. Hilfsmittel kennenzulernen und den Umgang ein wenig
zu lernen; auch, dass es nicht als "Besonderheit" einmal im Jahr kommt
bzw. einmal pro Stufe, sondern dass man einen sicheren Umgang lernt, bzw.
die Lehrkraft es mehr vormacht (meine LehrerInnen haben es privat bzw zur
Vorbereitung nämlich genutzt, aber nicht im Unterricht eingesetzt)
#8 – AVRS1BMS
Mehr und bessere Darstellungsmöglichkeiten gerade für Aufgaben, die zu dem
Zeitpunkt noch schwer/schwerer vorstellbar waren.
#11 – SBDZ4ZMS
Ich hätte mir eine bessere Einführung in das Programm Excel gewünscht.
17 Anhang LXII
WiSe 2021/2022
#15 – VMLK6KVL
Mit digitalem Mathematikwerkzeug kann ein anderer Zugang zu so manchen
Themen gegeben werden. Gerade die Behandlung von Funktionen lädt geradezu
ein, Geometriesoftware zu verwenden um die Auswirkungen so mancher
Parameter auch visuell (einfacher) aufzugreifen.
#17 – AWGH9FWE
Ich hätte mir mehr digitale Medien im Matheunterricht gewünscht, da ich
auf einer schon fast komplett gut digitalisierten Schule war, wo jedoch
alle Fächer weitgehend digital waren ausser Mathe, Chemie und Physik.
Geogebra haben wir einmal genutzt, wo unsere Lehrkraft uns einen Graphen
gezeichnet hatte. Mir zum Beispiel hat das Programm gefallen und ich wollte
es auch benutzen, da es sehr hilfreich sein kann. Jedoch wurde uns dies
nie näher gebracht. Das hätte ich mir sehr gewünscht.
#19 – DGOE8UET
Mehr Einsatz von Geogebra. Dient besonders der guten Veranschaulichung
#20 – MHOS4SJA
Zu meiner Schulzeit gab es das nicht. Mitlerweile ist es üblich und ich
finde wichtig Digitalewerkzeuge im Unterricht zu integrieren, sie geben
Übersicht und vielfältige Möglichkeiten spielerisch den Unterricht zu
gestallten. Besonders im Geometrieberreich.
#21 – SSNN7NSA
Nutzung von Apps
#22 – RGDK3LRA
Grafiken/ Funktionen hätten mehr dargestellt werden sollen.
#23 – HJGL8VKA
Mehr selbständiges arbeiten mit GeoGebra
#24 – NDCD8ENG
Verbildlichungen in der analytischen Geometrie, wie man mit Wolfram-Alpha
seine Ergebnisse in der Eigenkontrolle überprüft.
#25 – SPRK6BZN
ich hätte mir gewünscht, dass der Einsatz häufiger und intensiver
stattgefunden hätte, und mehr digitale Mathematikwerkzeuge vorgestellt
worden wären.
17 Anhang LXIII
SoSe 2022
#28 – MHOD0SHE
Bessere Kompetenzen der Lehrkraft
#30 – BMOA8WBA
Im Bezug auf das Material (Bücher,AB) - auch online zur Verfügung stellen
(z.B. Moodle)
#33 – DARN9GKL
Ich hätte mir gewünscht, dass die Mathematikstunden anschaulicher,
"praxisnaher" gewesen wären und wir mehr mit Softwares gearbeitet hätten,
die auch in der Berufswelt genutzt wird. GeoGebra zum Beispiel wurde nur
sehr sparsam verwendet, obwohl man somit sehr gut das Verändern und
Verschieben des Funktionsgraph zeigen kann.
#36 – SJGT0KSE
Vorallem eine bildliche Umsetzung hat mir oft gefehlt, dadurch alles sehr
trocken und teilweise schwer vorstellbar
WiSe 2022/2023
#37 – ATSL8NSX
Häufigerer Einsatz / Breitere Auswahl an Werkzeugen
#39 – SHTG8ÜHS
Einen vermehrten Umgang, mit digitalen Mathematikwerkzeugen, um die
eigenen Fähigkeiten, mit diesen umzugehen, zu fördern und zu stärken.
#40 – SGOR3SRN
Ich hätte mir gewünscht, das zum Beispiel GeoGebra häufiger genutzt wird,
um zum Beispiel mehr zu veranschaulichen.
#41 – PWIB8BZN
Grundlagenkurse (beispielsweise im Rahmen eines zusätzlichen Unterrichts)
für die Verwendung wichtiger Werkzeuge wie (Excel, GeoGebra, Word, ...)
#42 – ISJE0OWD
Dass die Lehrerinnen und Lehrer Ahnung davon haben, z. B. Soft-Skills beim
Präsentieren von PowerPoint
#43 – NASN0HSA
Wir selber haben Mathematikwerkzeuge nie benutzt, ich habe diese nur daheim
benutzt.
17 Anhang LXIV
SoSe 2023
#44 – BHAB2BBE
Ich hätte mir beispielsweise mehr Einsatz von Mathematik Apps gewünscht,
um den Mathematik Unterricht für die Schüler spannender zu gestalten.
#45 – ARFB1BPX
Ich hätte mir im Bezug auf die Arbeit mit digitalen Mathematikwerkzeugen
im Unterricht gewünscht, dass mathematische Zusammenhänge und Grafiken
anschaulicher dargestellt worden wären.
#48 – ARFK1KBE
Die Erklärung, beispielsweise von Geogebra, da man so die Inhalte besser
verstehen hätte können.
#50 – ARRD6DMN
Obwohl ich schon relativ viel mit digitalen Mathematikwerkzeugen
gearbeitet haben, hätte ich mir teilweise eine größere fachliche Kompetenz
seitens der Lehrkraft gewünscht, die bei Fragen deutlichere und sicherere
Antworten hätte liefern können. Außerdem wurden die Werkzeuge oft zu den
falschen Zeitpunkten eingesetzt oder "verboten".
#51 – GHRK4KNA
Auf jeden Fall, dass diese von einigen Lehrkräften häufiger und auch
regelmäßiger eingesetzt werden.
#52 – CMSN0RFA
Ich kann mich vor allem daran erinnern, dass wir auf dem Handy ab und zu
Funktionen mit GeoGebra zeichnen durften, jedoch wurde das Ganze nie so
richtig besprochen und auch vorne nicht gezeigt. Hier hätte ich mir mehr
Einführung gewünscht und vielleicht auch die Arbeit an Tablets, statt auf
dem kleinen Handybildschirm.
#54 – SKSS8HLE
Ein ausführlicheres Arbeiten mit den verschiedenen Werkzeugen und nicht
nur eine Stunde zu dem Werkzeug und danach wird damit nicht mehr gearbeitet
17 Anhang LXV
17.3 Aufgaben des Kompetenztests
(T1) Der Anhalteweg eines Autos
Wenn man plötzlich bremsen muss, vergeht eine bestimmte Zeit bis das Bremspedal
gedrückt wird (Reaktionszeit). Diese Zeit beträgt nach wissenschaftlichen Studien
durchschnittlich etwa eine Dreiviertelsekunde. In dieser Zeit fährt das Auto
ungebremst weiter. Bis das Auto nach dem Bremsen zum Stillstand kommt, benötigt
das Auto noch zusätzlich den Bremsweg.
Den Reaktionsweg r, den Bremsweg b und den Anhalteweg a kann man mit
nachfolgenden Faustregeln/Formeln bestimmen:
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. MS-Excel©) ein
Tabellenblatt mit vorgegebenem Layout (siehe Screenshot). Dabei sollen durch
Eingabe der Werte in den Zellen A3 bis A22 folgende Rechenschritte automatisch
ausgeführt werden:
o Berechnung der Zelleneinträge
B3 bis B22 (Reaktionsweg) mit
einem Zellbezug zu den Zellen
A3 bis A22 per Formel.
o Berechnung der Zelleneinträge
C3 bis C22 (Bremsweg) mit
einem Zellbezug zu A3 bis A22
per Formel.
o Berechnung der Zelleneinträge
D3 bis D22 (Anhalteweg) mit
einem Zellbezug zu A3 bis A22
per Formel.
b) Stellen Sie den Graphen für die Zuordnung
-
D3 bis D22 dar und nehmen Sie folgende Beschriftungen vor:
o Diagrammtitel: Der Anhalteweg eines Autos
o Horizontale Achse: Geschwindigkeit [km/h]
o Senkrechte Achse: Anhalteweg [m]
17 Anhang LXVI
(T2) Lineare Funktion
Durch zwei gegebene Punkte und , die auf einer Geraden liegen,
lässt sich die Gleichung einer linearen Funktion in der allgemeinen Form
eindeutig bestimmen.
Die Steigung m lässt sich mit nachfolgender Gleichung berechnen:
Der y-Achsenabschnitt b lässt sich z.B. mit nachfolgender Gleichung bestimmen:
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. MS-Excel©) ein
Tabellenblatt mit vorgegebenem Layout (siehe Screenshot).
I. Durch Eingabe der Koordina-
ten der Punkte und
(Zellen B5 und C5 bzw.
B6 und C6) sollen folgende
Rechenschritte automatisch
durchgeführt werden:
o Berechnung der Steigung m
(Zelle B15) mit einem Zell-
bezug zu den Zellen B5, B6, C5
und C6 per Formel.
o Berechnung des y-Achsen-
abschnitts b (Zelle E15) mit
einem Zellbezug zu den Zellen
B15, B5 und C5 per Formel.
II. Durch Eingabe der x-Werte
(Zellen J5 bis J25) in die Wer-
tetabelle sollen die jeweiligen
y-Werte (Zellen K5 bis K25)
mit einem Zellbezug zu den
Zellen B15 und E15 per
Formel berechnet werden.
b) Stellen Sie den Graphen -Dia-
K25 dar und nehmen
Sie folgende Beschriftungen vor:
o Diagrammtitel: Graph der linearen Funktion
o Horizontale Achse: x-Achse
o Senkrechte Achse: y-Achse
17 Anhang LXVII
(G1) Elementare Funktionen I
Starten Sie
GeoGebra Classic 6
und öffnen Sie parallel die Modi
Algebra
und
Graphics
.
Führen Sie nachfolgende Arbeitsschritte aus:
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Erzeugen Sie die Punkte und im Koordinatensystem.
c) Konstruieren Sie eine Gerade f durch die Punkte A und B.
d) Lassen Sie sich die Gleichung der Geraden f in der Form im
Algebra-Fenster anzeigen.
e) Lassen Sie sich für die Gerade f den Wert der Steigung m (Algebra-Fenster) und
das Steigungsdreieck anzeigen.
f) Verändern Sie die Lage des Steigungsdreiecks, so dass dieses zwischen den
Punkten A und B liegt.
g) Beschriften Sie die Strecken des Steigungsdreiecks mit dem Wert 5 (horizontale
Strecke) und dem Wert 2 (senkrechte Strecke).
h) Geben Sie den Punkt im Algebra-Fenster ein. (Es entsteht automatisch
ein Schieberegler für den Wert a )
i) Verändern Sie den entstandenen Schieberegler für den Wert a in der Art, dass
dieser nur ganzzahlige Werte im Intervall [-3;3] annimmt. Stellen Sie
anschließend den Wert des Schiebereglers auf a = 1 ein.
j) Zeichnen Sie eine Gerade g durch , die orthogonal zur Geraden f
verläuft.
k) Geben Sie im Algebra-Fenster die folgende Funktionsgleichung ein:
l) Lassen Sie sich die Funktionsgleichung von h am Graphen anzeigen.
m) Erzeugen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
n) Zeichnen Sie eine Gerade i durch den Punkt E, die parallel zur Geraden f
verläuft.
o) Ändern Sie die Farben der Geraden g und i: g (->blau), i (->rot)
17 Anhang LXVIII
(G2) Elementare Funktionen II
Starten Sie
GeoGebra Classic 6
und öffnen Sie parallel die Modi
Algebra
und
Graphics
.
Führen Sie nachfolgende Arbeitsschritte aus:
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Geben Sie im Algebra-Fenster die folgende Funktionsgleichung ein:
c) Lassen Sie sich die Funktionsgleichung von f am Graphen anzeigen.
d) Erzeugen Sie die Punkte und im Koordinatensystem.
e) Lassen Sie sich für die Gerade f den Wert der Steigung m (Algebra-Fenster) und
das Steigungsdreieck anzeigen.
f) Verändern Sie die Lage des Steigungsdreiecks, so dass dieses zwischen den
Punkten A und B liegt.
g) Beschriften Sie die Strecken des Steigungsdreiecks mit dem Wert 6 (horizontale
Strecke) und dem Wert -6 (senkrechte Strecke).
h) Ändern Sie die Farbe des Steigungsdreiecks: (-> grün)
i) Zeichnen Sie eine Gerade g durch den Punkt B und den Koordinatenursprung.
j) Lassen Sie sich die Gleichung der Geraden g in der Form im
Algebra-Fenster anzeigen.
k) Geben Sie im Algebra-Fenster die folgende Funktionsgleichung mit Parameter b
ein: (Es entsteht automatisch ein Schieberegler für den
Wert b )
l) Verändern Sie den entstandenen Schieberegler für den Wert b in der Art, dass
dieser nur ganzzahlige Werte im Intervall [-20;20] annimmt. Stellen Sie
anschließend den Wert des Schiebereglers auf b = - 10 ein.
m) Ändern Sie die Farbe der Parabel: (-> blau)
n) Zeichnen Sie den Scheitelpunkt der Parabel im Koordinatensystem ein. (Es
entsteht automatisch der Punkt mit der Bezeichnung D )
o) Ändern Sie die Anzeige des Scheitelpunktes D in S um.
p) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden g .
q) Zeichnen Sie eine Gerade i durch den Punkt S, die parallel zur x-Achse verläuft.
r) Zeichnen Sie eine Gerade j durch den Punkt E, die orthogonal zur Geraden i
verläuft.
17 Anhang LXIX
(D1) Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen I
Eine klassische Aufgabe aus Schulbüchern:
Gegeben seien die beiden Funktionsgleichungen
und .
Bestimme die gemeinsamen Punkte des Graphen von mit dem
Graphen von .
__________________________________________________________________________________
Häufig ist es so, dass diese Aufgabe von Schülerinnen und Schülern
wie in der nachfolgend dargestellten Art und Weise algorithmisch
abgearbeitet und gelöst wird.
Aufgabenstellung für Studierende:
a) Beschreiben Sie, wie man die Schulbuchaufgabe mit digitalen
Mathematikwerkzeugen (GeoGebra und/oder Tabellenkalkula-
tion) unterstützen kann.
b) Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert bzw.
Vor- und Nachteile durch den Einsatz der beschriebenen digitalen
Unterstützung.
17 Anhang LXX
(D2) Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen II
Eine klassische Aufgabe aus Schulbüchern:
Löse nachfolgende Gleichung:
__________________________________________________________________________________
Häufig ist es so, dass diese Aufgabe von Schülerinnen und Schülern
wie in der nachfolgend dargestellten Art und Weise algorithmisch
abgearbeitet und gelöst wird.
Aufgabenstellung für Studierende:
a) Beschreiben Sie, wie man die Schulbuchaufgabe mit digitalen
Mathematikwerkzeugen (GeoGebra und/oder Tabellenkalkula-
tion) unterstützen kann.
b) Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert bzw.
Vor- und Nachteile durch den Einsatz der beschriebenen digitalen
Unterstützung.
17 Anhang LXXI
17.4 Kodiertes Material Didaktikaufgabe (SoSe 2021 – SoSe 2023)
SoSe 2021
#1 - URFZ0RUS - Prä (D1)
a) Beide Graphen auf GeoGebra zeichnen => SP graphisch zeigen
Wertetabellen aufstellen => SP anhand von der Wertetabelle zeigen
b) Vorteile: besseres Verständnis für Funktionen (so hat jede/r ein Bild
vor Augen, wie die Funktionen tatsächlich aussehen), fördert Umgang mit
PC, sehr gut als Kontrolle von der Aufgabe; Fördert die Methodenkompetenz
Nachteile: SuS sollen weiterhin verstehen, weshalb man welche Schritte
beim Rechenweg machen muss + Verfahren zur Nullstellenrechnung müssen
weiterhin angewendet werden können; SuS sollen auch ein Koordinatensystem
/ Wertetabelle ohne Programm ins Heft zeichnen können
#1 - URFZ0RUS - Post (D2)
a) Diese Aufgabe kann man mit GeoGebra lösen / vereinfachen. Beispielsweise
könnte die Lehrkraft die SuS beauftragen, den Graphen dieser Funktion in
das Eingabe-Feld einzugeben, um sich so die Funktion zeichnen zu lassen.
Anschließend muss eine Waagerechte eingezeichnet werden mit y=18.
Anschließend sehen die Lernenden, bei welchem x-Wert sich die beiden
Funktionen schneiden. Dieser Punkt kann anschließend mit einer zu y=18
orthogonalen Funktion (hier: x=2,63) verdeutlicht werden. Anschließend
besteht die Möglichkeit, die Waagerechte mittels Schieberegler
darzustellen (die Senkrechte muss dabei in Abhängigkeit von der
Senkrechten geschrieben werden). Daraus ergibt sich die Möglichkeit, dass
die Schülerinnen und Schüler diese Aufgabe nicht nur für 3^x=18 lösen,
sondern für viele verschiedene Werte, wie zum Beispiel: 3^x=2. Durch Excel
kann diese Aufgabe gelöst werden, indem man die Schülerinnen und Schüler
beauftragt, eine Wertetabelle für die Funktion 3^x zu erstellen.
Anschließend müssen die Lernenden sich die Wertetabelle in einem Punkt-
XY-Diagramm anzeigen lassen und können erneut schauen, bei welchem Werte
die Funktion den y-Wert 18 erreicht. Andernfalls können die SuS die
Wertetabelle aber auch so genau machen (oder das Intervall der Wertetabelle
immer weiter eingrenzen), bis sie den genauen y-Wert ermittelt haben.
b) Die Vorteile bestehen darin, dass die Schüler einen anderen Blickwinkel
auf viele Aufgabenstellungen bekommen. Unter anderem kann sich so das
graphische Verständnis erheblich entwickeln. Ebenfalls ist es auch für
Schüler interessant und spaßig, wenn sie nicht immer nur stupide rechnen
sollen, sondern auch mal zb mit GeoGebra arbeiten können. Damit gelingt
es womöglich die Motivation zu steigenern. Allerdings muss darauf geachtet
werden, dass die Lernenden alle Aufgaben nach wie vor auch schriftlich
berechnen können und die Grundrechenschritte beherrschen und sich nicht
zu viel auf den Computer verlassen. Auch darf dies nicht die Schüler
verwirren.
17 Anhang LXXII
#2 – APRK9KSN - Prä (D2)
a) Da ich mit beiden Systemen noch nicht intensiv gearbeitet habe, muss
ich nun Vermutungen anstellen. Man könnte die zu lösende Gleichung in
GeoGebra eingeben. Je nachdem zeigt ein Funktionsgraph die Lösung, in
diesem Fall gerundet 2,63, an. Zu Excel kann ich keine Auskunft geben.
b) Der Vorteile dieser Nutzung sind, dass durch die verschiedene Anwendung,
bzw. durch die unterschiedliche Lösungswege, die SuS vertiefend mit den
einzelnen Aufgaben und Rechenoperationen umgehen. So kann das Verständnis
unterstützt werden. Zum anderen haben SuS, die schwache Rechenkenntnisse
haben (da Grundverständnisse fehlen,...) die Möglichkeit durch die
Mathewerkzeuge auch zu einem Ergebnis zu kommen. Dies kann
Motivationsfördernd sein. Nachteile sind, dass die SuS Rechengrundlagen
verlernen, falls sie nur auf die digitalen Mathewerkzeuge zurückgreifen.
#2 - APRK9KSN - Post (D1)
Möglichkeit Geo Gebra: Die Funktiongleichungen können in GeoGebra
eingegeben werden. Mithilfe des Tools zur Schnittpunktbestimmung könnten
die SuS mit wenigen Klicks die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen
angezeigt bekommen. Der Vorteil hierbei wäre, dass die SuS
Kontrollergebnisse bekommen, die sie nachvollziehen können, da sie sie
selbst graphisch erzeugt haben. Wenn die SuS nochmal die Werte per Hand
ausrechnen sollen, haben sie direkt am Ende ihrer Berechnungen ein Gefühl,
ob sie die Aufgabe richtig bearbeitet haben. An dieser Stelle würde ich
kein Tabellenkalkulationsprogramm nutzten, weil der Nachteil hier wäre,
dass man zu viele Werte auf einmal angezeigt bekommt (oder es liegt einfach
daran, dass ich gerade nicht sicher bin, ob man eine Funktion bei Excel
hat, die einem das anzeigt). Der Vorteil an dem digitalen
Mathematikwerkzeug bei dieser Aufgabe wäre zum einen erwähnt die
Erleichterung der SuS durch Kontrollergebnisse, zum anderen liegt der
Vorteil am optischen Reiz. Durch das Anzeigen der Graphen in GeoGebra
(oder GTR) bekommen die SuS ein anderes Gefühl für die Funktionsgraphen.
Sie können sehen in welcher Beziehung eine lineare und quadratischen
Funktion sind. Dieses Gesüur, was entwickelt wird, ist später hilfreich,
wenn die quadratische Funktion abgeleitet wird. Der Nachteil könnte
hierbei liegen, dass die Vorbereitungsaufwand je nach Schule und Technik
sehr hoch für die Lehrkraft sein könnte. Liegt kein GTR vor, muss sich die
Lehrkraft um einen Computerraum oder Tablets kümmern. Eventuell hat der
Klassenraum ein Smartboard. Dann kann die Lehrkraft das zusammen mit den
SuS am Smartboard machen.
17 Anhang LXXIII
#3 – KMNB2KSM - Prä (D1)
a) Durch digitale Mathematikwerkzeuge könnte man diese Aufgabe
beschleunigen und deutlich verkürzen. Durch GeoGebra z.B. könnte man den
SuS veranschaulichen, dass es sich hier um eine Gerade und eine Parabel
handelt. Durch die Veranschaulichung im Graphen hat man die Funktionen
direkt vor Augen. Durch eine Tabellenkalkulation könnte man sich das
mühsame per-Hand-Ausrechnen ersparen und würde schneller zum Ergebnis
gelangen. Dadurch könnte man sich eher auf die weitere Anwendung mit den
Ergebnissen, statt auf die Ergebnisse selber konzentrieren.
b) Vorteile sind auf jeden Fall die Erleichterung des Rechnens,
Beschleunigung der Berechnung und weniger Augenmerk auf den Rechenprozess
an sich und das sture Folgen von Algorithmen zu legen. Nachteilig könnte
vielleicht die Vereinfachung des Prozesses sein, sodass die SuS den
Prozess, der vorgeht, nicht mehr ohne die Mathematikwerkzeuge vollziehen
oder verstehen können.
#3 - KMNB2KSM - Post (D2)
a) In GeoGebra könnte man diese Aufgabe gut einbetten, da die Funktion 3^x
in das Algebra Feld eingetragen werden könnte und man die SuS direkt den
Verlauf der Funktion sehen würden. Dann könnten sie schauen, an welcher
Stelle die Funktuion den Wert 18 annimmt und hätten die Lösung für x ohne
die Gleichung aufzulösen. Dies würde helfen die graphische Vorstellung von
Graphen der SuS zu verbessern. In Excel könnte man eine Wertetabelle von
3^x ausfüllen lassen und danach ein passendes Diagramm zeichnen lassen.
So würden die SuS auch herausfinden, welchen Wert x an der Stelle y hat
ohne den Logarithmus verwenden zu müssen.
b) Durch die digitale Unterstützung gibt es in diesem Fall viele neue
Möglichkeiten für das Lösen dieser Aufgabe. Die SuS haben also schon früher
die Möglichkeit zum Lösen dieser Aufgabe auch ohne Logarithmus. Außerdem
haben sie eine klarere Vorstellung des Verlaufs dieses Graphen durch die
digitalen Mathematikwerkzeuge. Ein Nachteil könnte allerdings sein, dass
die richtige Art die Gleichung zu lösen nicht verstanden und gelernt wird
und die SuS sich nur auf auf die digitalen Mathematikwerzeiuge verlassen.
17 Anhang LXXIV
#4 – SMNB8UMA - Prä (D2)
a) Man kann in GeoGebra sich den Graphen der Funktion f(x)=3^x darstellen
lassen oder in einer Tabellenkalkulation sich y-Werte zu einigen x-Werten
anzeigen lassen.
b) Die SchülerInnen bekommen mit den digitalen Unterstützungen ein Gefühl
dafür, was für Werte x annehmen kann, wodurch sie dann eher sehen, ob ihr
gerechnetes Ergebnis richtig sein könnte oder nicht. Ein Nachteil könnte
sein, dass sie sich direkt das Ergebnis mit der digitalen Unterstützung
anzeigen lassen und es nicht mehr selber berechnen.
#4 – SMNB8UMA - Post (D1)
a) In einer Tabellenkalkulation könnten die SuS die Wertetabellen der
jeweiligen Funktionen erstellen und vergleich, bei welchen x- und y-Werte
dieselben rauskommen. Auch können sie sich die Graphen anzeigen lassen.
In GeoGebra können die SuS die Funktionen eingeben und die Graphen
darstellen lassen und mit der Schnittpunkt-Funktion sich die genauen Werte
direkt anzeigen lassen.
b) Ein Vorteil von der Tabellenkalkulation ist, dass sie sich schnell die
Wertetabellen anzeigen lassen können und die dazugehörigen Graphen, jedoch
kann man aus den Graphen manchmal nicht die genauen Punkte ablesen, jedoch
ist es eine gute Unterstützung, wenn die SuS es nicht händisch lösen
können. In GeoGebra lässt sich sehr leicht und schnell die Schnittpunkte
darstellen und ablesen dank der Schnittpunkt-Funktion. Bei beiden
digitalen Mathematikwerkzeugen kann man jeodch nicht die pq-Formel oder
eine andere Form der Berechnung üben, was ein Nachteil ist. Es kann den
SuS jedoch helfen, einen Blick dafür zu bekommen.
17 Anhang LXXV
#5 – MUIH1HMA - Prä (D1)
a) In Geogebra können die SuS schnell erkennen, ob es überhaupt einen
Schnittpunkt oder mehrere gibt. Die graphische Darstellung hilft dabei,
dass die SuS selbstständig überprüfen können, ob ihr Ergebnis richtig ist
oder ob noch etwas fehlt bzw. dass manche SuS erst eine Vorstellung
bekommen, wie sie die Aufgabe lösen könnten. Auch (wenn die Digitalisierung
der Schule dies zulässt) könnte diese Darstellung als Lösung eingereicht
werden, sollten die Schnittpunkte an der Seite ausgegeben werden, da die
Aufgabenstellung nicht konkretisiert, wie die Aufgabe zu lösen ist,
sondern nur die Bestimmung der Schnittpunkte fordert. Durch die Eingabe
der Funktionsgraphen und Ausgabe der Schnittpunkte wäre dies dann gegeben.
b) Durch den Einsatz von digitalen Mathewerkzeugen kann man besser auf die
verschiedenen Lerntypen der SuS eingehen. Manche benötigen eine bildliche
Ansicht, andere vielleicht nicht. Dig. Mathewerkzeuge sind vielseitig
nutzbar und unterstützen vielleicht die Freude an der Mathematik für SuS,
die sich sonst eher schwer tun, da die Mathematik "erlebbar" wird und sie
mehr "Einfluss" darauf nehmen können. Schwierig ist es allerdings zu
überprüfen, ob die SuS das Konzept verstanden haben, was z.B. dahinter
steht, wenn man den Schnittpunkt ausrechnen soll. Es ist wichtig zu
gewährleisten, dass die SuS diese Hilfestellungen nutzen können, aber so
wie Stützräder beim Fahrradfahren, sich später jedoch auch ohne diese
Werkzeuge zurechtfinden zu können und solche Aufgaben weiterhin auch
"traditionell" berechnen zu können. Sie als Lernweg kennenzulernen ist
aber in der heutigen Zeit unabdingbar.
#5 – MUIH1HMA - Post (D2)
GeoGebra eignet sich gut, um diese Gleichung darzustellen und den SuS
bewusst zu machen, wie viel Einfluss selbst die kleinste Änderung von x
auf die Gleichung haben könnte und die Lösungsfunktion kann zur Überprüfung
dienen. Excel bietet sich bei dieser Aufgabe wahrscheinlich mehr an, jedoch
habe ich im Semester nicht wirklich die Zeit gefunden mich damit zu
beschäftigen, darum stelle ich das hinten an. Der Vorteil von dieser
digitalen Unterstützung ist, dass die SuS selbstständig Lösungsstrategien
entwickeln und überprüfen können und anschaulich (und schnell) eine
Darstellung des Problems vor Augen geführt bekommen, welches händisch viel
Arbeit bedeutet. Ein Nachteil ist, dass die SuS den Umgang mit den
mathematischen Symbolen nicht schulen und ihren Einsatz nicht selbst
nachvollziehen können und der Rechenweg bzw. das Umschreiben gewisser
Terme wegefällt, was aber in dieser Aufgabe das eigentliche Lernziel ist
(Was ist erlaubt und warum was nicht?) Den theoretischen Teil kann man
also mit digitaler Unterstützung füttern, sollte aber händisch/analog
nachvollzogen und erlernt werden.
17 Anhang LXXVI
#6 – MSNS5KWL - Prä (D2)
a) Mithilfe von Geogebra kann man eine Funktion erstellen mit dem Term
3^x. Die Schülerinnen und Schüler sehen dann visuell wie sich der Graph
bei unterschiedlichen x-Werten verändert und können direkt die Lösung
einsehen. Mithilfe einer Tabellenkalkulation können die Schülerinnen und
Schüler eine Tabelle erstellen, die ihnen verschiedene Werte und
entsprechende Ergebnisse liefert. Anhand dieser Ergebnisse können die SuS
auch die Lösung ablesen.
b) Vorteile der digitalen Hilfswerkzeuge liegen darin, dass mehrere
Lerntypen angesprochen werden und SuS nicht nur die Form von Zahlen und
Gleichungen sehen. Geogebra spricht vorallem die SuS an, die Sachverhalte
durch visuelle Darstellung besser verstehen. Des Weiteren braucht man
heutzutage und in der Zukunft Kenntnisse mit elektronischen Geräten und
verschiedenen Programmen. Ein Nachteil könnte darin liegen, dass SuS das
einfache Rechnen verlernen und somit auch den Einsatz von Stift und Papier.
Man sollte die digitalen Werkzeuge regelmäßig verwenden, damit sich das
Wissen vertiefen kann und man nicht jedes mal neu anfangen muss.
#6 – MSNS5KWL - Post (D1)
a) Mithilfe von GeoGebra kann man beide Funktion zeichnen lassen. Dann
werden sie in dem Koordinatensystem angezeigt und man sieht schon in etwa,
wo die Schnittpunkte liegen. Als nächstes kann man sich dann die
Schnittpunkte anzeigen lassen. Hierfür gibt es ein Werkzeug. Mithilfe
eines Tabellenkalkulationsprogrammes kann man Wertetabellen erstellen und
sich anschließend mit den erechneten Punkten Diagramme anzeigen lassen.
b) Der Vorteil der Hilfswerkzeuge liegt darin, dass die Schülerinnen und
Schüler die Funktionen und die Schnitstellen visuell sehen und es sich
dadurch besser einprägen und vorstellen können, wie so etwas aussieht. Des
Weiteren üben sie den Umgang mit Excel und GeoGebra und erlernen
Kompetenzen. Der Nachteil könnte daruin liegen, dass das handschriftliche
vernachlässigt wird und die Kompetenzen des Rechnens verloren geht.
17 Anhang LXXVII
#7 – KFNG3KKA - Prä (D1)
a) Man kann die SuS die beiden Funktionen in GeoGebra zeichnen lassen, um
überhaupt erstmal zusammen zu schauen, ob die Funktionen einen
Schnittpunkt haben. Dabei sieht man, dass die Funktionen sogar zwei
Schnittpunkte haben.
b) Dadurch, dass man unter mehreren SuS immer verschiedene Lerntypen hat,
ist es mit dem Einsatz der beschriebenen digitalen Unterstützung möglich,
mehrere Lerntypen gleichzeitig anzusprechen. Die Veranschaulichung in
einem Graphen hilft meiner Meinung nach vielen, die Rechnung und das
Vorgehen in der Rechnung erst zu verstehen.
#7 – KFNG3KKA – Post (D2)
a) Man kann sich den Graphen für 3^x in Geogebra zeichnen lassen und eine
Gerade y=18 damit schneiden. Durch den Befehl "Schneide" erhält man dann
den Punkt C(2,63/18) und bekommt somit anschaulich den x Wert angezeigt.
b) Ein großer Vorteil von GeoGebra ist es, dass die Schülerinnen und
Schüler sich die Aufgabe durch die angezeigte Funktion viel besser
veranschaulichen können und dadurch evtl. auch besser begreifen können,
was sie sonst einfach nur stumpf rechnen. Trotzdem sollte dadurch der
Vorgang des algorithmischen Rechenweges nicht in Vergessenheit gelangen,
da das Lösen von Gleichungssystemen ein wichtiger Grundsatz für viele
weiteren mathematischen Aufgaben sein wird.
17 Anhang LXXVIII
#8 – AVRS1BMS - Prä (D2)
a) Man könnte die Aufgabe zum Beispiel durch Veranschaulichung des
Graphen in Geogebra unterstützen. Dort könnt man sich diesen in einem 2.
Schritt für verschiedene x bzw. y-Werte ansehen und die Ergebnisse
interpretieren. Außerdem können so die Zusammenhänge zwischen der
Theorie und der Praxis besser dargestellt werden.
Mithilfe einer Tabellenkalkulation hingegen könnte man dann eine große
Datensammlung anfertigen und so z.B. das Verhalten im Unendlichen
abschätzen.
b) Computerbasierte Hilfsmittel können den Mathematikunterricht bei
gezielter Einsetzung unterstützen. Auf der einen Seite kann Zeit gespart
werden, dadurch dass nicht jedes Ergebnis selbst berechnet werden muss.
Auf der anderen Seite kann es allerdings auch zu Zeitverlust kommen, da
der Umgang mit solchen Hilfsmitteln erst gelehrt werden muss. Zur
Veranschaulichung sind computerbasierte Hilfsmittel meiner Meinung nach
besonders gut geeignet.
Zusammenfassend glaube ich, dass beim intelligenten Einsetzen
Hilfsmittel wie Tabellenkalkulatoren, graphische Software oder auch TR´s
einen großen Nutzen mit sich bringen können. Bei unbedarfter Nutzung
allerdings, können durch diese und daraus resultierende falsche
Ergebnisse, Zeitverzögerung oder den ausschließlichen Einsatz auch
entscheidende Nachteile entstehen. Gerade deshalb halte ich es für sehr
wichtig, dass der Umgang mit benannter Software schon in der Schule
geübt wird, nicht zuletzt deshalb, weil im „späteren“ solche Fähigkeiten
immer wichtiger werden, wohingegen Fähigkeiten wie Kopfrechnen manchmal
in den Hintergrund zu rücken scheinen.
#8 – AVRS1BMS - Post (D1)
a) Zum einen könnte man die die pq-Formel oder quadratische Ergänzung in
Geogebra visualisiernen. Auf der anderen Seite wäre es auch möglich den
Zusammenhang z.B. durch ausprobieren in Excel errechnen zu lassen. Dazu
könnten dann bspw. Tabellen erstellt werden.
b) Besonders die Nutzung von Geogebra bietet sich bei dieser Aufgabe sehr
an. Viele Schülerinnen und Schüler (SuS) können sich häufig nur schwer
vorstellen was sie mit einer solchen Berechnung bildlich bezwecken.
Nachteile können durch eine schlechte Planung, die dann zu Zeitverlust
führen kann, entstehen.
17 Anhang LXXIX
#9 – VKZK6PSN - Prä (D1)
a) Durch Hilfe von GeoGebra könnten die Schüler selbständig ihre Ergebnisse
überprüfen. Sie könnten die beiden Funktionen in das Programm eingeben und
dann sich dort die die Schnittstellen ausrechnen lassen. Der große Vorteil
von GeoGebra ist hierbei, dass die Lehrenden ein Bild der Funktionen sehen
können und dadurch auch besser nachvollziehen können wie die Funktionen
gleichgestellt wieder eine neue Funktion ergibt mit den gleichen
Nullstellen wie die Schnittstellen der beiden alten Funktionen.
b) Sieh a)
#9 – VKZK6PSN - Post (D2)
a) GeoGebra: Man gibt zuerst die Funktion f1(x)= 3^x ein und dann die
Funktion f2(x) = 18. Anschließend bestimmt man den Schnittpunkt beider
Funktionen.
b) Der Vorteil des Lösens mithilfe von GeoGebra ist, dass die Funktion 3^x
in grafischer Form dargestellt werden kann und eine grafische Lösung
gefunden wird. Der Nachteil ist der erhöhter Zeitaufwand und das die
Logarithmus Funktion nicht angewendet wird (zumindest bei meiner
beschriebenen Methode).
17 Anhang LXXX
#10 – PRFD0PSN - Prä (D2)
a) -Funktion graphisch dartellen lassen -Lösung der Funktion in Tabelle
annähern lassen (z.B. mitttels Bisektion- oder Sekantenverfahren)
b) Nachteile: SuS nutzen digitale Werkzeuge zum "schummeln" und vermeiden
so einen Lernerfolg Sind vllt überfordert mit den Werkzeugen falls sie
nicht gut eingeführt wurden --> Frustrationserlebnis Vorteile: SuS könnten
ihre Lösungen selbstständig kontrollieren --> Arbeiten eigenständiger und
selbstverantwortlicher -Funktion graphisch darstellen um eine Vorstellung
zu bekommen, was die Potenz mit x überhaupt für Auswirkungen hat -
Nullstellen sind direkt ersichtlich, -SuS bekommen ein Gefühl für das
Verhalten von Funktionen, was zu einem besseren mathematischen Verständnis
führen kann und die Verknüpfung von Formeln mit anderen Darstellungsebenen
begünstigt
#10 – PRFD0PSN - Post (D1)
a) Applett erstellen, dass den ,,unwichtigen“ Rechenaufwand übernimmt
Zeitersparnis und Fokus auf das Wesentliche richten Verschiedene
Darstellungsformen der einzelnen Schritte können mit DGS
/Tabellenkalk.programm visualisiert werden.
b) Vorteile: -wirkt motivierend Gleichsetzungsverfahren kann auf Dauer,
eintönig auf SuS wirken --> wenn Lehrer erkannt hat, dass SuS das Verfahren
korrekt anwenden können, könnte ein gemeinsames Applett erstellt werden,
dass den unnötigen und sich wiederholenden Rechenaufwand verringert (Fokus
liegt nicht auf dem stumpfen Umformen der Fkts.gleichungen) -mit dem
Tabellenkalkulationsprogramm oder der DGS können Graphen einfach
visualisiert werden so kann ein besseres Verständnis bei SuS erzeugt
werden, um zu verstehen, warum es von Interesse ist Schnittpunkte
verschiedener Fkts.gleichungen zu identifizieren (Kompetenz K4 hier im
Fokus) Nachteile: SuS die die Rechnungen noch nicht beherrschen nutzen DGS
ohne korrektes Verständnis der Mathematik dahinter --> Gefahr von
Fehlvorstellungen / Aneignen falscher Rechenmethoden
17 Anhang LXXXI
#11 – SBDZ4ZMS - Prä (D1)
a) Der Schüler oder die Schülerin könnte sich Geogebra zur Hilfe nehmen
und sich zunächst die beiden Funktionen anzeigen lassen. Außerdem kann
direkt der Schnittpunkt der beiden Funktionen angezeigt werden, so können
die SuS kontrollieren, ob sie richtig gerechnet haben. Das Programm Excel
kann wiederum Nullstellen berechnen und müsste der Schüler oder die
Schülerin nicht mehr selber rechnen.
b) Die digitalen Programme wie z.B. Excel oder Geogebra helfen den SuS
sich z.B. Funktionen anzeigen zu lassen und somit eine Aufgabe zu lösen.
Allerdings sollten einfache Dinge wie die Nullstellenberechnung oder das
Einsetzen von x-werten in eine Funktion von SuS beherrscht werden. Meiner
Meinung nach sollten digitale Hilfsprogramme nicht zu oft hinzugezogen
werden und z.B. benutzt werden um Aufgaben zu kontrollieren oder sich
Funktion vorstellen zu können. Simple Rechnungen sollten keinesfalls
vernachlässigt werden
#11 – SBDZ4ZMS - Post (D2)
Die Schülerinnen und Schüler können zwar die Aufgabe algorithmisch
bearbeiten, kennen allerdings nicht die Bedeutung der Exponential- und
Logarithmusfunktion. Die dynamische Geometriesoftware GeoGebra
unterstützt die SuS dabei die Aufgabe besser zu verstehen. So können sich
die SuS zunächst die Funktion anzeigen lassen und deren Eigenschaften
anzeigen lassen
17 Anhang LXXXII
#12 – CCNP2RHE - Prä (D2)
a) In Geogebra könnte man sich den Graphen für 3^x angeben lassen und den
Graphen der Logarithmusfunktion um das geometrische Verständnis zu
fördern.
b) Durch digitale Unterstützung wird das breite mathematische Verständnis
gefördert. Die SuS sehen nicht nur die algebraische Berechnung, sondern
auch den geometrischen Zusammenhang. Dadurch wird das Interesse und auch
das Verständnis gefördert. Außerdem werden schlichte
Reproduktionsaufgaben, wie 20 mal die selbe Formel anwenden deutlich
vereinfacht. Doch solche reinen Reproduktionsaufgaben sind zumindest am
Anfang für das Verständnis wichtig. Allerdings kann es durch die
Unterstützung von digitalen Medien auch zu einer Vernachlässigung der
eignen Mathematikfähigkeiten der SuS kommen. So verlassen sie sich
womöglich zu sehr auf die Programme und können die Sachverhalte nicht mehr
eigenständig berechen.
#12 – CCNP2RHE - Post (D1)
a) In GeoGebra könnte man beide Funktionen plotten und sich dann die
Schnittpunkte der beiden Funktionen ausgeben lassen.
b) Mit GeoGebra lässt sich die Aufgabe schnell lösen und die SuS erkennen
sofort den graphischen Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph sowie
zwischen den beiden Graphen. Die Schnittpunkte sind auch im Graphen gut
zu erkennen und werden anschließend vom Programm angegeben. Allerdings
erkennen die SuS nicht wie das Programm die Schnittpunkte bestimmt. Es hat
deutlich mehr Wert für die SuS wenn sie dies von Hand ausrechnen.
17 Anhang LXXXIII
#13 – AHEL3HFE - Prä (D1)
zu a) man könnte die SuS zunächst das Schema einer solchen Aufgabe
dokumentieren lassen, um zu überprüfen ob diese wissen was in einer solchen
Aufgabe zu tun ist. Danach könnte man die SuS eine Tabellenkalkulation
erstellen lassen und anschließend eine Veranschaulichung des Schnittpunkts
der beiden Graphen durch GeoGebra.
zu b) Vorteil: man kann den SuS eine Veranschaulichung der theoretischen
Aufgabe im Plenum darstellen. Somit muss nicht jedes Kind einzeln eine
Skizze für sich anfertigen. Zudem kann es sehr hilfreich sein sich zunächst
eine Skizze anzusehen bevor man mit einer Rechnung beginnt, was dank
GeoGebra o.ä. ebenfalls möglich ist. Nachteile: Durch solche digitalen
Mathematikwerkzeuge geraten die SuS in Versuchung nicht mehr selbst
darüber nachzudenken und dem Taschenrechner oder anderen digitalen
Werkzeugen blind zu vertrauen. Sie können sich sozusagen auf dieser
Hilfeleistung ausruhen ohne sich selbst groß anstrengen zu müssen. Denn
nicht nur Skizzen, sondern auch Lösungen von Rechnungen werden einem dank
dieser Hilfsmittel abgenommen. Die kritische Überprüfung der Aufgaben
bleibt somit aus und wird nicht wirklich gelernt.
#13 – AHEL3HFE - Post (D2)
a) Man könnte in Excel die SuS einfach die Zahlen 3 und 18 in einzelne
Zelle eingeben lassen und schließlich mit Hilfe des Zellenbezugs und dem
Befehl "=LOG" das Ergebnis für x ausrechnen lassen. Ebenso könnte man die
SuS die log Funktion log3(18) in GeoGebra eingeben lassen und sich den
Wert ausrechnen lassen ohne dass die SuS selbst rechnen müssen.
b) da man mit Hilfe von Excel beispielsweise durch die Funktion des
automatischen Ausrechnens mehrerer Zellen z.B. viel Zeit bei einer
Erstellung einer Wertetabelle einsparen kann, ist dies ein klarer Vorteil
für den Mathematikunterricht, aber auch für die SuS selbst. Zudem können
sie sich mit wenigen Klicks ganz einfach den Graphen mit einem Punkt-XY
Diagramm anzeigen lassen und müssen diesen nicht händisch zeichnen, was
sehr viel Zeit in Anspruch nehmen würde. Als ein Nachteil lässt sich
ansehen, dass die SuS zunächst einmal ein paar Schulstunden benötigen, um
in die Programme eingeführt zu werden und somit mindestens zwei
Schulstunden dafür angedacht werden müssen in denen schon mit dem
Unterrichtsstoff angefangen worden sein könnte.
17 Anhang LXXXIV
#14 – JTSN8MFA - Prä (D1)
Die Lehrkraft kann die beiden Funktionen mittels Geogebra bildlich
verdeutlichen und auch die Aufgaben mit Hilfe von Geogebra kontrollieren
und für die Schülerinnen und Schüler zugänglich machen. Darüberhinaus
können auch die Schülerinnen und Schüler ihren schriftlich ausgerechneten
Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen in Geogebra selbstständig
überprüfen. Die Schülerinnen und Schüler können sich selber kontrollieren
und bei Fehlern sich selber verbessern. Sie lernen zusätzlich das Programm
besser kennen. Viele Schülerinnen und Schüler haben Schwierigkeiten in
Mathe und verstehen erst gar nicht, was sie überhaupt errechnen. Durch die
bildliche Anschauung durch ein mathematisches Programm, sehen die
einzelnen Schülerinnen und Schüler, was die Gleichsetzung der Graphen
bewirkt hat. Die Schülerinnen und Schüler können sich selber kontrollieren
und erkennen ihre gemachten Fehler und versuchen diesen selbstständig zu
finden. Ein Nachteil der digitalen Unterstützung ist, dass viele
Schülerinnen und Schüler diese Zeit nicht produktiv nutzen und "Unsinn"
treiben.
#14 – JTSN8MFA - Post (D2)
Gleichungen zu lösen und damit zu rechnen, ist sehr abstrakt, wodurch
viele Schülerinnen und Schüler kein sicheres Verständnis zu dem Thema
bekommen. Viele Schülerinnen und Schüler lernen nur die Schritte
auswendig, ohne genau zu wissen, wofür sie dies machen und was die Schritte
im Endeffekt bewirken. Mit Hilfe von digitalen Hilfsmitteln kann man die
Gleichung veranschaulichen. Die Schülerinnen und Schüler können mit der
dynamischen Geometriesoftware (Geogebra) die Gleichung zeichnen lassen und
diese auf der bildlichen Ebene begutachten und analysieren. Sie können in
der Funktion selber die Werte ablesen und daher die schriftlichen Schritte
besser nachvollziehen. Darüberhinaus können die Schülerinnen und Schüler
Werte auf der bildlichen Ebene verändern, um die Auswirkungen am Graphen
zu erkennen. Die digitale Unterstützung hilft besonders auf der bildlichen
Ebene weiter. (Geogebra) Die Schülerinnen und Schüler können die
Schnittpunkte mit den Achsen sich ausrechnen lassen und unterschiedliche
Graphen miteinander vergleichen. Die Schülerinnen und Schüler lernen
jedoch nicht dadurch wie sie schriftlich per Hand auf die Werte kommen,
jedoch bietet Geogebra einen guten ersten Einblick auf die bildliche
Darstellung, sodass die Abstraktheit geringer wird.
17 Anhang LXXXV
WiSe 2021/2022
#15 – VMLK6KVL - Prä (D2)
a) Neben der algebraischen Lösung kann mittels digitalen
Mathematikwerkzeugen wie GeoGebra auch ein Zugang zu eine visuelle Lösung
ermöglicht werden. Mit der Darstellung der Funktion f(x)=3^x und g(x)=18
kann so schließlich der Schnittpunkt beider Funktionen ermittelt und der
x-wert abgelesen werden. Darüber hinaus bieten digitale
Mathematikwerkzeuge wie GeoGebra und Excel auch die Möglichkeit, das
genaue Ergebnis auszurechnen und kann so die Funktion eines
Taschenrechners übernehmen. Die Logarithmusfunktion zur Basis 3 kann über
GeoGebra auch visuell unterstützt werden und verdeutlicht die Eigenschaft
als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis 3.
b) Der Mehrwert besteht darin, dass möglichst viele Zugänge geschaffen
werden, damit auch eine Vielzahl an Denkweisen der SuS abgedeckt werden
können. Mit digitalen Tafeln kann so unmittelbar eine grafisch Lösung
verdeutlicht werden oder im Computerraum die Lösung selbst erarbeitet
werden.
17 Anhang LXXXVI
#15 – VMLK6KVL - Post (D1)
a) Diese Aufgabe lässt sich vor allem visuell mit GeoGebra unterstützen.
Die SuS können beide Graphen in das Algebra-Fenster eintippen und die
entsprechende Funktion als Graph anzeigen lassen. Bereits jetzt sehen die
SuS, dass die beiden Graphen sich schneiden und sehen auch, wo diese
Schnittpunkte sich befinden. Bei Schnittpunkten mit ganzzahligen
Kooridinaten ist das ablesen kein Problem. Sollte das Ablesen dennoch
problematisch sein, können die SuS mit Hilfe des Werkzeugs "Schnittpunkt"
auch die Schnittpunkte exakt anzeigen lassen. Sowohl im Algebra-Fenster
mit den entsprechenden Koordinaten als auch im Grafikbereich als Punkt
(rein visuell). Der Einsatz einer Tabellenkalkulation kann behilflich bei
sein im Sinne eines Taschnerechners oder eben auch zur Visualisierung
herangezogen werden. Mithilfe einer Wertetabelle zu den jeweiligen
Funktionen können dann die SuS die Funktion zunächst als X,Y-Diagramm
ploten lassen und dann visuell die Schnittpunkte herauslesen (auch anhand
der Wertetabelle möglich).
b) Aus fachdidaktischer Sicht ist zunächst der Einsatz von GeoGebra dem
der Tabellenkalkulation bei dieser Aufgabe vorzuziehen. Die
Tabellenkalkulation kann zwar technisch hilfreich sein, zeigt aber im
Vergleich erhebliche Nachteile auf. So muss zunächst eine Wertetabelle
erstellt werden und dann kann die Lösung auch nur graphisch oder per
Taschenrechnerfunktion gelöst werden. Der Zeitaufwand ist entsprechend als
zu hoch einzuschätzen, außer eine automatische Wertetabelle liegt bereits
vor und nur die Parameter müssen eingesetzt werden. (Rückgriff auf
vergangene Unterrichtsstunden?). Bei GeoGebra zeigen sich gleich mehrere
Vorteile die einen Einsatz befürworten. Neben der oben dargestellten rein
algebraischen Lösungsvariante bietet GeoGebra bedienerfreundlich und
zeiteffizient einen weiteren Zugang. Dieser visuelle Zugang ermöglicht
ohne Rechenverfahren ebenfalls der Lösung nachzukommen. Die Graphen werden
binnen Sekunden exakt erstellt und Schnittpunkte können abgelesen oder
sogar abgefragt werden. Wichtig zeigt sich hierbei, dass die
Lösungsvariante mit GeoGebra das rechnerische Verfahren aber nicht
ersetzt, sondern ergänzt. Wie bereits beschrieben kann GeoGebra die Lösung
ausgeben, aber der mathematische Hintergurnd wird hierbei nicht deutlich.
Das algebraische Verfahren wird hier von der Software übernommen.
17 Anhang LXXXVII
#16 – IWRD4HID - Prä (D2)
a) in GeoGebra lässt sich der Graph ideal zeichnen. Mit f(x)=3^x kann der
Graph visuell ersteinmal dargestellt werden. Darauffolgend kann man mit
y=18, deutlich einen Schnittpunkt zwischen dem Funktionsgraphen sowie der
y-stelle festhalten. Damit ist die Aufgabe theoretisch gelöst. Dort stellt
man jedoch fest, desdo näher man zoomt, desdo mehr Kommazahlen werden
auftauchen, dass hat natr. mit der Irrationalität von log_3(18) zu tun.
Auch lassen sich diese Umformungen 1zu1 in Geogebra umsetzen. (jede Zeile
eine eigene Formel)
b) Vorteil: Die Schüler lernen aus dem 1. Argument (siehe oben), dass
Graphen nicht helfen, wenn es um "genaue" Lösungen geht. Eine Lösung wird
nur mit Umstellung exakt gelöst. Aus dem 2. Argument folgt, dass die
Schüler sich selbst kontrollieren können. "Ist die Umformung tatsächlich
ok gewesen?", dies lässt sich leicht am Graph ablesen, denn jede
Formenzeile muss dem Schnittpunkt übereinstimmen. Ist dies nicht der Fall
so hat man einen Fehler gemacht.
Nachteil: Die Schüler könnten so "lernen", dass exakte Lösungen unnötig
sind - teils ist das für die Praxis zwar korrekt, jedoch geht es in der
Schule in erster Linie um das erlangen der eignen Kompetenzen (hier
Umstellen und Exp-Funktion). 2. könnten sich Schüler zu sehr auf die
"Korrektur" verlassen, indem Sie das 2. Argument immer nutzen. Eine
Sicherheit wird dadurch nicht aufgebaut - denn bei Arbeiten/Klausuren
stehen diese Mittel i.d.R. nicht zur Verfügung.
#16 – IWRD4HID - Post (D1)
a) 1 Mit GeoGebra lässt sich diese Aufgabe einfach graphisch lösen. Durch
das simple Eingeben der beiden Funktionsgleichungen erkennen die SuS
sofort, dass die Aufgabenstellung garantiert 2 Lösungen besitzen muss.
Durch die Hilfswerkzeuge mit GeoGebra lässt sich dies in wenigen Sekunden
lösen. 2 In GeoGebra lässt sich auch eine Unterstützende Möglichkeit
nutzen. Die SuS geben die beiden Funktionsgleichungen bzw. jeden einzelnen
von ihnen durchgeführten Umformungsschritt ein (oder ändern die
Grundfunktion ab). Man kann an den Nullstellen der generierten Funktion
dann ablesen, ob man eine falsche Umformung durchgeführt hat, wenn diese
sich nicht mit dem Bild überschneiden/übereinstimmen.
b) Vorteile: Die SuS lernen so einmals die visuelle Bestätigung mit dem
Umgang mit Funktionen, Schnittpunkten und der "komplizierten
Wurzelfunktion" und verstehen einfacher, dass diese Gleichung zwei
Lösungen besitzen muss. Nachteil: Die SuS gewöhnen sich zu sehr an den
Umgang mit dem Rechner und zwar soweit, dass dieser "alles für Sie
erledigt". Dies hilft nicht, wenn eine Klassenarbeit oder Überprüfung
geschrieben werden muss, da dort der Zugang i.d.R. untersagt ist. Auch
verlieren SuS durch das ledigliche Abarbeiten von Computer-Algorithmen den
Bezug zur Mathematik, dem Kreativen arbeiten, lernen und denken. Daher nur
in Maßen und kontrolliert einsetzen.
17 Anhang LXXXVIII
#17 – AWGH9FWE - Prä (D1)
a) Geogebra: Man könnte die Schüler*innen die Aufgabe zuerst schriftlich
rechnen lassen, damit die schriftlichen Rechenkenntnisse aufgefrischt
bleiben. Dann könnte Geogebra als Unterstützung herbeigezogen werden, um
die Lösung mit seiner Rechnung zu vergleichen. Ebenfalls könnte Geogebra
als eine Hilfestellung gesehen werden, falls man unsicher mit der Lösung
ist oder nicht auf die Lösung kommt. Excel: Hier könnte man sich die
Diagramme anzeigen lassen, um auch wieder nach der schriftlichen Rechnung
zu schauen, ob diese richtig ist. Auch kann man mit Excel ganz leicht zum
Beispiel die pq-Formel berechnen. Hier dient Excel auch als
"Taschenrechner-Ersatz".
b) Nachteile: Leichte Ablenkung, falls die Lehrkraft mal nicht hinschaut.
Ebenso viel in den Laptop schauen (Blaulicht), obwohl die Schüler*innen
schon meistens den ganzen Tag aufs Handy schauen (schlechtere Augen).
Vorteile: Umgang mit digitalen Medien (heutzutage sehr wichtig). Mehr Spaß
am Unterricht durch Laptops. Schnelle und individuelle Vergleiche, ob das
gerechnete auch richtig ist.
#17 – AWGH9FWE - Post (D2)
a) Tabellenkalkulation: mit vorgegebenen Layout sollen Schülerinnen und
Schüler die Werte mit Hilfe von Formeln berechnen. Somit können sie das x
immer verändern und haben schnell die richtige Lösung ohne nochmal alles
neu berechnen zu müssen.
b) Vorteile: Per Hand sehr viel zu berechnen (jeder x Wert einzeln),
Schnelligkeit, Korrektheit, Sauber, Ordentlich, Motivierend Nachteile:
Angewiesen auf Software/ Hardware. Rechenweg wird per Hand nicht geübt
(schlecht in Klausuren), Kein gelernter Umgang mit dem Taschenrechner, bei
einem Formelfehler viele Folgefehler.
17 Anhang LXXXIX
#18 – IARB8NKL - Prä (D2)
a) Mit Tabellenkalkulationen lassen sich die Formeln in bspw. Excel
darstellen. Somit sind mehrere Rechnungen mit dem Algorithmus möglich.
b) Vorteile: Die SuS lernen den Einsatz von digitalen Unterstützungen
kennen, sodass diese die Arbeitsschritte besser nachvollziehen können.
Dadurch kann sich der Algorithmus besser eingeprägt werden und der
Lernerfolg steigert sich.
#18 – IARB8NKL - Post (D1)
Mithilfe von GeoGebra lassen sich beide Graphen einfach und schnell im
Programm darstellen, sodass man sofort nach dem Eingeben der beiden
Funktionsgleichungen den Schnittpunkt erkennen kann. Dadurch lässt sich
die Rechnung der SuS leicht überprüfen und sie rechnen nicht stumpf an
Aufgaben rum. Hierdurch entwickelt sich bei den SuS ein besseres
Verständnis zu den Aufgaben, da diese sich nun die Aufgaben besser und vor
allem bildlich vorstellen können.
17 Anhang XC
#19 – DGOE8UET - Prä (D1)
a) Man könnte sich bei Geogebra Graphen plotten lassen --> man sieht den
Schnittpunkt der Funktionen sofort oder wie oben in Rechnung neue Funktion
erstellen, die aus Differenz der beiden Funktionen entsteht und dann
graphisch Nullstelle bestimmen in Excel kann man Funktionen bestimmt auch
gleich setzen
b) Vorteil: auch visuell kann der Schnittpunkt dargestellt werden, SuS
erkennen nochmal, wie Graphen aussehen anhand der Gleichung Zeitersparnis,
sofern SuS für mehrere Funktionen die Schnittpunkte bestimmen sollen
Nachteil: wenn man Schnittpunkte, oder Nullstelen immer nur vom Computer
vor gerechnet bekommt oder sich graphisch darstellen lässt geht eventuell
die Kompetenz verloren diese auszurechnen per Hand
#19 – DGOE8UET - Post (D2)
a) Geogebra: Graph zeichnen lassen von 3 hoch x und gucken, an welcher
Stelle y=18 logaritmus zeichnen lassen von 3 hoch x Excel: Wertetabelle
erzeugen, schrittweise nähern Funktionsgleichung y= 3^x und dann
Wertetabelle mit x Schrittweite z.b 0.1 und gucken wann y= 18
b)+Zeitersparnis + SuS sind motiviert, da sie den Einsatz dieser Mittel
als Abwechslung zum normalen Unterricht sehen + SuS erkennen, dass ihnen
der Einsatz viel Arbeit abnehmen kann +SuS lernen die generelle Arbeit mit
Excel kennen, oft wichtig für späteres Berufsleben - SuS verlernen ggf.
Algorithmus zum Berechnen der Stelle per Hand --> alternative: nicht nur
Einsatz von Geogebra und Excel aber immer Mal wieder - man muss auf jeden
Fall kontrollieren, dass SuS Aufgaben bearbeiten und nicht im Internet
surfen
17 Anhang XCI
#20 – MHOS4SJA - Prä (D2)
a) Man kann die Aufgabe mit Hilfe der Tabellenkalkulation, da bekommt man
die entsprechende Werte , bei der Geogebra hat man eher eine
Veranschaulichung der Grafen und kann die Werte ablesen.
b) Es ist ein Hilfsmittel für mehr Veranschaulichung des gelernten, man
kann dadurch mehr beispiele als befestigung des Stoffes zeigen
#20 – MHOS4SJA - Post (D1)
Ich würde dieser Aufgabe mit Hilfe von GeoGebra lösen lassen wollen, da
es deutlich übersichtlicher ist und den SuS die Aufgabe grafisch lösen
lässt. Das Steigt die Motivation zu Mittarbeit und macht spass. Nachteil
kann sein das es automatisch gelöst wird und das nachdenken fällt. Es
werden beide Funktionen im Algebrafenster eingegeben. Erscheinen die
dazugehörige Grafen und die Schnittpunkte.
17 Anhang XCII
#21 – SSNN7NSA - Prä (D1)
a) GeoGebra Einsatz: Eingabe der Funktionen zur Veranschaulichung der
Graphen f und g. Optisch wird der Schnittpunkt der Graphen verdeutlicht.
b) Vorteil: die Funktion wird durch den abgebildeten Graphen für die
Schüler erkennbar. Es wird deutlich, was überhaupt ein Schnittpunkt ist
und dass es mehrere Schnittpunkte geben kann.
Nachteil: Man könnte denken, dass die oben gezeigt Rechnung unnötig ist,
da GeoGebra direkt die Schnittpunkte zeigt.
#21 – SSNN7NSA - Post (D2)
a) Man könnte die Gleichung in GeoGebra als Graphen plotten lassen um
direkt den x-Wert ablesen zu können.
b) Da normalerweise die Gleichung algorithmisch abgearbeitet wird, ist für
die Schüler, sobald der Vorgang verinnerlicht ist kein neuer Lern Wert
mehr da. Dann können sie mit GeoGebra eine neue Herangehensweise entdecken.
Auch ist es möglich, dass die SuS mit dem plotten in GeogGebra ihre
Rechenergebnisse überprüfen können.
17 Anhang XCIII
#22 – RGDK3LRA - Prä (D2)
a) Über GeoGebra kann die Funktion visualisiert werden. Über einen
Schieberegler kann gezeigt werden was passiert, wenn man den x-Wert größer
bzw. kleiner wird.
b) Exponentialfunktionen und Log.funktionen sind vom Verlauf her schwer
vorstellbar und können durch digitale Unterstützung verdeutlicht werden.
Schüler*innen könnten sich auf den Rechner verlassen und verlernen somit
das eigenständige Umformen und Rechnen per Hand. Nullstellen oder
Ähnliches können einfach abgelesen werden, was ein Vorteil aber auch ein
Nachteil sein kann.
#22 – RGDK3LRA - Post (D1)
a) Mit dem Programm GeoGebra können die Funktionen eingegeben und
gezeichnet werden. Somit wird der Verlauf der beiden Graphen ersichtlich.
Mit Hilfe der Werkzeuge kann der Schnittpunkt der beiden Funktionen genau
angezeigt werden.
b) Ein Vorteil ist, dass Funktionen veranschaulicht werden und der
Sachverhalt für Schüler deutlicher wird. Allerdings sollte das Programm
gezielt eingesetzt werden und nicht ständig, da die Schüler das
selbständige Ausrechen nicht verlernen sollten. Am sinnvollsten ist der
Einsatz nach dem Üben des Verfahrens per Hand.
17 Anhang XCIV
#23 – HJGL8VKA - Prä (D1)
a) Mit GeoGebra können die beiden Funktionen grafisch dargestellt werden
und die Schnittpunkte können abgelesen werden.
b) Nachteile: erhöhter Zeitaufwand
Vorteile: Visualisierung von Aufgabe und Lösung einfache Überprüfung einer
errechneten Lösung die Aufgabe kann leicht und schnell variiert werden,
indem die Funktionen geringfügig verändert werden
#23 – HJGL8VKA - Post (D2)
a) GeoGebra: Graph zu 3^x erstellen, daran können die SuS x ablesen wenn
18 (oder auch eine andere Zahl) als Lösung der Gleichung gegeben ist Excel:
kann zur Unterstützung der Berechnung eingesetzt werden, es kann damit
auch schnell die Gleichung für andere Lösungen als 18 berechnet werden,
außerdem können die SuS danach durch das Erstellen eines Diagramms den
Graph der Funktion 3^x sehen
b) Vorteil GeoGebra: die SuS sehen wie eine Funktion bzw. der Graph zu
einer Funktion wie 3^x aussieht und bekommen eine erste Vorstellung davon
wie sie verläuft Nachteil GeoGebra: das Betrachten der Funktion bzw. des
Funktionsgraphen und das Ablesen von Werten ersetzt natürlich nicht die
Berechnung Vorteil Excel: es können schnell und einfach mehrere
Gleichungen gelöst werden
17 Anhang XCV
#24 – NDCD8ENG - Prä (D2)
a) Kein Kommentar, da ich persönlich nicht mit Excel oder Geogebra
gearbeitet habe.
b) Der klare Vorteil mit der Bearbeitung der Aufgabe mit digitalen Medien
ist, dass man mit verschiedenen Formen die Aufgabe lösen und darstellen
kann (EIS - Prinzip; inaktiv, ikonisch und symbolisch). Auch kann man eine
gewisse Medienkompetenz bei den Schülern üben, welches später
Praxisrelevant sein kann.
Nachteil ist, dass die Schüler das "handwerkliche" nicht mehr üben möchten,
da es einen "einfacheren" Weg gibt (Stichwort Photomath bei Gleichungen).
#24 – NDCD8ENG - Post (D1)
a) Mithilfe von digitalen Mathematikwerkzeugen (Tabellenkalkulation
und/oder Geogebra) können die Schüler*innen die vorliegende Aufgabe
graphisch lösen, indem sie über Geogebra die Funktionen sich zeichnen
lassen und die Schnittpunkte der Funktionen bestimmen oder über Excel sich
eine Wertetabelle ausgeben lassen und anhand der Wertetabelle Graphen sich
zeichnen lassen und dann die Schnittpunkte anhand der Graphen ermitteln.
--> EIS-Prinzip
b) Durch Einsatz digitaler Mathematikwerkzeugen lassen sich Aufgaben
vielseitiger und schneller bearbeiten. Graphen können schneller und
genauer gezeichnet werden, Sachverhalte wie das Steigungsdreieck lassen
sich dynamischer darstellen oder Schnittpunkte können schneller und
einfacher gefunden werden. Das EIS-Prinzip (enaktiv, ikonisch, symbolisch)
wird durch den Einsatz von digitalen Mathematikwerkzeugen durchaus
verstärkt und einfacher ermöglicht. Nachteil an digitalen
Mathematikwerkzeugen bleibt, dass der Umgang mit digitalen
Mathematikwerkzeugen vorher geübt werden muss und das die Vorgänge, die
die Mathematikwerkzeugen leisten, zuerst verstanden werden müssen. (Wie
ermittle ich einen Schnittpunkt; wie zeichne ich ein Steigungsdreieck)
17 Anhang XCVI
#25 – SPRK6BZN - Prä (D1)
a) In GeoGebra: Eingabe der beiden Funktionen f(x) und g(x)in GeoGebra und
ablesen des Schnittpunktes der Funktionsgraphen
b) Durch den Einsatz von GeoGebra können die Schüler per Hand gerechnetes
Ergebnis überprüfen. Vorteile: Die Schüler können ihr Ergebnis
selbstständig zu Hause kontrollieren Nachteil: Die Schüler haben durch das
Programm bereits die Lösung, die sie ablesen können und könnten keine
Motivation mehr haben die Lösung auszurechnen.
#25 – SPRK6BZN - Post (D2)
a) Mittels Tabellenkalkulationsprogramm: Eine Wertetabelle erstellen (x-y
Werte in einer Tabelle) Zellenbezug erstellen mit Hilfe der Gleichung
f(x)=3^x und die Werte ausrechnen lassen Dann in der Wertetabelle schauen
für welchen x Wert der dazugehörige y Wert 18 angezeigt wird. Mittels
GeoGebra: Die Funktionsgleichung f(x) = 3^x in das Algebra Fenster eingeben
und den Graph der Funktion zeichnen lassen Dann anhand des Funktionsgraphen
ablesen bei welchem x Wert der Funktionswert 18 ist.
b) Vorteil: Die Schüler rechnen nicht nur einen x Wert aus, sondern
bekommen mehrere Werte angezeigt. Es spart demnach Zeit, weil nicht alles
einzeln ausgerechnet werden muss. Sie können sich den Graphen der Funktion
zeichnen lassen und haben anschaulich direkt ein Bild der Funktion gegeben.
Nachteil: Der Rechner berechnet ihnen die Werte automatisch und sie üben
sich nicht in dem Rechenverfahren. Bei einer Klassenarbeit ist es nämlich
nicht möglich eine digitale Unterstützung wie den Pc zu verwenden.
17 Anhang XCVII
#26 – DBDI2KSE - Prä (D2)
a) Eine der offensichtlichen Einsatzmöglichkeiten von
Tabellenkalkulationen wäre die Möglichkeit, sie als Rechenprogramm
einzusetzen, um das Ergebnis auszurechnen, sobald der Weg klar ist. Dafür
genügt aber auch ein Taschenrechner. Man könnte sich im TK-P auch
verschiedene Basen anzeigen lassen, um zu veranschaulichen, wie sich der
Logartihmus verändert, wenn andere Basen als die klassischen (2 bzw 10)
gewählt werden. Mithilfe von GG könnte man versuchen eine Umkehrabbildung
zum gefundenen Logarithmus zur Basis 3 zu finden.
b) Es ist sehr schwierig, sich Logarithmen und ihre Verknüpfungen
anschaulich vorzustellen. Dabei könnte etwa GG helfen, indem eine
Umkehrabbildung (oder auch die Logarithmusfunktion an sich)
veranschaulicht oder auch spielerisch (in Form von interaktiven Elementen
wie bspw. Schiebereglern) erfahren werden kann. Nachteile etwa bei der
Berechnung sind das zu große Vertrauen in Rechenprogramme (es wird häufig
keine logische Validierung der Ergebnisse vorgenommen) und der eventuell
größere Zeitaufwand, um nur zwei zu nennen.
#26 – DBDI2KSE - Post (D1)
a) Zur Bearbeitung der Aufgabe bietet sich die Nutzung von GeoGebra an.
Hier können die Schüler*innen die beiden Funktionen in das Algebrafenster
eingeben und sich so anzeigen lassen. Dann können sie zunächst sehen, dass
es zwei Schnittpunkte gibt, eine Erkenntnis, die sonst vielleicht nicht
so schnell gekommen wäre. Als nächsten Schritt können sie die Schnittpunkte
markieren und dann deren Koordinaten ablesen. Nun könnte man mit den
Schüler*innen noch einen Weg besprechen, wie beispielsweise anhand der
Gleichung überprüft werden kann, ob es sich bei den Koordinaten wirklich
um die Schnittpunkte handelt.
b) Der didaktische Mehrwert liegt einerseits klar in der enaktiven
Aktivierung der Schüler*innen (sie handeln selbst und sehen das Produkt
ihres Handelns direkt). Dieser fast schon spielerische Ansatz kann die
Schüler*innen außerdem zusätzlich motivieren und schult neben fachlich-
inhaltlichen Fähigkeiten auch die methodischen Kompetenzen im Hinblick auf
den Umgang mit GeoGebra. Ein möglicher Nachteil wäre allerdings, dass die
Schüler*innen nicht lernen eine solche Aufgabe ohne technische Hilfsmittel
zu lösen, daher müsste man nach dem ersten Einsatz des DMW noch mit den
Schüler*innen einen analogen Lösungsweg besprechen (falls es wichtig ist,
dass die Schüler*innen diesen beherrschen). Ein weiterer möglicher
Nachteil, der sich aber mit zunehmendem Einsatz verringert, ist der der
zusätzlich benötigten Zeit, da die Schüler*innen den Umgang mit dem
Programm natürlich erst üben müssen. Dieser Nachteil wird oft genannt, ist
hier aber fast zu vernachlässigen, da das Gleichsetzen der Funktionen und
Ausrechnen der Schnittunkte vermutlich an sich länger dauert, als die
Bearbeitung der Aufgabe mit GeoGebra. Als Unterstützung ist der Einsatz
von einer Geometriesoftware wie GeoGebra hier meiner Meinung nach defintiv
geeignet.
17 Anhang XCVIII
SoSe 2022
#27 – DKSS6TSA - Prä (D1)
a) Diese Aufgabe lässt sich gut durch GeoGebra unterstützen. Durch die
Eingabe in GeoGebra können die Funktionen anschaulich gemacht werden, auch
für Schüler*innen die Schwierigkeiten damit haben sich vorzustellen, wie
die Funktionen aussehen. Außerdem können Schüler*innen mit GeoGebra ihre
Ergebnisse überprüfen.
b) Durch die Verwendung von GeoGebra können die Funktionen und die
Schnittpunkte veranschaulicht werden und die Schüler*innen können ihre
Ergebnisse schnell und einfach selbst überprüfen. Allerdings sollte darauf
geachtet werden, dass die Schüler*innen die Aufgabe auch selbst rechnen
und diese nicht nur in den Rechner eingeben, um sicherzustellen, dass die
Schüler*innen die Aufgabe und die zur Lösung notwendigen Rechenschritte
auch verstanden haben.
#27 – DKSS6TSA - Post (D2)
a) Die Gleichung kann in GeoGebra eingegeben werden und so veranschaulicht
werden. Durch die automatische Darstellung des Graphens in einem
Koordinatensystem können die Schüler sich diesen besser vorstellen. Sie
können auch sehr einfach den Schnittpunkt mit der x-Achse bilden und daran
die Lösung ablesen.
b) Bei der Verwendung von GeoGebra müssen die Schüler nur noch die
Gleichung eingeben und die Lösung ablesen. Sie bekommen durch GeoGebra
eine visuelle Unterstützung und entwickeln ein besseres Verständnis, dafür
wie die Graphen aussehen. Durch die Bearbeitung mit GeoGebra müssen die
Schüler allerdings nicht mehr selbst rechnen und lernen nicht wie die
Gleichung umgeformt werden kann um auf die Lösung zu kommen.
17 Anhang XCIX
#28 – MHOD0SHE - Prä (D2)
a) Tabellenkalkulation: Man kann eine Tabelle mit einer Spalte für den x-
Wert und einer Spalte für den y-Wert erstellen. Dadurch kann man sehen,
wie sich die Funktion verhält (steigt oder fällt die Funktion?). GeoGebra:
Mit GeoGebra kann man die Funktion zeichnen und so veranschaulichen. So
kann man die genaue Funktion betrachten und den Schüler:innen anschaulich
zeigen, wie sich diese verhält.
b) Tabellenkalkulation Die Tabellenkalkulation hilft den Schüler:innen
sich die Funktion vorzustellen. Viele Schüler:innen haben keine
Vorstellung wie die Funktion aussieht, wenn ein Funktionsterm beschrieben
wird. Eine Tabellenkalkulation kann dabei helfen. GeoGebra Durch GeoGebra
kann die Funktion gezeichnet werden. Da sich viele Schüler:innen, wie oben
bereits erwähnt, Funktionen nicht vorstellen können, hat man mit GeoGebra
die Möglichkeit genau Funktionen abzubilden. Dadurch wird die
Anschaulichkeit gewährleistet. Aus eigener Erfahrung kann ich sagen, dass
es hilf, wenn man ein Bild der Funktion vor Augen hat. Die Schüler:innen
gehen ganz anders mit einer Aufgabe um, wenn man zum Beispiel die
Nullstellen einer Funktion bestimmen soll. Hier ist zum Beispiel der Aspekt
der Selbstkontrolle von Vorteil. Bei der Bestimmung von Nullstellen sehen
die Lernenden selbst sofort, ob sie richtig oder falsch liegen.
#28 – MHOD0SHE - Post (D1)
a) Diese Aufgabe kann man mit dem digitalen Mathematikwerkzeug GeoGebra
unterstützen. Der Schnittpunkt der beiden Funktionen kann so visualisiert
werden. Die Schülerinnen und Schüler sehen bildlich vor sich, was genau
sie ausrechnen. Außerdem kann dies eine Kontrollfunktion sein. Nachdem die
Lernenden gerechnet haben, können sie anschließend kontrollieren, ob ihre
Lösung stimmt. Zusätzlich können die Schülerinnen und Schüler Parameter
in die verschiedenen Funktionen einfügen und schauen, wie sich der
Schnittpunkt der Funktionen verändert. Mit dem
Tabellenkalkulationsprogramm MS Excel können die Schülerinnen und Schüler
die Wertetabellen der beiden Funktionen zeichnen lassen und bereits daraus
den Schnittpunkt der beiden Funktionen ablesen.
b) Generell finde ich es wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler wissen,
wie man diese Aufgabe schriftlich, ohne digitale Unterstützung löst.
Allerdings sollte auch der Mathematikunterricht mit der Zeit gehen und man
sollte digitale Werkzeuge sinnvoll im Unterricht nutzen. Gerade bei dieser
Aufgabe finde ich es gut, GeoGebra einzusetzen. Die Schülerinnen und
Schüler sehen den Schnittpunkt vor sich. Diese Visualisierung kann
motivierend wirken, da die Lernenden das Ziel der Lösung vor sich sehen.
Dennoch sollte die schriftliche, eigenständige Rechnung nicht
vernachlässigt werden. Wenn man digitale Werkzeuge und die eigene Arbeit
kombiniert, verliert der Mathematikunterricht nicht an Wert. Er entwickelt
sich mit der Zeit und die Schülerinnen und Schüler lernen, dass man neue
Medien auch im Schulunterricht sinnvoll einsetzten kann.
17 Anhang C
#29 – EGRA1ÜWA - Prä (D2)
a) Man könnte die Schülerinnen und Schüler den Logarithmus in GeoGebra
eingeben lassen. Auch könnte man die Lernenden dazu auffordern
verschiedene Zahlenwerte einzusetzen.
b) Durch die Eingabe in GeoGebra wird die Funktion visualisiert, wodurch
sie für die Schülerinnen und Schüler leichter verständlich wird. Durch das
Einsetzen der unterschiedlichen Werte, bekommen die Schülerinnen und
Schüler ein Gefühl dafür, wie sich der Logarithmus verhält.
#29 – EGRA1ÜWA - Post (D1)
Man könnte zum Lösen dieser Aufgabe GeoGebra einsetzten, in dem man die
SuS erst beide Funktionen eingeben und im Anschluss die Schnittpunkte
bestimmen lässt. Durch den Einsatz von GeoGebra erhalten die SuS ein
genaues Bild von den beiden Graphen. Dadurch wird es leichter für sie sich
den Verlauf der Graphen vorzustellen und es wird klar wo Schnittpunkte
entstehen. Vielen SuS Volltreffer es schwer sich Funktionen bildlich
vorzustellen, gerade dieser Gruppe wird die Lernmethode sehr weiter helfen
können.
17 Anhang CI
#30 – BMOA8WBA - Prä (D1)
a) Mit GeoGebra können die beiden Graphen abgebildet werden. So können die
Schüler schon abschätzen, wo sich die Schnittpunkte befinden. Mit der
Funktion "Schnittpunkte" können zudem die genauen Koordinaten der
Schnittstellen gefunden werden. in Diesem Fall hat es eine
Kontrollfunktion für die Schüler. Für geübte Schüler aus höheren
Klassenstufen, die diese Rechnung (siehe oben) schon sicher beherrschen,
aber fürs Weiterrechnen die Schnittpunkte benötigen, kann der
Arbeitsaufwand verkürzt werden. Die Schüler können sich mit GeoGebra die
Lösung ausgeben lassen und sich auf das Wesentliche konzentrieren. Mit der
Tabellenkalkulation kann man sich y-Werte einer Funktion angeben lassen,
indem man die x-Werte eingibt. Macht man das für beide Funktionen sieht
man, bei welchen x-Werten die y-Werte identisch sind und weiß somit die
Schnittpunkte. Auch diese Funktion kann als Vereinfachung oder als
Kontrolle genutzt werden.
b) Vorteile: -effektivere Zeitnutzung und Konzentration auf wesentliche
Inhalte -Veranschaulichungen/Technische Medien dienen dem
Aufrechterhalten des Interesses und motivieren -Veranschaulichungen helfen
fürs Verständnis -hilfreich für die Zukunft - sicherer Umgang mit Medien-
Nachteile: -schnelle Ablenkung durch Medien (Kinder spielen mit anderen
Funktionen oder spielen auf anderen Apps, etc. -Missbrauch der Funktionen
zum "Schummeln" -Verlernen des Kopfrechnens/ mathematischen
Denkens/Kompetenzen (z.B: zur Bestimmung von Schnittpunkten)
17 Anhang CII
#30 – BMOA8WBA - Post (D2)
Bei den 3^x handelt es sich um eine Funktion. Diese kann man
selbstverständlich in die Eingabeleiste in GeoGebra eintragen und sich
eine Funktionsgleichung anzeigen lassen. Um nun den Schnittpunkt für y=18
herauszufinden, kann man einfach diese Gleichung ebenso von GeoGebra
zeichnen lassen. Damit bekommt man einen Schnittpunkt zwischen zwei
Geraden, den man visuell bestimmen kann. Um den genauen Wert zu bestimmen,
kann man die Funktion "Schnittpunkt" benutzen, um einen Punkt angezeigt
zu bekommen. An diesem Punkt kann man den x-Wert und somit die Lösung der
Gleichung ablesen! Man kann mit einem Tabellenkalkulationsystem mithilfe
der Funktion des automatischen Ausfüllens den y-Wert für eines gewollte x
darstellen lassen. Dafür trägt man zwei Werte für x ein, bei dem der
Startwert mit dem ersten x-Wert, sowie der Abstand zweier Werte angegeben
wird. Nun kann man diese Spalte beliebig lang ziehen. In der benachbarten
Spalte kann man nun durch automatisches Ausfüllen mit Zellbezug zum linken
Kästchen das Feld ausfüllen lassen.
Diese beiden Methoden dienen zum einen dazu, die Berechnung zu überprüfen,
SUS können also ihre arbeiten selbstständig korrigieren und überprüfen.
Außerdem haben die Lernenden oft Freude, mit digitalen Geräten zu arbeiten.
Ihre Motivation steigt und somit auch der Lernerfolg! Falls die SuS sich
bereits mit den Programmen auskennen, kann unnötiger Arbeitsaufwand
gespart werden und die Lernenden kommen schneller zu ihren Ergebnissen.
Das darf allerdings nur dann passieren, wenn die SuS auch ohne
Hilfswerkzeuge zu den Ergbnissen kommen und handschriftlich auch
ausreichende kompetenzen haben.
17 Anhang CIII
#31 – SSNI6KVE - Prä (D2)
(Leeres Schriftfeld)
#31 – SSNI6KVE - Post (D1)
Die Aufgabe kann mithilfe von GeoGebra beantwortet werden, indem man die
beiden Geraden in das Eingabefeld eingibt und sich dann die Geraden
zeichnen lässt. Danach kann man sich die Schnittpunkte anzeigen lassen.
Ich würde es bevorzugen, dass die SchülerInnen zuerst händisch ausrechnen
wo die Schnittpunkte liegen und dann mit Geogebra kontrollieren ob sie
richtig gerechnet haben. Die Geraden zu zeichnen ist komplex und würde
mehr Zeit in Anspruch nehmen. Zudem würde es den SchülerInnen Spaß bereiten
mit der Plattform Geogebra zu arbeiten. Trotzdem würde ich die SchülerInnen
zuerst selbst rechnen lassen bevor sie mit der Plattform arbeiten.
17 Anhang CIV
#32 – DÖRT2MCA - Prä (D1)
a) Bei Geogebra kann man die Funktionen f(x) und g(x) bilderisch zeigen.Die
Schnittpunkte können dadurch auch sehr leicht gezeigt werden.
b) Einerseits ist die Nutzung der digitalen Medien im Mathematik sehr
vorteilhaft. Da die Schülerinnen und Schüler mithilfe dieser Einsätze
durch Experimentieren und mit Spaß die Zusammenhänge von Funktionen,
Geometrie usw. leichter und vor Augen verstehen kann. Anderseits brauchen
sie dafür sowohl ein Grundwissen von Mathematikkenntnise. Nur mit diesen
Medien können sie nicht allein klar kommen. Sie sollen auch verstehen
warum es so ist und nicht einfach nur etwas in das Programm tippen und
ohne zu verstehen versuchen etwas auswendig oder nur bilderisch zu lernen.
#32 – DÖRT2MCA - Post (D2)
a) Man kann diese Aufgabe sehr gut mithilfe von Excel lösen. Man kann die
Formel eintragen und eine Wertetabelle für verschiedene x Werte erstellen
und automatisch die Werte berechnen lassen. Darüber hinaus kann man auch
ein X,Y Diagramm erstellen. Die Schülerinnen und Schüler können sehr gut
beobachten, wie sich der Graph bei verschiedenen x Werte verändern kann.
b) Es ist vorteilhaft, dass die Schülerinnen und Schüler z.B durch die
Erstellung eines X,Y Diagramms eine visuelle Vorstellung direkt vor Augen
haben können. Darüber hinaus spart man Zeit, weil Excel die Werte
automatisch berechnet. Natürlich ist es wichtig, dass die Schülerinnen und
Schüler zuerst das Kopfrechnen beherrscht und das vorher im Unterricht
vielmals geübt wird aber trotzdem sehe ich die Nutzung der digitalen Medien
im Unterricht als Vorteil
17 Anhang CV
#33 – DARN9GKL - Prä (D1)
a) Man könnte die Aufgabe so gestalten, dass man als erstes die Funktion
sowie die Gerade in GeoGebra eingibt, damit die Schüler*Innen eine
Vorstellung davon bekommen, wie der Graph und die Gerade aussehen. Dies
würde ich die Schüler*Innen eigenverantwortlich machen lassen, wenn diese
ein Tablet oder einen Laptop besitzen. In einer weniger gut digital
ausgestatteten Klasse, würde es bei der Lehrkraftsdemonstration des
Programmes bleiben, oder man könnte sich einen Lernenden heraussuchen,
der/die das Programm bedient um somit die Medienkompetenz zu fördern. Die
Funktionen würde ich nacheinander zeigen, d.h. wenn der Graph gezeigt
wurde, diesen ausblenden, dann die Gerade eingeben und sichtbar machen und
erst danach, wenn alle Schüler*Innen ein Bild vom Graphen und der Gerade
haben, beide Funktionen wieder sichtbar machen. Die Schnittpunkte sind für
die Schüler*Innen ersichtlich, aber um auf das genaue Ergebnis der
Schnittpunkte zu kommen, müssen sie diese ausrechnen. Als Kontrolle werden
am Ende der Rechenzeit die Schnittpunkte mit GeoGebra aufgelöst und es
können Fragen zur Rechnung gestellt werden, falls diese bei manchen
Schüler*Innen fehlerhaft seien sollten.
b) Vorteile: Die Schüler*Innen können sich direkt ein Bild vom Graph und
der Gerade machen, sie wissen direkt wie diese aussehen. Die
Medienkompetenz im Bezug auf GeoGebra wird gefördert. Schüler*Innen haben
eine direkte Kontrollmöglichkeit, um zu prüfen, ob ihr Ergebnis richtig
ist. Nachteile: Die Schüler*Innen könnten sich ohne Hilfe von GeoGebra
evtl. keine Graphen mehr vorstellen, sprich, sie wären dazu angewiesen
sich den Graphen per GeoGebra anzeigen zu lassen, um sich unter ihm etwas
vorstellen zu können. (Dieser Aspekt ist mMn zu vernachlässigen, da die
wenigsten Schüler*Innen mKn diese Fähigkeit besitzen.)
#33 – DARN9GKL - Post (D2)
a) Mithilfe von Geogebra könnte man sich den Graphen der e-Funktion
anzeigen lassen. Ein Punkt der auf der Funktion liegt, kann mit
Schieberegler realisiert werden. Dadurch könnte man den Punkt auf der e-
Funktion "laufen" lassen. Wenn man dies analog bei der Logarithmusfunktion
macht, die die Umkehrfunktion der e-Funktion darstellt, sieht man, dass
die Punkte auf den Funktionen auch analog verlaufen.
b) Dadurch wird besser gezeigt, dass die Logarithmusfunktion die
Umkehrfunktion der e-Funktion ist und warum man mit dem oberdargestellten
Algorithmus eine brauchbare Lösung erhält. Nachteil: Keine, noch nicht mal
ein "höherer Arbeitsaufwand". Hier gibt es nämlich schon ein solches
Applet: https://www.geogebra.org/m/ZvghKq8Y
17 Anhang CVI
#34 – BTSN7BJA - Prä (D2)
a) Die Gleichung könnte über Geogebra gelöst werden. Dies erspart
Rechenaufwand und stellt den Kontext graphisch dar.
b) Vorteile des Einsatzes eines Programms: - Die Rechnung wird schnell
ausgeführt und die SuS können sich den Geometrischen Zusammenhang
anschauen - Es spart Zeit (nur sinnvoll, wenn das Lösen einer solchen
Gleichung bereits vollständig verstanden wurde) Nachteile: - Die SuS
verlassen sich auf das Programm (möglicherweise haben sie gar kein
Interesse daran den geometrischen Zusammenhang zu verstehen) - Das
"händische" berechnen wird vergessen
#34 – BTSN7BJA - Post (D1)
a) Eingabe in dem Programm Geogebra mit der Funktion Schnittpunkte zu
bilden.
b) Pro: Kontrollfunktion, Zeitersparnis (wenn Fokus auf dem Sachkontext
und nicht der Berechnung selbst liegt) Veranschaulichung des Ergebnisses
(Zugang über andere Darstellungsform) Kontra: "Händisches Rechnen" wird
vernachlässigt, Zeitaufwand (abhängig von dem Leistungsstand der
Schülerinnen und Schüler)
17 Anhang CVII
#35 – NFKH4ESA - Prä (D1)
a) In dem die SuS die zwei Funktionen durch GeoGebra zeichnen lassen,
haben die Lernenden eine Darstellung der theoretischen Formeln und können
sich diese so greifbarer machen. Sie sehen, was sie bearbeiten und können
ihre Lösungen vergleichen.
b) Diese digitale Form ist als Unterstützung sehr lehrreich. Die SuS
sollten aber trotzdem die Aufgabe rechnerisch lösen, damit sie sich nicht
bloß auf die Technik verlassen. Das Programm soll helfen, die Formeln zu
visualisieren und so zum Nachdenken anregen. Bei ausschließlichem
Verwenden, werden die SuS die Daten bloß eingeben und die Ergebnisse
abschreiben, ohne den Vorgang zu hinterfragen.
#35 – NFKH4ESA - Post (D2)
a) Mit Hilfe solcher digitalen Mathematikwerkzeuge kann man diese Aufgabe
unterstützen oder auch lösen. Mit Excel könnten man beispielsweise die
Aufgabe von dem Programm einfach ausrechnen lassen. In dem Algebra Fenster
bei dem Programm „GeoGebra“ könnte die Funktionsgleichung
eingeben und sich dadurch den Graphen der Funktion anzeigen lassen.
b) Den Einsatz von Excel halte ich in diesem Falle als weniger sinnvoll,
da die SuS abgesehen von dem technischen Wissen, wie man eine Solche
Gleichung lösen kann, keinen Lernzuwachs haben. Da wäre das eigenständige
Rechnen, um die Vorgehensweise zu trainieren, besser geeignet.
Der Einsatz von GeoGebra ist in aber Hilfreich. Die SuS erhalten zum einen
eine Vorstellung davon, wie der Graph zur Funktion aussieht und erlangen
so ein besseres Verständnis für Funktionsgleichungen. Ein anderer
positiver Aspekt ist, dass sie durch ausprobieren und umdenken ebenfalls
das Lösungsergebnis erhalten können, oder das von ihnen ausgerechnete
Ergebnis kontrollieren können. Das Rechnen ohne Hilfsmittel darf aber
nicht vernachlässigt werden.
17 Anhang CVIII
#36 – SJGT0KSE - Prä (D2)
Durch die Unterstützung von Geogebra kann man den Schülern näher bringen,
wie genau der Logarithmus „arbeitet“. Viele kennen zwar die Schritte, wie
sie mit dem Logarithmus bei verschiedenen Formeln umzugehen haben,
verstehen aber nicht was genau der Logarithmus macht. Dies könnte man
Ihnen mithilfe von Geogebra näherbringen. Ebenfalls haben einige Schüler
eventuell nicht die Vorstellungsmöglichkeiten bestimmte Gleichungen sich
graphisch vorzustellen, auch dieses Verständnis könnte durch Geogebra
geschult werden.
b) Vorteile: -graphische Visualisierung - weiteres Verständnis für den
Logarithmus - nicht nur „stumpfes“ Eintippen in den Taschenrechner -
Kontrolle, ob der Rechenwert stimmt Nachteile: - Schüler sehen keinen Sinn
dahinter, da sie es auf schnellere bzw.. einfachere Weise mit dem
Taschenrechner berechnen können -Zeitaufwand - wollen die Prozesse
„dahinter“ nicht verstehen -> schnelles Berechnen reicht Ihnen
#36 – SJGT0KSE - Post (D1)
a) Gerade solche Aufgaben eigenen sich extrem, um mit GeoGebra zu lösen.
Die Schülerinnen und Schüler können die zwei Funktionen eingeben und
visuell direkt die Schnittpunkte sehen, diese dann antippen und schon
haben sie die Koordinaten der Schnittpunkte.
B) Vorteile: Die Schülerinnen und Schüler haben eine visuelle
Unterstützung. Sie bekommen ein Bewusstsein, dafür wie welcher
Funktionsterm graphisch aussieht. Vielen Schüler fehlt eben genau diese
visuelle Vorstellungskraft. Man legt ihnen einen Funktionsterm/ eine
Funktionsgleichung vor und sie rechnen damit Schritt für Schritt ihre
Aufgaben, gehen dabei einen ihnen bekannten Verfahren nach. Jedoch können
sie dann zwar die Aufgabe schriftlich lösen, könnte sehr wahrscheinlich
aber nicht sagen, wie der Graph in etwa aussieht. Genau dabei hilft ihnen
dann Geogebra, GeoGebra verleiht ihnen zu den Zahlen, die sie berechnen
eben eine visuelle Unterstützung. Nachteil: Wenn sie Schüler und
Schülerinnen immer die Möglichkeit haben mit GeoGebra zu arbeiten, kommt
das schriftliche Lösen von Aufgaben zu kurz. Sie verlernen dann, wie man
die Aufgaben Schritt für Schritt lösen können. Weitere Nachteil ist, dass
nicht jede Schule technisch so gut ausgestattet ist, dass jeder Schüler
an einem Laptop/ PC arbeiten kann. Meiner Meinung nach ist immer noch die
Mischung die beste Lösung. Die Schülerinnen und Schüler sollen zu erst,
die Aufgabe schriftlich lösen und dann mithilfe von GeoGebra ihr Ergebnis
korrigieren und ihr Ergebnis eben auch visuell sehen können. So verlernen
sie das schriftliche Lösen nicht und erlernen eine Funktionsgleichung
graphisch vorzustellen.
17 Anhang CIX
WiSe 2022/2023
#37 – ATSL8NSX - Prä (D2)
a) Die Lösung dieser Aufgabe lässt sich auch als Nullstelle der Funktion
f(x)=3^x-18 bestimmen. Dieses Vorgehen kann gut mit Geogebra visualisiert.
Zunächst wird die Funktion im Algebra-Fenster eingegeben, dann im
Graphics-Fenster angezeigt und anschließend lässt man sich über eine
vordefinierte Funktion von Geogebra den Schnittpunkt der Funktion mit der
x-Achse anzeigen.
b) Einen großen Mehrwert liefert dieser Einsatz im Bereich der Verknüpfung
verschiedener Darstellungformen einer Funktion. Im speziellen werden hier
die ikonische und symbolische Ebene (nach dem EIS(S)-Prinzip) miteinander
in Verbindung gebracht. Die Aufgabe wird nicht rein algebraisch gelöst,
sondern ebenfalls graphisch dargestellt. Damit erhalten die SuS eine
weitere Interpretation der Aufgabe neben der rein algebraischen. Bei der
in a) vorgestellten Variante der Bearbeitung der Aufgabe werden außerdem
die Kompetenzen im Umgang mit digitalen Mathematikwerkzeugen geschult. Als
Nachteil lässt sich hier erkennen, dass der algebraische Umgang mit
Gleichungen (Umformen etc.) in den Hintergrund gerät.
#37 – ATSL8NSX - Post (D1)
a) Diese Aufgabe lässt sich mMn gut durch den Einsatz von GeoGebra
unterstützen. Die beiden Funktionen können im Algebra-Fenster eingegeben
werden. Daraufhin werden die beiden Graphen im Graphik-Fenster angezeigt.
Durch Auswählen des richtigen Tools können die Schnittpunkte dann mit zwei
einfachen Mausklicks auf die Graphen direkt im Algebra-Fenster angezeigt
werden.
b) Einen großen didaktischen Mehrwert bei der Bearbeitung der Aufgabe mit
GeoGebra sehe ich bei der Vernetzung/Gegenüberstellung der verschiedenen
Darstellungsformen der Funktionen. Gerade in Form der Graphen wird die
Aufgabe die Schnittpunkte zu finden sehr gut verdeutlicht und man kann gut
erklären, warum daraus folgen muss, dass die Funktionsgleichungen gleich
gesetzt werden müssen. Ebenfalls bietet die digitale Umsetzung die
Möglichkeit schnell Veränderungen an der Aufgabe vorzunehmen (Wann gibt
es nur einen / keinen Schnittpunkt?,...). Trotzdem sehe ich weiter die
Notwendigkeit auch den algorithmischen Aspekt des Rechnens zu schulen.
Dieser könnte bei einer rein digitalen Behandlung dieser Aufgabe
vernachlässigt werden.
17 Anhang CX
#38 – AASG2GKA - Prä (D1)
a) Man könnte hier zur erklärung beide Graphen in GeoGebra erzeugen, aber
in einzelnen Fenstern, sodass man nicht direkt die Schnittpunkte sieht,
aber gut daran veranschaulicht erklären kann, was das Ziel der Rechnung
ist. Nach dem Ausrechnen könnte man dann beide Graphen in einem Fenster
erstellen und die Schnittpunkte Anzeigen lassen.
b) Wenn man GeoGebra wie in a) vorgeschlagen nutzt, würde ich die Nutzung
als vorteilhaft bewerten, da sie lediglich zu Erklärung und
Veranschaulichung der Problemstellung dient. Sollte jedoch GeoGebra direkt
zur Zielführung genutzt werden, so gehen den Schülern sowohl Rechenweg als
auch das Rechenen an sich verloren.
#38 – AASG2GKA - Post (D2)
Man könnte diese Aufgabe mit Hilfe von GeoGebra lösen lassen. Als erstes
sollen die Schüler*innen die Funktion f(x)=3^x darstellen lassen. Danach
kann man anschaulich jeden Punkt der Gleichung sehen. Nun sollen die
Schüer*innen den Wert für y=18 ablesen. Zusätzlich rechnen die
Schüler*innen die Gleichung händlisch aus, damit auch das Rechnen nicht
vernachlässigt wird. Da diese Möglichkeit GeoGebra zu nutzen nur eine
Veranschaulichung des Rechenwegs ist, also zur Überprüfung genutzt werden
kann, und trotzdem noch ausgerechnet werden soll, gibt es eher keine
Nachteile die entstehen. Es könnte natürlich zu Unruhe in der Klasse
kommen, da das oft passiert, wenn man "neue" Werkzeuge in der Klasse
benutzt, die nicht gängig sind. Abgesehen davon entstehen die Vorteile,
dass die Schüler*innen einen Bezug zur Rechnung haben und wirklich
anschaulich sehen, was sie eigentlich grade ausrechnen.
17 Anhang CXI
#39 – SHTG8ÜHS - Prä (D1)
zu a): Als visuelle Hilfe bietet sich GeoGebra an. Hier kann man sich die
Graphen von f und von g einfach und schnell zeichnen lassen. Nun kann man
ganz einfach die Schnittpunkte sehen, beziehungsweise anklicken. Mit Hilfe
von GeoGebra kann man die vorher berechneten Schnittpunkte schnell
kontrollieren. Es ist also gut als Kontrollfunktion und Visualisierung
geeignet.
zu b): Als Vorteile sind die Schnelligkeit des Graphenzeichnens und die
visuelle Kontrolle zu nennen. Man kann hier sehr viel Zeit sparen und den
SuS das Aussehen und die Charakteristik verschiedener Funktionen zeigen.
Dadurch, dass man jedoch sehr schnell die Schnittpunkte durch GeoGebra
herausfinden kann, könnte es dazu kommen, dass einige SuS den "klassischen
Weg" umgehen, um schneller an die Lösung zu kommen.
#39 – SHTG8ÜHS - Post (D2)
a) Mit GeoGebra könnte man diese Aufgabe grafisch lösen, indem man die
Funktion f(x)=18 und g(x)=3^x zeichnen lässt und dann schaut, wo der
Schnittpunkt ist. Man hat durch die Verwendung mit GeoGebra außerdem
nochmal einen guten Eindruck wie eine solche Potenzfunktion als Graph
aussieht. Mit Excel könnte man sich innerhalb eines bestimmten Intervalls
die Funktionswerte für 3^x berechnen lassen und das Intervall ggf. mit
Hilfe des Intervallhalbierungsverfahren den Schnittpunkt, also auch die
Lösung der Gleichung annähern.
b) GeoGebra: Hier hat man den Vorteil, dass GeoGebra die Funktionsgraphen
zeigt und es visuell anspricht. Es verdeutlicht außerdem den
Hintergedanken vom Lösen solcher Gleichungen. Excel: Mit Hilfe von Excel
kann man sehr schnell eine Wertetabelle berechnen lassen und somit zur
Lösung kommen. Nachteil bei dem Einsatz solcher Hilfswerkzeuge generell
ist, dass der Schüler dazu neigt bequem zu werden. Auch wenn es manchmal
sinnvoll ist, solche Kompetenzen zu beherrschen sollte man das berechnen
"per Hand" ebenfalls können. Außerdem kann der Einsatz von solchen
Hilfswerkzeugen motivierend für die Schülerinnen und Schüler sein, ein
etwas komplexeres Thema verstehen zu wollen und nicht gleich aufzugeben,
sobald es etwas komplizierter wird.
17 Anhang CXII
#40 – SGOR3SRN - Prä (D2)
1) Die dargestellte Aufgabe lässt dich mit Hilfe von Geogebra darstellen,
denn man kann zum Beispiel die Funktion 3^x=y mit Geogebra darstellen.
Anschließend können die Schülerinnen und Schüler abschätzen, bei welchem
x-Wert der Y-Wert 18 erreicht wird. Alternativ lässt sich die Aufgabe auch
mit einer Tabelle abschätzen, ähnlich wie eine Wertetabelle.
2) Aus didaktischer Sicht ist es vorteilhaft, dass die Lehrperson die
Aufgabe anhand eines graphischen Schaubildes darstellen kann. Doch der
Zusammenhang, wieso dies möglich ist, sollte den Schülerinnen und Schülern
bewusst sein und verdeutlicht werden. Bei der graphischen Unterstützung
geht jedoch der rechnerische Lösungsvorgang verloren, weshalb zunächst
dieser Rechenvorgang angeeignet werden muss. Als weiteren Vorteil ist,
dass die Motivation bei den Schülerinnen und Schülern geweckt wird.
#40 – SGOR3SRN - Post (D1)
a) Diese Aufgabe kann man sowohl mit GeoGebra, als auch mit einer
Tabellenkalkulation unterstützen. GeoGebra kann man dazu verwenden den
Schülerinnen und Schülern die Aufgabe zu veranschaulichen, somit kann man
den Schülerinnen und Schülern zeigen, was der Schnittpunkt überhaupt ist.
Sie können die Aufgaben mit Hilfe von GeoGebra kontrollieren. Die
Tabellenkalkulation kann man nutzen, indem die Schülerinnen und Schüler
Wertetabellen anfertigen und anhand dessen die Ergebnisse vergleichen.
b) Der Vorteil der Nutzung liegt darin, dass man denn Schülerinnen und
Schülern die Aufgaben veranschaulichen kann und sie so ein Gefühl bekommen,
was sie überhaupt gemacht haben. Des Weiteren können sie die Aufgaben
selbstständig kontrollieren. Darin besteht jedoch auch die Gefahr, denn
die Schülerinnen und Schüler könnten die Aufgaben nur noch mit Hilfe der
digitalen.Mathematikwerkzeugen bearbeiten. Das eigentliche mathematische
Verfahren rückt dabei in den Hintergrund
17 Anhang CXIII
#41 – PWIB8BZN - Prä (D1)
Mithilfe von Wertetabellen (in GeoGebra oder Excel) kann numerisch
ausprobiert werden, wo sich die Schnittpunkte der beiden Funktionen g und
f liegen. Wichtig wäre nur, dass ein günstiger x- Wert zu Beginn von der
Lehrkraft vorgegeben wird. Ausgehend von diesem anfänglichen x- Wert
könnten anschließend von den Schülern die dazugehörigen Funktionswerte
verglichen werden. Dadurch bestimmen die Schüler die Schnittpunkte
näherungsweise mithilfe von Mathematikwerkzeugen. Bei GeoGebra kann z.B.
der Graph beider Funktionen nur teilweise angezeigt werden, sodass der
Schnittpunkt der beiden Funktionen nicht direkt sichtbar ist. Die Schüler
könnten dann mithilfe des sichtbaren Verlaufes der Funktionsgraphen
Vermutungen anstellen, wo der Schnittpunkt ungefähr liegt. Auch hier liegt
der Fokus auf das näherungsweise (numerische) Lösen. Dadurch wenden die
Schüler nicht stumpf einen Algorithmus an ohne nachzudenken, sondern sie
müssen ein aufgeworfenes Problem eigenständig lösen. Außerdem lernen die
Schüler spielerisch und experimentell mit Mathematikwerkzeugen umzugehen.
#41 – PWIB8BZN - Post (D2)
a.) Man kann in Excel eine Wertetabelle für die Funktion im Intervall
[0,5] mit der Schrittweite 0,5 erstellen lassen und anschließend die
zugehörigen Funktionswerte ablesen. Anschließend können die SuS ablesen
für welchen x- Wert der zugehörige Funktionswert möglichst nah an 18 liegt.
Zusätzlich kann man die Gleichung umstellen zu 3^x-18=0 und die Funktion
f(x)= 3^x-18 in GeoGebra plotten lassen.
b.) Vorteil dieser Wertetabelle ist, dass man zusätzlich Eigenschaften der
Exponentialfunktion wiederholt. Es wird nochmal an einem konkreten
Beispiel gezeigt, was Exponentielles Wachstum bedeutet und wie sich die
Funktionswerte in Abhängigkeit von den x- Werten verändern. Zudem können
auch in GeoGebra der Zusammenhang der Logarithmus und Exponentialfunktion
verdeutlicht werden, indem graphisch ersichtlich ist, dass die
Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. (also
das Gegenteil macht.)
17 Anhang CXIV
#42 – ISJE0OWD - Prä (D2)
a) GeoGebra: 3^x = 18 bedeutet der Schnittpunkt zwischen y=18 und h(x)=3^x,
dh man kann diese beiden Graphen und den Schnittpunkt anzeigen lassen. Es
entsteht der Punkt A(2.63,18). Excel: Erstellung einer Wertetabelle mit
der Definitionsmenge [1,5], wobei h(x)=3^x ist. Dabei müssen die Schüler
ein kleinschrittiges Intervall verwenden zB 0.25 Excel spuckt die
Wertemenge aus und die Schüler:innen können den Wert bei y=18 ablesen. Die
Antwort wäre zwischen 2,5 und 2,75. Dementsprechend können die Schüler das
Intervall weiter verkleinern.
b) GeoGebra und Excel ergänzen sich in diesem Fall. Aus der Wertetabelle
kann auch zeichnerisch der Graph gezeichnet werden, was aber schneller mit
GeoGebra funktioniert. Dh Schüler können viel mehr berechnen.
Grundsätzlich ist die digitale Variante nur eine Ergänzung dafür, dass
vorher die Logarithmusregeln angewendet wurden und die
Äquivalenzumformungen sitzen sollten, da sie auch für andere Berechnungen
notwendig sind.
#42 – ISJE0OWD - Post (D1)
Funktionen gleichsetzen bedeutet, dass kein, ein oder mehrere
Schnittpunkte der Funktione gesucht werden. Zu den Funktionen existieren
auch Funktionsgraphen, die mithilfe von Geogebra gelöst werden können.
Dabei werden die beiden Funktionen in ein Algebrafenster eingegeben und
die Grafikoberfläche zeichnet die Funktionsgraphen ein. Der Schüler
erkennt sofort, ob es einen Schnittpunkt gibt oder ob keinen. GeoGebra
könnte dabei den Schnittpunkt anzeigen lassen. Der Vorteil ist, dass das
Ergebnis überprüft werden kann, die Aufgabe kann sogar erweitert werden
mit einer geometrischen Analyse, indem bestimmte Flächen eingezeichnet
werden und bestimmte Punkte von den Eigenschaften der Fläche (z. B.
Parallelogramm) als Ortskurve eingezeichnet werden können (mit vorheriger
Berechnung und wieder nur zur Überprüfung, ob die berechnete Ortskurve
stimmt). Zudem können sich die Schüler besser vorstellen, was sie gerade
berechnen; Nachteil ist, wenn die Schüler die Lösung nicht algorithmisch
lösen sollen, da das algorithmische Denken, vor allem im
Informatikunterricht ein wesentliche Rolle spielt bzw. im Alltag ebenso.
In einer Tabellenkalkulation können die Punkte ebenso bestimmt werden, in
dem eine Wertetabelle aufgesetzt wird mit geringer Schrittweite, sodass
der Schnittpunkte oder die Schnittpunkte abgelesen werden können. Evtl.
kann auch ein Diagramm erstellt werden zu der dazugehörigen Wertetabelle.
In diesem Beispiel kommt ein Vorteil dazu, nämlich die Analyse von Daten;
der Nachteil ist, dass fast nur ganzzahlige Lösungen erlaubt sind, da
Schüler eventuell beanstanden, dass die Punkte nicht genau die Dezimalzahl
entsprechen.
17 Anhang CXV
#43 – NASN0HSA - Prä (D1)
a) Man kann sich die Schnittpunkte anzeigen lassen und danach die Schüler
dann rechnen lassen, um sich beim Ergebnis sicher sein zu können (bei
GeoGebra). Bei GeoGebra kann man die Funktion eingeben und sich so
vergewissern welches Ergebnis richtig ist. Durch GeoGebra kann man sich
ganz einfach auch die Lösung bildlich anschauen.
b) Durch den Einsatz digitaler Unterstützung wird den Schülern die Arbeit
abgenommen und vieles erleichtert was das denken nicht mehr zu 100% fördert
bzw. anregt. Jedoch kann es auch ganz hilfreich sein, dass man sich in dem
Beispiel die Schnittpunkte anzeigen lassen kann, denn so kann man
herausfinden ob man richtig gerechnet hat oder nicht bzw. kann man so
eventuell auch Fehler entdecken. Generell kann der Einsatz digitaler
Unterstützung Hilfeich sein, jedoch kann es auch dazu führen, dass man
sich als Schüler keine Gedanken mehr machen muss, da man ja alles durch
Geogebra/Excel herausfinden kann.
#43 – NASN0HSA - Post (D2)
a) Man könnte diese Aufgabe gut mit Tabellenkalkulation lösen um schneller
an ein Ergebnis zu kommen, ohne alles mit der Hand ausrechnen zu müssen.
Denn in einem Programm kann man ganz einfach die Gleichung ergeben und
sich das Ergebnis berechnen lassen. Mittels GeoGebra könnte man sich die
Gleichung dann Graphisch darstellen lassen.
b) Auf Grund dessen man mittels Tabellenkalkulation diese Aufgabe lösen
kann, werden den Schüler/innen einige Hürden abgenommen. Denn sie müssen
sich so keine großartigen Gedanken über die Aufgabe machen, sondern können
Befehle eingeben, welche ihnen die Ergebnisse direkt sagen. Dies ist ein
großer Nachteil, denn so wird das denken der Schüler/innen nicht mehr
gefördert und gefordert. Zudem könnten die Schüler/innen sich bei den
Aufgaben "entspannt" zurücklegen und sind nicht mehr so aufmerksam wie
sonst. Vorteil an der Sache ist der Zeitaufwand, welcher dann nicht mehr
so vorhanden ist. Digitale Hilfsmittel können Grundsätzlich unterstützen,
sollten aber nicht zu oft und zu viel eingesetzt werden.
17 Anhang CXVI
SoSe 2023
#44 – BHAB2BBE - Prä (D2)
a) Man könnte die SuS die Gleichung bis zu einem bestimmten Punkt umstellen
lassen (z.B. bis nach x= umstellen lassen) und den Rest der Gleichung in
einem Tabellenkalkulationsprogramm ausrechnen lassen. Man könnte die SuS
auch die Gleichung in GeoGebra eingeben lassen. Dann können sie sich die
Gerade anschauen und grob schon sehen, was x ist.
b) Ein Vorteil ist, dass man viel Zeit sparen kann, wenn man die Aufgabe
komplett mit einem Programm wie Excel löst. Man muss allerdings aufpassen,
dass die SuS die mathematischen Hintergründe trotzdem verstehen und nicht
nur stumpf die Aufgaben von digitalen Mathematikwerkzeugen ausrechnen
lassen.
#44 – BHAB2BBE - Post (D1)
In GeoGebra könnte man diese Aufgabe sehr leicht bearbeiten lassen. Die
SuS müssten die beiden Funktionsgleichungen in das Algebra Fenster
eingeben und sich so die Graphen der Funktionen anzeigen lassen. Dann
würden sie bereits die Schnittpunkte der beiden Funktionen sehen. Diese
könnten sie nun selber ablesen oder sich von GeoGebra anzeigen lassen.
Meiner Meinung nach ist der Einsatz vor allem von GeoGebra als
Unterstützung zu dieser Aufgabe sehr sinnvoll. Es ist zeitsparend, da die
SuS keine langen Berechnungen machen müssen. Des Weiteren denke ich, dass
die SuS in ihrem späteren Leben, wenn sie mit Funktionen arbeiten müssen,
nie händisch deren Schnittpunkte ausrechnen würden, sondern ohnehin
Programme wie GeoGebra nutzen würden. Indem wir ihnen diese Programme
schon in der Schule näher bringen haben sie für ihr späteres Leben schon
hilfreiche Kenntnisse darüber. Außerdem werden die Funktionsgleichungen
in einem Graphen visualisiert und die SuS können so auch nochmal sehen wie
Funktionen dieser Formen aussehen. Ein Nachteil des Einsatzes von
digitalen Mathematikwerkzeugen ist, dass die Kinder sich eventuell gar
nicht mehr mit den Rechnungen und der Mathematik dahinter beschäftigen,
sondern
17 Anhang CXVII
#45 – ARFB1BPX - Prä (D1)
a) Durch eine graphische Darstellung durch z.B. Geogebra ist es möglich
den SuS eine bessere Vorstellung zu geben, was in diesem Beispiel
tatsächlich gemacht wird. Es wird bildlich deutlich, wann und wie viele
Schnittpunkte existieren und wie dabei die Funktionen liegen müssen. Mit
nur wenigen Mausklicks können über Schieberegler für die Parameter
verschiedene Beispiele erzeugt werden. Über Tabellenkalkulation können
Ergebnisse aus der vorherig Beschriebenen Methode schnell und
Übersichtlich festgehalten werden.
b) Vorteile liegen vorallem in der schönen und genauen Darstellung und der
leichten Modifizierbarkeit. Nachteile könnten das blinde Eintippen und
Ablesen von Schnittpunkten seitens der SuS sein, ohne zu hinterfragen, was
sie eingegeben haben und auch nicht wissen, wie gerechnet wird. Auch das
Rechnen selbst wird durch reine Computernutzung nicht gefördert.
#45 – ARFB1BPX - Post (D2)
a) Eine Funktion mit der Variable im Exponenten könnte für die SuS ggf.
schwierig vorzustellen sein. Mithilfe von GeoGebra könnte die Funktion
graphisch genau und sauber angezeigt werden, um den SuS eine
Veranschaulichung des Graphenverlaufs zu bieten und graphisch die Lösung
bereitzustellen. Im Gegensatz zum analogen Anfertigen des Graphen wird so
ebenfalls Zeit eingespart.
b) Der Vorteil der Veranschaulichung mit GeoGebra ist, dass das Verständnis
für diese Art von Funktionen durch die graphische Komponente gefördert
wird. Digitale Hilfsmittel sind oft aufmerksamkeitsanregend und fördern
zusätzlich die Kompetenz im Umgang mit digitalen Hilfsmitteln seitens der
SuS für die Zukunft.
17 Anhang CXVIII
#46 – SFKN8OCZ - Prä (D2)
a) Mit GeoGebra könnte man sich diese Gleichung in Form einer Formel
ausrechen lassen und diese dann anschließend im Graphen anzeigen lassen,
um x rauszubekommen. Im Hinblick auf Tabellenkalkulation könnte man die
Tabelleneinstellungen so Programmieren, dass entsprechend diese Gleichung
gelöst wird.
b) Einerseits ist für die Bearbeitung dieser Aufgaben mit digitalen
Medienwerkzeugen von Nöten, dass man sich mit der Struktur dieser
Aufgabenstellung/ dieses Problems auseinandersetzt, um die einzelnen
Schritte zum Erhalten eines Ergebnisses nachvollziehen und erreichen zu
können. Andererseits werden somit nur wie durch einfache Benutzung des
Taschenrechners eher Vorgänge konditioniert, da das Risiko der einfachen
Reproduktion ohne richtige Auseinandersetzung relativ hoch ist. Daher
könnte man diese Formen der Bearbeitung erst nach kleinschrittiger und
schriftlicher Bearbeitung in Erwägung ziehen.
#46 – SFKN8OCZ - Post (D1)
a) Die Schüler könnten mithilfe von Excel einerseits die automatische
Ausrechnung der PQ-Formel programmieren, indem sie durch Zellenbezug P und
Q in einzelnen Fällen darstellen, andererseits auch durch die Möglichkeit
sich Graphen anzeigen zu lassen, diese zu erstellen und die Schnittpunkte
ablesen zu können. Die gleiche Möglichkeit des Ablesens bietet sich auch
in Geogebra an, allerdings könnte man da direkt jeweils beide Funktionen
aufstellen und sich die Schnittpunkte sofort durch das Gleichstellen von
f(x) und g(x) Anzeigen zu lassen.
b) Ein Vorteil könnte sein, dass Schüler Lösch das Benutzen von digitalen
Werkzeugen mehr Spaß an den aufgaben haben und so motivierter an die
Aufgaben herangehen.
17 Anhang CXIX
#47 – HWMN6WWT - Prä (D1)
a) Die Schüler könnten die beiden Graphen in Geogebra eingeben und dann
intuitiv den Schnittpunkt markieren und ablesen. In einem zweiten
Arbeitsschritt müsste der Algorithmus trotzdem durchgeführt werden.
b) Durch das praktische Sehen der Graphen in GeoGebra können sich die
Schüler unter der später ausgeführten Rechnung etwas vorstellen, den Sinn
dahinter verstehen. Nachteil ist das die SuS ggf das ausführen des
Algorithmus als überflüssig empfinden, da den Schnittpunt mit Geogebra zu
finden deutlich einfacher ist. Somit wäre es nötig eine Erklärung zu
finden, wieso das selbsständige Ausrechnen trotzdem eine nötige Kompetenz
ist. So liefert Rechnen etwa präzisere Ergebnisse als Schreiben.
#47 – HWMN6WWT - Post (D2)
Die Gleichung 3^x=18 lässt sich mithilfe von GeoGebra graphisch recht
einfach lösen. Man zeichnet beide Seiten der Gleichung als Funktion ein
und lässt einen Schnittpunkt bestimmen. Dieses Verfahren erfordert jedoch
völlig unterschiedliche Kompetenzen als der Algorithmus. Bei der
algorithmischen Vorgehensweise werden Logarithmusgesetze und
Äquivalenzumformungen geübt. Diese mathematischen Konzepte dürfen im
Unterricht nicht fehlen. Bei der graphischen Lösung in GeoGebra ist ein
gewisses Verständnis über Funktionen gefragt und wird gefestigt. Denn
Schüler müssen erstmal verstehen, dass sich die einfachen Terme als
Funktionen und das Gleichzeichen als Schnittpunkt auffassen lassen. Es
lässt sich somit nicht pauschal sagen, welches Verfahren vorteilig ist.
Die Entscheidung, ob die eine oder die andere Methode angebracht ist,
hängt davon ab, welche Kompetenzen bei den Schülern schon vorhanden sind
und vor allem welche in dem geplanten Unterricht gefördert werden sollen.
17 Anhang CXX
#48 – ARFK1KBE - Prä (D2)
a) Man könnte zunächst die Zahlen und Funktionen, über die man dort spricht
und mit denen man rechnet, graphisch dartellen. Dadurch bekommen die
Schüler eine Vorstellung über die Wichtigkeit des Gerechneten. Zudem kann
man mehr Fokus auf Textaufgaben legen, da der Rechner (Geogebra und TK)
solche Aufgaben ohne viel Aufwand schnell lösen kann. Jedoch ist für die
Überprüfbarkeit, meiner Meinung nach, wichtig, dass die Schüler das
Rechenverfahren schriftlich rechnen können und bspw. Geogebra nur als
Hilfsmittel nutzt, wenn das Rechenverfahren schon verstanden wurde.
b) Der Mehrwert des Einsatzes von digitalen Hilfsmitteln ist in erster
Linie die graphische Unterstützung und die Überprüfbarkeit einer Aufgabe.
Schüler können so, bspw. ihren Rechenweg nachvollziehen, warum das
Ergebnis wichtig ist, und auch überprüfen, ob das Ergebis richtig ist oder
der Wert überhaupt Sinn ergibt. In diesen Vorteilen steckt jedoch auch die
Gefahren und Nachteile. Schüler könnten durch die Überprüfbarkeit das
eigentliche Rechenverfahren außer Acht lassen und sich vollkommen auf die
digitalen Hilfsmittel verlassen, sodass in der Arbeit, diese einfache
Aufgabe nicht per Hand gelöst werden kann. Außerdem wird nicht mehr selbst
nachgedacht, wie eine Funktion aussehen könnte, sondern sofort in Geogebra
eingegeben, sodass die Transferleistung wegfällt.
17 Anhang CXXI
#48 – ARFK1KBE - Post (D1)
a) Zunächst würde ich bei dieser Aufgabe zur Unterstützung Geogebra wählen,
da dies zur Veranschaulichung und Überprüfung der Schnittpunkte, meiner
Meinung nach, die bessere Unterstützung bietet. Als Erstes könnte man die
beiden Funktionsgleichungen in Geogebra ins Algebra-Fenster eintippen und
so die beiden Funktionsgraphen erstellen lassen. Danach könnte man zur
Unterscheidung beider Funktionsgraphen unterschiedliche Farben in der
Darstellung zuordnen. Danach kann man über die Werkzeugleiste mit
"Schnittpunkte" die Schnittpunkte von den Funktionsgleichungen bestimmen
lassen, denn Geogebra ermittelt automatisch die x-und y-Werte der
Schnittpunkte. Das würde heißen, nur durch das Eintippen der Funktionen
in Geogebra und dem Tool "Schnittpunkte" könnte in wenigen Sekunden, die
Aufgabe gelöst sein, ohne die Aufgabe auf irgendeine Art und Weise
algorithmisch zu lösen.
b) Zunächst zu Schwierigkeiten beim Eingeben der Aufgabe in Geogebra aus
der Schülersicht: Es muss auf eine Übersichtlichkeit geachtet werden um
auch dir richtigen Schlüsse aus dem Eingeben in Geogebra zu ziehen, das
heißt die Funktionsgraphen sollten richtig benannt sein, wie in der
Aufgabe, sollten unterschiedliche Farben in der Darstellung haben und die
Schnittpunkte sollten demnach auch richtig benannt sein und am Besten
ebenfalls unterschiedliche Farben haben, sodass man ein übersichtliches
un in sich schlüssiges Ergebnis heraus filtern kann. Außerdem könnten
Probleme entstehen, dadurch dass die Schüler den Algorithmus kennen und
intuitiv f(x)=g(x) ins Algebra-Fenster eingeben, denn dies führt nicht zu
einem richtigen Ergebnis bei den Schnittpunkten. Außerdem könnte man
GEfahr laufen, dass das algorithmische Rechnen in den Hintergrund rückt
und Schüler nur mit Geogebra die Werte ausrechnet. Ich finde eine gesunde
Mischung zwischen Geogebra und handschriftlichen Rechnen wäre die optimale
Lösung. Geogebra als Überprüfung des Gerechneten.
17 Anhang CXXII
#49 – UGRH9HKE - Prä (D1)
a)-nach schriftlicher Rechnung: Arbeit mit Geogebra/Tabellenkalkulation
zur Kontrolle —Graphen mit Geogebra darstellen lassen, Schnittpunkte
anzeigen lassen, mit errechneten Ergebnisse vergleichen -Tabelle der
Graphen darstellen lassen (bis x=10) und gemeinsame Werte anzeigen lassen
b) -Schüler bekommen eine Vorstellung davon, wie ein Graph aussieht - SuS
können sich unter anderen Funktionen auch was vorstellen (durch vergleich
im Kopf) -Gefahr: SuS verlassen sich nur auf Geogebra&co und denken nicht
mehr selbst nach, wie ein Graph aussieht, obwohl sie es theoretisch wissen
müssen -komplizierte Funktionen können auf der ersten Blick für die SuS
sehr demotivierend sein, Anzeige von Graphen etc. bietet den SuS mehr
Möglichkeiten: Motivation, weil ein Ansatz gegeben ist
#49 – UGRH9HKE - Post (D2)
Man könnte Geogebra einsetzten einsetzten. Hierbei könnte man die
SchülerInnen die Gleichung 3^x=18 eingeben lassen. Es erscheint eine
Gerade parallel zu der y- Achse. Um herauszufinden welchen Wert man für x
einsetzten kann, müssen sich die SchülerInnen nun nur einen Punkt auf der
Geraden darstellen lassen. So kommen sie auch auf das Ergebnis x=2,63. Für
die SchülerInnen bietet die Bearbeitung mit Geogebra den Vorteil, dass sie
direkt sehen, dass für x genau ein Wert rauskommt. Durch die Gerade
parallel zur y-Achse ist es für die SchülerInnen verständlich, dass x
immer 2,63 sein muss. Jedoch bietet die Nutzung von Geogebra die Gefahr,
dass man die Rechenfähigkeit verliert. Wenn die SchülerInnen denken, dass
sie solche Aufgaben immer mit Geogebra lösen können, rechnen sie nicht
mehr. Somit können sie die Kompetenz des Rechnens verlieren. Sie haben
weniger Rechenpraxis und können so vergessen wie man mit dem Logarithmus
umgeht. Die Chance ist, dass man sein Ergebnis nach der Rechnung
kontrollieren kann. Somit rechnet man und festigt sein Können im Umgang
mit dem Logarithmus und kann Geogebra zum überprüfen nutzen.
17 Anhang CXXIII
#50 – ARRD6DMN - Prä (D2)
a) GeoGebra: Mit GeoGebra könnte man sich die Funktionsgleichung
veranschaulichen, um sich von dem komplexen Ausdruck ein Bild machen zu
können. Durch eine einfache und schnelle Eingabe in das Programm lässt
sich zudem unmittelbar die x-Stelle ablesen, nämlich ca. 2,6. Dadurch kann
beim Ausrechnen das Ergebnis annähernd überprüft werden. Excel: Auch in
Excel könnte man die Funktionsgleichung eingeben und sich eine
Wertetabelle erstellen lassen. Zudem kann man sich dann mithilfe dieser
Tabelle ein Diagramm zeigen lassen, wodurch die bei GeoGebra angesprochene
Anschaulichkeit unterstützt wird.
b) Aus fachdidaktischer Sicht macht es definitiv Sinn, digitale
Unterstützungswerkzeuge mit in den Unterricht einbringen zu lassen. Kinder
und Jugendliche werden heutzutage, durch den kontinuierlichen Prozess der
Digitalisierung immer früher und schneller an digitale Medien (Handys,
Tablets, Laptops, etc.) herangeführt. Somit entsteht beinah "von Natur
aus" ein innerer Drang, mit diesen Medien zu arbeiten und sie sinnvoll
einzusetzen. Da die Schule einen wichtigen Einfluss auf die Entwicklung
der Persönlichkeit nimmt, sollte auch in die Institution verantwortlich
mit digitalen Medien umgegangen werden. Die SuS können die digitalen
Werkzeuge benutzen, um sich, insbesondere in der Mathematik, komplexe
Sachverhalte, veranschaulichen zu lassen, um somit Probleme besser
verstehen und nachvollziehen zu können. Beispielsweise wirkt eine
Funktionsgleichung in der Analysis erstmals verwirrend, wenn nicht
deutlich wurde, dass diese Funktionsgleichung im Endeffekt nur einen
Graphen widerspiegelt, bei dem jedem x-Wert ein y-Wert zugeteilt wird.
Arbeiten die SuS z.B. mit GeoGebra, können sie den fachdidaktischen
Übergang von der "langweiligen" Mathematik durch Benutzung digitaler,
erklärender und anschaulicher Medien, gewährleisten und sich hinsichtlich
ihrer mathematischen Kompetenzen (argumentieren, ...) weiterbilden und -
entwickeln. Als große Prämisse ist hierbei anzuführen, dass die Lehrkraft
ein besonderes Maß an Kompetenzen und Fähigkeiten und Fertigkeiten
mitbringen muss, um den SuS die höchstmöglichen Chancen darzulegen, mit
den Programmen zu arbeiten. Bleiben diese Kompetenzen aus, macht es wenig
Sinn, die Werkzeuge miteinzubinden, da bei Fehlern keine Korrektur oder
Erklärung seitens der Lehrkraft folgen kann. Der Zeitfaktor bildet einen
Vorteil sowie einen Nachteil, da bei richtiger Nutzung schnell etwas
erledigt werden kann, aber eben auch genau das Gegenteil eintreten kann
und die SuS zu viel Zeit investieren, um am Ende an Fehlern zu scheitern.
17 Anhang CXXIV
#50 – ARRD6DMN - Post (D1)
a) Tabellenkalkulation: Mithilfe einer TK (z.B. Excel) kann man
beispielsweise die Funktionen definieren und anhand verschiedener x-Werte
in eine Wertetabelle eintragen, die zugehörigen y-Werte durch Zellenbezüge
errechnen lassen und im Anschluss daran, ein Punkt-Diagramm erstellen,
welches die Schnittpunkte graphisch veranschaulicht. Außerdem können die
Schülerinnen und Schüler schon bei den Wertetabellen die Schnittpunkte
erkennen, in dem die gleichen x- und y-Werte bei beiden Funktionen an
einer/mehreren gewisse/n Stelle/n angezeigt wird.
GeoGebra: Bei GeoGebra könnten die vorgegebenen Funktionsgleichungen in
das Algebra-Fenster eingegeben werden und dann mithilfe der Schnittpunkt-
Funktion direkt ausgerechnet und angezeigt werden. Somit verhält sich die
Nutzung von GeoGebra in dem zweiten Teil von Excel (indem die Funktionen
im Punktdiagramm angezeigt werden) verhältnismäßig gleich, da die
Anschaulichkeit gefördert wird und ebenso nochmals die Funktionstypen
(quadratische Funktion und lineare Funktion) bildlich ins Bewusstsein
gerufen und abgebildet werden.
b) Vorteile: Vorteile beider digitalen Mathematikwerkzeuge sind auf jeden
Fall die Anschaulichkeit und die daraus resultierende Verständlichkeit.
Bei Excel werden die Verständnisse einer Wertetabelle besser beleuchtet
als bei GeoGebra, dafür empfinde ich die Anschaulichkeit und
Übersichtlichkeit von GeoGebra hinsichtlich der Graphen deutlicher. Zudem
kann die Schnittpunktsfunktion genutzt werden, um die Schnittpunkte beider
Funktionen direkt anzeigen zu lassen. Dadurch sehen die Schülerinnen und
Schüler außerdem, dass hinter den Berechnungen ein funktionaler
Zusammenhang steckt, was die Vorstellungskraft der Lernenden steigert und
anregt, dass hinter der "schweren" und "Stumpfen" Mathematik ein
abgebildeter Bezug steckt. Nachteile: Nachteile gibt es meiner Meinung
nach nicht besonders viele anzuführen. Man könnte damit argumentieren,
dass die Schülerinnen und Schüler, insofern nur mit GeoGebra gearbeitet
wird, die Funktionen ohne mit dem Versuch sie zu verstehen, eingeben und
keinen Mehrwert aus den Abbildungen ziehen. Außerdem wird bei Excel das
Verhältnis von Wertetabelle/Funktionsgleichung und Graph etwas besser
deutlich, was bei einer ausschließlichen "GeoGebra-Benutzung" rausfallen
würde. Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass sich gerade für die
Berechnungen von Schnittpunkten, die digitalen Mathematikwerkzeuge sehr
gut nutzen lassen, da sie von der Berechnung der Schnittpunkte zu einer
Anschaulichkeit wechseln und die Lernenden verstehen und sehen können, was
Schnittpunkte graphisch bedeuten und wie sie sich genau im
Koordinatensystem realisieren.
17 Anhang CXXV
#51 – GHRK4KNA - Prä (D1)
a) Die Schüler*innen könnten mit Hilfe von GeoGebra die beiden Funktionen
abbilden und könnten anschließend am Graphen alle Schnittpunkte ablesen.
Auch Tabellenkalkulationen können hier hilfreich sein, da man immer wieder
auf bestimmte Felder mit den entsprechenden Werten zugreifen kann, so kann
man also Werte in gewisser Weise zwischenspeichern. Außerdem kann die
Tabellenkalkulation durch die mit ihr durchgeführten Rechnungen einen
Taschenrechner ersetzen.
b) Ein großer Vorteil von GeoGebra ist, dass die Schüler*innen sich dadurch
visualisieren können wie die Graphen der beiden Funktionen aussehen und
somit auch wo deren Schnittpunkte liegen. Das ist eine einfache Art die
Schnittpunkte ohne großes Rechnen zu bestimmen. Allerdings sollte man auch
immer mal wieder mit den Schüler*innen die Rechnungen üben, damit diese
Kompetenz nicht verloren geht. Dazu wäre dann eher die Tabellenkalkulation
hilfreich, da diese sozusagen die Kompetenzen eines Taschenrechners
übernimmt, die Schüler*innen aber trotzdem noch selbst auf die einzelnen
Rechenschritte kommen müssen.
#51 – GHRK4KNA - Post (D2)
a) Die Aufgabe ließe sich beispielsweise mit digitalen
Mathematikwerkzeugen unterstützen, wenn man die Gleichung mit Hilfe von
Zellbezügen in Excel löst. Eine andere Möglichkeit ist die Eingabe der
Gleichung 3^x=y in GeoGebra und dann das ablesen des x-Wertes an der Stelle
y=18.
b) Der Vorteil bei der Variante mit GeoGebra ist, dass die Schüler*innen
sich die Rechnung komplett sparen und den Wert nur an der richtigen Stelle
ablesen müssen. Allerdings müssen die Schüler*innen das oben angewandte
Prinzip trotzdem können, es ist also nur sinnvoll, um den Prozess zu
beschleunigen, wenn die Schüler*innen schon mit der oben genutzten Technik
bekannt sind. Außerdem kann je nach Beispiel, wie hier vermutlich auch,
das Ablesen von Werten zu Ungenauigkeiten führen. Auch das Nutzen von
Excel hat den Vorteil, dass es die ganzen oben genutzten Rechenschritte
erspart und dadurch die Arbeit erleichtert wird, wenn die Schüler*innen
gut mit dem Programm arbeiten können. Allerdings gilt das wie bei GeoGebra
auch nur unter dem Vorwand, dass die Schüler*innen das algorithmische
Bearbeiten solcher Aufgaben schon verinnerlicht haben.
17 Anhang CXXVI
#52 – CMSN0RFA - Prä (D2)
a) Die Aufgabe könnte durch den Einsatz von GeoGebra verbildlicht werden,
indem man die Funktion 3^x zeichnen lässt und sich dann der ungefähren
Lösung der Gleichung erstmal durch Ablesen annähert. Mithilfe einer
Tabellkalkulation könnte eine Wertetabelle aufgestellt werden, wodurch
sich ebenfalls der Lösung genähert werden kann. Da Excel auch die
Möglichkeit bietet, den Graphen der Wertetabelle aufzustellen, könnte dies
ebenfalls im Anschluss an die Wertetabelle genutzt werden.
b) Die Schülerinnen und Schüler erkennen durch die Nutzung der digitalen
Mathematikwerkzeuge die Vielfalt der Lösung einer solchen Gleichung. Durch
das Aufstellen einer Wertetabelle und das Zeichnen des Graphens können
sich die SuS zum Beispiel an lineare Funktionen erinnern, da bei diesem
Thema zum ersten Mal Wertetabellen und Graphen zur Sprache kommen. So
verstehen die SuS, dass die Themen miteinander vernetzt sind und es sich
trotz des Logarithmus "einfach nur" um eine Gleichung handelt. AUßerdem
können die digitalen Mathematikwerkzeuge dabei helfen, zu verstehen, dass
es mehrere Annäherungsmöglichkeiten für eine solche Aufgabe handelt. Doch
genau darin birgt sich die Gefahr, nämlich dass SuS sich zu sehr auf solche
Hilfen verlassen und sich eventuell der Relevanz der händischen Berechnung
der Aufgabe nicht mehr bewusst sind. Hier muss klar kommuniziert werden,
dass die anderen Mehtoden nur Näherungen sind und gerechnet werden muss,
um auf die exakte Lösung zu kommen. Dass eine solche Gleichung auch von
einem Computer gelöst werden kann, sollte darüber hinaus auch thematisiert
werden.
17 Anhang CXXVII
#52 – CMSN0RFA - Post (D1)
a) Man könnte die gegebene Aufgabe sowohl mit Excel als auch mit GeoGebra
unterstützen. Wenn man GeoGebra als digitales Mathematikwerkzeug bei
dieser Aufgabe zur Hilfe nimmt, bietet es sich an, für die beiden gegebenen
Funktionen jeweils eine Wertetabelle anzulegen. Wenn man die jeweiligen
Werte vergleicht, lassen sich bereits in den Tabellen die Schnittpunkte
ablesen. Darüber hinaus könnte man mit Excel ein Punkt XY-Diagramm mit den
beiden Funktionsgraphen generieren, in welchem man dann ganz einfach die
Schnittpunkte ablesen kann. Nimmt man GeoGebra als digitale Unterstützung,
kann man sich die beiden Funktionsgraphen anzeigen lassen. Dort erkennt
GeoGebra bei der Eingabe "besondere Punkte" automatisch die beiden
Schnittpunkte der Funktion.
b) Die Vorteile der beschriebenen digitalen Unterstützung sind vielfältig.
So dient die graphische Realisierung der Funktionsgraphen sowohl bei Excel
als auch bei GeoGebra einer besseren Anschauung und fördert das Verstehen
dafür, was eigentlich gesucht ist (die Schnittpunkte). Die Schülerinnen
und Schüler können sich oftmals einen Funktionsgraphen nur aufgrund des
Funktionsterms nicht vorstellen, sodass die Aufgabe ohne tieferes
Verständnis "stupide runtergerechnet" wird. Durch das Anzeigen der
Wertetabellen bei GeoGebra wird nochmals eine andere Darstellung zur
Verfügung gestellt, welche die Schülerinnen und Schüler kennen, was
wichtig für die Aktivierung des Vorwissens ist. Den Lernenden wird so
bewusst, dass es mehrere Möglichkeiten zur Lösung einer solchen Aufgabe
gibt und dass der schriftliche Algorithmus zur Berechnung der
Schnittpunkte auch graphisch umgesetzt werden kann. Als Nachteil kann
angeführt werden, dass die Gefahr besteht, dass die Schülerinnen und
Schüler aufgrund der graphischen Umsetzung keine Relevanz mehr für das
Erlenen der schriftlichen Berechnung sehen. Da die digitalen
Mathematikwerkzeuge ohne ein schriftliches Ausrechnen die Aufgabe lösen
können, könnten die Lernenden behaupten, dass es ja "unnötig" sei, das
schriftliche Verfahren zu erlernen. Hier muss überlegt werden, ob man
zunächst die digitalen Mathematikwerkzeuge einführt oder erst das
schriftliche Verfahren erlernen lässt. Zudem muss die Lehrkraft
verdeutlichen, dass die Software nur als Hilfsmittel fungiert und der
schriftliche Algorithmus auch sehr wichtig ist.
17 Anhang CXXVIII
#53 – ABOS1NSN - Prä (D1)
a) Selbstüberprüfung durch anzeigen lassen der Funktionen und Schnittpunkt
in Geogebra Sehen wie viele Schnittpunkte es geben sollte Theoretisch
Grafisch lösbar (wenn dies vom Lehrpersonal gewollt ist)
b) Vorteile: Schüler weiß wie die Funktionen aussehen und kann selbständig
überprüfen ob sein Ergebnis stimmt oder nicht Schüler können im Anschluss
mit den Funktionen "spielen" und schauen wie sich dadurch Schnittpunkte
und Graphen ändern Nachteile: Durch Grafischelösbarkeit können die
Verfahren vergessen bzw nicht benutzt werden / Zu großer Fokus auf
Grafische Lösbarkeit SuS verlernen bzw. lernen nicht sich im Kopf
Funktionen vorzustellen
#53 – ABOS1NSN - Post (D2)
In GeoGebra kann man die funktion f(x)=3^x-18 darstellen um eine
Nullstellenberechnung daraus zu machen oder schauen wann f(x) = 3^x denn
Wert 18 annimmt. Damit die Schüler zusätzlich wissen wie eine
Exponentialfunktion verläuft. Positiv: Schüler wisse wie die
Exponentialfunktion verläuft und können ihr Ergebniss überprüfen. Negativ:
Ablesen wird gefördert.
17 Anhang CXXIX
#54 – SKSS8HLE - Prä (D2)
A) Mithilfe von Exel könnte man direkt die Formel x= eingeben ohne die
vorherigen Umformungsschritte durchführen bzw. zeigen zu müssen. Damit
sich ein Schüler dies vorstellen kann könnte man dies als Funktion in
geoGebra darstellen.
B) ein visuelles vorstellen von 3^x wird erleichtert, dies erfolgt in
GeoGebra somit kann auch schon ein ablesen des gesuchten Wertes erfolgen,
dies stellt auch einen kleinen Nachteil dar, da Schüler nicht mehr selber
rechnen. Dies gilt ebenso für die simple Eingabe in Exel, die Schüler
verstehen das Vorgehen hinter der Formel nicht mehr und können nur noch
Werte in den Taschenrechner bzw. Exel eingeben ohne zu verstehen wie ist
man darauf gekommen dies so zu rechnen bzw. Welche Umformungen gehen dem
voraus. Somit kann man abschließend sagen, dass es definitiv nützlich sein
kann die Mathematikwerkzuge im Unterricht zunutzen, doch sollte klar sein
dass die Grundrechen Voraussetzungen immer auch händische geübt werden
müssen.
#54 – SKSS8HLE - Post (D1)
a) Bei dieser Aufgabe könnte man unterstützend das digitale
Mathematikwerkzeug GeoGebra einsetzen. Mit diesem könnten sich die
Schüler*innen die Graphen anzeigen lassen und die Schnittpunkte benennen
lassen, dies erfolgt dann auf eine entdeckende Weise. Zudem werden die
Kompetenzen mit GeoGebra gefördert. Ebenso könnte man aber auch ein
Tabellenkalkulationsprogramm einsetzen. Hierbei würden die Schüler*innen
z.B. Wertetabellen zu beiden Graphen erstellen und so die Schnittpunkte
finden.
b) Der Einsatz der digitalen Mathematikwerkzeuge hat den klaren Vorteil,
dass Schüler*innen dort ebenfalls Kompetenzen sammeln können. Zu GeoGebra
kann man sagen, dass die Aufgabe sehr erleichtert wird, da die
Schüler*innen nur die Formeln eingeben müssen und dann auch Schnittpunkte
anzeigen klicken und schon ist die Aufgabe gelöst. Die Schüler*innen
verstehen also vermutlich nicht den Algorithmus der hinter dem Verfahren
steht, somit würde ich sagen, dass diese Aufgabe mit GeoGebra bearbeitet
werden kann jedoch nur als Einstieg in das Thema. Beim Lösen mit Excel
würden die Schüler*innen sehen welche Werte die Funktion annehmen kann.
Sie würde dann durch vergleichen der Werte die gemeinsamen Punkte
herausfinden
17 Anhang CXXX
#55 – UTNK8BWN - Prä (D1)
a) Hier könnte man mit GeoGebra die Funktionsgraphen der Funktionen
darstellen, um eine Kontrolle der Rechnungen zu ermöglichen. Auch kann man
sich mit diesem Tool den Schnittpunkt anzeigen lassen. Das gleiche gilt
hier auch für Excel und ähnliches. Auch könnten die Programme dabei helfen,
die berechnete Aufgabe besser zu verstehen und den Spaß am Unterricht zu
vergrößern.
b) Vorteil ist die Eigenkontrolle die dem Schüler ermöglicht wird. Auch
macht dieses Vorgehen den Unterricht etwas lockerer, da man nicht nur
stupide rechnen muss, sondern auch etwas selber erstellen kann und auch
einen visuellen Output hat, wie eine solche Funktion aussieht. Ein Nachteil
könnte sein, dass die Schüler das Angebot ausnutzen und sich die Lösungen
ausgeben lassen, ohne selber über diese Aufgaben nachzudenken und die
Lösungswege zu trainieren.
#55 – UTNK8BWN - Post (D2)
a) Man könnte GeoGebra hier zum Beispiel zur Kontrolle der Lösung
einsetzten, da man sich in diesem Programm sehr einfach die Nullstellen
anzeigen lassen kann. Auch dient es hier zur Veranschaulichung des Graphen.
Auch Excel kann ähnlich benutzt werden. So kann man Excel auch zur
Kontrolle der Aufgabe benutzten, indem man sich den Graphen als Diagramm
anzeigen lässt und so den Schnittpunkt mit der X-Achse finden kann.
b) Aus didaktischer Sicht ist die Arbeit mit Geogebra und Excel hier sehr
wichtig, da hier eine Kontrollfunktion erreicht wird, die man durch das
selber zeichnen eines Graphen nicht erreichen kann. Denn hat man bei der
Nullstelle bereits den falschen X-Wert ausgerechnet, kann der Graph hier
nicht als Kontrolle benutzt werden, da dieser falsch wäre. Ein Nachteil
bei der Arbeit mit diesen Werkzeug ist in diesem Fall, das es vielleicht
nicht richtig von den Schülern benutzt wird, d.h. nicht nur zur Kontrolle,
sondern um sich die Lösung direkt von dem Programm ausgeben zu lassen.
17 Anhang CXXXI
17.5 Fachdidaktisches Seminar (Pflichtaufgaben der Arbeitsphase 1)
Grund1
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Grundlagen Zuordnungen/Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
a) Übertragen Sie untenstehende
Klimatabelle für Urlaub in Koblenz
(senkrecht)
in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. MS-Excel) in einem Tabellenblatt.
• Spalte A: Überschrift
Monate
(A1, fettiert, zentriert),
Monatsangaben (A2:A13, zentriert)
• Spalte B: Überschrift
MaxT [°C]
(B1, fettiert, zentriert),
Temperaturangaben (B2:B13, zentriert)
• Spalte C: Überschrift
MinT [°C]
(C1, fettiert, zentriert),
Temperaturangaben (C2:C13, zentriert)
• Spalte D: Überschrift
Sonne [h/Tag]
(D1, fettiert, zentriert),
Anzahl Sonnenstunden (D2:D13, zentriert)
• Spalte E: Überschrift
Regen [Tage/Monat]
(D1, fettiert, zentriert),
Anzahl Regentage (E2:E13, zentriert)
• Markieren Sie alle Zellen und fügen Sie Rahmenlinien ein (Alle
Rahmenlinien)
17 Anhang CXXXII
b) Stellen Sie die Zuordnungen
•
Monate → Maximaltemperatur
•
Monate → Minimaltemperatur
in einem Diagramm mit einem
Liniendiagramm (Linie mit Datenpunkten) dar und fügen Sie einen passenden
Diagrammtitel ein.
c) Stellen Sie die Zuordnung
Monate → Sonnenstunden
mit einem Balkendiagramm
(Gruppierte Balken, farbig) dar und fügen Sie einen passenden Diagrammtitel ein.
d) Stellen Sie die Zuordnung
Monate → Regentage
mit einem Säulendiagramm
(Gruppierte Säulen, blau) dar.
Grund2
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Grundlagen Zuordnungen/Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
1)
2)
3)
4)
a) Übertragen Sie die Wertetabellen in einem Tabellenkalkulationsprogramm in
vier verschiedenen Tabellenblättern.
b)
(X,Y)--beschriftung.
c) Lassen Sie sich jeweils die Funktionsgleichungen anzeigen.
17 Anhang CXXXIII
Grund3
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Grundlagen Zuordnungen/Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
1)
2)
3)
a) Öffnen Sie in GeoGebra das Fenster für die Tabellenkalkulation und übernehmen
Sie die Wertetabelle aus Teilaufgabe 1).
b) Erstellen Sie mit Hilfe des Befehls
Analyse zweier Variablen
ein
Streudiagramm anhand der drei
gegebenen Wertepaare und lassen Sie
sich ein geeignetes Regressionsmodell
anzeigen.
c) Bestimmen Sie nun die zwei fehlenden y-Werte der Wertetabelle im Fenster
des Regressionsmodells mit dem Befehl
Berechne symbolisch
und vervoll-
ständigen Sie die Wertetabelle im Fenster für die Tabellenkalkulation.
d) Übernehmen Sie den Graphen in
die Graphikansicht mit dem Befehl
In die Grafik-Ansicht kopieren
.
Wiederholen Sie die Schritte a) bis d) mit den Wertetabellen 2) und 3).
Es entstehen insgesamt drei verschiedene Applets.
17 Anhang CXXXIV
Grund4
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Grundlagen Zuordnungen/Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
Begriffsklärungen:
Zuordnung
Eine Zuordnung ordnet jedem Element des Definitionsbereichs ein oder mehrere
Elemente des Wertebereichs zu.
Funktion
Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der jedem -Wert aus genau ein -Wert aus
zugeordnet wird.
Der Senkrechten-Test
Der Bedingung, dass zu jedem -Wert nur ein -Wert gehört, muss auch der Graph
einer Funktion genügen. Das bedeutet, dass keine Senkrechte zur x-Achse bzw.
Parallele zur y-Achse die Funktionskurve, also den Graphen, mehr als einmal
schneiden darf.
Bei der Kurve (Abb. 1) ist diese Bedingung erfüllt. Bei der Kurve (Abb. 2) ist diese
Bedingung nicht erfüllt, so dass dort keine Funktion dargestellt wird.
Abb. 1
Abb. 2
17 Anhang CXXXV
Erstellen Sie mit GeoGebra ein Applet mit dem man den Senkrechten-Test anhand
von zwei Beispielen und zwei Gegenbeispielen (siehe Abb. 1 bis 4) dynamisch
simulieren kann. Dabei soll sich eine senkrechte Gerade zur x-Achse hin und her
bewegen (Schieberegler, Playfunktion), um die Anzahl der Schnittpunkte mit den
Graphen zu beobachten.
Hinweis: Erstellen Sie zunächst alle Graphen. Um den Senkrechten-Test übersichtlich
durchzuführen, kann man jeweils drei der vier Graphen im Algebra-Fenster ausblenden.
Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 4
Didaktik
Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert,
der sich durch den Einsatz der verwendeten digitalen
Unterstützung ergibt.
Beantworten Sie die Frage und fügen Sie diese als pdf mit
dem Namen Grund4_Didaktik.pdf Ihrem ePortfolio bei.
17 Anhang CXXXVI
PropZu
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Proportionale Zuordnung
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Lara findet bei Ihrer Oma einen alten Ernährungsratgeber mit einer Tabelle, bei der
noch die Einheit Kilokalorie (kcal) verwendet wird. Sie möchte für ihre Mutter die
Tabelle auf die neue Einheit Kilojoule (kJ) umschreiben. Im Internet hat Sie folgende
Umrechnung gegoogelt: 1 kcal 4,2 kJ
100g Apfelstrudel
200 kcal
100g Lakritz
250 kcal
100g Sahne-Eisbecher
400 kcal
100g Waffeln
540 kcal
100g Chips
700 kcal
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. MS-Excel) ein
Tabellenblatt mit der obigen Tabelle und einer weiteren Spalte für den
Energiegehalt in kJ.
b) Berechnen Sie nun die Zelleinträge für den Energiegehalt in kJ, indem Sie
Zellbezüge zu den Energiegehalten der Lebensmittel in kcal herstellen, und durch
Kopieren der Formel in die jeweilige Zelle.
c) Erstellen Sie den Graphen für die Zuordnung
Kilokalorie → Kilojoule
-
Energiegehalt und nehmen Sie folgende Beschrifungen vor:
o Diagrammtitel: Umrechnung Messeinheiten Energiegehalt
o Horizontale Achse: Kilokalorie [kcal]
o Senkrechte Achse: Kilojoule [kJ]
17 Anhang CXXXVII
AntiZu
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Antiproportionale Zuordnung
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
Rechtecke
(1) Zeichne auf Karopapier verschiedene Rechtecke, die alle
den Flächeninhalt haben und schneide sie
anschließend aus.
(2) Lege die Rechtecke (siehe Abb. rechts) in ein
Koordinatensystem.
(3) Welche Bedeutung haben die Koordinaten des oberen
rechten Eckpunktes?
(4) Erstelle eine Wertetabelle zu den oben rechts liegenden
Eckpunkten.
(5) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Breite
und der Länge eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt ?
(6) Bestimme eine Rechenvorschrift.
(7) Zeichne anhand der Eckpunkte einen Graphen.
Bei o.a. Aufgabe wurde auf folgende Bearbeitungsschritte Wert gelegt:
o Rechtecke zeichnen und ausschneiden
o Koordinatensystem zeichnen
o Rechtecke in das Koordinatensystem legen
o Wertetabelle erstellen
o Rechenvorschrift bestimmen
o Graph zeichnen
Wie kann man diese Problemstellung nur mit Hilfe der dynamischen Geo-
metriesoftware GeoGebra umsetzen ohne die Zuordnungsvorschrift
in das
Algebra-Fenster einzugeben? Erstellen Sie mit GeoGebra ein Applet.
Tipp: Der Ursprung (Punkt A) ist bei jedem Rechteck fixiert, während die Eckpunkte
B, C und D dynamisch sind. B und D bewegen sich auf den Koordinatenachsen,
während C eine Spur im ersten Quadranten hinterlässt.
Didaktik
Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert,
der sich durch den Einsatz der verwendeten digitalen
Unterstützung ergibt.
Beantworten Sie die Frage und fügen Sie diese als pdf mit
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17 Anhang CXXXVIII
LinFu
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 7 und 8 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Lineare Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
Erstellen Sie GeoGebra-Applets zu den jeweiligen Stationen (zu jeder Station ein
Applet) einer Digitalen Forschungswerkstatt
Lineare Funktionen
.
Station 1: Parallele Geraden
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit und .
b) Konstruieren Sie eine Gerade durch die Punkte und .
c) Lassen Sie sich die Gleichung der Geraden in der Form an der
Geraden anzeigen.
d) Erzeugen Sie einen Punkt C auf der y-Achse.
e) Konstruieren Sie die Gerade , die parallel zur Geraden verläuft durch den
Punkt C .
f) Lassen Sie sich die Gleichung der Geraden h in der Form an der
Geraden anzeigen.
g) Ziehen Sie an Punkt C und beobachten Sie die Auswirkung auf die Gleichung der
Geraden .
Station 2: Steigung und y-Achsenabschnitt
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit und .
b) Geben Sie die Gleichung in das Algebra-Fenster ein.
c) Verändern Sie das Intervall des Schiebereglers für die Steigung auf [-10;10] mit
der Schrittweite 0,5.
d) Verändern Sie das Intervall des Schiebereglers für den y-Achsenabschnitt auf
[-5;5] mit der Schrittweite 0,2.
e) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Play-/Pause-Funktion) für
bei festem Wert für und beobachten Sie die Auswirkungen auf Lage und
Funktionsgleichung der Geraden .
f) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für bei festem
Wert für und beobachten Sie die Auswirkungen auf Lage und
Funktionsgleichung der Geraden .
17 Anhang CXXXIX
Station 3: Punkte lernen laufen
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit und .
b) Erzeugen Sie einen Schieberegler für das Intervall [-10;10] mit der Schrittweite
0,1.
c) Geben Sie den Punkt in das Algebra-Fenster ein.
d) Lassen Sie sich für den Punkt P die
Spur
anzeigen.
e) Betätigen Sie den Schieberegler (manuell und mit Play-/Pause-Funktion) für
und beobachten Sie die Auswirkungen.
f) Untersuchen Sie auf die gleiche Weise (Schritte b) bis e)) die nachfolgende
Zuordnung: . Der Schieberegler soll heißen.
Station 4: Schnittpunkt zweier Geraden
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit und .
b) Geben Sie die Punkte und in das Algebra-Fenster ein.
c) Erzeugen Sie die Punkte und durch klicken in das
Koordinatensystem.
d) Konstruieren Sie eine Gerade durch die Punkte und sowie eine Gerade
durch die Punkte und .
e) Ändern Sie im Algebra-Fenster von beiden Geraden und g die Darstellungs-form
in .
f) Färben Sie die Gerade rot und die Gerade blau.
g) Lassen Sie sich für die Geraden und den Wert der Steigung (Algebra-
Fenster) und das Steigungsdreieck anzeigen.
h) Verändern Sie die Lage der beiden Steigungsdreiecke, so dass diese zwischen den
Punkten A und B bzw. C und D liegen und nehmen Sie jeweils in den Einstellungen
des Steigungsdreiecks folgende Veränderung vor:
i) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Geraden und . Dazu gibt es zwei
verschiedene Möglichkeiten:
1) Werkzeugleiste → Schnittpunkt → und wählen
2) Eingabe Algebra-Fenster: Schnittpunkt (<Objekt>, <Objekt>)
j) Bestimmen Sie den Winkel zwischen den beiden Geraden und und nehmen Sie
in den Einstellungen folgende Veränderung vor:
17 Anhang CXL
QuadFu1
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Quadratische Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Geben Sie die Gleichung f(x) = ax2 + bx + c in das Algebra-Fenster ein.
c) Verändern Sie Intervall und Schrittweite der Schieberegler a, b und c:
Schieberegler a: Intervall [-2;2] ; Schrittweite 0,1
Schieberegler b: Intervall [-5;5] ; Schrittweite 0,5
Schieberegler c: Intervall [-10;10] ; Schrittweite 1
d) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für a bei
festen Werten für b und c und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Lage
der Parabel.
e) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für b bei
festen Werten für a und c und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Lage
der Parabel.
f) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für c bei
festen Werten für a und b und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Lage
der Parabel.
17 Anhang CXLI
QuadFu2
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Quadratische Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Gegeben seien die linearen Funktionen und bzw. deren Verknüpfungen.
(A)
(B)
(C)
a) Erstellen Sie in einem Tabellenkalkulationsprogramm in drei verschiedenen
Tabellenblättern (A), (B) und (C) Wertetabellen zu den Funktionen
, und im Intervall [-5;5] mit Schrittweite 1 mit Hilfe von Zellbezügen.
b) - ,
und .
c) Beschriften Sie die beide Achsen mit x bzw. y und geben Sie dem Diagramm
einen passenden Titel.
d) Beschriften Sie jeweils die Graphen mit ihren Funktionsgleichungen
(-> Diagrammelemente -> Trendlinie -> Weitere Optionen -> Formel im
Diagramm anzeigen).
17 Anhang CXLII
QuadFu3
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Quadratische Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Erstellen Sie zwei Schieberegler a und b mit einem Intervall von [-10;10] und
einer Schrittweite von 0,5.
c) Geben Sie die Gleichungen und in das Algebra-
Fenster ein.
d) Verändern Sie die Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für a und b
und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Lage der Geraden und .
e) Geben Sie die Gleichung in das Algebra-Fenster ein.
f) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für a bei
festem Wert für b und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Lage der
Geraden und und die Parabel .
g) Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für b bei
festem Wert für a und beobachten Sie die Auswirkungen auf die Lage der
Geraden f und g und die Parabel h.
Didaktik
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17 Anhang CXLIII
QuadFu4
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Quadratische Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Gegeben ist ein Rechteck mit
den Seitenlängen a = 10 cm
und b = 6 cm.
Die längere Seite soll um x cm
verkürzt und die kürzere um x
cm verlängert werden.
Die veränderten Seitenlängen
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ein Tabellenblatt, welches
nachfolgende Anforderungen erfüllt:
o Spalte A: Eingabe der Veränderung x ; mit Schrittweite 0,25
o
o
o Spalte D: Flächeninhalt A des veränderten Rechtecks (Ausgabe des Wertes
mit zwei Nachkommastellen)
b) Stellen Sie den Graphen für die Zuordnung
Veränderung → Flächeninhalt
-
dar und nehmen Sie folgende Beschriftungen vor:
o Diagrammtitel: Flächeninhalt des veränderten Rechtecks
o Horizontale Achse: Veränderung x [cm]
o Senkrechte Achse: Flächeninhalt A [cm2]
Didaktik
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17 Anhang CXLIV
QuadFu5
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Quadratische Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
Gegeben sind die Nullstellen einer quadratischen Funktion:
Die Funktionsgleichung der Parabelschar mit Koeffizient (Streckfaktor) in der
faktorisierten Form lautet:
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Erstellen Sie einen Schieberegler für das Intervall [-3;3].
c) Geben Sie die Funktionsgleichung von im Algebra-Fenster ein.
d) Stellen Sie den Wert des Schiebreglers auf a = 1 ein.
e) Lassen Sie sich den Tiefpunkt A der Parabel anzeigen (Werkzeugleiste
f) Ändern Sie die Bezeichnung des Tiefpunktes:
g) Setzen Sie einen Haken bei
Spur anzeigen
in den Einstellungen für den Punkt
S.
h) Aktivieren Sie den Schieberegler mit der Play-Funktion und stellen Sie die
Geschwindigkeit auf << 1 x >> ein.
17 Anhang CXLV
PoFu1
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Potenzfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Erstellen Sie zwei Schieberegler a und n:
Schieberegler a: Intervall von [-5;5] mit Schrittweite 0,1
Schieberegler n: Intervall von [-10;10] mit Schrittweite 1
c) Geben Sie im Algebra-Fenster die Funktionen und ein.
d) Mit dem Befehl
Schneide
(Werkzeugleiste) kann die Gleichung
graphisch gelöst werden.
e) Verändern Sie die Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für a und n und
beobachten Sie wie sich die Lösungsmenge der Gleichung in
Abhängigkeit von a und n ändert.
Didaktik
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17 Anhang CXLVI
PoFu2
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Potenzfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Anziehungskraft zwischen Erde und Raumschiff
Die Anziehungskraft F (gemessen in [N]ewton) zwischen Erde und einem
Raumschiff mit der Masse m = 100t kann man mit nachfolgender Formel
näherungsweise bestimmen:
• Dabei ist R der Abstand des Raumschiffs in Metern vom Erdmittelpunkt.
• Der Erdradius beträgt gerundet: r = 6370 km.
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. MS-Excel®) eine
Tabelle mit folgenden Vorgaben:
o Schriftart Arial, Schriftgrad 12
o Zellen B3:B6, C3:C6 und D3:D6 zentriert und fettiert
o Spaltenbreite 25 für Spalten B, C und D
o Rahmenlinien (siehe Abb.) festlegen
o Geben Sie in C7 eine Formel ein mit Zellbezug zu B7, die den Abstand R
in Metern berechnet und kopieren Sie diese anschließend in die Zellen
C8:C21
o Geben Sie in D7 die Formel F(R) ein mit Zellbezug zu C7, die die
Anziehungskraft zwischen Erde und Raumschiff berechnet (gerundet
auf eine ganze Zahl) und kopieren Sie diese anschließend in die Zellen
D8:D21
o Blenden
17 Anhang CXLVII
b) Stellen Sie den Graphen der Zuordnung
Abstand R F
-
Beschriftungen vor:
o Diagrammtitel: Anziehungskraft zwischen Erde und Raumschiff
o x-Achse:
Abstand Raumschiff Erdmittelpunkt [m]
o y-Achse: Anziehungskraft Erde Raumschiff [N]
17 Anhang CXLVIII
PoFu3
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Potenzfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Geben Sie die Funktionsgleichung im Algebra-
Fenster ein.
c) Verändern Sie die Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) und
beobachten Sie den Einfluss jedes einzelnen Parameters auf den Graphen von
zunächst bezogen auf drei Sonderfälle für :
o Einfluss des Parameters (b = 0, c = 0)
o Einfluss des Parameters (a = 1, c = 0)
o Einfluss des Parameters (a = 1, b = 0)
d) Wiederholen Sie die Schritte aus Teilaufgabe c) mit folgenden Werten für den
Exponenten :
o
o
o
e) Verändern Sie nun alle drei Schieberegler , und gleichzeitig () und
beobachten Sie nun den Einfluss jedes einzelnen Parameters auf den Graphen
von f.
Didaktik
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17 Anhang CXLIX
ExpoFu1
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Exponentialfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Eine mögliche Funktionsgleichung der Exponentialfunktion lautet: .
Dabei haben die Parameter und folgende Bedeutungen:
Anfangswert/Startwert ;
Wachstumsfaktor/Zerfallsfaktor ;
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ein Tabellenblatt nach
folgender Vorlage (siehe Abb. 1).
a) Durch Eingabe der Parameter a = 20
(Zelle C5) und b = 1,2 (Zelle E5) in
die grün unterlegten Zellen sollen die
y-Werte (gerundet auf drei Nach-
kommastellen) der Wertetabelle in
den Zellen H9 bis H29 automatisch
berechnet werden:
Hinweis:
Will man die y-Werte durch Kopieren der
Formel berechnen, sollte man für
die Zellen C5 und E5 einen
absoluten
Zellbezug
verwenden. Einen absoluten
Zellbezug stellt man mit nachfolgender
Anweisung her.
Hier gezeigt am Beispiel für den
Funktionswert an der Stelle ,
der in der Zelle H9 berechnet wird.
b) -
Beschriftungen vor:
o Diagrammtitel: Exponentialfunktion
o Horizontale Achse: x
o Senkrechte Achse: y
17 Anhang CL
ExpoFu2
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Exponentialfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Bierschaumzerfall
Mit der Abkling- bzw. Zerfallsfunktion ist es beispielsweise möglich
den Bierschaumzerfall zu modellieren. Es zeigt sich, dass die Höhe des
Bierschaumes in festen Zeitintervallen immer um die Hälfte abnimmt.
Diese Zeit nennt man Halbwertszeit .
Nehmen wir ein gut eingeschenktes Bayrisches Weißbier mit der
Halbwertszeit und einer Anfangshöhe des Bierschaumes
von . Die Höhe des Bierschaums halbiert sich daher nach
jeweils 125s . Nimmt man eine beliebige Zeit und teilt diese durch
die Halbwertszeit , so erhält man die Anzahl der Halbwertszeiten .
Die von der Zeit t abhängige Höhe des Bierschaumes kann man mit
nachfolgender Formel berechnen:
Bildquelle: https://
pixers.de/
fototapeten/
weissbier-13608685
a) Erstellen Sie mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ein Tabellenblatt, welches
nachfolgende Anforderungen erfüllt:
o Spalte A: Zeit t in s im Intervall mit Schrittweite 20
o Spalte B: Anzahl der Halbwertszeiten (Ausgabe des Wertes mit zwei
Nachkommastellen)
o Spalte C: Höhe des Bierschaumes in cm (Ausgabe des Wertes mit zwei
Nachkommastellen)
o Durch Eingabe der Anfangshöhe h0 und der Halbwertszeit tH sollen die
Zelleinträge in den Spalten A, B und C automatisch berechnet werden.
b) Stellen Sie den Graphen für die Zuordnung
Zeit Höhe des Bierschaumes
-
dar und nehmen Sie folgende Beschriftungen vor:
o Diagrammtitel: Bierschaumzerfall
o Horizontale Achse: Zeit [s]
o Senkrechte Achse: Höhe des Bierschaumes [cm]
17 Anhang CLI
ExpoFu3
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Exponentialfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - Tabellenkalkulation
Das Ehepaar Feuerstein nimmt für den Kauf einer Eigentumswohnung ein Darlehen
in Höhe von 200.
monatlich eine Rate von 9
Durch die Eingabe der Zelleneinträge Darlehen, Monatsrate und Zinssatz (grün
unterlegte Zellen) soll ein Tabellenblatt entstehen, indem nachfolgende
Zellenberechnungen automatisch ausgeführt werden:
o Jährliche Rate (Annuität) in
Zelle B5
o Restschuld zu Jahresbeginn
(ab Zelle B13)
o Zinsen (ab Zelle C13)
o Tilgung (ab Zelle D13)
o Restschuld am Jahresende (ab
Zelle E12)
(Abb. 1 dient nur als
Anregung. Das Layout können
Sie frei gestalten)
Didaktik
Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert,
der sich durch den Einsatz der verwendeten digitalen
Unterstützung ergibt.
Beantworten Sie die Frage und fügen Sie diese als pdf mit
dem Namen ExpoFu3_Didaktik.pdf Ihrem ePortfolio bei.
17 Anhang CLII
ExpoFu4
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Exponentialfunktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
a) Beschriften Sie die Koordinatenachsen mit x und y.
b) Geben Sie im Algebra-Fenster die Funktionsgleichung ein.
c) Danach wird automatisch der Schieberegler b erstellt. Verändern Sie das
Intervall des Schiebereglers auf [0;15] mit der Schrittweite 1.
d) Geben Sie im Algebra-Fenster die Funktionsgleichung ein. Ein
Schiebe-regler für a wird automatisch erstellt.
e) Bestimmen Sie den Schnittpunkt A der Graphen von und .
Schnittpunkt)
f) Geben Sie im Algebra-Fenster nun die Funktion ,
sowie die Punkte C = (a,0) und D = (a, h(a)) ein.
g) Erstellen Sie eine Gerade i, welche durch die Punkte C und D verläuft.
h) Bestimmen Sie den Schnittpunkt B der Geraden g und i und ändern Sie dessen
Bezeichnung in S um. Setzen Sie ein Häkchen bei
Spur anzeigen
beim Punkt S.
i) Blenden Sie den Punkte C aus.
j) Stellen Sie für b mit dem Schieberegler einen bestimmten Wert Ihrer Wahl ein.
Verändern Sie den Schieberegler (manuell und mit Playfunktion) für a und
beobachten Sie die Auswirkung.
17 Anhang CLIII
TrigoFu1
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Trigonometrische Funktionen
Digitale Mathematikwerkzeuge GeoGebra & Tabellenkalkulation
Erstellen Sie zu jeder Station ein Applet zu einer Digitalen Forschungswerkstatt
Trigonometrische Funktionen
.
Station 1: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Die Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn (siehe Abb.) kann mathematisch
mit den trigonometrischen Beziehungen Sinus und Kosinus beschrieben werden. Mit
einem Einheitskreis () um den Mittelpunkt lässt sich dies realisieren.
Der Punkt P wird durch die Vorgabe des Winkels festgelegt. Seine Koordinaten
hängen somit vom Winkel ab. Im ersten Quadranten hat P die Koordinaten
. Mithilfe des Punktes, der sich weiter auf der Kreislinie gegen den
Uhrzeigersinn bewegt, lassen sich die Funktionswerte der Sinus- und
Kosinusfunktion für beliebige Winkel im Intervall als x- bzw. y-Koordinate
definieren.
17 Anhang CLIV
Erstellen Sie mit GeoGebra ein Applet, welches die Bewegung des Punktes P auf der
Kreislinie beschreibt.
Das Erstellen eines solchen Applets ist relativ aufwändig. Zur Orientierung, An-
regung und Hilfestellung sehen Sie nachfolgend ein Beispiel (Eingaben im Algebra-
Fenster bzw. Werkzeugleiste, Konstruktionsprotokoll, Screenshot Grafik-Fenster)
für ein solches Applet.
Algebra-Fenster / Werkzeugleiste
Konstruktionsprotokoll
17 Anhang CLV
Screenshot Grafik-Fenster
17 Anhang CLVI
Station 2: Umrechnung Bogenmaß → Gradmaß
Winkel im Bogenmaß
Bogenmaß als Dezimalzahl
Winkel in Grad
a) Übertragen Sie die Wertetabelle in ein Tabellenkalkulationsprogramm.
b) Berechnen Sie die Werte (Bogenmaß als Dezimalzahl):
o Automatische Ausfüllfunktion benutzen
o Ergebnisse auf drei Nachkommastellen gerundet
c) Berechnen Sie die fehlenden Werte (Winkel in Grad):
o Zellbezüge zu den Zellen der Zeile Bogenmaß als Dezimalzahl herstellen
o Um als Zahl verwenden zu können, müssen Sie den Befehl
in der Bearbeitungszeile verwenden.
o Tipp: Legen Sie einmalig eine Zelle neben der Wertetabelle für den
Wert von an.
o Automatische Ausfüllfunktion benutzen
o Formel:
bzw.
o Ergebnisse auf eine Nachkommastelle gerundet
Station 3: Umrechnung Gradmaß → Bogenmaß
a) Erstellen Sie in einem Tabellenkalkulationsprogramm eine Umrechnungstabelle
von Gradmaß in Bogenmaß:
o Intervall für Winkel im Gradmaß: mit Schrittweite 15°
o Anzeige der Werte für das Bogenmaß mit sechs Nachkommastellen
o Formel:
bzw.
b)
Winkel im Gradmaß an. Hier soll durch die Eingabe eines Winkels im Gradmaß
das Ergebnis im Bogenmaß mit sechs Nachkommastellen ausgegeben werden.
17 Anhang CLVII
TrigoFu2
L4: Funktionaler Zusammenhang
Klassenstufen 9 und 10 (Mittlerer Schulabschluss)
Inhalt: Trigonometrische Funktionen
Digitales Mathematikwerkzeug - GeoGebra
Wiener Riesenrad
Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Wiener_Riesenrad#/media/Datei:Wien_Riesenrad.jpg
Der Wiener Prater ist bekannt für sein Riesenrad, welches am 3.Juli 1897 offiziell
eröffnet wurde. Zur Modellierung der Fahrt einer Kabine bilden die Messwerte
rechts neben dem Bild die Ausgangslage. Verwenden Sie zur Modellierung die
allgemeine Gleichung der Sinusfunktion:
Kontrolllösung:
Didaktik
Kommentieren Sie aus fachdidaktischer Sicht den Mehrwert,
der sich durch den Einsatz der verwendeten digitalen
Unterstützung ergibt.
Beantworten Sie die Frage und fügen Sie diese als pdf mit dem
Namen TrigoFu2_Didaktik.pdf Ihrem ePortfolio bei.
17 Anhang CLVIII
17.6 Fachdidaktisches Seminar (Dokumente)
FACHBEREICH 3:
MATHEMATIK/NATURWISSENSCHAFTEN
MATHEMATISCHES INSTITUT
- Ralf Holzmann -
Universitätsstraße 1
56070 Koblenz
Telefon (0261) 287-2369
E-Mail rholzmann@uni-koblenz.de
Datenschutzerklärung Studierende SoSe 2023
Durchführung einer Studie in Kooperation mit dem Mons-Tabor-Gymnasium Montabaur
und dem Landesmusikgymnasium Rheinland-Pfalz in Montabaur und der Universität
Koblenz zu digitalen Mathematikwerkzeugen in 2023 (KW 25-29)
Qualitätsoffensive
Lehrerbildung
Hiermit erkläre ich, _____________________________________ (Vorname,
Name), dass ich sämtliche Informationen über die Schüler:innen, die ich im
Rahmen der Videoanalyse und der Auswertung der Lern-
produkte/Aufzeichnungen der Schüler:innen erhalten werde, vertraulich
behandeln werde und nicht an unbefugte Dritte weitergeben werde.
Des Weiteren versichere ich, dass ich keine Anstrengungen unternehmen werde,
die schülerbezogenen Informationen zur Reidentifizierung einzelner
Schüler:innen zu verwenden.
Bei der Analyse der Videovignetten und der schriftlichen Reflexion im Rahmen
der Erstellung des ePortfolios (Studienleistung) werde ich nur Pseudonyme für
Namen von Schüler:innen verwenden.
Koblenz, den __________________
___________________________
Unterschrift
17 Anhang CLIX
FACHBEREICH 3:
MATHEMATIK/NATURWISSENSCHAFTEN
MATHEMATISCHES INSTITUT
- Ralf Holzmann -
Universitätsstraße 1
56070 Koblenz
Telefon (0261) 287-2369
E-Mail rholzmann@uni-koblenz.de
Freigabe Videovignetten Studierende SoSe 2023
Qualitätsoffensive
Lehrerbildung
Hiermit erkläre ich, _________________________________________ (Vorname,
Name), dass die Videovignetten, die im Rahmen der Theorie-Praxis-Verknüpfung im
Unterricht an Schulen entstanden sind, zukünftig für Lehr- und Forschungszwecke
verwendet werden dürfen.
Hinweise für Studierende:
o Die Videovignetten werden vertraulich behandelt und werden nicht an
unbefugte Dritte weitergegeben.
o Die Videovignetten werden auf einem passwortgeschützten Server des
Projektes MoSAiK ohne Download-Möglichkeit gespeichert, so dass nur
befugte Personen Zugriff auf diese Daten haben werden.
Koblenz, den __________________
___________________________
Unterschrift
17 Anhang CLX
FACHBEREICH 3:
MATHEMATIK/NATURWISSENSCHAFTEN
MATHEMATISCHES INSTITUT
- Ralf Holzmann -
Universitätsstraße 1
56070 Koblenz
Telefon (0261) 287-2369
E-Mail rholzmann@uni-koblenz.de
Elternbrief –
Informationsschreiben zum Mathematikunterricht in der Klasse 8f
Durchführung einer Studie in Kooperation mit dem Mons-Tabor-Gymnasium Montabaur
und der Universität Koblenz in KW 26 - 28 (2023) zu digitalen Mathematikwerkzeugen
Qualitätsoffensive
Lehrerbildung
Sehr geehrte Eltern und Sorgeberechtigte der Klasse 8f,
sehr geehrte Frau Zander,
mein Name ist Ralf Holzmann, Promovend am Mathematischen Institut an der Universität
Koblenz. Im Rahmen des Programms Qualitätsoffensive Lehrerbildung, welches vom
Bundesministerium für Bildung und Forschung gefördert wird, soll das Professionswissen
von angehenden Lehrkräften (Bachelor-Studierenden der Lehrämter (RS plus, GYM &
BBS) im Rahmen eines fachdidaktischen Seminars im SoSe 2023, welches ich selbst
leite, gefördert werden.
Die Verwendung von digitalen Mathematikwerkzeugen (DMW) wie z.B. GeoGebra und
Tabellenkalkulationssoftware (TK) ist ein wichtiger Bestandteil eines zukunftsorientierten
Mathematikunterrichts. Daher ist es wichtig, dass angehende Lehrkräfte mit diesen
Werkzeugen vertraut sind, um Schüler:innen den Kompetenzerwerb mit selbigen zu
ermöglichen.
Es ist geplant, dass zwei Studierende im Zeitraum vom 30.6. bis 14.7.2023 bei einer
Unterrichtstunde von Frau Zander hospitieren und vier Unterrichtsstunden in der Klasse
8f selbst halten werden. Dabei sollen einerseits die Schüler:innen im Umgang mit den
beiden Softwares gefördert werden, aber auch angehende Lehrkräfte können ihr
Lehrerprofessionswissen erweitern. Die Unterrichtsstunden werden videographiert, um
eine Theorie-Praxis-Verzahnung zwischen Fachwissen, fachdidaktischem Wissen,
Bildungswissenschaften und Unterrichtspraxis herzustellen und anschließend
analysieren zu können.
Auf den Videos werden die Schüler:innen, der/die Student:in, der/die den Unterricht
durchführt und ggfs. Frau Zander und Herr Holzmann zu sehen sein. Neben den
Lernprodukten der Schüler:innen werden die Videovignetten von den Studierenden im
Anschluss analysiert und reflektiert.
17 Anhang CLXI
Der Fokus liegt dabei auf dem eigenen Lehr-Verhalten der Studierenden und auf der
Beobachtung der Lern- und Denkprozesse der Schüler:innen im Umgang mit den DMW
GeoGebra und TK.
Die Videoaufnahmen und die Aufzeichnungen der Schüler:innen werden auf einem
passwortgeschützten Server des Projektes MoSAiK ohne Download-Möglichkeit
gespeichert, so dass nur ich selbst, die Studierenden und befugte Personen für Lehr- und
Forschungszwecke Zugriff auf diese Daten haben werden.
Die Teilnahme an der Studie ist für Ihr Kind freiwillig. Ihr Kind kann auch dann am
regulären Unterricht teilnehmen, wenn Sie nicht möchten, dass es auf den Videos zu
sehen ist. In diesem Fall würde z.B. die Sitzordnung entsprechend gestaltet werden. Für
das Gelingen der Untersuchung ist es jedoch von großer Bedeutung, dass möglichst alle
Schüler:innen der Klasse 8f teilnehmen.
Daraus entsteht für Ihr Kind selbstverständlich kein Nachteil. Die Einwilligung bezüglich
der Aufnahmen kann jederzeit, ebenfalls ohne Nachteile, schriftlich widerrufen werden.
Der Name ihres Kindes wird in den Videoaufnahmen unkenntlich gemacht (z.B. durch ein
Rauschen) und in schriftlichen Dokumenten durch ein Pseudonym ersetzt. Die
Augenpartie ihres Kindes wird in Abbildungen in schriftlichen Veröffentlichungen
unkenntlich gemacht.
Ich würde mich sehr freuen – auch im Namen der Studierenden - wenn sie die
Videoaufnahmen zur Unterstützung der Studierenden, aber auch zur Unterstützung
meiner Dissertation genehmigen würden.
Die nachfolgende Einverständniserklärung zur Teilnahme bei Videoaufzeichnungen
(Seite 3) füllen Sie bitte aus und geben diese Ihrem Kind bis spätestens 27.06.2023 zur
Abgabe bei Frau Zander wieder mit in die Schule. Sie erhalten die
Einverständniserklärung in zweifacher Ausfertigung. Ein Exemplar ist zu Ihrer Verfügung.
Bei Fragen können Sie sich jederzeit telefonisch und/oder per eMail bei mir melden.
Freundliche Grüße
Koblenz, den 16.06.2023
___________________________
Ralf Holzmann
17 Anhang CLXII
Einverständniserklärung zur Teilnahme bei Videoaufzeichnungen
Bitte kreuzen Sie Zutreffendes an:
Wir haben den Elternbrief zum Thema „Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge im
Mathematikunterricht“ (Vorgehen der Studie und Förderung der Schüler:innen sowie
zur Auswertung und Aufbewahrung der Daten) zur Kenntnis genommen und sind
ausführlich informiert worden.
Ebenso haben wir die Rechte zur freiwilligen Teilnahme, zur Möglichkeit eines
Abbruchs ohne Folgen, zum Recht einzelne Fragen/Aufgaben unbeantwortet zu
lassen, zum Widerrufen der Einverständniserklärung, zum Einfordern weiterer
Informationen zum Projekt der Dissertation, sowie zur Rückmeldung von
Ergebnissen zur Kenntnis genommen.
Hiermit stimmen wir zu, dass unser Kind im Rahmen der Dissertation zu
wissenschaftlichen Zwecken gefilmt werden darf (Einzellernsituation, in einer
Kleingruppe und/oder im Klassengespräch), wenn die Aufnahmen entstandenen
Videos zu Lehr- und Forschungszwecken genutzt und in wissenschaftlichen
Publikationen verwendet werden.
Wir erklären hiermit, dass unser Kind an der Studie „Einsatz digitaler Mathe-
matikwerkzeuge im Mathematikunterricht“ teilnehmen darf, möchten aber nicht,
dass unser Kind auf den Videoaufnahmen zu sehen ist.
Wir sind damit einverstanden, dass die Lernprodukte (ausgefüllte Arbeitsblätter,
digitale Applets) unseres Kindes zu Lehr- und Forschungszwecken genutzt und in
wissenschaftlichen Publikationen verwendet werden.
_______________________________________ ___________________
Vorname und Nachname des Kindes (in Druckbuchstaben) Klasse des Kindes
_____________________________________________________________
Vorname und Nachname der/des Sorgeberechtigten (in Druckbuchstaben)
_______________________________________ ___________________
E-Mail-Adresse der/des Sorgeberechtigten (freiwillig) Tel-Nummer (freiwillig)
_____________________________________________________________
Ort, Datum und Unterschrift der/des Sorgeberechtigten
17 Anhang CLXIII
17.7 Kompetenztest: Kategoriensysteme Bedienkompetenzen (TKP und GeoGebra)
Tab. 65: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (TKP – Aufgabe T1)
Kategorie
Punkte
Bedienkompetenzen (Erwartungshorizont)
Erläuterungen/
Begründungen (Punktabzug)
Layout
5
• Angepasste Spaltenbreite (1)
• Rahmenlinien (2)
• Überschriften fett und zentriert (1)
• Spalte A zentriert (1)
• Layout wie vorgegeben (5)
• Keine Formatierung (0)
• Kopfzeilen nicht fett (-1)
• Rahmenlinien nur teilweise (-1)
• Spaltenbreite für Überschriften nicht angepasst (-1)
• Manche Linien zu viel (-0,5)
Eingabe: Werte
von 10 bis 200
eingeben
2
• 10 in A3 und 20 in A4 eingeben / Autofill bis 200 (2)
• 10 bis 200 händisch (2)
• Mindestens eine Zeile zu viel (– 0,5)
• Zahlenformat mit Nachkommastellen (– 0,5)
Reaktionsweg r
berechnen
2
• Formel mit Zellbezug =A3/5 in B3 eingeben (1)
• B4 bis B22 mit Autofill (1)
• Formeln in B3 bis B22 händisch (2)
Bremsweg b
berechnen
3
• Formel mit Zellbezug =(A3^2)/100 in C3 eingeben (2)
• C4 bis C22 mit Autofill (1)
• =(A3^2)/100 oder =(A3*A3)/100 als Zelleingabe in C3
möglich (2)
• Formeln in B3 bis B22 händisch (2)
• Bremsweg mit Bezug zu r statt v (-0,5)
Anhalteweg a
berechnen
3
• Formel mit Zellbezug =((A3^2)+20*A3)/100 in D3
eingeben (2)
• C4 bis C22 mit Autofill (1)
• Formeln in D3 bis D22 händisch (3)
• =((A3^2)+20*A3)/100 oder =((A3*A3)+20*A3)/100 als
Zelleingabe in D3 möglich (3)
• Summenwerte der Einträge (vgl. Skizze) aus Spalte B
(B3 bis B22) und Spalte C (C3 bis C22) (3)
17 Anhang CLXIV
Graph
(Diagramm)
6
• Zellen A3 bis A22 und D3 bis D22 markieren (1)
• Einfügen / (XY)-Diagramm (Punkte mit interpolierten
Linien und Datenpunkten oder Punkte mit interpolierten
Linien) auswählen (2)
• Grünes + / Achsentitel anklicken (1)
• Diagrammtitel einfügen (1)
• Achsenbeschriftungen einfügen (nur wenn vorher
Häkchen gesetzt) (1)
• Diagramm nicht vorhanden (0)
• Diagramm nur mit Punkten (nicht durchgezogen) (-1)
• Drei Diagramme (r,b,a) (-0,5)
• Diagrammtitel richtig, Achsen nicht (1)
• „Der“ im Titel nicht eingefügt (-0,5)
• Diagramm ohne Datenpunkte kein Abzug
• Legende bei Diagramm unnötig (– 1)
• Legende zum Graphen (-0,5)
• x-Achse falsch beschriftet (-0,5)
Layout
5
Eingaben
2
Berechnungen
8
Graph
6
Punkte gesamt
21
Besonderheiten
• Aufgabe mit Matrix umgesetzt
17 Anhang CLXV
Tab. 66: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (TKP – Aufgabe T2)
Kategorie
Punkte
Bedienkompetenzen (Erwartungshorizont)
Erläuterungen/
Begründungen (Punktabzug)
Layout
7
• Begriff Lineare Funktion (fett, drei Zellen A1 bis C1
verbinden) (1)
• Punkte (Rahmen, fett, vier Zellen verbinden, links- und
rechtsbündig) (2)
• Geradengleichung (Rahmen, fett, fünf Zellen verbinden,
links- und rechtsbündig) (2)
• Wertetabelle (Spalte J zentriert, Gitternetz, fett, zwei
Zellen verbinden) (2)
• Struktur wie vorgegeben (7)
• Keine Formatierung (0)
• Lineare Funktion: Begriff fehlt, nicht fett, Zellen nicht
verbunden (-1)
• Punkte: Begriff fehlt, Klammer in Zelle enthalten, nicht
fett, falsche Zellen benutzt, Zellen nicht verbunden,
keine Rahmung (-2)
• Geradengleichung: + nicht eingefügt, Begriff fehlt,
Zellen nicht verbunden, keine Rahmung, x + in einer
Zelle, y= linksbündig statt rechtsbündig (-2)
• Wertetabelle: Begriff fehlt, Zellen nicht verbunden,
keine Rahmung (-2)
Punkte A und B
eingeben
1
• Händisch vier Koordinaten in die Zellen B5, C5, B6 und
C6 eingeben (1)
• Koordinaten nicht eingegeben (0)
Werte von -20
bis 20 eingeben
2
• -20 in J5 und -18 in J6 eingeben / Autofill bis 20 (2)
• -20 bis 20 händisch (2)
• x-Werte fett (kein Abzug)
• x-Werte nicht zentriert (kein Abzug)
• Wertetabelle als Texttabelle formatiert (-2)
Steigung m
berechnen
2
• Formel mit Zellbezügen =(C6-C5)/(B6-B5) in B15
eingeben (2)
• Formel mit Zellbezügen =(C5-C6)/(B5-B6) in B15
eingeben (2)
• m als Text in Zelle (-2)
• =STEIGUNG(C5:C6; B5:B6) (3)
• m ist Summe der vier Koordinaten (-2)
17 Anhang CLXVI
y-Achsen-
abschnitt b
berechnen
2
• Formel mit Zellbezügen =C5-B15*B5 eingeben (2)
• Formel mit Zellbezügen =C6-B15*B6 eingeben (2)
• b als Text in Zelle (-2)
• b wurde falsch berechnet (-2)
• b wurde nicht berechnet (-2)
• =ACHSENABSCHNITT kein Abzug
• b = m + x1 + y1 (-2)
y-Werte
berechnen
3
• Formel mit absoluten und relativen Zellbezügen
=$B$15*J5+$E$15 eingeben (2)
• C4 bis C22 mit Autofill (1)
• Formeln in K5 bis K25 händisch (3)
• Keine y-Werte (-3)
• f(x) statt y als Spaltenüberschrift (kein Abzug)
• y-Werte ohne Zellenbezug berechnet (-2)
Graph
(Diagramm)
6
• Zellen J5 bis J25 und K5 bis K25 markieren (1)
• Einfügen / (XY)-Diagramm (Punkte mit interpolierten
Linien und Datenpunkten oder Punkte mit interpolierten
Linien) auswählen (2)
• Grünes + / Achsentitel anklicken (1)
• Diagrammtitel einfügen (1)
• Achsenbeschriftungen einfügen (nur wenn vorher
Häkchen gesetzt) (1)
• Diagramm nicht vorhanden (0)
• Diagrammtyp Punkt (XY) (-1)
Layout
7
Eingaben
3
Berechnungen
7
Graph
6
Punkte gesamt
23
17 Anhang CLXVII
Tab. 67: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (GeoGebra - Aufgabe G1)
Arbeitsschritt/
Bereich
Punkte
Bedienkompetenzen (Erwartungshorizont)
Erläuterungen/
Begründungen (Punktabzug)
a) Einstellungen
1
• Rechtsklick in KoSys / Beschriftung für x-und y-Achse
(1)
• Keine Beschriftung (-1)
• Beschriftung als Textfeld (-0,5)
b) Eingabe
2
• Werkzeugleiste / Punkt / in KoSys klicken (1)
• A und B in Algebra-Fenster eingeben (1)
• Punkte über Tabellenkalkulation eingefügt (-1)
• Eingabe in Algebra-Fenster
c) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Gerade / Punkte A anklicken / Punkt
B anklicken (2)
• Gerade mit zwei Variablen angegeben (-2)
d) Einstellungen
2
• Drei Bulletpoints / Einstellungen / Algebra / y = mx + t
(2)
• Format nicht umgestellt
• Beschriftung an Graphen (nicht gefordert) (-0,5)
e) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Steigung / Gerade anklicken / (2)
• Steigung bzw. Steigungsdreieck nicht angezeigt (-2)
f) Einstellungen
3
• Rechtklick auf Steigungsdreieck / Einstellungen /
Darstellung / Größe-Regler einstellen (3)
• Lage des Steigungsdreiecks nicht verändert (-3)
g) Einstellungen
2
• Rechtklick auf Steigungsdreieck / Einstellungen /
Beschriftung anzeigen / Wert (2)
• Beschriftung nicht vorgenommen (-2)
h) Eingabe
1
• Punkt C in Algebra-Fenster eingeben (1)
• Punkt nicht eingegeben (-1)
• Punkt falsch eingegeben (-1)
i) Einstellungen
3
• Drei Bulletpoints / Einstellungen / Schieberegler / drei
Werte eingeben (2)
• a = 1 einstellen (1)
• Schieberegler nur linke Grenze (-1)
• Nur Grenzen angepasst (-0,5)
• Falsch Schrittweite und Grenzen (-2)
j) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / senkrechte Gerade / C wählen / f
wählen (2)
• Orthogonale nicht gezeichnet (-2)
• Orthogonale durch anderen Punkt (-1)
• Gezeichnete Gerade ist keine Orthogonale (-2)
k) Eingabe
2
• h(x) in Algebra-Fenster eingeben (2)
• CAS-Ansicht genutzt, trotz Aufgabenstellung Algebra-
Fenster (-2)
17 Anhang CLXVIII
l) Einstellungen
2
• Rechtsklick auf Parabel / Einstellungen / Beschriftung
Name und Wert (2)
• Funktionsgleichung falsch angegeben (-1)
• Parabel in rot geändert kein Abzug
m) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Schneide / Parabel anklicken / x-
Achse anklicken (2)
• Schnittpunkte nicht erzeugt (-2)
• Nullstelle von f statt mit Parabel (-1)
• Statt Schnittpunkte Punkte willkürlich gesetzt (-2)
n) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / parallele Gerade / Punkt E anklicken /
f anklicken (2)
•
o) Einstellungen
2
• Auf g klicken / Einstellungen / blau (1)
• Analog für i (1)
• Farben nicht angepasst (-2)
• Mehr Farben als gefordert (kein Abzug)
Einstellungen
15
Eingabe
5
Werkzeugleiste
10
Punkte gesamt
30
Besonderheiten
• KoSys ausgeblendet
• Abgeänderte Reihenfolge der Arbeitsschritte
• Sortieren nach Objekttyp (Funktionen, Gerade, Zahl,
Punkte)
17 Anhang CLXIX
Tab. 68: Kategoriensystem mit Punkteverteilung (GeoGebra - Aufgabe G2)
Arbeitsschritt/
Bereich
Punkte
Bedienkompetenzen (Erwartungshorizont)
Erläuterungen/
Begründungen (Punktabzug)
a) Einstellungen
1
• Rechtsklick in KoSys / Beschriftung für x-und y-Achse
(1)
• Keine Beschriftung (-1)
• Beschriftung als Textfeld (-0,5)
b) Eingabe
2
• f(x) in Algebra-Fenster eingeben (2)
• Gerade in rot umgewandelt
• Funktionsgleichung mit zwei Variablen eingegeben
a(x,y) (-2)
c) Einstellungen
2
• Rechtsklick auf Parabel / Einstellungen / Beschriftung
Name und Wert (2)
d) Eingabe
2
• Werkzeugleiste / Punkt / in KoSys klicken (1)
• Punkte A und B in Algebra-Fenster eingeben (1)
• A als Schnittpunkt von f mit y-Achse nicht notwendig
(kein Abzug)
e) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Steigung / Gerade anklicken / (2)
• Steigungsdreieck selbst konstruiert (-1)
• Steigung mit a statt m bezeichnet
f) Einstellungen
3
• Rechtklick auf Steigungsdreieck / Einstellungen /
Darstellung / Größe-Regler einstellen (3)
g) Einstellungen
2
• Rechtklick auf Steigungsdreieck / Einstellungen /
Beschriftung anzeigen / Wert (2)
• Strecken mit Textfeldern beschriftet (-2)
h) Einstellungen
1
• Rechtsklick auf Steigungsdreieck / Einstellungen /
Farbe grün (1)
i) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Gerade / zwei Punkte anklicken (2)
• Schnittpunktbestimmung des Ursprungs nicht
notwendig (-1)
• Ursprung wurde als Punkt C bezeichnet
j) Einstellungen
2
• Drei Bulletpoints / Einstellungen / Algebra / y = mx + t
(2)
• Anzeige nicht in y = mx + t (-1)
k) Eingabe
2
• Y in Algebra-Fenster eingeben (Schieberegler b
automatisch) (2)
• Mit Parabel begonnen (-1)
• Schieberegler b in Grafikfenster (kein Abzug)
• Y nicht vollständig eingegeben (-1)
17 Anhang CLXX
• Parabel mit p bezeichnet kein Abzug
l) Einstellungen
3
• Drei Bulletpoints / Einstellungen / Schieberegler / drei
Werte eingeben (2)
• a = 1 einstellen (1)
•
m) Einstellungen
2
• Auf Parabel klicken / Einstellungen / blau (1)
• Analog für i (1)
•
n) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Extremum
• Oder: Eingabe Extremum(h) in Algebra-Fenster (2)
• Mit Fang in KoSys klicken S(50/-10)
•
o) Einstellungen
1
• Rechtsklick auf D / Einstellungen / Name S (1)
• Scheitelpunkt wurde rot markiert (kein Abzug)
• Scheitelpunkt zweimal erstellt
p) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / Schneide / Parabel anklicken / x-
Achse anklicken (2)
•
q) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / parallele Gerade / Punkt E anklicken /
f anklicken (2)
• Parallele durch S wurde ohne Bezug zu S mit zwei
Punkten erzeugt (kein Abzug)
• Parallele mit y=-10 eingegeben (kein Abzug)
• Parallele mit Hilfspunkt F konstruiert (kein Abzug)
r) Werkzeugleiste
2
• Werkzeugleiste / senkrechte Gerade / C wählen / f
wählen (2)
• Senkrechte zu i mit k statt j realisiert (-1)
Einstellungen
17
Eingabe
6
Werkzeugleiste
12
Punkte gesamt
35
Besonderheiten
• Gerade j zusätzlich eingearbeitet
17 Anhang CLXXI
17.8 Kompetenztest: Kategoriensystem Vor- und Nachteile von DMW (deduktiv)
Tab. 69: Kodierleitfaden (Vorteile von DMW - deduktiv)
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V1_d
Visualisierungsfunktion
Neben der enaktiven und der symbolischen Ebene ist
die ikonische Form von großer Bedeutung, da
abstrakte mathematische Objekte und Denkweisen
visualisiert werden können (Bruner, 1974). Der
Computer als Hilfsmittel/Werkzeug eröffnet neue
Möglichkeiten (Hole, 1998) mit Hilfe von Darstellungen
Lösungsideen und -wege zu finden. Weigand und
Weth (2002) sprechen vom Prinzip der adäquaten
Visualisierung, indem sie betonen, dass „[…]
Darstellungen von den Lernenden problemadäquat
einzusetzen […]“ „Die grafische Repräsentation
abstrakter Objekte ist für die Kompetenzentwicklung
im Allgemeinen […] von großer Bedeutung“,
(Visualisierungsfunktion, Heugl, 2014).
„Neben der algebraischen
Lösung kann mittels digitalen
Mathematikwerkzeugen wie
GeoGebra auch ein Zugang zu
eine visuelle Lösung
ermöglicht werden.“
(#15 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
visualisieren; anzeigen lassen; Graphen
zeichnen; darstellen; verbildlichen;
veranschaulichen; sich ein Bild von einer
Funktion machen; etwas vorstellen hinter
der Rechnung; genaue Darstellung eines
Graphen; Schnittpunkte anzeigen lassen;
Graphen können abgebildet werden; den
Kontext grafisch darstellen; Diagramme
anzeigen lassen; grafische Lösung der
Aufgabe
V2_d
Parallele Anzeige von
Repräsentationen
Mit DMW kann zwischen den Darstellungsformen
gewechselt werden bzw. ist eine parallele Anzeige von
Repräsentationen auf dem Bildschirm möglich. (Heugl
et al., 1996)
„Einen großen Mehrwert
liefert dieser Einsatz im
Bereich der Verknüpfung
verschiedener
Darstellungformen einer
Funktion.“
(# 37 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
anhand einer Wertetabelle den Graph
zeichnen; Wertetabelle mit TK erstellen,
aber Graph mit GeoGebra; Verknüpfung
der Funktionsgleichung mit den
Repräsentationen Graph und Wertetabelle;
abgelesene Schnittpunkte anhand einer
Wertetabelle nachvollziehen; Aufgabe lässt
sich mit verschiedenen Darstellungen lösen
17 Anhang CLXXII
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V3_d
Dynamische Verknüpfung von
Repräsentationen
Mit DWM ist eine dynamische Verknüpfung (flexibler
Wechsel) von Repräsentationen realisierbar (Window-
Shuttle-Technik, Heugl et al., 1996). Die Veränderung
einer der Darstellungsformen Graph, Wertetabelle und
Funktionsgleichung wirkt sich unmittelbar/dynamisch
auf die beiden anderen aus. Kaput (1992) bezeichnet
diese Möglichkeit als Hot-Link.
V4_d
Reduzierung der Belastung des
Arbeitsgedächtnisses
Mit Zunahme der Komplexität von Problemstellungen
können digitale Mathematikwerkzeuge das Denken
unterstützen. Dörfler (1991) bezeichnet den Computer
als Denkzeug, der kognitiv unterstützt und das
Gedächtnis entlastet. Durch das Delegieren gewisser
Prozesse wie bspw. systematisches Probieren,
Fallunterscheidungen, Parametervariationen bei
funktionalen Zusammenhängen kann der Fokus beim
Problemlösen auf die Aspekte Planung, Interpretation,
Analyse und Argumentation gelegt werden (Vollrath &
Roth, 2012). Die Bedienung der entsprechenden
Werkzeuge vorausgesetzt, kann der Lernende mit dem
digitalen Mathematikwerkzeug interagieren, so dass es
zu einem verteilten Denken kommen kann (Vollrath &
Roth, 2012).
17 Anhang CLXXIII
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V5_d
Förderung von Reflexions- und
Transferprozessen
Mathematische Probleme können mit vielfältigen
Realdaten mit weniger Aufwand modelliert werden, als
wenn dies händisch passierte. Die Entlastung von
händischem, routinemäßigem Kalkül (vgl. Ruchniewicz
& Göbel, 2019) durch ein DMW bietet somit den
Freiraum für tiefergreifende Aufgabenstellungen.
Die SuS können die digitalen
Werkzeuge benutzen, um
sich, insbesondere in der
Mathematik, komplexe
Sachverhalte,
veranschaulichen zu lassen,
um somit Probleme besser
verstehen und nachvollziehen
zu können. (#50 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
mit einer Wertetabelle kann der Verlauf
einer Funktion nachvollzogen werden;
Interpretation von Ergebnissen, die von
DMW generiert werden; Funktionen
können in GeoGebra leicht verändert
werden; Aktivitäten bezogen auf
Repräsentationswechsel von Funktionen
können besser nachvollzogen werden
V6_d
Zeitersparnis durch schnelle Verfügbarkeit
von Repräsentationen
Zeitaufwand (Rögler et al. 2013, Rögler 2014); schnelles
Generieren von Beispielen zur Aussagenüberprüfung
(Thurm, 2020) ; Entlastung von zeitraubenden und
aufwändigen Routineberechnungen (Thurm, 2020)
Ein Vorteil ist, dass man viel
Zeit sparen kann, wenn man
die Aufgabe komplett mit
einem Programm wie Excel
löst. (#44 Prä)
Zeitersparnis (wenn Fokus auf
dem Sachkontext und nicht
der Berechnung selbst liegt)
(#34 post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
durch einfache und schnelle Eingabe von
Funktionen können Schnittpunkte
abgelesen werden; mit GeoGebra Graph
schneller als mit Hand verfügbar;
verschiedene Ergebnisse schneller
verfügbar; Lösung von Aufgaben
beschleunigen; mit TK lassen viele
Rechnungen durch Kopieren von Formeln in
Zellen schnell ausführen
17 Anhang CLXXIV
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V7_d
Entdeckendes Lernen
Durch den Einsatz von DMW kann das entdeckende
Lernen gefördert werden. Vergleichbare Begriffe sind
Experimentierfunktion (Heugl, 2014), Entdeckendes
Lernen (Barzel & Möller, 2001), Unterstützung des
entdeckenden Lernens (Rögler et al. 2013, Rögler 2014)
oder Förderung des entdeckenden Lernens (Thurm,
2020).
„Einerseits ist die Nutzung der
digitalen Medien im
Mathematik sehr vorteilhaft.
Da die Schülerinnen und
Schüler mithilfe dieser
Einsätze durch
Experimentieren und mit Spaß
die Zusammenhänge von
Funktionen, Geometrie usw.
leichter und vor Augen
verstehen kann.“ (#32 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
numerisches Ausprobieren mit Werte-
tabellen zur Bestimmung von
Schnittpunkten; mit den Funktionen
spielen; über Schieberegler können
verschiedene Beispiele erzeugt werden
V8_d
Kontrollfunktion
Die Kontrolle/Überprüfung eines Ergebnisses nach
einer durchgeführten Rechnung ist eine bedeutsame
Tätigkeit im Unterricht. DMW können dabei
unterstützend helfen, indem beispielsweise die
numerische Berechnung von Schnittpunkten zweier
Funktionsgraphen durch eine grafische Darstellung
verifiziert wird. Diese Möglichkeit der Kontrolle eines
händisch erreichten Ergebnisses setzt allerdings ein
adäquates Maß an Kompetenz im Umgang mit den
entsprechenden DMW voraus, so dass sogar von
Kontrollkompetenz (Heugl, 2014)
„Der Vorteil hierbei wäre,
dass die SuS
Kontrollergebnisse
bekommen, die sie
nachvollziehen können, da sie
sie selbst graphisch erzeugt
haben.“
(#2 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
Kontrolle von selbst erstellten Ergebnissen;
Überprüfung; Selbstüberprüfung; Selbst-
kontrolle; Lösungen vergleichen; Kontrolle
der Aufgabe; Vergleich händische
Rechnung mit Ergebnis des DMW; vor der
händischen Rechnung überprüfen, ob es
Schnittpunkte gibt
17 Anhang CLXXV
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V9_d
Auslagerungsprinzip/
Entlastung von Kalkül
Das Auslagerungsprinzip (Peschek, 1999;
Rögler et al. 2013; Rögler 2014) oder
Rechenfunktion (Heugl, 2014) besagt, dass
aufwändige, repetitive Berechnungen
vermieden werden können (Thurm, 2020).
Somit wird eine Entlastung von
zeitraubenden und aufwändigen
Routineberechnungen (Thurm, 2020)
erreicht.
„Falls die SuS sich bereits mit den
Programmen auskennen, kann unnötiger
Arbeitsaufwand gespart werden und die
Lernenden kommen schneller zu ihren
Ergebnissen.“
(#30 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
wiederkehrende Reproduktionsaufgaben
vermeiden; mit TK große Datenmengen
verwalten; mühsames händisches Rechnen
ersparen; Schüler müssen nicht mehr selbst
rechnen; erspart Rechenaufwand
17 Anhang CLXXVI
Tab. 70: Kodierleitfaden (Nachteile von DMW - deduktiv)
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
N1_d
Gefahr für händisches Rechnen
Wesentliche Grundfertigkeiten werden nicht mehr
händisch (Handal et al., 2011) ausgeführt, wenn DMW
zum Einsatz kommen. Es besteht eine Gefahr für die
Beherrschung von (händischen) Rechen-verfahren
(Rögler et al. 2013, Rögler 2014).
„Nachteil: wenn man
Schnittpunkte, oder Nullstelen
immer nur vom Computer
vorgerechnet bekommt oder
sich graphisch darstellen lässt
geht eventuell die Kompetenz
verloren diese auszurechnen
per Hand“ (#19 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
Schüler rechnen nicht mehr selbst ; es
werden nur noch Werte in ein Tabellenblatt
eingegeben ; durch grafisches Lösen werden
händische Rechenverfahren nicht mehr
angewendet; Relevanz der händischen
Berechnung ist Schülern nicht mehr bewusst
oder wird als unnötig erachtet; das
händische Rechnen wird durch
Computernutzung nicht gefördert;
händische Verfahren rücken in den
Hintergrund oder werden vergessen ;
Vernachlässigung der eigenen Fähigkeiten
N2_d
Hoher Zeitaufwand ohne DMW-
Vorkenntnisse
Nutzung von Technologie stellt für Schülerinnen und
Schüler im Mathematikunterricht eine zusätzliche
Herausforderung dar. Dies betrifft insbesondere die
Phase der Einführung einer neuen Technologie, in der
Erläuterungen zur Bedienung und die Eingewöhnung
notwendig sind. Hier wird ein übermäßiger Zeitaufwand
(Rögler et al. 2013, Rögler 2014) befürchet, der als
relevant eingeschätzt wird.
„Auf der anderen Seite kann
es allerdings auch zu
Zeitverlust kommen, da der
Umgang mit solchen
Hilfsmitteln erst gelehrt
werden muss.“
(#8 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
Lehrkraft muss ein besonderes Maß an
Kompetenzen, Fähigkeiten und Fertigkeiten
mitbringen, um den SuS zu ermöglichen mit
den Programmen zu arbeiten;
Überforderung für SuS, wenn kompetenter
Umgang mit DMW fehlt
17 Anhang CLXXVII
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
N3_d
Gefahr für Denken und Verstehen durch
Auslagerung
Gefahr, dass DMW den Schülern kognitive
Denkleistungen und -prozesse abnehmen könnten. In
diesem Bewusstsein könnten Schüler dazu neigen, dass
gewisse Leistungen nicht mehr technologiefrei erbracht
werden müssen. Das eigenständige Denken, Verstehen
und Hinterfragen könnte dadurch verlernt werden und
das Bedienen eines Gerätes oder die Beherrschung einer
Software an dessen Stelle treten. Ein mathematisches
Konzept „[…] verkümmert zu einer von vielen Tasten auf
dem Taschenrechner, die eigentliche Bedeutung tritt in
den Hintergrund.” (Schwenk-Schellschmidt, 2013)
Bedeutungsloses, unverstandenes Knöpfedrücken
(blackbox paradise of mindless button pushing) Mackey
(1999) tritt an diese Stelle. Degradierung des DMW als
Denkersatz (substitute for thinking) und nicht als
Denkzeug im Sinne Vollraths und Roths (2012).
„Dies gilt ebenso für die
simple Eingabe in Exel, die
Schüler verstehen das
Vorgehen hinter der Formel
nicht mehr und können nur
noch Werte in den
Taschenrechner bzw. Exel
eingeben ohne zu verstehen
wie ist man darauf gekommen
dies so zu rechnen bzw.
Welche Umformungen gehen
dem voraus.“ (#54 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
SuS lernen nicht bzw. verlernen sich
Funktionen im Kopf vorzustellen; stumpfes
Ausrechnen von Aufgaben durch DMW; das
Denken wird durch die Auslagerung nicht
mehr zu 100% gefördert
N4_d
Unreflektiertes Arbeiten mit DMW
Die Darstellungsvielfalt und die damit verbundene
Geschwindigkeit können unreflektiertes Handeln
hervorrufen (Barzel et al., 2005). Die Anzeige auf dem
Bildschirm eines digitalen Endgerätes kann dabei
unreflektiert bleiben. („[…] to accept whatever was
displayed in the initial window without question“.,
Cavanagh & Mitchelmore, 2000)
„Schüler könnten durch die
Überprüfbarkeit das
eigentliche Rechenverfahren
außer Acht lassen und sich
vollkommen auf die digitalen
Hilfsmittel verlassen, so dass
in der Arbeit, diese einfache
Aufgabe nicht per Hand gelöst
werden kann.“
(#48 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
unreflektiertes Verlassen auf digitale
Hilfsmittel; blindes Eintippen und
Abschreiben von Ergebnissen ohne den
Sachverhalt zu hinterfragen; blindes
Vertrauen zu den DMW; Verlassen auf die
Programme
17 Anhang CLXXVIII
17.9 Kompetenztest: Kategoriensystem Vor- und Nachteile von DMW (induktiv)
Tab. 71: Kodierleitfaden (Vor- und Nachteile von DMW - induktiv)
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V1_i
Graphen/Diagramme mit DMW
genauer als mit Hand
Mit GeoGebra und mit einer
Tabellenkalkulation können Funktions-
graphen bzw. Diagramme exakter
dargestellt werden als bei händischer
Ausführung mit der Paper-Pencil-Methode.
„Vorteile liegen vorallem in der schönen
und genauen Darstellung und der leichten
Modifizierbarkeit.“
(#45 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
Exakte und schnelle Darstellung von
Graphen;
V2_i
Kompetente Softwarebedienung
wichtig für Berufsleben
Die Bedienung von Software in der
Schulzeit kann die Entwicklung von
Kompetenzen, wie bspw. Problemlösen,
fördern, die auch für das Berufsleben
hilfreich sind. Hier ist in erster Linie ein TKP
zu nennen, da dieses zu den
Standardsoftwares im beruflichen Alltag
gehört. Automatisierte Berechnungen und
Analysen von großen Datenmengen
werden automatisiert und erleichtert.
„SuS lernen die generelle Arbeit mit Excel
kennen, oft wichtig für späteres
Berufsleben“
(#19 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
mit Software arbeiten, die auch in der
Berufswelt genutzt wird; solche Fähigkeiten
werden immer wichtiger; Umgang mit TKP
in der Schule für später üben; eine gewisse
Medienkompetenz üben, die später
praxisrelevant ist; hilfreich für die Zukunft;
17 Anhang CLXXIX
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V3_i
Besseres Verständnis durch Kom-
bination (Händisch & DMW)
Eine händisch ausgeführte, prozedural
abgearbeitete Berechnung kann durch die
Unterstützung mit DMW, z.B. durch eine
graphische Veranschaulichung, besser
verstanden werden. Durch die Kombination
(Händisch & DMW) können mehrere
Zugänge geschaffen werden.
„Ich finde eine gesunde Mischung zwischen
Geogebra und handschriftlichen Rechnen
wäre die optimale Lösung.“
(#48 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
durch verschiedene Anwendungen sind
unterschiedliche Lösungswege möglich;
DMW sind eine gute Unterstützung, wenn
die Schüler es nicht händisch lösen können;
die Veranschaulichung hilft vielen die
Rechnung erst zu verstehen; besser
begreifen können; mit verschiedenen
Formen die Aufgabe lösen und darstellen
(EIS-Prinzip)
V4_i
Unterstützung schwäch-
erer Schüler durch DMW
DMW können im Unterricht Schüler, die
weniger mathematikaffin sind,
unterstützen. Lehrkräfte können
individuelle Freiräume schaffen, so dass
diese Schüler Erflogserlebniss haben.
„Zum anderen haben SuS, die schwache
Rechenkenntnisse haben (da Grund-
verständnisse fehlen,...) die Möglichkeit
durch die Mathewerkzeuge auch zu einem
Ergebnis zu kommen.“
(#2 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
durch den Einsatz von DMW steigt die
Motivation und damit auch der Lernerfolg;
V5_i
Förderung von digitalen
Kompetenzen mit DMW
Der Umgang mit digitalen Mathematik-
werkzeugen kann digitale Kompetenzen
stärken und fördern.
„Des Weiteren üben sie den Umgang mit
Excel und GeoGebra und erlernen
Kompetenzen.“
(#6 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
fördert Umgang mit PC; fördert die
Methodenkompetenz; üben Umgang mit
Excel und GeoGebra und erlernen
Kompetenzen; sie lernen das Programm
besser kennen; methodische Kompetenzen
im Hinblick auf GeoGebra;
17 Anhang CLXXX
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
V6_i
Steigerung Motivation/Interesse/
Spaß durch DMW
DMW haben das Potential das Interesse,
die Motivation und den Spaß am Fach
Mathematik zu wecken und zu steigern.
„Zudem würde es den SchülerInnen Spaß
bereiten mit der Plattform Geogebra zu
arbeiten.“
(#31 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
Unterricht ist spannender; mit GeoGebra
gelingt es die Motivation zu steigern;
technische Medien wecken das Interesse
und motivieren; motivationsfördernd; für
Schüler interessant und spaßig;
unterstützen die Freude an der Mathematik;
Spaß am Unterricht durch Laptops; DMW
steigern die Motivation zur Mitarbeit;
V7_i
Tabellenkalkulation als
Taschenrechnerersatz
Mit einem TKP können Berechnungen
ausgeführt werden, die üblicherweise mit
einem Taschenrechner ausgeführt werden.
„Auch kann man mit Excel ganz leicht zum
Beispiel die pq-Formel berechnen. Hier
dient Excel auch als "Taschenrechner-
Ersatz"“.
(#17 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
die Funktion eines Taschnrechners über-
nehmen; Berechnung Logarithmus mit
Funktionsassistent übernehmen;
Wertetabellen einer Funktion erstellen; TKP
als Rechenprogramm einsetzen; die
Tabellenkalkulation kann einen
Taschenrechner ersetzen;
17 Anhang CLXXXI
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
N1_i
Keine DMW bei schriftlichen
Überprüfungen
Es gibt in Deutschland noch keine
einheitliche Regelung über die Benutzung
von digitalen Mathematikwerkzeugen
während schriftlicher Überprüfungen. Im
Mathematikunterricht dürfen DMW
verwendet werden, der Einsatz in
schriftlichen Prüfungen ist aber verboten.
„Eine Sicherheit wird dadurch nicht
aufgebaut - denn bei Arbeiten/Klausuren
stehen diese Mittel i.d.R. nicht zur
Verfügung.“
(#16 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
DMW sind bei Klassenarbeiten untersagt;
bei einer Klassenarbeit ist es nicht möglich
eine digitale Unterstützung zu verwenden;
N2_i
Ablenkung durch Benutzung von DMW
Wenn Schüler ein digitales Endgerät in
einer Arbeitsphase nutzen, besteht die
Gefahr, dass das Gerät für andere
Aktivitäten genutzt wird (z.B. Social Media,
Spielen)
„Ein Nachteil der digitalen Unterstützung
ist, dass viele Schülerinnen und Schüler
diese Zeit nicht produktiv nutzen und
"Unsinn" treiben.“
(#14 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
Arbeitsphasen mit DMW werden nicht
sinnvoll/produktiv genutzt; Lehrkräfte
müssen kontrollieren, dass Schüler
Aufgaben bearbeiten und nicht im Internet
surfen; schnelle Ablenkung durch Medien;
Kinder spielen mit anderen Apps
17 Anhang CLXXXII
Subkategorie
Definition
Ankerbeispiel
Kodierregeln
N3_i
Motivation für händische Rechen-
verfahren sinkt durch DMW
Mit digitalen Mathematikwerkzeugen
können Lösungen bestimmt werden, ohne
händische Rechenverfahren anwenden zu
müssen. Dadurch könnte die Einsicht und
die Motivation bei Lernenden sinken,
händische Rechenverfahren ausführen zu
müssen.
„Da die digitalen Mathematikwerkzeuge
ohne ein schriftliches Ausrechnen die
Aufgabe lösen können, könnten die
Lernenden behaupten, dass es ja "unnötig"
sei, das schriftliche Verfahren zu erlernen.“
(#52 Post)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
langwierige Rechenwege sind unnötig durch
DMW; Lösungen (z.B. Schnittpunkte)
können durch DMW abgelesen werden, so
dass keine Motivation besteht diese zu
berechnen; Schüler neigen dazu bequem zu
werden; Ausführung des Algorithmus wird
als überflüssig empfunden;
N4_i
Gesundheitsgefährdung durch
übermäßigen Technikeinsatz
Digitale Medien können gesundheits-
schädigende Folgen haben. Das ständige
Schauen auf digitale Geräte kann die Augen
belasten (digitale Augenbelastung).
„Ebenso viel in den Laptop schauen
(Blaulicht), obwohl die Schüler*innen
schon meistens den ganzen Tag aufs
Handy schauen (schlechtere Augen).“
(#17 Prä)
Textstellen können folgende Begriffe/
Textbausteine/Paraphrasen enthalten:
übermäßige Bildschirmzeiten
17 Anhang CLXXXIII
17.10 Digitaler Anhang
Zusätzlich zu den Anhängen 17.1 bis 17.9 ist im Rahmen der vorliegenden Dissertationsschrift
digitales Begleit- und Videomaterial entstanden, das auf Anfrage vom Autor zur Verfügung
gestellt werden kann:
o Foliensätze zu den Seminarsitzungen des fachdidaktischen Seminars (vgl. Kapitel 8)
o Aufgabenkatalog (freiwillige Aufgaben der Arbeitsphase 1) zu den Leitideen L1 bis L5
(vgl. Abschnitt 8.1)
o 110 Unterrichtsentwürfe zu ausgewählten Themen der elementaren Funktionen der
Sekundarstufe I unter Berücksichtigung des Einsatzes der digitalen Mathematik-
werkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation (vgl. Abschnitt 8.2)
o 60 Videovignetten mit realen Schulklassen der Klassenstufen 7 bis 10 (Gymnasium &
Realschule plus) und elf Videovignetten im Peer-Teaching zu ausgewählten Themen
der elementaren Funktionen der Sekundarstufe I unter Berücksichtigung des
Einsatzes der digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulation
(vgl. Abschnitt 8.3)
___________________________________________________________________________
Autor:
Ralf Holzmann
Universität Koblenz
FB3: Mathematik/Naturwissenschaften
Mathematisches Institut
Universitätsstr. 1
56070 Koblenz
Tel.: +49 261.287-2369
eMail (dienstlich): rholzmann@uni-koblenz.de
eMail (privat): Ralf_Holzmann@t-online.de
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Eidesstattliche Erklärung CLXXXIV
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit erkläre ich an Eides statt, dass ich die Dissertationsschrift:
GeoGebra und Tabellenkalkulation im Bereich elementarer Funktionen –
Wirksamkeit eines fachdidaktischen Seminars auf die Entwicklung digitaler
Werkzeugkompetenzen und auf die Veränderung technologiebezogener
Überzeugungen von Mathematik-Lehramtsstudierenden
ohne fremde Hilfe verfasst, keine anderen als die von mir angegebenen Quellen und Hilfsmittel
benutzt und die den benutzten Werken wörtlich oder inhaltlich entnommenen Stellen als solche
kenntlich gemacht habe.
Koblenz, 17.10.2025
Ort, Datum
Unterschrift
